数学高职考中的立体几何常用结论
立体几何应记住的结论
立体几何应记住的结论：
1. 设正三角形边长为a ，则三角形高为
a 2
，外接圆的半径为
a 3
，内接圆的半径为
a 6
，面积为
2
a 4
2. 内接于球内的正方体1111ABC D A B C D -的边长为a ，球的半径为R ，则2R =
即R ,2
=
3. 设正方体的边长为a ，则以正方体顶点为顶点的正四面体的体积为
3
13
a ， 三个侧面为
直角三角形，底面为面对角线的正三棱锥的体积为
3
16
a 。
4. 设正四面体的边长为a ，则正四面体的高为
a 3
，外接球的半径为
a 4
，即高与
半径的比为
43
；
5. 设正六边形1
1111A B C D E F A B C D E F -
的边长为
a ，则对角线B D a =，
AD 2a =，外接圆的半径为a ，0
A B D 90∠=；
6. 底面边长为a 的正三棱锥的侧面都是直角三角形，；体积为3
1
6
a
7. 边长为a 3
12
a
正方体的截面的形状：
1. 三角形，．截面可以是等边三角形，等腰三角形，锐角三角形，但不是直角三角形，钝
角三角形，
2. 四边形：截面可以是平形四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，它们至少一
组对边平行，
3. 五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个相同的角，截面不可能是正
五边形。
4.六边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个相同的角，截面可以是正六
边形。
立体几何所有定理和判定
立体几何所有定理和判定立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的图形和物体的性质。
在立体几何中，有许多重要的定理和判定，它们帮助我们理解和解决与立体图形相关的问题。
本文将介绍一些主要的定理和判定。
一、平行线与平面的关系1. 平行线定理：如果两条线与第三条线平行，则这两条线也互相平行。
2. 平行线截割定理：如果一对平行线被一组截线截割，则所得的对应线段成比例。
3. 平行线的垂直定理：如果两条平行线被一条截线垂直截断，则所得的对应线段也相互垂直。
二、线段与角的关系1. 点到直线的距离定理：一个点到一条直线的距离等于这条直线上任意一点到该点的距离。
2. 线段相等定理：如果两个线段的长度相等，则它们是相等的。
3. 角的平分线定理：如果一条直线将一个角分成两个相等的角，则这条直线是该角的平分线。
三、平面图形的性质1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2. 直角三角形定理：如果一个三角形的一个角是直角，则它是直角三角形。
3. 等腰三角形定理：如果一个三角形的两边相等，则它是等腰三角形。
4. 等边三角形定理：如果一个三角形的三边都相等，则它是等边三角形。
四、立体图形的性质1. 正方体的性质：正方体是一种六个面都是正方形的立体图形。
2. 立方体的性质：立方体是一种六个面都是正方形且相互平行的立体图形。
3. 正四面体的性质：正四面体是一种四个面都是等边三角形的立体图形。
五、空间图形的判定1. 平行四边形的判定：如果四边形的对边平行，则它是平行四边形。
2. 正多面体的判定：如果一个多面体的每个面都是正多边形且每个顶点的相邻边相等，则它是正多面体。
3. 立体图形的对称性判定：如果一个立体图形可以通过某种变换与自身完全重合，则它具有对称性。
以上只是立体几何中的一部分定理和判定，它们是我们理解和解决立体图形问题的基础。
通过运用这些定理和判定，我们可以更好地分析和推导立体图形的性质，从而解决各种与立体图形相关的问题。
立体几何所有的定理大总结（绝对全）
⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。
2.画法：借助辅助平⾯。
1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。
2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。
设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。
1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。
2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。
（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。
（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。
（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。
（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。
1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。
2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。
2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。
3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。
立体几何常用的重要结论
1.对棱垂直。
3
2.侧棱与底面成交的余弦值为
3
1
3.侧面与底面（两临面）成角的余弦值为
36
4.高为
棱长3
25.表面积S=3棱长2
36.体积V=
棱长12
6
7.内切球的半径r=
棱长126
8.外接球的半径正四面体的结论：R =
棱长4
2
3
1.高为h=
边长23
2.面积S =边长4
3
3.外接圆的R =边长
33
4.内切圆的r =
边长65.重心，外心，内心，垂心合一3
6.重心到顶点距离m=边长，3
3
到中点距离n=
边长.6
m 2n 1
=，=中线3正三中形的论：线角结3
23
0000
1.表面积S=6a
2.体积V =a
3.面的对角线长=2a
4.体的对角线长=3a
5.相连的面的对角线组成正三角形。
6.临面对角线成角为60， 对面对角线成角为0或90。
7.体对角线与面的对角线异面时成90，
2
相交时成角的余弦值
3
3
8.外接球的半径R =
a 2
1
9.内切球的半径r =a
2210.棱切球的半正方体中的结径=
论a 2。
立体几何常用小结论
1、三个平面两两相交，其三条交线要么共点，要么互相平行。
2、一个四面体有两组对棱互相垂直，则其第三组对棱也互相垂直，且这时每一个顶点在对面三角形所在平面内的射影，都是该三角形的垂心；反之也成立.特别地，正四面体的三组对棱都互相垂直，且每一个顶点在对面正三角形所在平面内的射影，都是该正三角形的中心。
3、任意一个四面体PABC 都可补成一个平行六面体B P A C ADB C ''-'，且四面体PABC 的体积等于对应平行六面体B P A C ADB C ''-'的体积的三分之一.特别地，任意一个正四面体都可补成一个正方体；任意一个三组对棱分别相等的四面体都可补成一个长方体。
4、四面体为正四面体的充要条件是任意相邻两个面所成共6个二面角都相等。
5、 任意一个四面体都有一个内切球和一个外接球。
6、以正六面体（即正方体）的六个面的中心为顶点的多面体是正八面体；以正八面体的八个面的中心为顶点的多面体是正六面体；以正十二面体的十二个面的中心为顶点的多面体是正二十面体；以正二十面体的二十个面的中心为顶点的多面体是正十二面体。
7、正四面体ABCD 的边长为a ，高为h ，其外接球与内切球球心重合，且有关系：r R h +==，内切球半径为：，比例为3:1。
8、如果一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与交线平行。
9、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则交线也垂直于第三个平面。
10、若P 为ABC ∆所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ∆内的射影，则： ①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ∆的外心； ②若P 到ABC ∆的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心；③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ∆的垂心． ④若PAB PAC ∠=∠，则点O 在ABC ∠的平分线上。
立体几何常用结论及方法
1、垂直于同一条直线的两条直线。
2、平行于同一条直线的两条直线。
在空间内：1、垂直于同一条直线的两条直线。
2、垂直于同一条直线的两个平面。
3、平行于同一条直线的两条直线。
4、平行于同一条直线的两个平面。
5、垂直于同一个平面的两条直线。
6、垂直于同一个平面的两个平面。
7、平行于同一个平面的两条直线。
8、平行于同一个平面的两个平面。
结论二、在平面内：1、过直线外一点有条直线和已知直线平行。
2、过一点有且只有条直线和已知直线垂直。
在空间内：1、过直线外一点有条直线和已知直线平行。
2、过一点有条直线和已知直线垂直。
3、过直线外一点有个平面和已知直线平行。
4、过一点有个平面和已知直线垂直。
5、过平面外一点有个平面和已知平面平行。
6、过一点有个平面和已知平面垂直。
7、过平面外一点有条直线和已知平面平行。
8、过一点有条直线和已知平面垂直。
9、过一个平面的一条平行直线有个平面和已知平面平行。
10、过一个平面的一条垂线有个平面和已知平面垂直。
11、过一条直线有个平面和已知平面垂直。
（前提：线面不垂直）1、垂直于同一条直线的两条直线平行。
2、平行于同一条直线的两条直线平行。
在空间内：1、垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面.2、垂直于同一条直线的两个平面平行。
3、平行于同一条直线的两条直线平行。
4、平行于同一条直线的两个平面平行、相交。
5、垂直于同一个平面的两条直线平行。
6、垂直于同一个平面的两个平面平行、相交。
7、平行于同一个平面的两条直线平行、相交、异面8、平行于同一个平面的两个平面平行。
结论二、在平面内：1、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
在空间内：1、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2、过一点有无数条直线和已知直线垂直。
3、过直线外一点有无数个平面和已知直线平行。
4、过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
5、过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
立体几何中的所有结论
第九章：直线、平面、简单几何体小结一、重要的概念和定理 1.公理和推论公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在 这个平面内。
作用：判断直线在平面内的依据。
公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且这些公共点的集合是通过该公共点的一条直线。
作用：判断两个平面相交和共线的依据。
公理3.经过不在同一直线上的三个点，有且只 有一个平面。
推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且 作用：确定平面的依据。
只有一个平面。
推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4.同平行于一条直线的两条直线互相平行。
作用：判断平行的依据。
2.概念⑴直线与直线 ①异面直线：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
②异面直线所成角：如果a 、b 是异面直线，经过空间任意一点0作a '∥a ，b '∥b ，那么把a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。
显然若设异面直线所成角为α，则0<α≤2π。
③异面直线间的距离：和异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
⑵直线和平面①直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。
②直线和平面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直，这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。
③射影：自一点P 向平面α引垂线，垂足P ' 叫做点P 在平面α内的正射影（简称射影）。
如果图形F 上的所有点在一平面内射影构成图形F '，则F '叫做图形F 在这个平面内的射影。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。
立体几何常用的结论
、常用的结论：（1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=；（2）如何确定点在平面的射影位置：①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体ABCD 中：①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的垂心。
②若AD AC AB ==，则A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心。
③若A 到BD CD BC ,,边的距离相等，则A 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的内心。
（4）异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的角为θ，它们公垂线段'AA 的长为d ，在b a ,上分别取一点F E ,，设m E A ='，n AF =；则θcos 2222mn n m d EF ±++= （如果AF E '∠为锐角，公式中取负号，如果AF E '∠为钝，公式中取正号） b α a A ’A FE ’ E θ。
立体几何常见二级结论及应用
立体几何的二级结论结论一： 斜二测画法直观图面积为原图形面积的√24倍备注：在用斜二测画法画直观图时，首先在画直观图的平面上画出对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y' =45°(或135°)，在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来的一半。
结论二：n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r=3V S证明：将内切球的球心与n 面体(n ≥4)的各顶点连线，就能将这个多面体分割成n 个棱锥，此时各棱锥的高就是内切球的半径r ；设n 面体体积为V ，各面面积分别为S 1，S 2，……，S n ，各棱锥体积分别为V 1，V 2,……，V n 则有：V=V 1+V 2+……+V n V=13S 1r+13S 2r+……+13S n r V=13r(S 1+S 2+……+S n ) V=13rS 即r=3V S备注：对于棱锥而言，只有三棱锥一定有内切球，内切球的球心在三个侧面与底面形成的三个二面角的角平分面的交点上。
对于n 棱锥(n ≥4)，只有正n 棱锥才有内切球。
结论三：设点A 为面上一点，过点A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，另外AC 为面上任意一条直线，则∠OAC ，∠BAC 和∠OAB 三角的余弦值存在如下的关系，被称为三余弦定理：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB 证明：在AC 上找一点C 使得，BC ⊥AC ，连接OC 如下所示：cos ∠OAB=ABOA ①cos ∠BAC=ACAB ②∵ AC ⊥BC ，OB ⊥AC ∴ AC ⊥面OBC ，∴ AC ⊥OC ∴ cos ∠OAC=AC OA ③由①②③可知：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB例题：已知直线L 与平面α所成角为45°，L 在α内的射影为m ，n 是α内的一条直线，且直线n 与m 所成角为45°，则直线L 与n 所成角为多少？ 解：OAB COABC根据三余弦定理可知： cos θ=cos45°·cos45°=12又∵两条直线的夹角范围为[0，90°] ∴ θ=60°结论四：面积射影定理：设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 与△ABO 的面积为S 和S ’,记△ABC 所在的平面与平面α所成的二面角为θ，则有：cos θ=S’S备注：当二面角的范围为(90°，180]时，cos θ=-S’S证明：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，连接OD∵ CD ⊥AB又CO ⊥面ABO ，∴ CO ⊥AB ∴ AB ⊥面CDO ∴ AB ⊥OD∴ 二面角C-AB-D 的平面角即为∠CDOACOBA COBDS △ABC =12CD ·AB ，S △ABO =12OD ·AB∴ S △ABO S △ABC =OD CD=cos ∠CDO 例题：在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，2AB=AA 1，D 为BB 1上的中点，求平面AC 1D 与平面ABC 所成角的正弦值。
立体几何中的重要结论
立体几何中的重要结论立体几何中的重要结论一、线在面内的判定1.一条直线上的两个点在一个平面内,这条直线在这个平面内.(公理1)2.一条直线和一个平面平行,过平面内一点与该直线平行的直线落在此平面内.3.一条直线和平面垂直,过垂足与该直线垂直的直线落在此平面内.4.平面与平面垂直,过其中一个平面内的一点与另一个平面垂直的直线必落在第一个平面内.5.过一点与已知直线垂直的所有直线必在过此点与已知直线垂直的平面内.6.过平面外一点与已知平面平行的所有直线必在过此点与已知平面平行的平面内.7.如果两个平面平行,过其中一个平面内的一点作与另一个平面平行的直线在第一个平面内.8.直线及直线外一点确定一个平面,则该点与直线上所有各点的连线在此平面内.9.两条相交直线确定一个平面,过其中一条直线上的一点(非交点)平行于另一直线的直线必在此平面内.二、忽视“线在面内”导致下列结论不成立1.过两异面直线外一点与两异面直线都平行的平面有且仅有一个.错:该平面有可能经过其中的一条直线,而使这样的平面不存在.2.如果一条直线和一个平面都垂直于同一个平面,则这条直线和已知平面平行.错:这条直线可能落在已知平面内.3.两条平行线中的一条平行于一个平面,则另一条也平行于这个平面.错:这条直线有可能落在这个面内.4.一条直线和平面的一条斜线垂直,则这条直线和斜线在平面内的射影垂直.错:如果已知直线不在平面内时不成立.5. 一条直线和斜线在平面内的射影垂直,则这条直线和斜线垂直.错:如果已知直线不在平面内时不成立.6.一条直线和平面内的一条直线平行,这条直线和这个平面平行.错:这条直线有可能落在这个面内.7.一条直线和两个平行平面中的一个平行,则必与另一个平行.错:这条直线有可能在另一个平面内.8.如果一条直线和另一条直线平行,则它和经过另一条直线的任何平面平行.错: 这条直线有可能落在这个面内.9.如果一条直线和一个平面同时垂直另一个平面,那么这条直线与已知平面平行.错: 这条直线有可能落在已知平面内.10.如果一条直线和一个平面同时垂直另一条直线,那么这条直线与已知平面平行.错: 这条直线有可能落在已知平面内.三、与异面直线有关的一组命题1.过两条异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条直线平行.2. 过两异面直线外一点与两异面直线都平行的平面至多有一个.3. 过两异面直线外一点与两异面直线都相交的直线至多有一条.4.与两异面直线都平行的平面平行.5.第一个平面内的一条直线平行于第二个平面, 第二个平面内的一条直线平行于第一个平面,如果这两条直线异面,则这两个平面平行.6.与两异面直线都平行且距离相等的平面有且仅有一个.(即异面直线公垂线段的中垂面)7.与两异直线都垂直的直线与公垂线平行.8.两直线异面垂直,过其中一条与另一条直线垂直的平面有且仅有一个.9.直线和平面平行,则它们的距离等于该直线与平面内与之异面的直线间的距离.10.两个平面平行,则它们的距离等于分别位于这两个平行平面内的两异面直线间的距离.四、正方体中的十个基本模型1.存在两两异面的三条直线.(如图中DD'、''CB、AB)2.过空间一点作与两异面直线都平行的平面不一定能作.(如图1过点O作与''CB、AB都平行的平面不存在)3. 过空间一点作与两异面直线都相交的直线不一定能作.(如图1过点O作与''CB、AB都相交的直线不存在).4. 存在四个面均为直角三角形的四面体.(如图1中四面体ABDD')5.一个二面角的两个面分别与另一个二面角的两个面垂直,这两个二面角无任何关系.(如图3中二面角CADA--'与二面角MCCD--'')6.与两异面直线都垂直的直线必与公垂线平行.(如图1中'DD与AB、''CB都垂直,它与公垂线'BB平行)7.一条直线与两个相交平面都平行,则该直线必与交线平行.(如图1中直线'BB与平面DA'和图3图2图1NA'CCA'CA B BA A B平面D C '都平行,则'BB 与'DD 平行).8.两个相交平面都与第三个平面垂直,则交线必与第三个平面垂直.( 如图1中平面D A '和平面D C '都垂直于平面AC ,则'DD 与平面AC 垂直).9. 三个内角为直角的四边形不一定为矩形.(如图2空间四边形''D ABB )10.过两条互相垂直的异面直线中的一条,有且只有一个平面与另一条直线垂直.(如图2中AB 、''C B 异面垂直,则过AB 只能作平面''A ABB 与直线''C B 垂直)五、直线与平面平行的性质1.直线和平面平行,则该直线与平面内的所有直线平行或异面.2.直线和平面平行,过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.3.直线和平面平行,过平面内一点与该直线平行的直线必在此平面内.4.分别位于两相交平面内的两条直线都与交线平行.5.一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线与它们的交线平行.6.直线和平面平行,夹在直线和平面间的平行线段相等.六、平面与平面平行的判定1.如果一个平面内的两相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行.2.一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,这两个平面平行.3.平行于同一平面的两个平面平行.4.垂直于同一直线同两个平面平行.5.如果两个平面与两条异面直线都平行,那么这两个平面平行.6. 第一个平面内的一条直线平行于第二个平面, 第二个平面内的一条直线平行于第一个平面,如果这两条直线异面,则这两个平面平行.7.平面的同侧有不共线的三点到平面的距离相等,则这三点确定的平面与已知平面平行.七、平面与平面平行的性质1.分别位于两个平行平面内的两条直线平行或异面.2.如果两个平面平行,那么第一个平面内的所有直线平行于第二个平面.3.如果一个平面与两个平行平面都相交,那么它们的交线平行.4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.5.一条直线和两个平行平面所成的角相等.6.一平面与两个平行平面所成的角相等.7.夹在三个平行平面间的平行线段对应成比例.8.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交. 9. 平行于同一平面的两个平面平行.八、平面与平面垂直的判定1. 两个平面所成的二面角为直二面角,则这两个平面互相垂直.2.一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.3.α⊥a ,β⊥b ,且b a ⊥,则βα⊥.4.一个平面与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直.九、其它结论与方法1.无论线面关系如何,在一个平面内都有无数条直线与已知直线垂直.2.共顶点的多个面角的和必小于360度.正四棱锥的各个侧面必为锐角三角形.正六棱锥的各个侧面不可能为正三角形. 3.无论四棱锥的底面形状如何,分别位于四条侧棱上的四点可以为平行四边形. 4.正n 棱锥侧棱与底面所成的角为θ,侧面与底面所成的角为?,则rR=?θtan tan . 5.求直线上的动点到两个定点的距离之和的最小值用展平(两点之间距离最短). 求平面上的动点到两个定点的距离之和的最小值用对称(点关于面的对称). 6.侧面上的点的轨迹与侧面和底面所成的角有关; 底面上的点的轨迹可用空间直角坐标系求轨迹.十、三棱锥的顶点在底面上的射影1.三侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心.2.三侧面与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心.3.顶点到底面三角形的三边的距离相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的内心.4.三侧棱与底面所成的角相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心.5.垂心四面体中, 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心. 特例:①直角四面体中,顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.②正三棱锥中, 顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心.。
高考数学：立体几何常用二级结论
立体几何常用二级结论及解题方法梳理1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC .若AOB AOC ∠=∠,则点A 在平面BOC 上的射影在BOC ∠的平分线上；2.立平斜三角余弦公式：(图略)AB 和平面所成的角是1θ,AC 在平面内,AC 和AB 的射影1AB 成2θ,设3BAC θ∠=,则123cos cos cos θθθ=；3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式cos S S θ=射斜，其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.7.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||||arccos a b a b α⋅⋅=.⑵求线面角：设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则斜线l 与平面α所成的角||||||arcsin l n l n α⋅⋅=.⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥ ,其方向如图(略),则二面角l αβ--的平面角||||arccos a ba b α⋅⋅=.(法二)设1n ,2n是二面角l αβ--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||arccos n n n n α⋅⋅=.（4)求点面距离：设n是平面α的法向量,在α内取一点B ,则A 到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值).8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则cos S S θ=侧底.面积射影定理:'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).9.正四面体(设棱长为a )的性质：①全面积2S =；②体积312V =；③对棱间的距离2d a =；④相邻面所成二面角13arccos α=；⑤外接球半径4R a =；⑥内切球半径12r a =；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值63h a =.10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体O ABC-中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；⑶2BOC BHC ABC S S S ∆∆∆= ；⑷2222AOB BOC COA ABC S S S S ∆∆∆∆++=；⑸22221111OHabc=++；⑹外接球半径R=22212a b c R ++=.11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ因此有22cos cos αβ+2cos 1γ+=或222sin sin sin 2αβγ++=；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,αβγ,则有222sin sin sin 1αβγ++=或222cos cos cos 2αβγ++=.12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；13.球的体积公式343V R π=,表面积公式24S R π=；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角AOB ∠的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长.14.立体几何常切接问题模型类型一、三垂直模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥P A 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），P A OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r P A R +=⇔22)2(2r P A R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=2．题设：如图6，7，8，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R类型三、两平面垂直模型1．题设：如图9-1，平面⊥P AC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是P AC ∆的外心，即P AC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在P AC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R 2．如图9-2，平面⊥P AC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=15..判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点.(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：a∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b.(4)利用面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ⇒a∥b.(5)利用线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.16.判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法.(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.17.判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.(4)平行于同一个平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.18.证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.符号表示：∀a⊂α，l⊥a⇔l⊥α.(其中“∀”表示“任意的”)(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).(2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符号表示：l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝P⇒l⊥α.(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.符号表示：α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l⇒m⊥β.（5）平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).（6）面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).（7）面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).19.证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.符号表示：α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB＝90°⇒α⊥β. (2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.20．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b ⇔a＝λb ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b ⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB →|＝错误!.21．立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l 的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l 的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l ⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l 的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.(4)点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d＝|AB →·n||n|.22.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m1，m2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD 是二面角αl β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角αl β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．。
立体几何常用结论
.. 立体几何常用结论1、已知PA 、PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设∠PBA=θ1，∠ABC=θ2，∠PBC=θ，有21cos cos cos θθθ=2、经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。
3、正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的高为a 36，表面积为23a ，体积为3122a ， 侧棱与底面所成的角为arccos 33，两个面所成的角为 arccos 31，它的外接球的半径为a 46，它的内切球的半径为a 126 4、长方体的对角线与同一顶点出发的三条棱所成的角分别为α，β，γ则α2cos +β2cos +γ2cos =1，对角线与过同一顶点出发的三个面所成的角分别为α，β，γ则α2cos +β2cos +γ2cos =2 5、三棱锥的顶点在底面上的射影的位置有如下结论：（1）若PA=PB=PC ，或PA ，PB ，PC 与底面成等角，则O 是ΔABC 的外心（2）若三侧面与底面成等角，或P 到底面三边距离相等，O 在ΔABC 内部，则O 是ΔABC 的内心（3）两组对棱互相垂直，则O 是ΔABC 的垂心， 若三条侧棱两两互相垂直，则O 是ΔABC 的垂心，6、正三棱锥的对棱互相垂直7、求二面角的大小可用公式：ss ，=θcos 8、球与正方体的切、接问题关键是画出适当的球的截面，这个截面中能够包含球与正方体的各种元素及体现这些元素之间的关系，如图分别为A 、球内切于一正方体B 、球外接于一正方体C 、球与一正方体的各棱都相切A 、取的是正方体的中截面⊙O 为球的一个大圆 可以看出球的直径是正方体的棱长B 、取的是正方体的一个对角面，⊙O 为球的一个大圆可以看出球的直径是正方体的对角线长C 、取的仍是正方体的一个对角面，⊙O 为球的一个大圆可以看出球的直径是正方体的对角线长P O B CAC。
立体几何结论Microsoft Word 文档
P H M N G EC 'B'D 'CDFA'AB图1立体几何中的若干实用小结论1、三个平面两两相交，其三条交线要么共点，要么互相平行.2、 设E ，F ，G 分别是正方体D C B A ABCD ''''-的棱AD ，AB ，B B '的中点，则该正方体过E ，F ，G 三点的截面为正六边形.3、 一个四面体有两组对棱互相垂直，则其第三组对棱也互相垂直，且这时每一个顶点在对面三角形所在平面内的射影，都是该三角形的垂心；反之也成立.（特别地，正四面体的三组对棱都互相垂直，且每一个顶点在对面正三角形所在平面内的射影，都是该正三角形的中心）.4、过空间任意一点P ，与两条异面直线a ，b 都平行的平面有0个或1个.5、与两条异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 不一定是异面直线（注：异面或相交）. 7、平行六面体有12条棱，12条面对角线，4条体对角线. 在这28条直线中，平行直线有 24对，相交直线有180对，异面直线有174对.8、若异面直线AB 与CD 所成的角θ，过点P 的直线l 与直线AB 与CD 所成的角都为γ， 则当2θγ=时直线l 只有一条；当22θπγθ-<< 时直线l 只有两条；当2θπγ-=时时直线l 只有三条；当22πγθπ<<-时 时直线l 只有四条；9、任意一个四面体PABC 都可补成一个平行六面体B P A C ADB C ''-'，且四面体PABC 的体积等于对应平行六面体B P A C ADB C ''-'的体积的三分之一.（特别地，①任意一个正四面体都可补成一个正方体；②任意一个三组对棱分别相等的四面体都可补成一个长方体③若四面体PABC 满足PB PA ⊥，PC PB ⊥，PA PC ⊥，则该四面体可补成一个长方体B P A C ADB C ''-'，如图3所示.A'C'P'C BAPB'图310、设正四面体的棱长为a ，表面积为S ，体积为V ，相邻两个面所成二面角为α，内切球半径为r ，外接球半径为R ，高为h 则有：① 23a S =；② 3122a V =； ③ 31cos =α，322sin =α，22tan =α；④ a r 126=；⑤ a R 46=；⑥ a h 36=，r h 4=，r R 3= 且球心在高线上分高线长为3：1即R 与r .11、任意一个四面体都有一个内切球和一个外接球.（特别地正三棱锥侧棱为b ,底面边长为a ,内切球半径为r ，外接球半径为R ，高为h 则有：h b R 22=，表S Vr 3=；12、最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）13、特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于 球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离 等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×） （各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.Or14、向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ∙.②.异面直线间的距离 nn CD d ∙=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).④.利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.（5）证直线和平面平行定理：已知直线⊄a 平面α，α∈∈D C a B A ,,,，且C 、D 、E 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ,使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.α▲nBCAαβ▲n 2n 1αCED AB。
职高立体几何知识点
职高立体几何知识点9.1 平面的基本性质1.在立体几何中，有三种语言可以用来描述点、直线和平面之间的位置关系：图形语言、文字语言和符号语言。
2.根据位置关系，可以用不同的语言描述点、直线和平面之间的位置关系，例如点A在直线a上、点B在直线a外、直线a在平面α内等等。
3.符号语言可以用符号来表示位置关系，例如XXX表示点A在直线a上，a∥b表示直线a和直线b平行等等。
9.2 空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系可以分为相交、平行和异面三种情况。
2.平行线的传递公理指出，平行于同一直线的两条直线相互平行。
3.异面直线是指不在任何一个平面内的两条直线。
可以通过连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线来判定异面直线。
4.异面直线所成的角的范围是(0°，90°]，可以通过平移法来作异面直线成角的方法。
9.3 直线与平面的位置关系1.直线和平面的位置关系可以分为直线在平面内、相交和平行三种情况。
2.等角定理指出，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3.线面平行的定义是指平面外的直线与平面无公共点，可以通过判定定理来判断。
4.线面垂直的定义是指一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面，可以通过判定定理和性质定理来判断。
5.面面平行的定义是指空间两个平面没有公共点，可以通过判定定理来判断。
推论：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面的两条线段平行，那么这两个平面是平行的。
判定定理2：如果有两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面互相平行。
面面平行的性质定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的平行线段长度相等。
面面垂直的定义：如果两个平面的二面角的平面角为90°，那么这两个平面是垂直的。
判定定理：如果一个平面与另一个平面的一条垂线相交，那么这两个平面是垂直的。
面面垂直的性质定理：如果两个平面是垂直的，那么它们之间的二面角的平面角为90°。
高考立体几何知识点详细复习总结
立体几何知识点一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断： ⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线； （2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ； 平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
立体几何中的若干实用小结论
立体几何中的若干实用小结论⑴ 三个平面两两相交，其三条交线要么共点，要么互相平行.⑵ 设E ，F ，G 分别是正方体D C B A ABCD ''''-的棱AD ，AB ，B B '的中点，则该正方体过E ，F ，G 三点的截面为正六边形.⑶ 一个四面体有两组对棱互相垂直，则其第三组对棱也互相垂直，且这时每一个顶点在对面三角形所在平面内的射影，都是该三角形的垂心；反之也成立.特别地，正四面体的三组对棱都互相垂直，且每一个顶点在对面 正三角形所在平面内的射影，都是该正三角形的中心.⑷ 过空间任意一点P ，与两条异面直线a ，b 都平行的平面有0个或1个.⑸ 与两条异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 不一定是异面直线（注：还可能是两条相交直线）.⑹ 平行六面体有12条棱，12条面对角线，4条体对角线. 在这28条直线中，平行直线有24对，相交直线有180对，异面直线有174对.⑺ 若异面直线AB 与CD 所成的角θ，→AB 与→CD 的夹角为γ，则当20πγ≤<时，有γθ=；当πγπ<<2时，有γπθ-=. ⑻ 若直线AB 与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为→n ，而→AB 与→n 的夹角为γ，则当γ为锐角时，有γθπ-=2；当γ为钝角时，有γθπ+=2；且总有γθcos sin =，θcos γ2cos 1-=.⑼ 若二面角βα--l 的平面角为θ（它是锐角、或钝角、或直角需依据真实图形直观确定），半平面α，β的法向量分别为→1n ，→2n ，而→1n 与→2n 的夹角为γ（若1cos 0<<γ，则γ为锐角；若0cos 1<<-γ，则γ为钝角；若0cos =γ，则γ为直角），则当θ与γ同为锐角，或同为钝角，或同为直角时，有γθ=；当θ与γ中一个为锐角，另一个为钝角时，有γπθ-=.⑽ 任意一个四面体PABC 都可补成一个平行六面体B P A C ADB C ''-'，且四面体PABC 的体积等于对应平行六面体B P A C ADB C ''-'的体积的三分之一. 特别地，任意一个正四面体都可补成一个正方体；任意一个三组对棱分别相等的四面体都可补成一个长方体. ⑾ 若四面体PABC 满足PB PA ⊥，PC PB ⊥，PA PC ⊥， 则该四面体可补成一个长方体B P A C ADB C ''-'，如图3所示.⑿ 设正四面体的棱长为a ，表面积为S ，体积为V ，相邻两个面所成二面角为α，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则有① 23a S =；② 3122a V =； ③ 31cos =α，322sin =α，22tan =α； ④ a r 126=； 'F 图1图2PC 'AC'C BA图3⑤ a R 46=；⑥ 四面体为正四面体的充要条件是任意相邻两个面所成共6个二面角都相等. ⒀ 任意一个四面体都有一个内切球和一个外接球.⒁ 以正六面体（即正方体）的六个面的中心为顶点的多面体是正八面体；以正八面体的八个面的中心为顶点的多面体是正六面体；以正十二面体的十二个面的中心为顶点的多面体是正二十面体；以正二十面体的二十个面的中心为顶点的多面体是正十二面体.例1 试证明上述“结论⑵”. 证明：在图1中，设棱C B ''，C D ''，D D '的中点分别为点H ，M ，N ，连结EH ，则FG ∥EH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面，同理可证F ，G ，H ，M 四点共面，G ，H ，M ，N 四点共面，由不共线的三点确定一个平面知，E ，F ，G ，H ，M ，N 六点共面，所以六边形EFGHMN 为平面六边形；由上述“结论⑴”知，三条直线MN ，GH ，C C '必共点P ，则PM HM GH PH === FG EF NE MN ====，所以PMH ∆为正三角形，故六边形EFGHMN 为正六边形.例2 如图4，四面体ABCD 的三组对棱分别相等，且依次为34、41、5，求该四面体ABCD 的体积及其外接球半径.解：可将该四面体ABCD 补成如图5的长方 体1111DB AC B CD A -，不妨设34==BC AD ，41==CD AB ，5==BD AC ，x C A =1，y B A =1，z A A =1，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+254134222222x z z y y x 50222=++⇒z y x ，进一步可解得3=x ，5=y ，4=z ，∴2045331131111=⨯⨯⨯==-DB AC B CD A ABCD V V 长方体四面体（参见上述“结论⑽”）. ∵该四面体ABCD 与长方体1111DB AC B CD A -的外接球相同，且对角线D A 1就是该外接球的一条直径，设其半径为R ，则由长方体的性质知，50)2(2222=++=z y x R ，解得225=R . [评注] 发现图4中的四面体ABCD 是图5中的长方体1111DB AC B CD A -的一部分，将图4补成图5是例2解题的关键.DA1C图5A图4。
立体几何中的结论
三角形的四心三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。
等边三角形的四心重合。
一、三角形的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平二、三角形的外心三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形的外心的性质1、三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合3.OA=OB=OC=R三角形的内心三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的内心的性质1.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（S 为三角形的面积，a ，b ，c 为边长）2.r=2S/(a+b+c)3.在Rt△ABC 中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．4.S=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)三角形的垂心 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H 表示)。
三角形的垂心的性质 垂心与顶点的连线与对边垂直.注意：（1）正三角形的四心合一，当正三角形的边长为a 时，其一边上的高为h=a 23面积为243a S = 内切圆的半径为a r63=外接圆的半径为a R 33=内切园与外接园的半径的比为1:2（2一、棱锥的内切、外接球问题1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．高为设内切球半径为r ，外接球半径为R ．在BEORt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，二、球与棱柱的组合体问题1、正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，如图3切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
立体几何常见结论
立体几何常见结论1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.（2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）。
证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2。
空间直线。
(1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线:共面没有公共点;异面直线：不同在任一平面内,无公共点［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等。
（×)（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
(不在任何一个平面内的两条直线）（2). 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（如右图）。
(直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离:公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交(共面）垂直和异面垂直.[注］：21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内。
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浙江高职考立体几何常见结论
一、平面的基本性质：
1.平面是无限延展的。
2.基本性质1如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．点A在直线a上，记作A∈a，否则记作A∉a；直线L在平面α内，记作L⊂α，否则记作L⊄α.
3.基本性质2如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．在画两个平面相交时，当其中一个平面被另一个平面遮住，应把遮住的部分画成虚线或不画，
4.基本性质3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（不共线的三点确定一个平面．）
5.推论1经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
6.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．
7.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．
8.注意：两条直线不能确定一个平面。
二、空间中的平行关系
1.平行于同一直线的两条直线互相平行．即：若直线a∥b，c∥b，则a∥c.
2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
3.把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
4.空间两条直线的位置关系有两种：(1)平行(2)相交(3)异面
5.连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线．
6.空间中两条直线的垂直包括相交垂直和异面垂直．
7.直线和平面的位置关系有三种：(1)直线在平面内，记作l⊂α；(2)直线与平面相交(3)直线与平面平行记作l∥α.
8.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行．
9.平面与平面的位置关系有两种：(1)两个平面平行(2)两个平面相交
10.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这
两个平面平行．
11.推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
12.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
三、空间中的垂直关系和角
1.如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作L⊥平面α.（需要注意的是无数条不代表任意条）
2.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与平面垂直．
3.推论如果在一组平行直线中，有一条直线垂直于平面，那么另外的直线也垂直于这个平面.
4.直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
5.斜线和它在平面内的射影的夹角是唯一确定的，叫作斜线和
平面所成的角(或夹角)．
6.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．反之，在平面内
的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这
条斜线的射影垂直．这个定理被称为三垂线定理的逆定理．
7.平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都
分别叫作一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图
形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二
面角的面．
8.在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角叫作二面角的平面角．
9.平面角是直角的二面角叫作直二面角，此时我们称这两个相交平面垂直．
10.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
11.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面．
12.空间中两条直线所成角范围：[0°，90°]；异面直线所成角范围：（0°，90°]；直线与平面所成角范围：[0°，90°]；平面与平面所成角范围：[0°，90°]；二面角范围：[0°，180°]。
四、多面体与旋转体
1.直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。
2.正棱柱：底面是正多边形，侧棱垂直底面的棱柱。
3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥。
正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
3.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转360°形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱。
4.圆锥：以直角三角形的一直角边为旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥。
5.球：半圆以其直径所在直线为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心.连接球心和球面上任一点的线段叫做球的半径，记
为R ，球里的大圆半径为R.。
右图中：22d R r -=。