第20课：空间两点间距离

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于是，MN＝
小结
5 a. 3
在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适
当的空间直角坐标系，正确写出相关点的坐标．
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2.3.2
跟踪训练 3 在 yOz 平面上求与三个已知点 A(3,1,2)， B(4， －2， －2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．
2.3.2
探究点二 导引
空间两点间的距离公式
在空间中，设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，在 xOy
平面上的射影分别为 M、N.
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问题 1
M，N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离如何？
答 M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；
MN＝ x1－x22＋y1－y22.
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＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
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2.3.2
问题 5 连结平面上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的线段 AB 的 x1＋x2 y1＋y2 中点 M 的坐标为 ，那么，已知空间中两点 ， 2 2 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段 AB 的中点 M 的坐标是 什么呢？
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2.3.2
问题 4 若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，则点 P1、P2 的距离如何计算？
答 在 Rt△P1HP2 中，根据勾股定理，
得 P1P2＝ P1H2＋HP2 2 ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
小结 空间中点 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)之间的距离 P1P2
解析 由题意得|y|＝ x2＋z2，即 x2＋z2－y2＝0.
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2.3.2
例 3 如图，正方体 OABC－D′A′B′C′ 的棱长为 a，AN＝2CN，BM＝2MC′.求 MN 的长．
解 点
a 2a 由已知，得点 N 的坐标为3， 3 ，0， a 2a M 的坐标为3，a， 3 ， a a 2a 2a2 2 2 － ＋ －a ＋0－ ＝ 3 3 3 3
x1＋x2 y1＋y2 z1＋z2 ， ， 2 2 2
.
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2.3.2
[问题情境] 我们已经学习了平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间 的距离公式 AB＝ x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两 点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？ 本节我们就来探讨这个问题．
答 OA＝ x2＋y2，OB＝ y2＋z2，OC＝ x2＋z2.
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2.3.2
问题 4 如下图，在空间直角坐标系中，设点 P(x，y，z)在 xOy 平面上的射影为 M，则点 M 的坐标是什么？PM，OM 的值分别是什么？
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2.3.2
探究点一 问题 1
空间中点 P 与坐标原点的距离公式 根据平面上两点间的距离公式，你能猜想出空间中
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任意两点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式吗？
答 AB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
所以△ABC 是等腰直角三角形．
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2.3.2
例 2 平面上到坐标原点的距离为 1 的点的轨迹是单位圆， 其方程为 x2＋y2＝1.在空间中， 到坐标原点的距离为 1 的点 的轨迹是什么？试写出它的方程．
解 与坐标原点的距离为 1 的点 P(x， y，z)的轨迹是一个 球面，满足 OP＝1，即 x2＋y2＋z2＝1. 因此 x2＋y2＋z2＝1，就是所求的球面方程．
解 设 P(0，y，z)，由题意得
所以
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PA＝PC， PB＝PC，
0－32＋y－12＋z－22＝ 0－02＋y－52＋z－12 0－42＋y＋22＋z＋22＝ 0－02＋y－52＋z－12
y＝1 ，所以 z＝－2
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空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两点间的 距离类似，只是多了一个 z 坐标的差的平方． 当 P1， P2 两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内 时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式， 当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公 式．
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3．已知三点 A(1,3,2)、B(－2,0,4)、C(－8，－6,8)，证明：A， B，C 三点在同一直线上．
解 利用两点间距离公式，
得 AB＝ 22、BC＝2 22、AC＝3 22， 所以 AB＋BC＝AC，所以 A，B，C 三点在同一直线上．
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练一练· 当堂检测、目标达成落实处
小结 求空间点的轨迹方程和求平面内的点的轨迹方程
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类似，关健是寻找动点满足的等量关系，然后用坐标表 示等量关系，化简等式即为所求的轨迹方程．
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2.3.2
跟踪训练 2 若点 P(x，y，z)到平面 xOz 与到 y 轴距离相等， 则 P 点坐标满足的关系式为____________ x2＋z2－y2＝0 ．
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得 P1P2＝ 6－32＋[0－－2]2＋－1－52 ＝ 9＋4＋36＝7.
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小结
空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两
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点间的距离类似，只是多了一个 z 坐标的差的平方．公式的 记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根．
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跟踪训练 1 求证：以 A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)三点 为顶点的三角形是等腰直角三角形． 证明 根据空间两点间距离公式， 得 AB＝ 10－42＋－1－12＋6－92＝7， BC＝ 4－22＋1－42＋9－32＝7， AC＝ 10－22＋－1－42＋6－32＝ 98. 因为 AB2＋BC2＝AC2，且 AB＝BC，
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【学习要求】
空间两点间的距离
1．了解推导出空间两点间的距离公式的过程． 2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离． 【学法指导】 通过由平面上两点间的距离公式，猜想空间两点距离公 式，然后由空间特殊的两点距离向一般的两点距离过渡， 从而推导出空间两点间距离公式，经历从易到难，从特殊 到一般的认识过程．
答
x1＋x2 y1＋y2 z1＋z2 坐标为 ， ， 2 2 2
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探究点三
空间中两点间的距离公式的应用
例 1 求空间两点 P1(3，－2,5)，P2(6,0，－1)间的距离 P1P2.
解 利用两点间距离公式，
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填一填· 知识要点、记下疑难点
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1． 平面直角坐标系中， 两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间距离 P1P2 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 ＝ ，特别地，点 A(x，y)到原点距 离为 OA＝
答 M(x，y,0)，PM＝|z|，OM＝ x2＋y2.
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问题 5 基于上述分析，你能求出点 P(x，y，z)与坐标原点 O 的距离公式吗？
答 如图，在 Rt△OMP 中，
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根据勾股定理 OP＝ OM2＋PM2＝ x2＋y2＋z2.
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问题 2 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A(x,0,0)，B(0， y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点 O 的距离分别是什么？
答 OA＝|x|，OB＝|y|，OC＝|z|.
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问题 3 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A(x，y,0)， B(0，y，z)，C(x,0，z)，与坐标原点 O 的距离分别是什么？
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问题 2 若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面，则点 P1、P2 之间的距 离如何？
答 P1P2＝|z1－z2|.
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问题 3 若直线 P1P2 平行于 xOy 平面，则点 P1、P2 之间的距 离如何？
答 P1P2＝MN＝ x1－x22＋y1－y22.
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2．若 P(x,2,1)到 Q(1,1,2)，R(2,1,1)的距离相等，则 x 的值为
1 ________ ．
解析 由 x－12＋2－12＋1－22
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＝ x－22＋2－12＋1－12，解得 x＝1.
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4y－z－6＝0 即 7y＋3z－1＝0
，
所以点 P 的坐标是(0,1，－2)．
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6 1．点 P(1， 2， 3)到原点 O 的距离是________ ．