泛函分析中不动点理论及其应用

泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。

首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由

Hille Yosida -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解，

且解是唯一的。

设A 是一个n n ⨯实矩阵，方程组

()

()()00n

dx t Ax t dt x x R ⎧=⎪

⎨

⎪=∈⎩

在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t →

则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){0T t t ≥通过矩阵写出来：

()0

!n n

tA

N t A T t e n ∞

===∑.

且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理

微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程

0,,x

dy

F x y y y dx

满足以下条件：

（1）,F x y 在整个平面上连续；

（2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数y x 满足

()

(),d x F x y dx

ϕ=且()00x y ϕ=。 证明：用0,

X

C U x 表示所有定义在0,

U x 上取值于R 的连续函数全

体，其中满足1K 。,f g X ，用

0,

,max

x U x f g

f x

g x 表示,f g 间

的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于

等价于积分方程0

,x x y x

y f t y t dt ，定义映射0

,x

x Tf

y F t f t dt ，由

F 的连续性知Tf

X ，

,f g

X 0,

,max x U x Tf Tg

Tf x

Tg x

()

()()()()00

,max

,,x

x U x x F x f x F x g x dt δ∈⎡⎤=-⎣⎦⎰

()

()()00

,max

x

x U x x K f t g t dt δ∈≤-⎰

()

()()0,max x U x K f t g t δδ∈≤-

,K f g

因为1K

，故存在唯一的连续函数0,,

y

x x U x ，使得

()()()0

0,x

x x y f t t dt ϕϕ=+⎰，显然()y x ϕ=可微，所以()()0,,y x x U x ϕδ=∈满足

()

(),d x F x y dx

ϕ=且()00x y ϕ=，然后在延拓到整个R 上即得。 第二， 应用不动点定理证明隐函数定理 （隐函数定理）若满足以下条件：

（1）函数F 在000,P x y 为内点的某一区域0

10

2

,,D x y x x r y y r R

上连续； （2）00

,0F x y ；

（3）F 在D 内存在连续的偏导数,y F x y ； （4）00

,0y F x y 。

则在0P 的某领域0U P D 内，方程,0F x y

唯一地确定了一个定义在某闭区

间上0,U x 内的函数y

x ，使得

（1）

00x y ，当0,

x U x 时，

0,

x

U y 且,0F x x ；

（2）

x 在0,

U x 内连续。

证明：用0,X C U x 表示所有定义在0,

U x 上取值于R 的连续函数全

体。其中，

1r 。

,f g

X ，用0,

,max x U x f g

f x

g x 表示,f g 间的距离。由泛函分

析的知识知X 为完备度量空间。取1

00

,0y

c

F x y ,f X 定义映射

:T f Tf ，使得()()()()()0,,(),x U x Tf x f x cF x f x α∀∈=-，则Tf X 。

,f g

X ，由微分中值定理及,y F x y 的连续性得： 0,

,max x U x Tf Tg

Tf x Tg x

()

()()()()()()0,max ,,g x U x f x g x c F x f x F x x α∈⎡⎤=---⎣⎦

0,

max ,1x U x f x g x cF x f x g x f x g x

()()()()()()()()0,max 1,1y x U x cF x f x g x f x g x αθθ∈⎡⎤=-+--⎣

⎦ ()()()()()()

()()

00,,max 1,1max

y x U x x U x cF x f x g x f x g x ααθθ∈∈≤-+-•-()

()()()()()0,max 1,1,y x U x cF x f x g x f g αθθρ∈=-+-•

其中01，

又,y F x y 在000,P x y 处连续，所以取2

1

,min

,2c r 当0

,x x y y 时，有1

,12

y F x f x

g x

c 。于是1

1,1

2

y cF x f x

g x

，从而1,,2

Tf Tg f g 。由定理知，T 在

X 中存在唯一的不动点，

即存在唯一的连续函数()y x ϕ=使得()()T x x ϕϕ=代入T 的定义可得()(),0F x x ϕ=，定理得证。