2018届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)word版含答案

2018届四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．﹣C． i D．﹣3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．54．“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A．30万元 B．22.5万元C．10万元 D．7.5万元6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A ．2B ．3C ．4D ．57．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（ ） A ．19 B ．27 C ．28 D ．378．过点P （2，1）的直线l 与函数f （x ）=的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则=（ ）A ．B ．2C ．5D ．109．已知cos α，sin α是函数f （x ）=x 2﹣tx+t （t ∈R ）的两个零点，则sin2α=（ ）A ．2﹣2B ．2﹣2 C ．﹣1 D ．1﹣10．设F 1，F 2分别为双曲线C ：的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．D ．11．已知点P （﹣2，）在椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）上，过点P 作圆C ：x 2+y 2=2的切线，切点为A ，B ，若直线AB 恰好过椭圆C 的左焦点F ，则a 2+b 2的值是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1612．已知f （x ）=e x ，g （x ）=lnx ，若f （t ）=g （s ），则当s ﹣t 取得最小值时，f （t ）所在区间是（）A．（ln2，1） B．（，ln2）C．（，）D．（，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（）5的展开式的常数项为．14．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为．15．已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是．16．已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）数列{an }中，an+2﹣2an+1+an=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；（2）求数列{}的前n项和Sn．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．19．（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．20．（12分）已知椭圆C：的右焦点F（），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证： +＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程是（α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．2018届四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{2，3} D．{x|2≤x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．﹣C． i D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=i，得=，则z的虚部为：．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4．“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可．【解答】解：若直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直，则：a（a﹣1）+（a﹣1）（2a+3）=0，解得：a=1或﹣1，故“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题．5．某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A．30万元 B．22.5万元C．10万元 D．7.5万元【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】设该公司投资成功的个数为X，则X～B．进而得出．【解答】解：设该公司投资成功的个数为X，则X～B．∴E（X）==．∴该公司三个投资项目获利的期望==22.5万元．故选：B．【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）A．19 B．27 C．28 D．37【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“单重数”的定义，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28，故选C．【点评】本题考查合情推理，考查计数原理的运用，正确分类讨论是关键．8．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（）A．B．2C．5 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】f（x）==1+，可得函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称⇒=即可．【解答】解：f（x）==1+，∴函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，∴过点P （2，1）的直线l 与函数f （x ）=的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P （2，1）对称，∴，则=，||=，∴则=2×5=10．故选：D ．【点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．9．已知cos α，sin α是函数f （x ）=x 2﹣tx+t （t ∈R ）的两个零点，则sin2α=（ ）A ．2﹣2B ．2﹣2 C ．﹣1 D ．1﹣【考点】三角函数的化简求值；函数的零点与方程根的关系．【分析】通过韦达定理可求sin α+cos α=t ，sin αcos α=t ，利用sin 2α+cos 2α=1，则可得答案．【解答】解：∵cos α，sin α是函数f （x ）=x 2﹣tx+t （t ∈R ）的两个零点， ∴sin α+cos α=t ，sin αcos α=t ， 由sin 2α+cos 2α=1，得（sin α+cos α）2﹣2sin αcos α=1，即t 2﹣2t=1，解得t=．∴sin2α=2sin αcos α=2t=．故选：A ．【点评】本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题．10．设F 1，F 2分别为双曲线C ：的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M （x ， x ），由题意，|MO|=c ，则x=a ，∴M （a ，b ），利用△AMN 的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），∵△AMN的面积为，∴，∴4a2（c2﹣a2）=c4，∴e4﹣4e2+4=0，∴e=．故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知点P（﹣2，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=，与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程，求出c，再利用点P（﹣2，）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上，求出a2=8，b2=7，即可求出a2+b2的值．【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=．与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为2x﹣y+2=0，令y=0，可得x=﹣1，∴c=1，∵=1，∴a2=8，b2=7，∴a2+b2=8+7=15，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f（t）所在区间是（）A．（ln2，1） B．（，ln2）C．（，）D．（，）【考点】指数函数的图象与性质．【分析】求出s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，求出h（a）的最小值，验证即可．【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即e t=lns=a＞0，∴t=lns，s=e a，∴s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，则h′（a）=e a﹣，∵y=e a递增，y=递减，故存在唯一a=a使得h′（a）=0，0＜a＜a时，e a＜，h′（a）＜0，a＞a时，e a＞，h′（a）＞0，∴h（a）min =h（a），即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a，由零点存在定理验证﹣=0的根的范围：a=时，﹣＜0，a=ln2时，﹣＞0，故a∈（，ln2），故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x2+1）（）5的展开式的常数项为﹣11 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（）5按照二项式定理展开，可得（x2+1）（）5的展开式的常数项．【解答】解：由于（x2+1）（）5=（x2+1）（﹣+﹣+﹣1），故展开式的常数项为﹣10﹣1=﹣11，故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率．【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，∴至少有1人能译出密码的概率：p=1﹣（1﹣）（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．15．已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，直线恒过定点（﹣1，2），即C 1圆的圆心，|AB|=2，圆心C 2到直线mx ﹣y+m+2=0的最大距离为=2，可得P 到直线mx ﹣y+m+2=0的最大距离为3，即可求出△PAB 面积的最大值．【解答】解：由题意，直线恒过定点（﹣1，2），即C 1圆的圆心，|AB|=2圆心C 2到直线mx ﹣y+m+2=0的最大距离为=2，∴P 到直线mx ﹣y+m+2=0的最大距离为3，∴△PAB 面积的最大值是3=3，故答案为3．【点评】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．16．已知抛物线C ：y 2=4x ，焦点为F ，过点P （﹣1，0）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AF ，BF 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若+=18，则k=．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】由题意，图形关于x 轴对称，A ，B ，P 三点共线，可得=．由焦半径公式|AF|=x 1+1=|NF|，||BF|=x 2+1=|MF|， +=+=18，（y 1+y 2）2=20y 1y 2，再利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：由题意，图形关于x 轴对称，A ，B ，P 三点共线，可得=．由焦半径公式|AF|=x 1+1=|NF|，||BF|=x 2+1=|MF|，∴+=+=18，∴（y 1+y 2）2=20y 1y 2，由，可得ky 2﹣4y+4k=0，∴y 1+y 2=，y 1y 2=4，∴=80，∵k ＞0，∴k=．故答案为．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•绵阳模拟）数列{a n }中，a n+2﹣2a n+1+a n =1（n ∈N *），a 1=1，a 2=3．． （1）求证：{a n+1﹣a n }是等差数列；（2）求数列{}的前n 项和S n ．【考点】数列的求和．【分析】（1）令c n =a n+1﹣a n ，通过c n+1﹣c n =1，说明{a n+1﹣a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知c n =n+1，求出a n ，化简==2（﹣）．利用裂项求和求解即可．【解答】解：（1）证明：令c n =a n+1﹣a n ，则c n+1﹣c n =（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n ）=a n+2﹣2a n+1+a n =1（常数）， c 1=a 2﹣a 1，=2，故{a n+1﹣a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． …（4分） （2）由（1）知c n =n+1，即a n+1﹣a n =n+1，于是a n =（a n ﹣a n ﹣1）﹣（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1==n+（n ﹣1）+…+2+1=，…（8分）故==2（﹣）．∴S n =2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）=． …（12分）【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力．18．（12分）（2017•绵阳模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a ＜b＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC的周长；若不存在，请说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理有sinC=sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA，结合sinA≠0，可得cosA=，即可得解A的值．（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA=，由余弦定理得=，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c=a，∴由正弦定理有sinC=sinA．…（2分）又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA，…（4分）在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，∴A=．…（6分）（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，∴cosA=．…（8分）由余弦定理得=，代入a，b，c可得：=，…（10分）解得n=4，∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，即存在满足条件的△ABC，其周长为15．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2017•绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．【考点】线性回归方程．【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分．【解答】解：（1）由已知有=176， =66，=≈0.73， =﹣62.48，∴y=0.73x﹣62.48．…（10分）（2）x=185，代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57，即可预测M队的平均得分为72.57．…（12分）【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．20．（12分）（2017•绵阳模拟）已知椭圆C ：的右焦点F （），过点F 作平行于y 轴的直线截椭圆C 所得的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，N 点在直线x=﹣1上，若△NPQ 是等边三角形，求直线l 的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ） 设椭圆C 的焦半距为c ，则c=，于是a 2﹣b 2=6．把x=c 代入椭圆的标准方程可得：y=，即=，联立解出即可得出．（Ⅱ）设直线PQ ：x=ty+1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．联立直线与椭圆方程可得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ） 设椭圆C 的焦半距为c ，则c=，于是a 2﹣b 2=6．把x=c 代入椭圆的标准方程可得： =1，整理得y 2=b 2（1﹣）=，解得y=，∴=，即a 2=2b 4，∴2b 4﹣b 2﹣6=0，解得b 2=2，或b 2=﹣（舍去），进而a 2=8，∴椭圆C 的标准方程为+=1．（Ⅱ）设直线PQ ：x=ty+1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．联立直线与椭圆方程：，消去x 得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣7=0，∴y 1+y 2=﹣，y 1y 2=．于是x 1+x 2=t （y 1+y 2）+2=，故线段PQ 的中点D．设N （﹣1，y 0），由|NP|=|NQ|，则k ND •k PQ =﹣1，即=﹣t ，整理得y 0=t+，得N ．又△NPQ 是等边三角形，∴|ND|=|PQ|，即，即+=，整理得=，解得 t 2=10，t=，∴直线l 的方程是x ﹣1=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•绵阳模拟）已知函数f （x ）=+lnx ﹣1（m ∈R ）的两个零点为x 1，x 2（x 1＜x 2）．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：+＞．【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用函数f （x ）=+lnx ﹣1（m ∈R ）的两个零点，得出ln2m﹣＜0，即可求实数m 的取值范围；（2）由题意方程m=有两个根为t 1，t 2，不妨设t 1=，t 2=，要证明+＞，即证明t 1+t 2＞，即证明h （t 1）＜h （﹣t 2）．令φ（x ）=h （x ）﹣h （﹣x ），证明φ（x ）＜0对任意x ∈（0，）恒成立即可．【解答】（1）解：f′（x ）=．①m ≤0，f′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点； ②m ＞0，f′（x ）＞0可解得x ＞2m ，f′（x ）＜0可解得0＜x ＜2m ， ∴f （x ）在（0，2m ）上单调递减，在（2m ，+∞）上单调递增，∴f （x ）min =f （2m ）=ln2m ﹣，由题意， ln2m ﹣＜0，∴0＜m ＜；（2）证明：令t=，f （）=mt ﹣2lnt ﹣1=0，由题意方程m=有两个根为t 1，t 2，不妨设t 1=，t 2=．令h （t ）=，则h′（t ）=﹣，令h′（t ）＞0，可得0＜t ＜，函数单调递增；h′（t ）＜0，可得t ＞，函数单调递减．由题意，t 1＞＞t 2＞0，要证明+＞，即证明t 1+t 2＞，即证明h （t 1）＜h （﹣t 2）．令φ（x ）=h （x ）﹣h （﹣x ），下面证明φ（x ）＜0对任意x ∈（0，）恒成立，φ′（x ）=+，∵x ∈（0，），∴﹣lnx ﹣1＞0，x 2＜，∴φ′（x ）＞＞0，∴φ（x ）在（0，）上是增函数，∴φ（x ）＜φ（）=0， ∴原不等式成立．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明．难度大．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数，将C的参数方程化为普通方程；（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1．…（2）将直线l 的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），∴d==，∴最小值是．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•绵阳模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，求出g（x）的最小值，从而求出a 的范围即可．【解答】解：（1）当t=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，若x≤1，则f（x）=3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜，综合得x＜；若1＜x＜2，则f（x）=1，显然f（x）＞2不成立；若x≥2，则f（x）=2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞，综合得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞}．（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，当﹣1≤x≤1时，g（x）=1+t﹣3x，显然g（x）min=g（1）=t﹣2，当1＜x＜t时，g（x）=t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）=t﹣2，当t≤x≤3时，g（x）=x﹣t﹣1，g（x）min=g（1）=t﹣2，∴当x∈[1，3]时，g（x）min=t﹣2，又∵t∈[1，2]，∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，综上，a的取值范围是a≤﹣1．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．- 21 -。