轨迹方程的求法及典型例题(含答案)
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/
(2)设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的
垂直平分线， 是 上异于椭圆中心的点．
①若 ＝λ ( 为坐标原点)，当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程；
②若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
、
！
（
·
解：(1)由题意得
椭圆方程： ＝1．
(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设
AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A( )．
|
例3、如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点NL1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若AMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
、
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。
）
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1= ,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
【
解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有
①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)
:
若x1≠x2,则有 ⑥ ①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2⑦
⑥代入④，得 ⑧ ⑥代入⑤，得 所以
即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)
(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求 · 的最大值；
(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆 上的点，点N是点M(椭圆上的点)在 轴上的射影，点Q满足条件： ＝ ＋ ， · ＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．
%
,
~
{
！
解：(1)设椭圆方程为： （a＞b＞0）．准线方程 ＝ ， ＝ ， 椭圆方程为： ．所以：C、D是椭圆 的两个焦点 ＋ ＝4． · ≤ ，当且仅当 ＝ ，即点M的坐标为 时上式取等号 · 的最大值为4．
＝ ≥ ，
当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝ 1时等号成立．
当 ；
当k不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
！
)
&
【
|
2．（07、江西理21）设动点 到点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得 ．
.
(1)证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；
(2)过点 作直线与双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 · ＝0，其中点 为坐标原点．
例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
$
解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
@
设曲线段C的方程为 ，
其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。
由①，②两式联立解得 。再将其代入①式并由p>0解得
因为△AMN是锐角三角形，所以 ，故舍去
∴p=4,xA=1
由点B在曲线段C上，得 。
综上得曲线段C的方程为
则PA： QB：
消去t，得
当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是
》
；
例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b
由OM⊥AB，得k=－
①由
．
@
设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0) |MO|2＝λ2|OA|2 ．
因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝ k＝ ，代入上式有：
，由 ，
当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为 ，（λ 0）．
②当k存在且k 0时， |OA|2＝ ．
由 ．
＝ ．
≥ ．
。
（2）设M（x，y），P（ ， ）．
其中 ∈[－4，4]， ＝x．有 ……①
由 得： ＝ ．
故
【下面是寻找关系式 ＝f（x，y）， ＝g（x，y）的过程】
又 ……………………………………②
②式代入①： 并整理得： ，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段．
|
轨 迹 方 程(练习2)
4．（09、重庆理）已知以原点 为中心的椭圆的一条准线方程为 ，离心率 ，M是椭圆上的动点．
"
由①②知 ．
3．（09、海南）已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆 的方程；（2）若 为椭圆 上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， （e为椭圆C的离心率），求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
|
。
.
\
解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得 a＝4，c＝3 椭圆C的方程为 ．
代入 有 ．
则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，
于是 ·
．
因为 · 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 · ＝－1．
当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，
此时 · ＝(1，√2)·(1，－√2)＝－1．故在 轴上存在定点 ，使 · 为常数．
解：(1)由条件知 ， ，设 ， ．设 ，则
， ， ，
由
的中点坐标为 ．
当 不与 轴垂直时， ，
即 ．
又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得
，即 ．
将 代入上式，化简得 ．
当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程．
所以点 的轨迹方程是 ．
（2）假设在 轴上存在定点 ，使 · 为常数．
当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ．
∴ ，消参数t得： （x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．
6．(07湖南理20）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．【直接法求轨迹】
（1）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
(2)在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
的方程为：y＝t，设M( )是所求轨迹上的任意点.
【下面求直线MN的方程，然后与直线 的方程联立，求交点M的轨迹方程】
直线 的斜率k＝ ，∴线段 的中垂线MN的斜率＝－ ．
所以：直线MN的方程为：
y－ ＝－ x．由 ，
消去参数t得： ，即：
，其轨迹为抛物线（除原点）．
又解：由于 ＝（－x， －y）， ＝（－x， －y）．∵ · ＝0，
"
轨迹方程的求法
一、知识复习
轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法
注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.
一、知识复习
例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
{
]
(2)设 ， ，N( )
)
， ．
由 ＝ ＋
，
………①
由 · ＝0
( )·( )＝( )( )＋ ＝0
…………②
记P点的坐标为( ， )，因为P是 的中点
;
，
＝
＝ ＝
动点P的方程为： ．
]
#
5．（09、安徽）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．
当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.
故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
^
轨 迹 方 程(练习1)
1．(08、山东文22)已知曲线 ： 所围成的封闭图形的面积为
，曲线 的内切圆半径为 ，记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆 的标准方程；
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0
】
所以x1x2= ,y1y2= ，
由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2
所以 =－ ,b=－4kp
故y=kx+b=k(x－4p),
得x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，
它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
（1）求a与b的值；
（2）设该椭圆的左，右焦点分别为 和 ，直线 过 且与x轴垂直，动直线 与y轴垂直， 交 于点p.求线段 的垂直平分线与直线 的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型
《
)
"
@
;
解：（1）e＝ ＝ ．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝ ，
∴ ＝2， ＝3．
（2） （－1，0）、 （1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段 的中点为N（0， ）．
—
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为
轴，M为坐标原点。
作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F
设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)
依题意有
/
{
例4、已知两点 以及一条直线 ：y=x，设长为 的线段AB在直线 上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．
！
解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设 ，
/
(
^
~
`
解：(1)在Biblioteka Baidu中， ，即 ，
，即 （常数），
点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线，方程为： ．
（2）设 ，
①当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上．
即 ，
》
因为 ，所以 ．
②当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
由 得：
，由题意知：
，
．
由 · ＝0，且 在双曲线右支上，
所以 ．
(2)设 是过椭圆 中心的任意弦， 是线段 的
垂直平分线， 是 上异于椭圆中心的点．
①若 ＝λ ( 为坐标原点)，当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程；
②若 是 与椭圆 的交点，求 的面积的最小值．
、
！
（
·
解：(1)由题意得
椭圆方程： ＝1．
(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设
AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A( )．
|
例3、如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点NL1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若AMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
、
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。
）
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1= ,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
【
解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有
①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)
:
若x1≠x2,则有 ⑥ ①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2⑦
⑥代入④，得 ⑧ ⑥代入⑤，得 所以
即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)
(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求 · 的最大值；
(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆 上的点，点N是点M(椭圆上的点)在 轴上的射影，点Q满足条件： ＝ ＋ ， · ＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．
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！
解：(1)设椭圆方程为： （a＞b＞0）．准线方程 ＝ ， ＝ ， 椭圆方程为： ．所以：C、D是椭圆 的两个焦点 ＋ ＝4． · ≤ ，当且仅当 ＝ ，即点M的坐标为 时上式取等号 · 的最大值为4．
＝ ≥ ，
当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝ 1时等号成立．
当 ；
当k不存在时， ．
综上所述， 的面积的最小值为 ．
！
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【
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2．（07、江西理21）设动点 到点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得 ．
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(1)证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出 的方程；
(2)过点 作直线与双曲线 的右支于 两点，试确定 的范围，使 · ＝0，其中点 为坐标原点．
例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
$
解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
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设曲线段C的方程为 ，
其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。
由①，②两式联立解得 。再将其代入①式并由p>0解得
因为△AMN是锐角三角形，所以 ，故舍去
∴p=4,xA=1
由点B在曲线段C上，得 。
综上得曲线段C的方程为
则PA： QB：
消去t，得
当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是
》
；
例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b
由OM⊥AB，得k=－
①由
．
@
设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0) |MO|2＝λ2|OA|2 ．
因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝ k＝ ，代入上式有：
，由 ，
当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为 ，（λ 0）．
②当k存在且k 0时， |OA|2＝ ．
由 ．
＝ ．
≥ ．
。
（2）设M（x，y），P（ ， ）．
其中 ∈[－4，4]， ＝x．有 ……①
由 得： ＝ ．
故
【下面是寻找关系式 ＝f（x，y）， ＝g（x，y）的过程】
又 ……………………………………②
②式代入①： 并整理得： ，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段．
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轨 迹 方 程(练习2)
4．（09、重庆理）已知以原点 为中心的椭圆的一条准线方程为 ，离心率 ，M是椭圆上的动点．
"
由①②知 ．
3．（09、海南）已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆 的方程；（2）若 为椭圆 上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， （e为椭圆C的离心率），求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
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解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得 a＝4，c＝3 椭圆C的方程为 ．
代入 有 ．
则 是上述方程的两个实根，所以 ， ，
于是 ·
．
因为 · 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时 · ＝－1．
当 与 轴垂直时，点 的坐标可分别设为 ， ，
此时 · ＝(1，√2)·(1，－√2)＝－1．故在 轴上存在定点 ，使 · 为常数．
解：(1)由条件知 ， ，设 ， ．设 ，则
， ， ，
由
的中点坐标为 ．
当 不与 轴垂直时， ，
即 ．
又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得
，即 ．
将 代入上式，化简得 ．
当 与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程．
所以点 的轨迹方程是 ．
（2）假设在 轴上存在定点 ，使 · 为常数．
当 不与 轴垂直时，设直线 的方程是 ．
∴ ，消参数t得： （x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．
6．(07湖南理20）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．【直接法求轨迹】
（1）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
(2)在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
的方程为：y＝t，设M( )是所求轨迹上的任意点.
【下面求直线MN的方程，然后与直线 的方程联立，求交点M的轨迹方程】
直线 的斜率k＝ ，∴线段 的中垂线MN的斜率＝－ ．
所以：直线MN的方程为：
y－ ＝－ x．由 ，
消去参数t得： ，即：
，其轨迹为抛物线（除原点）．
又解：由于 ＝（－x， －y）， ＝（－x， －y）．∵ · ＝0，
"
轨迹方程的求法
一、知识复习
轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法
注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.
一、知识复习
例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
{
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(2)设 ， ，N( )
)
， ．
由 ＝ ＋
，
………①
由 · ＝0
( )·( )＝( )( )＋ ＝0
…………②
记P点的坐标为( ， )，因为P是 的中点
;
，
＝
＝ ＝
动点P的方程为： ．
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5．（09、安徽）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．
当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.
故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
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轨 迹 方 程(练习1)
1．(08、山东文22)已知曲线 ： 所围成的封闭图形的面积为
，曲线 的内切圆半径为 ，记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆 的标准方程；
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0
】
所以x1x2= ,y1y2= ，
由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2
所以 =－ ,b=－4kp
故y=kx+b=k(x－4p),
得x2+y2－4px=0(x≠0)
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，
它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
（1）求a与b的值；
（2）设该椭圆的左，右焦点分别为 和 ，直线 过 且与x轴垂直，动直线 与y轴垂直， 交 于点p.求线段 的垂直平分线与直线 的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型
《
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"
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解：（1）e＝ ＝ ．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝ ，
∴ ＝2， ＝3．
（2） （－1，0）、 （1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段 的中点为N（0， ）．
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解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为
轴，M为坐标原点。
作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F
设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)
依题意有
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{
例4、已知两点 以及一条直线 ：y=x，设长为 的线段AB在直线 上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．
！
解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设 ，
/
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解：(1)在Biblioteka Baidu中， ，即 ，
，即 （常数），
点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线，方程为： ．
（2）设 ，
①当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上．
即 ，
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因为 ，所以 ．
②当 不垂直于 轴时，设 的方程为 ．
由 得：
，由题意知：
，
．
由 · ＝0，且 在双曲线右支上，
所以 ．