第十三讲 对策矩阵解法

α4
max min ai j min max ai j a22 2
i j j i
对策的解为 (2 , 2 ) ,两个局中人的最优存策略分别为 2 和 2
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矩阵对策解的充分必要条件
从例2可以看出，矩阵A的元素 a22 既是其所在行的最小元素，又是其所在列的最大元素， 即 ai 2 a22 a i 1 , 2, 3, 4; 1 ,j 2, 3 2 j 将这一事实推广到一般矩阵对策，可得如下定理。 定理1 矩阵对策 G S1, S2 ; A 在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势 ( i , j ) 使得对一切 i 1, , m, j 1, , n ，均有
4
矩阵对策解法
• 矩阵对策模型给定后，各局中人面临的问 题：如何选取对自己最为有利的纯对策略， 以谋取最大的赢得？
5
矩阵对策的纯策略
例1：设有一矩阵对策G={S1, S2; A}，其中
6 3 A 9 3 1 2 1 0 8 4 10 6
求最优纯策略？
1 2
2
1
也是解。
15
矩阵对策实例
例4：某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。 已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷 的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气 寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每 吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每 吨100元。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋 季储煤多少吨能使单位的支出最少?
1 (较暖) 2 (正常) 3 (较冷) 1 (10吨) 1000 1750 3000 2 (15吨) 1500 1500 2500 3 (20吨) 2000 2000 2000
max min ai j min max ai j a33 200
* *
aij* ai* j* ai* j
11
矩阵对策解的充分必要条件
定理1中式子的对策意义是： 一个平衡局势(αi*,βj*) 应具有这样的性质： 当局中人Ⅰ选择了纯策略αi* 后，局中人Ⅱ为了使其所失最少，只能选择纯策 略βj*，否则就可能失的更多； 反之，当局中人Ⅱ 选择了纯策略βj*后，局中人Ⅰ为了得到最大的赢 得也只能选择纯策略αi*，否则就会赢的更少，双 方的竞争在局势(αi*,βj*)下达到了一个平衡状态。
为局中人Ⅰ的赢得矩阵(或为局中人Ⅱ的支付矩阵)。由 于假定对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵就是-A
3
矩阵对策的数学模型
当局中人Ⅰ、Ⅱ和策略集 S1 、S2
及局中人Ⅰ的赢得矩阵A确定后，一个矩阵对策也就给定 了。通常，将一个矩阵对策记成
G I, II; S1, S2 ; A
或
G S1, S2 , A
第十三讲 矩阵对策解法初步
讲授：白丹宇
1
矩阵对策的数学模型
在矩阵对策中，一般用Ⅰ、Ⅱ分别表示两个局中人，并设局 中人Ⅰ有m个纯策略(以与后面的混合策略区别) 1 , 2 , , m 局中人Ⅱ有n个纯策略 1 , 2 , , n 则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为
S1 1 , 2 , , m S 2 1 , 2 , , n
当局中人Ⅰ选定纯策略 i
和局中人Ⅱ选定纯策略 j
后，就形成了一个纯局势 (i , j )
2
矩阵对策的数学模型
对任一纯局势 (i , j ) 记局中人Ⅰ的赢得值为 aij 称
a11 a A 21 am1 a1n a22 a2 n am 2 amn a12
12
课堂练习
例3：求解矩阵对策G={S1,S2;A}，其中
9 2 A 5 10
8 11 8 4 6 3 8 7 8 7 9 6
13
答案
9 2 A 5 10 8 11 8 4 6 3 8 7 8 7 9 6
解：
max min aij min max aij ai* j* 8
7 1 8 3 2 4 A 16 1 3 3 0 5
9
答案
1
2
3
min ai j
j
α1 α2 α3
max ai j
i
-7 3 16 -3 16
1 2 -1 0 2*
-8 4 -3 5 5
-8 2* -3 -3
7 1 8 3 2 4 A 16 1 3 3 0 5
i j j i
i*=1,3
j*=2,4
故(α1,β2)，(α1,β4)，(α3,β2)，(α3,β4) 都是对策的解，且VG=8
14
矩阵对策解的性质
矩阵对策的解的两个重要性质 性质1 无差别性。即若 (i , j ) 和 (i , j )
1 1
2 2
是对策G的两个解，则 ai1 j1 ai2 j2 性质2 可交换性。即若 (i1 , j1 )和 (i2 , j2 ) 是对策G的两个解，则 (i , j ) 和 (i , j )
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矩阵对策实例
这一储量问题可以看成是一个对策问题，把采购员当作局中人Ⅰ，他 有三个策略：在秋天时买10吨、15吨与20吨，分别记为 1 , 2 ,3 把大自然看作局中人Ⅱ(可以当作理智的局中人来处理)，大自然(冬季 气温)有三种策略：出现较暖的、正常的与较冷的冬季，分别记为 1 , 2 ,3 把该单位冬季取暖用煤实际费用(即秋季购煤时的用费与冬季不够时 再补购的费用总和)作为局中人Ⅰ的赢得，得矩阵如下：
6
矩阵对策的纯策略
6 3 A 9 3 1 2 1 0 8 4 10 6
平衡局势(α2,β2)，这个局势就是双方均可 接受的，且对双方来说都是一个最稳妥的 结果。因此，α2和β2应分别是局中人Ⅰ和 Ⅱ的最优纯策略。
Ⅰ：采取1至少得益-8 2 2 3 -10 4 -3 Ⅱ：采取1最多损失9 2 2 3 6
C, 30%
B, 30%பைடு நூலகம்
A, 40%
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i j j i
成立，记其值为VG，则称VG为对策 的值，称使其成立的纯局势(αi*,βj*) 为G在纯策略意义下的解(或平衡局 势)，称αi*和βj*分别为局中人Ⅰ和Ⅱ 的最优纯策略。 ※ 矩阵对策中两个局中人都采取最优纯策略 （如果最优纯策略存在）才是理智行动
8
课堂练习
例2：求解矩阵对策 G S1, S2 , A，其中
i j j i
3 ) ，即秋季储煤20吨合理。 故对策的解为 (3，
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作业
• 三河城由汇合的三条河分割为三个区， 如图所示。城市居民40%住在A区， 30%住在B区，30%住在C区。目前，三 个区没有溜冰场，两家公司甲和乙都计 划要在城中修建溜冰场。公司甲打算修 建两个，公司乙只打算修建一个。每个 公司都知道如果在城市的某一个区内设 有两个溜冰场，那么这两个溜冰场将把 该区内的业务平分，如果某区只有一个 溜冰场，则该场独揽本区的全部业务， 如果在一个区内没有修建溜冰场，则该 区的业务将平均分散在城市的三个溜冰 场中，每个公司都想把溜冰场设在营业 额最多的地方。试分析两家公司的最优 策略；在双方都采取最优策略时，两家 公司占有多大的份额？
取大则取2 max min aij= 2
i j
取小则取2 min max aij= 2
j
i
7
矩阵对策的纯策略
定义1 设G={S1, S2; A}为一矩阵对策，其中 S1={α1, …,αm}，S2={β1, …,βn}， A=(aij)m×n。若
max min aij min max aij