椭圆练习题(经典归纳)
(完整版)椭圆的测试题及详细答案
椭圆的测试题及答案时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知点P 是椭圆2244x y +=上的任意一点，(4,0)A ，若M 为线段PA 中点,则点M 的轨迹方程是 （ ）A ．22(2)41x y -+=B ．22(4)41x y -+=C ．22(2)41x y ++=D ．22(4)41x y ++= 2（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 3．直线1y kx k =-+与椭圆 ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定41及以下3个函数：①f(x)＝x ；②f(x)＝sin x③f(x)＝cos x ．其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个5．已知P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上的一点，若21PF PF ⊥，且||2||21PF PF =，则此椭圆的离心率为（ ）A 6两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[]1,3C ．[]2,1-D ．[]1,1-7 ） A.焦点 B.焦距 C.离心率 D.准线8．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1F OD ∆的周长为（ ）．A9．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值（ ）A..1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡B.13,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．0432=++y xD ．082=-+y x11．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 相离,则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2个 C. 1个 D. 0个12．若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于B A ,两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，则mn 的值为（ ）A ．22B ．2C ．23 D ．92二．填空题（共4小题，每小题5分）13．一个顶点是()0,2，且离心率为21的椭圆的标准方程是________________。
椭圆练习题大全
椭圆练习题大全一、选择题：1. 椭圆的离心率e与焦距F之间的关系是：A. e < FB. e = FC. e > FD. e = 12. 化简方程$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$的椭圆长轴和短轴的长度分别为：A. 2和3B. 3和2C. 4和9D. 9和43. 椭圆的离心率等于1时称为：A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆4. 椭圆的焦点与准线之间的距离称为：A. 焦距B. 长半轴C. 短半轴D. 直径5. 椭圆的离心率e的取值范围是：A. e > 1B. 0 < e < 1C. e = 0D. e = 1二、填空题：1. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为0.8，长轴长度为10，则短轴长度为\_\_\_\_\_。
2. 已知椭圆的长轴长度为10，焦距为6，则椭圆离心率为\_\_\_\_\_。
3. 椭圆的焦点到准线的垂直距离为4，离心率为0.5，则椭圆的长轴长度为\_\_\_\_\_。
4. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为0.6，焦点到准线的距离为2，则长轴和短轴的长度分别为\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_。
5. 椭圆的长轴长度为12，离心率为$\frac{1}{3}$，则焦距的长度为\_\_\_\_\_。
三、解答题：1. 椭圆的定义是什么？它与圆的区别是什么？2. 写出椭圆的标准方程，并说明其中各参数的含义。
3. 已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，焦点的坐标为$(0, \pm2)$，求椭圆长轴和短轴的长度。
4. 椭圆的参数方程为$x = 2\cos t，y = 3\sin t$，其中$t$为参数，求该椭圆的长轴和短轴的长度。
5. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的焦点为$F_1$和$F_2$，准线为$x = -c$，其中$c^2 = a^2 - b^2$，证明焦点到准线的距离总是等于长轴的长度。
椭圆练习题大题含详细答案
高中椭圆练习题一、选择题：1.下列方程表示椭圆的是（）A.22199x y += B.2228x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4.椭圆222222222222211()x y x y a b k a b a k b k+=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线D ．有相同的焦点5.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）A.3B.2C.3D.66.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，则椭圆的焦距是（）B.4C.6D.2F CcD1F9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称10.方程22221x y ka kb+=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点； C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点.第11题二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）11.（6分）已知椭圆的方程为：22164100x y +=，则a=___，b=____，c=____， 焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦， （如图）则∆2F CD 的周长为________.12.（6分）椭圆221625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____， 焦点坐标为 四个顶点坐标分别为___ ， 离心率为 ；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆： （1）①229436x y += 与②2211216x y += ，哪一个更圆 （2）①221610x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；（2）两个焦点的坐标分别为（），,0），并且椭圆经过点2)3（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12P P 、16.（12分）已知点M 在椭圆2211625x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹及其轨迹方程17.（12分）设点A ，B 的坐标为(,0),(,0)(0)a a a ->，直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为(01)k k k ->≠且求点M 的轨迹方程，并讨论k 值与焦点的关系.18.（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？19.(14分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =过中心O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20， 求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程参考答案1.选择题：二.填空题：11 10,8，6，（0，6±），12，40 12 10，8，（3,0±），（-5,0）.（5,0）.（0，-4）.（0,4），35，253x =-13 ②，② 14 35三.解答题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>由焦点坐标可得3c =，短轴长为8，即28,4b b ==，所以22225a b c =+=∴椭圆的标准方程为2212516y x += （2）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由焦点坐标可得c=2a ==6所以2b =22a c -=9-5=4，所以椭圆的标准方程为22194x y += (3)设椭圆的方程为221mx ny +=（0,0m n >>），因为椭圆过12P P 、61321m n m n +=+=⎧∴⎨⎩解得1913m n ==⎧⎨⎩所以椭圆的标准方程为：22193x y += 16.解：设p 点的坐标为(,)p x y ，m 点的坐标为00(,)x y ，由题意可知000022y y x x x x y y ====⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩ ① 因为点m 在椭圆221259x y +=上，所以有 22001259x y += ② ， 把①代入②得2212536x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为2212536x y +=的椭圆. 17.解：设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(,0)a -，所以，直线AM 的斜率()AM y k x a x a =≠-+，同理直线BM 的斜率()BM y k x a x a=≠-.由已知有(),y yk x a x a x a=-≠±+-化简得点M 的轨迹方程为22221()x y x a a ka +=≠± 当01k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当1k >时，表示焦点在y 轴上的椭圆.18.解：{22916144y x m x y =++=…… … … ①②①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=222(32)425(16144)57614400m m m ∆=-⨯-=-+当0,∆=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0∆>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0∆<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离. 19.解：（1）由已知c e a ==，a ==5c =， 所以222452520m b a c ==-=-=（2）根据题意21220ABF F F B SS==，设(,)B x y ，则121212F F BSF F y =，12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程2214520x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433y x y x ==-或。
(完整版)椭圆小题专项训练有详解答案
椭圆小题专项训练一、单项选择1、已知点1F ， 2F 分别是椭圆22121x y k k +=++（1k >-）的左、右焦点，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为（ ） A.12 B. 1415 D. 342、椭圆221164x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ， F 为它的右焦点，若AF BF ⊥，则AFB V 的面积是（ ）33、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）23 D.24、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2， N 是1MF 的中点，0为坐标原点，则ON 等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D.325、已知两点()()121,0,1,0F F -，若12F F 是21,PF PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是A. 22143x y +=B. 22184x y +=C. 2211615x y +=D. 221164x y += 6、直线l 与椭圆22:184x y C +=相交于A,B 两点，若直线l 的方程为210x y -+=，则线段AB 的中点坐标是 A. 11,32⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ()1,1 D. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭7、设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点， P 为直线32x a =上一点， 12PF F ∆是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B. 23 C. 34 D. 458、已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.9、设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是 A ．(0,1][9,)+∞UB ．(0,3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U10、在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆+=1上的一个动点，点A （1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211、中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点，090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 （ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 16,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D. 20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12、已知椭圆C ： 22221x y a b +=的左焦点为F ，若点F 关于直线12y x =-的对称点P 在椭圆C 上， 则椭圆C 的离心率为A.12B. 2C. 3D. 513、若椭圆2213616x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（ ）A. 36B. 16C. 20D. 2414、设F 1、F 2是椭圆＋＝1的焦点，P 是椭圆上的点，则△PF 1F 2的周长是( ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 不确定15、设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A. B. C. D. 16、已知椭圆的两个焦点为、，且，弦过点，则的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 2D.17、已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题18、已知椭圆221102x y m m-=--，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于为________.19、点(),P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为_______。
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为30,3⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题：教材P .37 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为33，则动点P 的轨迹方程是____练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x -=-； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t =+。
【反斜截式，1m k=】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程.附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ∆最大时的直线方程.椭 圆1、椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
例1 椭圆的一个顶点为()02，A 分析：解：（1）当()02，A 椭圆的标准方程为：11422=+y x （2）当()02，A 为短轴端点时，b 椭圆的标准方程为：116422=+y x 说明：横竖的，因而要考虑两种情况．例2 解：31222⨯⨯=c a c ∴23c =∴3331-=e ． 说明：和c 的齐次方程，再化含e 例3 已知中心在原点，焦点在x 点，OM 的斜率为0.25解：由题意，设椭圆方程为22+ax ）直线与曲线的综合问题，经常要借)22y ，与焦点()04，F 的距离成等差数BT 的斜率k ．（2）因为线段AC 221=+-y y y 又∵点T 在x ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，(2x B ∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ (12221259x y y +-=-将此式代入①，并利用 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT例5 已知椭圆13422=+yx ，距离MN 是1MF 与2MF 解：假设M 存在，设M 2=a ，3=b ，∴=c ∵左准线l 的方程是=x ① ②．k ，利用条件求k ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x k ．代入椭圆方程，并整理∵P 是弦中点，∴121=+x x 所以所求直线方程为342-+y x 分析二：设弦两端坐标为(11y x ，率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y 所求直线方程为0342=-+y x 说明：（1迹；过定点的弦中点轨迹．（2（3线问题也适用．例7 （1）长轴长是短轴长的2（2）在x 12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，1=． ．182=a ．故所求方程为191822=+y x ．MF AM 2+为最小值M 到右准线的距离，从而得最小8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为AQ ，即M 为所求点，因此说明：是M 例9 求椭圆32x 分析：值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧距离为26sin cos 3=+-=θθd 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，d 说明：例10的点的最远距离是7分析：要注意讨论b 提高逻辑推理能力．0>>b a 待定．21<b 矛盾．⎪⎭⎫-21，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 2143112=-=-=e a b ，即a 设椭圆上的点()y x ，到点 ⎝⎛0P 22222cos 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θa y x d sin 3sin 34222--=θθb b b 421sin 3222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当由题设得()22237⎪⎭⎫⎝⎛+=b 于是当b21sin -=θ时2d 由题设知()34722+=b，∴∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧y x 由21sin -=θ，cos θ例11 设x ，R ∈y ，y x 63222=+分析：考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．0，0）点和（3，0）点． )1->．0，0）点时，半径最41=+m ，∴15=m ．a 、b 如何变化， 120≠∠APB ．（2分析：22222y ba a x -=解：（1 ⎩⎨⎧b x 2于是k AP=∵APB ∠∴tan ∠∵22c a >∴tan ∠故tan ∠（2）设∴tan ∠12-=k c ．由21=e ，得4=k ． k -1．8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 例14 已知椭圆142222=+by b x 分析：解法一：由142222=+by b x ，得由椭圆定义，a PF PF 221=+b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32解法二：∵e d PF =22，2d 为P ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为c a 22=⋅∴P 到左准线的距离为b 338说明：圆的第二定义．3π=∠POx ，求P 点坐标．3π， 552， )0>上的一点，P 到左焦点1F 和右焦．ca 20+，∴01ex a PQ e r +==说明：例17 已知椭圆15922=+y x 上一点．(1) 求1PF PA +(2) 求223PF PA +分析：即代数方法．二是数形结合，解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22AF PF PA -≥，∴1+PF PA 22AF PF PA -=时成立，此时P 、由22AF PF PA +≤，∴+PA 22AF PF PA +=时成立，此时P 、==45,02得两交点 ，P 点与2P 重合时，2PF PA +取Q 为垂足，由3=a ，2=c ，PQ PA PF PA +=+223，要使29=x ．1，代入椭圆得满足条件的A 向相应准线作垂线段．巧用(2)分析：解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S )sin 2,cos 3(θθ则2sin 12sin 2cos 34=⨯⨯=θθS 故椭圆内接矩形的最大面积为说明：问题，用参数方程形式较简便．例19 已知1F ，2F (1)(2)求证21F PF ∆分析：12222=+b y a x （0>>b a ）),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F 方程联立消去21x 得2312212-+cy b y c 出1y 可以求出21F PF ∆思路二：利用焦半径公式1PF =再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率a 2求解．),11y ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，(1)在21F PF ∆︒==60sin 2sin sin cn m βα∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα∴sin sin 60sin βα=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=(2)在21F PF ∆-+=2)2(222mn n m c mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即∴60sin 2121mn S F PF ︒=∆即21F PF ∆说明：椭圆上的一点P 21PF PF +的结，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥，转化为P 点坐的一个不等式，转化为关于e 的不等222ba b -=θ， ，又222c a b -= P 使AP OP ⊥．如何证明？。
椭圆 经典题型练习 (精选题) 含答案
椭圆经典题型练习一．选择题（共13小题）1．设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）3．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．6D．34．椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值是（）A．B．C．D．5．已知点M（﹣4，0），椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知椭圆的左焦点为F1，离心率为，P是椭圆C上的动点，若点Q（1，1）在椭圆C内部，且|PF1|+|PQ|的最小值为3，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F作x 轴的垂线，交C于点P，若=2，cos∠OPF=，则椭圆C的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1 9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A．2B．C．4D．10．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（）A．（2，4）B．C．（6，8）D．（8，12）11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．13．已知点A（0，0），B（2，0）．若椭圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）14．已知点P圆C：（x﹣4）2+y2=4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为．15．已知点A在椭圆+y2=1上，且O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为16．直线y=kx+k与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，则实数m的取值范围是．17．过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则此椭圆的离心率为18．椭圆右焦点为F，存在直线y=t与椭圆C交于A，B 两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=．19．已知F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为．20．已知点P（x，y）在椭圆上运动，则最小值是三．解答题（共10小题）1．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．2．已知p：实数m使得椭圆的离心率．（1）求实数m的取值范围；（2）若q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O 到直线AB的距离为定值，并求出该定值．4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．5．已知椭圆的离心率为且经过点．（1）求椭圆方程；（2）直线y=kx+m交椭圆于不同两点A，B，若，△OAB（O是坐标原点）的面积等于，求直线AB的方程．6．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．7．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．8．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k＜0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，l，OQ 的斜率成等比数列，求k值．9．已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．椭圆练习参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆x2+y2=c2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，可得：，即a2﹣c2=ac，因为e=∈（0，1），所以e=．故选：C．2．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y 轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．3．【解答】解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn=6即102﹣3mn=64，解得mn=12．∴△F1PF2的面积S=mnsin60°==3．故选：B．4．【解答】解：由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．如图所示，设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．则==•|F1F2|，∴4a=|y2﹣y1|×2c，∴|y2﹣y1|==．故选：D．5．【解答】解：设F（﹣c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得（b2+4k2）x2+8ck2x+4k2c2﹣4b2=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，由直线MF恰好平分∠AMB，可得k AM+k BM=0，即有+=0，可得k（x1+c）（x2+4）+k（x2+c）（x1+4）=0，化为2x1x2+（c+4）（x1+x2）+8c=0，可得2•+（c+4）•（﹣）+8c=0，化简可得c=1，则椭圆的离心率e==，故选：C．6．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），另一个焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF|+|PF'|，即|PF'|=2a﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|=8﹣2a，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|=1，可得﹣1≤8﹣2a≤1，解得≤a≤，又c=2，可得e=∈[，]，故选：A．7．【解答】解：如图所示，设右焦点为F2．|PF1|+|PQ|=2a﹣（|PF2|﹣|PQ|）≥2a﹣|QF2|=3，∴2a﹣=3，=a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的标准方程为=1．故选：A．8．【解答】解：∵|OF|=c，PF⊥x轴，cos∠OPF=，∴sin∠OPF=，∴cos∠OPF=，|OP|===c，∵=2，∴|OP|•c•cos∠OPF=|OP|•c•=c•c•=2，解得c2=2，即c=∴|OP|=，∴|PF|=×=1，∴P（，1），∴+=1∵a2﹣b2=c2=2，∴a2=4，b2=2，∴+=1故选：B．9．【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．10．【解答】解：∵椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB周长的取值范围是（6，8）．故选：C．11．【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．12．【解答】解：由椭圆的定义可得2（a+c）=6，所以a+c=3①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=，c=1，椭圆方程为+=1，故选：A．13．【解答】解：过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，解得m=6，所以椭圆的离心率为：=．故选：C．二．填空题（共7小题）14．【解答】解：∵点Q在椭圆上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），由圆C：（x﹣4）2+y2=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．∴|CQ|===≤5，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．∴|PQ|的最大值=5+r=7．故答案为：7．15．【解答】解：∵O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，∴|OA|•|OP|=24，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y）在第一象限，B为点A 在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为|OP|cosθ==24×=24×=24×≤24×=8．当且仅当x=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为8．故答案为：8．16．【解答】解：直线y=kx+k恒过（﹣1，0），直线与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，可得：解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．17．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q （﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|==6 ，当且仅当Q，P，F2共线，即，即=﹣时，上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，离心率为：e==．故答案为：．18．【解答】解：要使△ABF为等腰直角三角形，则B（c，2c）．，又a2=b2+c2，∴b2=2ac，⇒c2+2ac﹣a2=0，⇒e2+2e﹣1=0，且0＜e＜1，∴e=﹣1．故答案为：﹣1．19．【解答】解：F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，a=2，b2+c2=4，P是椭圆上一点，△PF1F2面积的最大值时，P在椭圆的短轴的端点，此时三角形的面积最大，S=bc≤=2，当且仅当b=c时，三角形的面积最大．故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，点P（x，y）在椭圆上运动，则有，变形可得：+=，变形可得x2+2（y2+1）=5，则=[x2+2（y2+1）]（）=×[1+4++]=×[5++]≥（5+2×2）=；即最小值是，故答案为：三．解答题（共10小题）1．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（3分）（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…（5分）∵AF2⊥BF2，∴•=0，∴•=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4=﹣2m×+4==0∴m2=7．…（10分）∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．2．【解答】解：（1）当0＜m＜2时，∵，又，∴，∴，当m＞2时，∵，又，∴解得4＜m＜8．综上所述实数m的取值范围：或4＜m＜8．（2）∵q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，∴⊆[t，t+9]，∴，解得．3．【解答】解：（1）由题意知，e==，a==2，又a2=b2+c2，所以a=2，c=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；此时，原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，由OA⊥OB得k OA k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，所以=0，即m2=（1+k2），所以原点O到直线AB的距离为d==，综上，原点O到直线AB的距离为定值．4．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．5．【解答】解：（1）椭圆的离心率为且经过点，可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）直线y=kx+m与椭圆x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，可得|AB|=•==•=，①由△OAB（O是坐标原点）的面积等于，设O到AB的距离为d，可得|AB|d=，即d=，即有=，即3m2=2+2k2②联立①②解得m=1，k=±；m=﹣1，k=±，则直线AB的方程为y=±x+1或y=±x﹣1．6．【解答】解：（1）如图所示，椭圆C：=1的离心率为，∴=，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，∴a=4，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程+=1；（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），则，两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4=0．7．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故8．【解答】解：（1）由题意可得，解得，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），由，消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∵直线l与椭圆交于两点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（m2﹣1）=4（4k2﹣m2+1）＞0，设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，，∴y1+y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OP、l、OQ的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又m≠0，所以，，结合图象可得，故直线l的斜率为定值．9．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．10．【解答】解：（1）由已知c=1，，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，AB=，得S1•S2=6．当l斜率存在时，设为直线为y=kx+m，由l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得m2+2km=1…（*）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．|AB|=．Q到直线的距离，S1•S2==．将（*）式代入得S1•S2=，令t=m2+1∈（1，+∞）．∴S1•S2==．综上，S1•S2的最大值为6．。
椭圆的五种基本题型
椭圆专题训练(一)题型1、给出曲线方程，求相应量的值1、求椭圆400251622=+y x 的长轴长为 、短半轴长为 、离心率为 、焦点坐标为 、顶点坐标为 。
2、（练习）求下列各椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线方程： ①=+3610022y x 1 ②8222=+y x方法提练：①转化为相应的标准方程；②直接求出a 、b 、c 。
③判断焦点在哪一坐标轴上④将a 、b 、c 的值代入相应量公式（接第2题）③16422=+y x ④81922=+y x3、椭圆)0(022<<=++n m mn ny mx 的焦点为 。
4、曲线=+92522y x 1与=+--ky kx 925221（k<0）有相同的（ ）A 、长轴长；B 、离心率；C 、准线；D 、焦点题型2、给出相应量的值，求曲线方程1、焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P （3，-62）的椭圆方程为： 。
解：依题设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x2、准线方程为x=±4,离心率为1/2的椭圆方程为： 3、两焦点为（±3，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和为10，椭圆方程为：3、两焦点为（±2，0）且过点（2325,-）的椭圆方程为： 方法提练：①判断焦点在哪一坐标轴上；②设出相应的椭圆方程③联立方程组求出a 、b 、c 。
（注意别忘记隐藏的公式）④将a 、b 、c 的值代入相应量公式4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ①a=4,b=1,焦点在x 轴上。
②a=4,c=15,焦点在y 轴上③a+b=10 c=25.④a=6,c=1/3, 焦点在x 轴上。
⑤过点（-22，0）（0，5）⑥长轴是短轴的3倍，且过点（3，0）⑦离心率e=0.8，焦距为8的椭圆⑧若椭圆的焦点在x 轴上，焦点到短轴顶点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的方程为：椭圆专题训练(二)题型3、给出某曲线方程，表达的是椭圆求所给方程中含的字母的范围。
(完整版)椭圆练习题(含答案)
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。
2B。
2/3C。
1/2D。
1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。
(x²/81)+(y²/72)=1B。
(x²/81)+(y²/9)=1C。
(x²/81)+(y²/45)=1D。
(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。
3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。
2/3B。
2C。
1/2D。
3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。
2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。
椭圆基础题10道-含答案
故选；A
4．设椭圆
C：x2
y2 b2
10 b
1 的左焦点为
F，下顶点为
B，点
P
在
C
上，则
PFห้องสมุดไป่ตู้
PB
的最大值为（ ）
A．1
B．b
C．3
D．3b
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】设该椭圆的右焦点为 Q ，
因为点 P 在 C 上，所以 PF PQ 2a 2 PF 2 PQ ，
5
B． 3 3
C．
1 2
D． 6 3
试卷第 1页，共 3页
4．设椭圆
C：x2
y2 b2
10 b
1 的左焦点为
F，下顶点为
B，点
P
在
C
上，则
PF
PB
的最大值为（ ）
A．1
B．b
C．3
D．3b
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，长轴长是短轴长的 2 倍，则该
椭圆的标准方程为（ ）
准方程为（ ） A． x2 y2 1
9
B． x2 y2 1 3
C． x2 y2 1 9
D． 4x2 4 y2 1 9
3．已知
A
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1a
b
0 的上顶点，若过 A 的直线 l 与圆 x2
y2
c2 相切，
且 l 的倾斜角为120 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． 5
A． 6,
B． 2,6
C． , 2
D． 2,6
9．已知圆 (x 2)2 y2 36 的圆心为 M，设 A 是圆上任意一点， N (2, 0) ，线段 AN 的垂
椭圆最基础大题训练25道
y2 y2 x2 2 22. 已知椭圆 C : + = 1 a > 0 , b > 0 的焦距为 4, 且与椭圆 x + = 1 有相同的离心率,斜率 a2 b 2 2
椭圆基础大题训练 25 道
为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同两点 A,B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. y2 x2 1 23. 已知椭圆 C: + , 右焦点到直线 l1 : 3 x + 4 y = 0 的距离为 2 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 2 a b 3 . 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y = kx + m ( km ≠ 0 ) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线 l1 上,求△ OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).
椭圆基础大题训练 25 道
M, N 两点． （1） 若直线 l 的方程为 y = x - 4 ， 求弦 MN 的长； （2） 如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ， 求直线 l 方程的一般式． 1 3 18. 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上， 离心率为 ， 对称轴为坐标轴， 且经过点( 1, )． 2 2 （I） 求椭圆 E 的方程； （II） 直线 y = kx - 2 与椭圆 E 相交于 A , B 两点，O 为原点， 在 OA , OB 上分别存在异于 O 点的点 M,N ， 使得 O 在以 MN 为直径的圆外， 求直线斜率 k 的取值范围． 6 y2 x2 19. 设椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )过点 M ( 1, 1 ),离心率 e = ,O 为坐标原点. 3 a b (I)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ) 若直线 l 是圆 O : x2 + y2 = 1 的任意一条切线, 且直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 求证: OA ⋅ OB 为定值. y2 x2 20. 已知椭圆 + = 1 a > 0, b > 0 的左右焦点分别为 F 1和 F 2,由 4 个点 M(-a,b),N(a,b),F 2 a2 b2 和 F1组成了一个高为 3,面积为 33 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1的直线和椭圆交于两点 A,B,求△ F2 AB 面积的最大值. 2 y2 x2 21. 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的离心率为 ,其中左焦点 F -2, 0 . 2 a b (Ⅰ)求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 y = x + m 与曲线 C 交于不同的 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 + y2 = 1 上,求 m 的值.
椭圆专题习题含答案
椭圆专题一．椭圆的定义与性质1.设F 1（﹣4，0）、F 2（4，0）为定点，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线C ．圆D ．线段2.如果程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值围是（ ） A ．3＜m ＜4B ．C ．D ．3.椭圆C ：4x 2+y 2=16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为（ ） A ． B ．C ．D ．4.已知焦点在y 轴上的椭圆的焦距为，则a=（ ）A ．8B ．12C ．16D ．525.椭圆的焦距是2，则m 的值是（ ）A ．9B ．12或4C ．9或7D ．206.已知焦点在y 轴上的椭圆的离心率为，则实数m 等于（ ）A ．3B ．C ．5D ．7.程+=1表示椭圆，则k 的取值围是 ．二．椭圆的标准程（待定系数法）：定位（确定焦点的位置），定量（求出a,b ） 焦点在x 轴 焦点在y 轴 知椭圆过两点求椭圆程：设 、代点，解程组。
知焦点（焦距）和椭圆经过某一点求椭圆程：待定系数法、定义法。
)0(12222>>=+b a b ya x )0(12222>>=+b a b x ay )0,0,(122>>≠=+n m n m ny mx1.椭圆（a ＞b ＞0）的一个焦点为（3，0），点（﹣3，2）在椭圆上，则该椭圆的程为（ ） A ． B ．C ．D ．2.已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准程为（ ） A ．=1 B ．C ．=1 D ．3.求符合下列条件的椭圆的标准程： (1)过点的椭圆 (2)过点(-3,2)且与有相同的焦点；(3)焦点在轴上，，且过点；(4)焦距为6，.三．求离心率：直接法，程法21()(01)c b e e a a ==-<<1.椭圆的离心率为（）A. B. C.2 D.42.椭圆6x2＋y2＝6的离心率为（）A. B. C. D.3.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.5.若一个椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,则椭圆的离心率为.6.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且满足·=c2,则此椭圆的离心率的取值围是（）A.[,1)B.[,]C.[,]D.(0,]四．焦点三角形：以椭圆上的点、两焦点为顶点的三角形。
椭圆经典八道例题
椭圆经典例题例题精讲【例题1】设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|P F 1|：|P F 2|＝4：3，求∆P F 1F 2的面积．【解题思路】：由椭圆方程可求出2a 与2c ，且由|P F 1|：|P F 2|＝4：3知可求出|P F 1|，|P F 2|的长度，从而可求三角形的面积． 【解法与答案】：由于|P F 1|＋|P F 2|＝7，且|P F 1|：|P F 2|＝4：3，得|P F 1|＝4，|P F 2|＝3，又| F 1F 2|＝2c ＝564492=-，显然|P F 1|2 ＋|P F 2|2＝| F 1F 2|2，所以∆P F 1F 2是以P F 1，P F 2为直角边的直角三角形，从而∆P F 1F 2的面积为S ＝⨯21|P F 1|⨯|P F 2|＝⨯214⨯3＝6． 【解析】：本题运用了椭圆的定义来解题．椭圆定义是用椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和来描述的，定义中|P F 1|＋|P F 2|＝2a ＞| F 1F 2|．定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程．因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够用椭圆的定义来解决．【例题2】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过点P 作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程． 【解题思路】：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键．因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况．【解法与答案】：设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，|P F 1|=354，|P F 2|=352 由椭圆的定义知2a =|P F 1|+|P F 2|=52，即5=a ，由|P F 1|＞|P F 2|知P F 2垂直于长轴．所以在12F PF Rt ∆中，4c 2=|P F 1|2 －|P F 2|2=960，所以c 2=35，于是222103b ac =-=又由于所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．【解析】：求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决．椭圆中有“六点”（即两个交点与四个顶点）“两线”（即两条对称轴），因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果．【例题3】【题目】：如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则12PF P F +34567PF P F P F P F P F +++++= ．【解题思路】：认真研究图形的特征，把椭圆的长轴AB 分成8等份，椭圆具有对称性，因此可利用椭圆的定义及图形的对称性求解．【解法与答案】：设2,F F 分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆图形的对称性，得1271272PF P F P F PF P F ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+，根据椭圆第一定义，得:127...PF P F P F +++[]272171 (2)1F P F P F P F P +++++=3572721==⨯⨯=a a ． 【解析】：巧妙利用了椭圆的对称性和第一定义，进行整体突破．【例题4】椭圆14922=+y x 的焦点为1F ，2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．【解题思路】：欲求点P 横坐标0x 的取值范围，需要建立关于0x 的不等式． 【解法与答案】：（与向量知识结合）因为21PF F ∠为钝角，所以120PF PF ⋅<． 设00(,)P x y ，由分析可知，100(5,)PF x y =---，200(5,)PF x y =--， 所以 0000(5,).(5,)x y x y -----052020<-+=y x ， ①又00(,)P x y 在椭圆上，所以 2200194x y +=，②①、②两式联立，消去0y ，即得 0353555x -<<．【解析】：本题考查椭圆的定义及向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综合解决问题的能力．【例题5】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点P 的横坐标恰好为c ，则椭圆的离心率为（ ）A222-． B ．2212- C ．21- D ．31-【解题思路】：求离心率关键是根据已知条件得到a 、b 、c 的等量关系．若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的． 【解法与答案】：解法1：由题知点(,2)P c c ，因为点P 在椭圆 22221x y a b +=上，所以 222241c c a b+=，化简得 2222224b c a c a b +=，又因为 222b a c =-， 所以 22222222()4()a c c a c a a c -+=-，化简得 422460c a c a -+=，同除以4a 得 42610e e -+=， 解得 22322(21)e =±=±，因为 01e <<，所以 21e =-，故选C ．解法2：由题知点P 在椭圆上且横坐标为c ，纵坐标为正数，所以点P 的坐标为2(,)b c a，又因为点P 在直线2y x =上，所以22b c a =，即22b ac =，又因为 222b a c =-， 所以 2220c ac a +-=， 同除以2a 得 2210e e +-=， 解得 12e =-±， 因为 01e <<，所以 21e =-，故选C ．解法3：由题意可知点P 坐标为(,2)c c ，即2||2PF c =． 所以12PF F ∆为等腰直角三角形， 所以1||22PF c=． 由椭圆定义 12||||2PF PF a +=， 即 2222c c a +=， 所以12121c e a ===-+，故选C ． 【解析】：本题三种解法各有特点，解法2、解法3充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识． 【例题6】【题目】：如图，已知圆O 方程为10022=+y x ，点A 的坐标为），（06-，M 为圆O 上任意一点，线段AM 的垂直平分线交OM 于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．2212516x y +=B ．22(3)12516x y ++=C ．2212516x y -=D ．22(3)12516x y +-=【解法与答案】：由于PO PA +PO PM +=106=>，所以，点P 的轨迹是以O A 、为焦点、以10为长轴长的椭圆．因此选B ．【解析】：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感．定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一．【例题7】已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（1）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：2200132x y +<；（2）求四边形ABCD 的面积的最小值．【解题思路】：因为AC BD ⊥于点P ，又1F 、2F 是两个定点，所以，点P 在以线段12F F 为直径的圆上，即P 点的坐标为00(,)x y 满足22001x y +=，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式220032x y +的取值范围的问题了．方法显然不唯一． 由条件知ABCD 是对角线互相垂直的四边形，那么，这样的四边形的面积怎样计算呢？由平面几何易知，1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅．这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然||AC ，||BD 的长由它们的斜率决定，这已是常规的解析几何问题了． 【解法与答案】：（1）方法1：椭圆的半焦距321c =-=，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y +≤+=<．方法2：由方法1知，22001x y +=，即22001y x =-，所以 222220000011113232262x y x x x -+=+=-≤<．（2）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得 2222(32)6360k x k x k +++-=．显然0∆>．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+．2222212122212243(1)()()(1)[()4]32k BD x x y y k x x x x k +=-+-=+⋅+-=+； 又由于直线AC 与BD 过同一点P ，且相互垂直，同理可得，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积为111||||||||222ABC ADC S S S AC BP AC DP BD AC ∆∆=+=⋅+⋅=⋅⋅ 222224(1)(32)(23)k k k +=++22222(1)9625(32)(23)2k k k 24+≥=⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． 【解析】：第一问实际上是证明点P 在椭圆的内部，这只需利用不等式进行放缩即得到结论，或者，由点P 满足的关系，消去变量0y ，得到关于0x 的函数，求其取值范围即可；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现．【例题8】椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点是(1,0)F ，O 为坐标原点．（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （2）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点．若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB +<，求a 的取值范围．【解题思路】：将几何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形”转化为代数等式，解之即得3b ＝，继而由椭圆参数之间的关系便可求出a ； 对于第（2）问，容易知道，当三点,,A O B 不共线时，222OA OB AB +<⇔cos 0AOB <⇔0OA OB ⋅<⇔12120x x y y +<（设1122(,),(,)A x y B x y ）．由此可得关于,a b 的不等式，再由221b a =-消去b ，就得到关于a 的不等式，解之即可．【解法与答案】：(1)设,M N 为短轴的两个三等分点， 因为MNF ∆为正三角形，所以32OF MN =，32123b=⋅，解得3b ＝． 2214,a b =+=因此，椭圆方程为22143x y +=．(2) 设1122(,),(,)A x y B x y ． (ⅰ)当直线AB 与x 重合时，2222222,4(1)OA OB a AB a a +==>，因此，恒有222OA OB AB +<．(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为1()x my m =+∈R ，代入22221x y a b+=，整理得 22222222()20a b m y b my b a b +++-=，所以 2122222b m y y a b m+=-+，22212222b a b y y a b m -=+． 因为恒有 222OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角． 即 11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立．2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++222222222222(1)()21m b a b b m a b m a b m +-=-+++22222222220m a b b a b a a b m-+-+=<+． 又 2220a b m +>，所以 22222220m a b b a b a -+-+<对m ∈R 恒成立， 即 2222222m a b a b a b >+-对m ∈R 恒成立，当m ∈R 时，222m a b 最小值为0， 所以 22220a b a b +-<， 2224(1)a b a b <-=，因为 0,0a b >>∵，221a b a <=-∴，即210a a -->， 解得152a +>或152a -<(舍去)，即152a +>，综合（i ）(ii)，a 的取值范围为15(,)2++∞． 【解析】：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭圆与不等式交汇问题，是对多个知识点的综合考查．本题的亮点在第2问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内”的充分必要条件．当三点,,A O B 不共线时，222OA OB AB +<⇔cos 0AOB <12120x x y y ⇔+<．为了得到1212x x y y +，需要将过点F 的直线l 与椭圆的方程联立，通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理整体变形，得到1212x x y y +用m 表示解析式，应用不等式性质使问题获得解决．如果选择“点斜式”的方法给出直线l 的方程，则需要按直线l 与x 轴是否垂直分类讨论．。
椭圆练习及参考答案
椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（ ）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______． 【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________． 【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1； （2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)， 因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)， 当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)， 故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0， 解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32）， 直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。
高中数学_椭圆经典练习题_配答案解析
椭圆练习题一.选择题：１.已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ）A ．２B ．３C ．５D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ）A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )A４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ）A. B.C.D.５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A.B.C.D.６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）A.B .C .D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。
A ＋＝1B ＋＝1C ＋＝1D ＋＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C )(A)450 (B)600 (C)900 (D)120９．椭圆上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D .1162522=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=2214y x +=51858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2255x ky -=(0,2)k 1-1512221(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=221254x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24y 2221259x y +=2310．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12二、填空题：11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围_____12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13．设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为14．如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，则该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
(完整版)椭圆基础练习题
椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．104．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10 B．8C．6D．不确定6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．38．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分又不必要17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是_________．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=_________．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=_________．23．若k∈Z，则椭圆的离心率是_________．24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是_________．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_________．26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：_________．参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．或解答：解：设点P的坐标为（x，y），∵|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中，故点M的轨迹方程为，故选A．2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解答：解：x2+y2+6x+5=0配方得：（x+3）2+y2=4；x2+y2﹣6x﹣91=0配方得：（x﹣3）2+y2=100；设动圆的半径为r，动圆圆心为P（x，y），因为动圆与圆A：x2+y2+6x+5=0及圆B：x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则PA=r﹣2，PB=10﹣r．∴PA+PB=8＞AB=6因此点的轨迹是焦点为A、B，中心在（0，0）的椭圆．故选A．3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A．4B．5C．6D．10解答：解：∵，∴a=5，由于点P到一个焦点的距离为5，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a﹣5=5．故选B．4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段解答：解：由题意可得：A（﹣1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，所以|AB|=|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，所以动点P的轨迹是线段．故选D．5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（）A．10 B．8C．6D．不确定解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，故选B．6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．解解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选C．7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．3解答：解：∵直线交椭圆于点A、B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，故选B8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（）A．5个B．10个C．20个D．25个解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，当b=2时，a=1；当b=3时，a=1，2；当b=4时，a=1，2，3；当b=5时，a=1，2，3，4；共10个故选B．9．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D．解答：解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的方程为：．故选D．10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6]解答：解：动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆∵2c=2，∴c=1，∴2a=8，∴a=4∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5故选C．11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段或不存在D．不存在解答：解：由题意可得：动点P满足条件|PF1|+|PF2|=6，又因为|F1F2|=6，所以点P的轨迹是线段F1F2．故选B．12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）解答：解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D．解答：解：根据椭圆方程可知a=4，b=3，c==∴e==由椭圆的定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为=故选D．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件解答：解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B．15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．解答：解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分又不必要解答：解：当mn＞0时．方程mx2+ny2=mn可化为=1，当n＜0，m＜0时方程不是椭圆的方程，故“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件；当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为=1，则m＞0，n＞0，故mn＞0成立，综合可知“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件．故选A17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定解答：解：∵10=|3x+4y+2|，，即，其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，故选A．18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关解答：解：∵点C（x，y）满足，∴两边平方，得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得：3x2+4y2=12．∴点C（x，y）满足的方程可化为：．所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=．因此该椭圆的焦点坐标为A（﹣1，0），B（1，0），根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4．故选B19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c，故，即，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选B．二．填空题（共7小题）20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是k＞3．解答：解：方程+=1表示椭圆，则，解可得k＞3，故答案]为k＞3．21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=4．解答：解：由条件，可得，即点C（x，y）到点B（1，0）的距离比上到x=4的距离，等于常数，按照椭圆的第二定义，点C（x，y）在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故c=1，=，∴a=2，|AC|+|BC|=2a=4，故答案为：4．22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=10．解答：解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10故答案为：1023．若k∈Z，则椭圆的离心率是．解答：解：依题意可知解得﹣1＜k＜且k≠1∵k∈Z，∴k=0∴a=，c==，e==故答案为24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]．解答：解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，所以（|PM|+|PN|）max=2×5+3=13，（|PM|+|PN|）min=2×5﹣3=7，则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]故答案为：[7，13]．25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是．解：解：由椭圆+=1易得椭圆的左准线方程为：x=，右准线方程为：x=∵P点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则P点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，即x+=2（﹣x）解得：x=故答案为：26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：=1．解答：解：P（﹣1，0）在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M（x，y），⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4﹣r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，∴|MQ|=4﹣|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2．∴b==∴椭圆方程为：=1故答案为：=1。
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。
解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。
二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。
典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。
解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
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初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12⎛ ⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为0,⎛⎝⎭,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题：教材P .37 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是____练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()yy k x x ；（2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为xmy t 。
【反斜截式，1m k】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ∆最大时的直线方程.椭 圆1、椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=.注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程椭圆方程为122222=-+c a y a x ，设22c a b -=，则化为()012222>>=+b a by a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=.类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．椭圆标准方程：22221x y a b+=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：（1）以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； （2）要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小，“谁大焦点在谁上”1已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为__________.2.椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4.过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （ ）A.2211510x y += B.221510x y += C. D.2212510x y += 5.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是. ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2＋4y 2＝1二、椭圆定义的应用1.椭圆1162522=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．72．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段3．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 14．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为 （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D .5．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍2211015x y +=231．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆2.设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程3.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为4.P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹方程为 A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、120922=+y x D 、53622y x +=15.动圆与圆O ：122=+y x 外切，与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是： A.抛物线 B.圆 C.椭 圆 D.双曲线一支6.设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．四、焦点三角形1．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．82．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为A ．7B ．47 C ．27D ．2573．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是A. 2B. 1C.23 D. 21 4.若P 为椭圆22143x y +=上的一点，12,F F 为左右焦点，若123F PF π∠=，求点P 到x 轴的距离 . 5．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 . 6. 若P 在椭圆2221(50)25x y b b +=>>上的一点，12,F F 为左右焦点，若12F PF ∠的最大值为2π，则椭圆的方程为 .7. P 为椭圆22194x y +=上一点, 12,F F 为焦点，满足1290F PF ︒∠=的点的个数为 .五、椭圆的简单几何性质①范围；②对称；③顶点； ④离心率：（10<<e ），刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦距与长轴的比c e a =()10<<e 叫椭圆的离心率。
2222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-===a b a b a a c a c e1. 椭圆10025422=+y x 的长轴长等于____________,短半轴长等于____________,焦距_________,左焦点坐标____________,离心率________，顶点坐标_________.求离心率（构造的齐次式，解出）1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 2.已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m = ． 3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为 ．5.已知则当mn 取得最小值时，椭圆的离心率为 ．6.椭圆（a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率为 ．7.以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率为 ． 8.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．9.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．10.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ．六、直线与椭圆的位置关系联立直线与椭圆方程，消参数，得关于x 或y 的一个一元二次方程； （1）相交：0∆>，直线与椭圆有两个交点；a c ，e )0(,12222>>=+b a by a x P 21PF PF ⊥=e )0.0(121>>=+n m n m 12222=+n y m x =e 12222=+by a x 21=e =e =e 1F 2F 120MF MF ⋅=M 12F F ，22221x y a b+=0a b >>,P 1PF 2F（2）相切：0∆=，直线与椭圆有一个交点；（3）相离：0∆<，直线与椭圆无交点；弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C ，则||PQ ==1.已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB=____________. 2.设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m =___________.3.椭圆方程为1222=+y x ,通径=__________. 4.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10点差法1．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为 ．2.过椭圆M :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. 求M 的方程 ．综合问题1.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为ca x 2±=)间的距离为4（1）求椭圆的方程；（2）直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.2.已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。