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浙江省高二下学期数学期中考试试卷

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浙江省高二下学期期中数学试题

浙江省高二下学期期中数学试题

高二数学期中考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题　共36分）一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则（ ）{|23},{|0}A x x B x x =-≤≤=∈>Z A B = A.B.C.D.{0,1,2,3}{1,2,3}(0,3][)2,-+∞2.设,则命题“,方程有实根”的否定是（ ）m ∈R 0m ∃>20x x m +-=A.,方程无实根 B.,方程有实根 0m ∀>20x x m +-=0m ∀≤20x x m +-=C.,方程无实根D.,方程有实根0m ∃>20x x m +-=0m ∃≤20x x m +-=3.的展开式中二项式系数最大的是,则不可能是（ ） (1)n x +5n C n A.8B.9C.10D.114.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园学雷锋活动,将教师随机分成三组,每组至少一人,则甲、乙在同一组的概率为（ ）A.B. C.D.161413125. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） 1,(),2,xa x x f x x a≤+⎧=⎨>⎩()f x R a A.B.C.D.(,0]-∞[0,1][0,)+∞(,1]-∞6.某停车场有两排空车位,每排4个.现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有（ ）A.288种B.336种C.384种D.672种7.一枚质地均匀的骰子,其六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6.现将此骰子抛掷2次,正面向上的点数分别为12,X X .设,,记事件“”,事件“”,则1121212,,X X Y X X X X ≥<=⎧⎨⎩1122122,,X X Y X X X X ≤=>⎧⎨⎩A =15Y =B =23Y =(|)P B A =（ ）A.B.C.D.1929152118.已知函数,若在定义域上恒成立,则实数的取值范围3log (1),(1,8)()4,[8,)6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩[(1)()]2f m f x -≤m 是（）A.B.C.D.(0,)+∞[1,2)[1,)+∞(0,1)二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量x y （件）之间的一组数据如表所示：价格 x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 1110865按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是y x ˆˆ3.2yx a =-+0.986r =（）A.B.变量线性正相关ˆ40a=,x y C.相应于点的残差约为 D.当时, 的估计值为14.4(9.5,10)0.4-8x =y 10.若,则以下说法正确的是（ ） 510~(,),(),()39X B n p E X D X ==A. B. C. D. 13p =10(21)3E X +=40(21)9D X +=3740()2281X P =≤≤11.若实数满足,则下列不等式正确的是（ ）,,a b c a c b -<A.B.C.D.a b c <+c a b <+b c a >-b a c <-12.已知函数的定义域均为,且,,若的图象关(),()f x g x R ()(2)1g x f x +-+=()(1)1f x g x -+=()y f x =于直线对称，则以下说法正确的是（ ）1x =A.为偶函数B.()g x 3()02g -=C.,D.若的值域为,则x ∀∈R ()(4)f x f x =+()f x [,]m M ()()1f x g x m M +=+-第Ⅱ卷（非选择题　共64分）三、填空题：共4题，每题4分，共16分.13.若随机变量,且,则______.22,)~(X N σ(5)(1)0.2P X P X >=<-=(12)P X -<<=14.若,则的取值范围为______. 31,24x y -<<-<<2xy15.已知甲盒中有2个白球,2个红球,1个黑球,乙盒中有4个白球,3个红球,2个黑球.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球.记事件“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”,则A =______.()P A =16.正方体六个面上分别标有六个字母，现用种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有,,,,,A B C D E F 5公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有______种.四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.17.已知.6()(12)f x x =+（1）若,求的值；772012(1)()a a x f x a a x x x -++=+ 771,i i a a =∑（2）求的展开式中系数最大的项.()f x 18.设是定义在上的偶函数,且当时, . ()f x R 0x ≥2()2x f x x -=-（1）求的解析式；()f x （2）若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围. 3x =1(2)2f x t ->t 19.我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量(单x 位:dm)与遥测雨量(单位:dm)的关系,统计得到该地区10组雨量数据如下: y 样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测雨量 i x 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 5遥测雨量i y 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49i i x y -0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.026并计算得1010101122122,,33.62,34.42353.63,2,3461.7357..30i i i i i ii xy x y xy y x ======≈≈≈∑∑∑（1）求该地区汛期遥测雨量与人工测雨量的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否 y x 具有较强的线性相关关系(若,则认为两个变量有较强的线性相关性)0.75r ≥（2）规定：数组满足为“Ⅰ类误差”,满足为“Ⅱ类误差”,满足(,)i i x y 0.1i i x y <-0.10.3i i y x <≤-为“Ⅲ类误差”.为进一步研究,该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取30.3i i x y -≥组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比,记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为,求的概率分布与数学期望.X X 附：相关系数. 17.4r =≈20.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计（1）根据所给数据完成上表,依据的独立性检验,能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？ 0.001α=（2）社团知道老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为,这名女生进球的概率为,每人射门一次,假设不同学生射门相互独立,求3人进球总次数的分布2312X 列和数学期望.参考公式：. 22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++ 2()x P αχα≥=0.1 0.05 0.01 0.005 0.001x α 2.7063.8416.6357.87910.82821. 已知函数22()42f x x ax a =-+-（1）设不等式的解集为,若,求实数的取值范围;0()4f x +≤A {|03}A x x ⊆≤≤a （2）若在区间内有两个零点,求实数的取值范围. 2()()1g x f x x =+-(0,3)1212,()x x x x <a宁波效实中学二O 二二学年度第二学期高二数学期中考试参考答案一、单项选择题：共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BAAABDBC二、多项选择题：共4题，每题3分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 答案ADACDABCBCD三、填空题：共4题，每题4分，共16分.13.0.314.15.16.78031,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭2950四、解答题：共5题，17-18题每题9分，19-21题每题10分，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1），，764a =-771011iii i a a a===-=-=-∑∑（2）设，62nnn T C =11162n n n T C +++=由得，即当时，有最大值240 1n n T T +≥113n ≤4n =n T 因此展开式中最大项为. ()f x 4240x 18.解：（1）当时，0x <0x ->()()()2222x x f x f x x x =-=--=-所以 ()222,02,0x xx x f x x x -⎧-≥=⎨-<⎩（2）因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又因为为偶函2y x =2xy -=[)0,+∞()f x [)0,+∞()f x数，所以在上单调递减.()f x (),0-∞不等式等价于，故或，由题意或 ()()21f x t f ->21x t ->12t x +>12t x -<132t +>132t -<所以.()(),57,t ∈-∞+∞ 19.解：（1），故认为具有很强的线性相关性.100.980.75nxyr =≈>（2）分布列如下：X 0 1 2 3P 156 1556 1528 528（，1，2，3） ()33538k k C C P X k C -==0k =()515388E X =⨯=20.解：（1）喜欢足球 不喜欢足球合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计90110200零假设为：设性别与喜欢足球无关.0H 根据表中数据可计算得.()221006070304018.18210.82810010090110χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯则根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即该校学生喜欢足0.001α=0H 0H 球与性别有关.（2）()211103218P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()21221111513323218P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭()21221211823233218P X C ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()221433218P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭X 0123P118 518 49 29()116E X =21.解：（1）令 ()()22442h x f x x ax a =+=-++1°若，此时，A =∅()2216420a ∆=-+<所以 a <<2° 若，则，解得A ≠∅()()00300230g g a ⎧≥⎪≥⎪⎨<<⎪⎪∆≥⎩1a <≤（2）()22241,01243,13ax a x g x x ax a x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-≤<⎪⎩1° 在上有一个零点，上有一个零点()g x ()0,1()1,3①或()2110,14a x a-=∈12a -<<-12a <<+②()21,3x ∈()()130g g <解得或 26a <<-26a <<+当时，在上仅有一个零点 ()10g =()g x ()0,3当时，不符合题意 ()30g =所以(1,6a ∈-2° 在上无零点，在上有两个零点()g x ()0,1[)1,3则或或，此时不存在1a ≤-21a -≤≤2a ≥()()1030013g g a ⎧≥⎪≥⎪⎨∆≥⎪⎪<<⎩a 综上. (1,6a ∈-9。

浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)

浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（ ） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（ ） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（ ）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可． 【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（ ）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（ ）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（ ）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零 【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（ ）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（ ） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______． 【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+， 所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题

浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题

浙江省学军中学紫金港校区2023-2024学年高二下学期期中数学试题一、单选题1．直线10x +=的倾斜角是 A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．直线1l 的方向向量()1101ν=-r ，，，直线2l 的方向向量()2202ν=-r，，，则不重合直线1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．已知正态分布()21,N σ的正态密度曲线如图所示，()2~1,X N σ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．()102P X -≤B ．()122P X -≥C ．()1122P X -≤≤D ．()()112022P X P X ≤-≤4．若二项式()*nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是（ ） A ．9B ．36C ．84D ．1265．若直线:30l kx y k -+=与曲线1C y =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设抛物线2:4T y x =的焦点为F ，A 为抛物线上一点且A 在第一象限，4AF =，若将直线AF 绕点F 逆时针旋转45︒得到直线l ，且直线l 与抛物线交于,C D 两点，则CD =（ ）A ．32-B ．32-C ．16-D ．16-7．设n 为偶数，则112217C 7C 7C 7n n n n n n n ---++++⋅L 被9整除的余数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-8．设函数()()()1ln xf x ax m e ax x ⎡⎤⎣⎦=-+- （其中e 为自然对数的底数），若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．211,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()21,e -+∞D ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知由样本数据(),(1,2,3,,10)i i x y i =⋯组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ2yx =-+，且4x =．剔除一个偏高直线较大的异常点()14,2--后，得到新的回归直线经过点()7,4-．则下列说法正确的是（ ）A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点()6,2-D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小 10．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（ ）A ．函数()f x 的极小值点为21e - B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-11．设一组样本的统计数据为：12,,,n x x x L ，其中*12N ,,,,R n n x x x ∈∈L ，已知该样本的统计数据的平均数为x ，方差为2s ，设函数()()12,R ni i f x x x x ==-∈∑，则下列说法正确的是（ ）A ．设R b ∈，则12,,,n x b x b x b +++L 的平均数为x b +B ．设R a ∈，则12,,,n ax ax ax L 的方差为22a sC ．当x x =时，函数()f x 有最小值中22n sD ．()()()2212n f x f x f x n s ++⋯+≥三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()1126P A P A B =⋂=，，则()P A B ⋂=．13．我们把形如()22122:10,0x y C a b a b -=>>和()22222:10,0y x C a b b a-=>>的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线12,C C 的离心率分别为12,e e ，则1212e e +的最大值是．14．已知函数()44,4x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩，若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()f x 的图像恰好有21n +个不同的交点，则22212n k k k +++=L ．四、解答题15．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求： (1)抽到他能答对题目数X 的分布列； (2)求X 的期望和方差16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且关于x 的方程2*10,nx n n +++=∈N 有两个相等的实数根．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()12n an n b a =+⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且4n n T λ≥对任意的*n ∈N 恒成立，求实数λ的最大值．17．某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为102p p ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． (1)已知13p =，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； (2)已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．且离心率为(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于A ，B 两点，A ，B ，F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（i ）证明：直线l 过定点； （ⅱ）求ABF △面积的最大值．19．将2024表示成7个正整数1234567,,,,,,x x x x x x x 之和，得到方程12345672024x x x x x x x ++++++=①，称七元有序数组()1234567,,,,,,x x x x x x x 为方程①的解，对于上述的七元有序数组()1234567,,,,,,x x x x x x x ，当1,7i j ≤≤时，若()()max i j x x t t -=∈N ），则称()1234567,,,,,,x x x x x x x 是t -密集的一组解．(1)方程①是否存在一组解()1234567,,,,,,x x x x x x x ，使得()11,2,3,4,5,6i i x x i +-=等于同一常数? 若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记721i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值：若不存在，请说明理由．。

2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省高二下册期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--≤，{}lg 0B x x =>，则A B = （）A ．[]2,3-B ．(]1,2C ．[]3,2-D ．(]1,3【正确答案】D【分析】首先分别求两个集合，再求交集.【详解】()()260230x x x x --≤⇔+-≤，解得：23x -≤≤，所以{}23A x x =-≤≤,lg 01x x >⇒>，即{}1B x x =>，所以{}(]131,3A B x x ⋂=<≤=.故选：D2．已知复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且()12i 1i z +=-，则a b -=（）A ．25B ．15C ．25-D ．15-【正确答案】A【分析】根据复数运算法则把()()i 12i a b ++展开，再根据复数相等解出a 、b 的值，进而求解.【详解】解：因为复数()i R,R z a b a b =+∈∈，且()12i 1i z +=-，所以()()i 12i 1i a b ++=-，即()2(2)i=1i a b a b -++-，2121a b a b -=⎧⎨+=-⎩解得1535a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则25a b -=.故选.A 3．函数2sin 1x xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.【详解】记函数2sin ()1x xf x x =+，定义域为R ，22sin()sin ()()11x x x x f x f x x x ---===++，则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AC ，又2222ππ3π3πsin sinπ2π3ππ3π2244,,2π449π1624π3π1124f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除D.故选∶B.4．随着杭州亚运会的临近，吉祥物“琮琮、莲莲、宸宸”开始走俏国内外.现有3个完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙3位体育爱好者要与这3个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只有2个“宸宸”相邻的排队方法数为（）A ．36B ．48C ．72D ．144【正确答案】C【分析】先将3位体育爱好者进行排序，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入3位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），结合分步乘法原理可得结果.【详解】先将3位体育爱好者进行排序，共有33A 种排法，因为3个“宸宸”完全相同，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入3位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），由分步乘法计数原理可知，不同的排队方法种数为3234A A 61272=⨯=种.故选：C.5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E 是线段PB 的中点，F 是线段BC 的中点，则点D 到平面AEF 的距离是（）A ．263B ．53C ．63D ．53【正确答案】A【分析】利用锥体体积公式，E ADF D AEF V V --=，结合垂直关系求AEF △的面积，即可求点D 到平面AEF 的距离.【详解】12222ADF S =⨯⨯=△，点E 到底面ADF 的距离112d PA ==，所以122133E ADF V -=⨯⨯=，122AE PB ==22215AF =+=，因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PA DC ⊥,且AD DC ⊥，PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD ，且PD ⊂平面PAD ，所以DC PD ⊥，所以22222222223PC PA AD DC =++++=因为E 是线段PB 的中点，F 是线段BC 的中点，所以132EF PC =因为222AE EF AF +=，所以AE EF ⊥,11623222AEF S AE EF =⨯⨯=⨯⨯=，设点D 到平面AEF 的距离为d ，则E ADF D AEF V V --=，即216263323d d =⇒=故选：A6．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621nx mx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A ．15-B ．20-C ．15D ．20【正确答案】C【分析】设球的半径为R ，分别表达出球，圆柱的体积和表面积，求出1nm=，利用二项式定理得到通项公式，求出常数项.【详解】设球的半径为R ，则球的体积为34π3R ，圆柱的底面积为2πR ，高为2R ，故圆柱的体积为23π22πR R R ⋅=，故332π342π3R m R ==，球的表面积为24πR ，圆柱的表面积为222π2π26πR R R R +⋅=，故226π34π2R n R ==，故1n m =，621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的通项公式为()()6263166C 1C rrr rr r r T x x x ---+=-=-，令630r -=，解得2r =，故常数项为()22361C 15T =-=.故选：C7．已知圆()()()222:140C x y r r ++-=>和点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，若圆C 上存在点P 满足2PO PM =，则r 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】利用已知求出点P 的轨迹方程，再利用两圆的几何关系即可求出r 的最大值.【详解】设(),P x y ，由2PO PM =2222322x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭整理得22430x y x +-+=，∴点M 在圆()2221x y -+=上，且圆心为()2,0B ,半径为1，又∵点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆()()22214x y r ++-=上，∴圆()2221x y -+=与圆()()22214x y r ++-=有公共点，∴11r BC r -≤≤+，且5BC =,∴46r ≤≤，则r 的最大值为6，故选.C8．设e a =，0.9e 0.1b =+， 1.1e 0.1c =-，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c<<D ．c<a<b【正确答案】B【分析】利用构造函数的方法比较大小即可.【详解】先比较b 和c ，令()()()1111e e e e 20x x x xf x x x x x -+-+=+--=-+>，则()11e e 2x xf x -+'=--+，令()()11ee 20xx g x x -+=--+>，则()()1112e e e 1e x x x x g x -+-'=-=-，当0x >时，20x >，即2e 1x >，所以()12e1e 0xx--<，即()0g x '<，所以()g x 在()0,∞+内单调递减，且()022e<0g =-，所以()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+内单调递减，且()00f =，所以()()0.100f f <=，即()()0.9 1.10.1e 0.1e 0.10f =+--<，故b c <，排除A 和D ;再比较a 和b ，令()e 1x h x x =--，()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>；当0x <时，()0h x '<，所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即在0x =处取得最小值()00h =，故e 1x x ≥+（当0x =时等号成立），0.9.1e e 0a b -=--()0.90.10.9e0.10.1e e10.1>=---0.90.09e e e 101010--==>，故b a <.故选.B 二、多选题9．空间直角坐标系中，已知()0,0,0O ，()1,2,1OA =- ，()1,2,1OB =--，()2,3,1OC =- ，则（）A ．2AB = B ．ABC 是等腰直角三角形C ．与OA平行的单位向量的坐标为,636⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭或636⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．OA 在OB 方向上的投影向量的坐标为242,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利用向量的加减法得出AB坐标，再利用向量的模长公式||AB =uu u r可判断A 选项；计算出三角形三条边长，可判断B 选项；与已知向量平行的单位向量计算公式：||ae a =±r r r 可判断C 选项；根据OA 在OB 方向上的投影向量与OB向量共线的性质，可判断D 选项.【详解】根据空间向量的线性运算，(1,2,1)(1,2,1)(0,0,2)AB OB OA=-=----=-uu u r uu u r uur ||2AB ∴==uu u r，选项A 正确；(2,3,1)(1,2,1)(3,1,2)AC OC OA=-=---=-uuu r uuu r uur ||AC ∴==uuu r(2,3,1)(1,2,1)(3,1,0)BC OC OB=-=----=uu u r uuu r uu ur ||BC ∴uu u r计算可得，ABC 三条边不相等，选项B 不正确；与OA平行的单位向量为：||(OA e OA =±===±uu r r uu r选项C 正确；OA 在OB 方向上的投影向量与OB 向量共线，2422,,(1,2,1)3333⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，选项D 不正确，故选：AC.10．已知函数()()1ln 1f x x x x =++-，则（）A ．函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是330x y -+=B ．函数()y f x '=的单调递减区间为()0,1C ．函数()()y f x f x '=-有唯一的零点D ．函数()y f x '=的最大值为3【正确答案】BC【分析】由导数的几何意义求得切线方程判断A ；利用导数研究函数()y f x ='的单调性和极值，进而判断B 、D ；C 中函数零点问题可以转化为函数()213ln 1h x x x x=+--的零点问题，利用导数研究其单调性并结合零点存在定理可得出其只有一个零点，进而得出C 正确.【详解】()()11ln 112ln f x x x x x x=++⋅+++'=，则()(1)3,10f f '==，所以函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是03(1)y x -=-，即330x y --=，故A 错误；令1()2ln g x x x=++，22111()x g x x x x -'=-=，当()0g x '<时，01x <<；当()0g x '>时，1x >，即函数()f x '在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增，min ()(1)3f x f ''==，故B 正确，D 错误；()()213ln 1y x f x f x x x x ⎛⎫+-- ⎪=⎝'-⎭=，213ln 10x x x x ⎛⎫+--= ⎝⎭等价于213ln 10x x x +--=，令()213ln 1h x x x x =+--，32123()0h x x x x'=++>，即函数()h x 在()0,∞+上单调递增，且()()221311130,e 30e eh h =--<=-->，即函数()h x 在()0,∞+上存在唯一零点，即函数()()y f x f x '=-有唯一的零点，故C 正确；故选：BC11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是该正方体的侧面11BB C C 上的一个动点（含边界），且//AF 平面1DAQ ，Q ，M 分别是棱1CC ，1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．直线FQ 与直线1A D 不可能垂直B ．三棱锥1D A FQ -的体积为定值C ．直线FQ 与平面1A DQD ．阳马1111M A B C D -的外接球R 与内切球r 的半径之比为(:3:3R r =【正确答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断A 和C ；根据//AF 平面1DAQ 即可判断B ；利用等体积法即可判断D ，从而得出答案．【详解】以1D 为原点，以11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，Q ，M 分别是棱1CC ，1BB 的中点，所以(2,0,2)A (0,0,2)D ，(0,2,1)Q ，1(2,0,0)A ，则1(2,0,2)A D =- ，1(2,2,1)A Q =-，设平面1A DQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11·0·0n A D n AQ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 220220x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩,取1x =，则1(1,,1)2n = ，因为点F 是该正方体的侧面11BB C C 上的一个动点（含边界），所以设点(,2,)F m n ，其中,[0,2]m n ∈，则(2,2,2)AF m n =--，对于A ：因为//AF 平面1DAQ ，所以AF n ⊥，即2120m n -++-=，得3n m =-，所以(,0,2)FQ m m =--，所以122444A D FQ m m m ⋅=+-=- ，因为[0,2]m ∈，所以44[4,4]m -∈-，当1m =时，10A D FQ ⋅=，即直线FQ 与直线垂直，故A 错误；对于B ：设点F 到平面1A DQ 的距离为h ，则三棱锥1D A FQ -的体积为113A DQ S h ⋅ ，又因为//AF 平面1DAQ ，所以点F 到平面1DAQ 的距离h 为定值，又因为1A DQ S 为定值，所以三棱锥1D A FQ -的体积为定值，故B 正确；对于C ：由上述结论得(,0,2)FQ m m =--，[0,2]m ∈，平面1A DQ 的一个法向量为1(1,,1)2n = ，直线FQ 与平面1A DQ所成角的正弦值为4cos ,3FQ n FQ n FQ n ⋅<>==⨯⋅，因为[0,2]m ∈，[，所以直线FQ 与平面1A DQ 所成角的正弦值的最大值为433=，故C 正确；对于D ：易得阳马1111M A B C D -的外接球的直径为3OM ==，所以外接球半径32R =，易得11114A B C D S =，111A B M S =，111B C M S =，11D C M S =11A D M S =由等体积法得111111111111111111111111111333333M A B C D A B C D A B M B C M D C M A D M A B C D V S MB S r S r S r S r S r -=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅即11111141114333333r r r r r ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯，解得r =所以(:3:3R r =，故D 正确，故选：BCD ．12．已知O 为坐标原点，M 为抛物线2:4C y x =上一点，直线:3l x my =+与C 交于A ，B 两点，过A ，B 作C 的切线交于点P ，则下列结论正确的是（）A ．3OA OB ⋅=-B ．若点M 为()9,6-，且直线AM 与BM 倾斜角互补，则3m =C ．点P 在定直线3x =-上D ．设Q 点为()3,0，则MQ 的最小值为3【正确答案】ABC【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断AB ；分别求点,A B 处的切线方程，联立切线方程求点P 的坐标，即可判断C ；设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断D.【详解】A.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立243y x x my ⎧=⎨=+⎩，得24120y my --=，124y y m +=，1212y y =-，()()1212121233OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++()()21212139m y y m y y =++++()21213493m m m =-++⋅+=-，故A 正确；B.因为()9,6M -，直线AM 与BM 倾斜角互补，所以12121212666609966AM BM y y y y k k x x my my +++++=+=+=----()()()121221212266720636my y m y y m y y m y y +-+-=-++，()()22212664720122436m m m m m ⨯-+-⨯-=--+，得24824720m m -+-=，且221224360m m --+≠，即2230m m --=，且21m ≠解得：3m =，故B 正确；C.设点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，x轴上方的抛物线方程为y =x轴下方的抛物线方程为y =-此时在点A处的切线的斜率12k y ==，点B处的切线的斜率22k y ==，所以点A 处的切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，点B 处的切线方程为222224y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，方程化简为211122yy x y =+，222122yy x y =+，两式相除化简得1212344y y x -===-，故C 正确；D.设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,0Q ,2222200031844y y MQ y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭204y =时，MQ 的最小值为22D 错误.故选：ABC 三、填空题13．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为117125，则每次射击击中目标的概率是______.【正确答案】35/0.6【分析】设每次射击击中目标的概率为P ，根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；【详解】设每次射击击中目标的概率为P ，则()351111712P --=，即()351812P -=，所以215P -=，所以35P =；故3514．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若5232S S S =+，则523a a a =+______.【正确答案】2219/3119【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据5232S S S =+可得出1a 、d 的等量关系，进而可求得523a a a +的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则15123111455510223254232a dS a d S S a da d a d ⨯++===⨯+++++，所以，1502d a =≠，因此，511112311111441022152231922a a d a d a a a a a d a d a d a a +++====++++++.故答案为.221915．若π2cos tan 432sin ααα⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，则sin2α=______.【正确答案】59-【分析】利用两角和的正切公式以及正弦二倍角公式恒等变形即可求出.【详解】∵πtan tanπ1tan sin cos 4tan π41tan cos sin 1tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫+=== ⎪--⎝⎭-，∴sin cos 2cos cos sin 32sin αααααα+=--，∴2sin cos 3αα+=，两边平方得41sin 29α+=，∴5sin 29α=-.故答案为.59-16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右顶点为A ，B ，点P 为直线2:a l x c =上一点，若PAB 的外接圆的面积的最小值为22πa ，则该椭圆的离心率为______.【正确答案】2【分析】设C 为PAB 外接圆的圆心且在在y轴上，由已知可得外接圆半径r ≥且2a r CP c =≥，则2a c=，进而求离心率.【详解】若C 为PAB 外接圆的圆心，半径为r ，则22π2πr a ≥，故r ≥，由外接圆圆心为各边中垂线的交点知：C 必在y 轴上（不妨令其在y 轴上方），所以2a r CP c =≥，故2a c =，则c e a ==故2四、解答题17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*122n n a S n +=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()111n n n n a b a a +=--，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证.12n T <【正确答案】(1)123n n a -=⋅(2)证明见解析【分析】（1）当1n =时，可得2122a a =+，当2n ≥时，由122n n a S +=+可得122n n a S -=+，两式作差可得出13n n a a +=，根据数列{}n a 为等比数列可得其公比，进而可求得1a 的值，由等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算可得11112231231n n n b -⎛⎫=- ⎪⋅-⋅-⎝⎭，利用裂项相消法可证得结论成立.【详解】（1）解：对任意的n *∈N ，122n n a S +=+，当1n =时，则2112222a S a =+=+，当2n ≥时，由122n n a S +=+可得122n n a S -=+，上述两个等式作差可得12n n n a a a +=-，可得13n n a a +=，因为数列{}n a 为等比数列，故其公比为3，所以，211223a a a =+=，解得12a =，所以，111323n n n a a --=⨯=⋅.（2）解：()()()()()()()()11111231231231112231231231231n n n n n n nn n n n a b a a ----+⋅--⋅-⋅===⋅--⋅-⋅-⋅-⋅-11112231231n n -⎛⎫=- ⎪⋅-⋅-⎝⎭，因此，0112111111112231231231231231231n n nT -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111122312n ⎛⎫=-< ⋅-⎝⎭.18．在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.、、在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在[]20,45的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；(2)现若样本中[)20,25和[]40,45年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设X 表示年龄段在[)20,25的人数，求X 的分布列及期望.【正确答案】(1)2257(2)分布列见解析，期望为1【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的公式，计算求值；（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望.【详解】（1）选取的社区居民平均年龄22.50.0527.50.332.50.3537.50.242.50.132.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()0.010.0650.350.5+⨯=<，()0.010.060.0750.700.5++⨯=>，所以中位数落于区间()30,35之间，中位数为152253077+=；（2）因为社区居民年龄在[)20,25）内的人数为6050.013⨯⨯=人，在[]40,45内的人数为6人，所以X 的可能取值为0,1,2,3,则()3639C 50C 21P X ===，()123639C C 151C 28P X ===，()213639C C 32C 14P X ===，()3339C 13C 84P X ===，故X 的分布列为X123P5211528314184期望为()515310123124281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC 为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+.(1)证明：2a b =；(2)若16cos cos 5A B =，ABC的面积为S =，求ABC 的周长.【正确答案】(1)证明见解析(2)6+【分析】（1）利用三角形内角和等于π，即π()B A C =-+，再结合三角恒等变换的公式化简，并结合正弦定理“角化边的性质”得出结论；（2）结合余弦定理，将已知条件“角化边”，得到a ，b ，c 的等式关系，结合面积公式即可求出a ，b ，c ，进而求出三角形的周长.【详解】（1）证明：由题意可得：sin 2sin cos 2sin cos cos sin B B C A C A C +=+所以()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+展开整理得sin cos 2sin cos A C B C =∵ABC 为锐角三角形∴cos 0C ≠∴sin 2sin A B =∴2a b =.（2）∵16cos cos 5A B =∴22222216522b c a a c b bc ac+-+-⋅⋅=∵2a b=整理得244220185c b c b --=，∴2c b =∴222222241cos 24892b b a b c C ab b b +-+-===，sin 8C =∴212sin 2ABC S b b C b =⋅⋅△，∵ABC S =△，∴2b =∴4a =，c =∴ABC的周长为6a b c ++=+20．如图，在三棱锥-P ABC 中，已知侧面PAC 是边长为2的等边三角形，4AB BC ==，点Q 为侧棱PB 的中点.(1)求证：AC PB ⊥；(2)若PB =，AM AC λ=uuu r uuu r，若直线MQ 与平面PBCλ的值.【正确答案】(1)证明见解析(2)34λ=-【分析】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，即可得到BO AC ⊥、PO AC ⊥，从而得到AC ⊥平面POB ，即可得证；（2）解法1：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN AC ⊥，由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，即可得到PB ⊥平面PAC ，则PB AN ⊥，即可得到AN ⊥平面PBC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；解法2：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN AC ⊥，由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，即可得到PB ⊥平面PAC ，则PB AN ⊥，即可得到AN ⊥平面PBC ，作//MH AN ，连接QH ，即可得到MH ⊥平面PBC ，直线MQ 与平面PBC 所成的角就是MQH ∠，设AM x =，利用相似三角形及勾股定理求出x ，即可得解.【详解】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，∵4AB BC ==，∴BO AC ⊥，∵PA PC =，∴PO AC ⊥，又PO BO O =，,PO BO ⊂平面POB ，∴AC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AC PB ⊥.（2）解法1：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN PC ⊥，由已知，在PAB ，PCB 中，∵222PA PB AB +=，222PC PB CB +=，∴PB PA ⊥，PB PC⊥又PA PC P = ，PA ，PC ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，∵AN ⊂平面PAC ，∴PB AN ⊥，又PB PC P ⋂=，PB ，PC ⊂平面PBC ，∴AN ⊥平面PBC ，∴AN为平面PBC 的法向量，以AC 的中点O 为原点，分别以OA ，OB 为空间直角坐标系的x ，y 轴，以垂直于平面ABC 的直线Oz 为z 轴，则()0,B ，()1,0,0A ，()1,0,0C -，在直角三角形BOP中，OP ==sin BP BOP BO ∠==，cos BOP ∠=所以sin PH OP BOP =∠=1cos 5PP OH OP BOP ==∠，∴0,55P ⎛- ⎝⎭，1,2105N ⎛-- ⎝⎭，0,55Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0,0M x，则QM x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3,2AN ⎛=- ⎝⎭∵直线MQ 与平面PBC∴直线MQ 与平面PBC 所成角θ∴sin cos ,2AN QM AN QM AN QM θ⋅===⨯ ，解得52x =，而AM AC λ=uuu r uuu r ，即()51,0,02,0,02λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得322λ-=，所以34λ=-.解法2：取PC 的中点N ，连接AN ，则AN PC ⊥，由已知，在PAB ，PCB 中，∵222PA PB AB +=，222PC PB CB +=，∴PB PA ⊥，PB PC⊥又PA PC P = ，PA ，PC ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，∵AN ⊂平面PAC ，∴PB AN ⊥，又PB PC P ⋂=，PB ，PC ⊂平面PBC ，∴AN ⊥平面PBC ，如图，作//MH AN ，连接QH ，∴MH ⊥平面PBC ，直线MQ 与平面PBC 所成的角就是MQH ∠，由已知得直线MQ 与平面PBC 所成角60MQH ∠=︒，设AM x =，则在三角形CAN 和CMH 中，由CA AN CM MH =得)2MH x =+，同理得22xCH +=，所以12x PH =-，在直角三角形QPH中，QH =，所以在直角三角形MQH中有MH =，即)2223132x x ⎡⎤⎤⎛⎫+=⨯-+⎢⎥⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦解得32x =，而AM AC λ=uuu r uuu r ，所以34λ=-.21．设函数()()2222ln f x ax x a x =+-+，a ∈R .(1)若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围；(2)若[]1,2x ∈时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)111,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)1a ≥-【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()0f x '=在()0,∞+有两个不等实根，即可得到10a a+->且11a a +-≠，从而求出参数的取值范围；（2）方法一：（分类讨论），当0a =时根据ln 1≤-x x 说明即可，当0a ≠时求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解；方法二：（分离参数），依题意可得()22ln 2ln 2x x a x x -≥-恒成立，设()22ln g x x x =-，利用导数说明函数的单调性，参变分离可得22ln 22ln x xa x x -≥-恒成立，只需2max2ln 22ln x x a x x -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，设()22ln 22ln x xh x x x-=-，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）函数()()2222ln f x ax x a x =+-+的定义域为()0,∞+，()()()2121212222a a x x ax x a a a f x ax x x x+⎛⎫+- ⎪⎡⎤+-++'⎣⎦⎝⎭=+-==，因为()f x 存在两个极值点，所以()0f x '=在()0,∞+有两个不等实根，所以10a a+->且11a a +-≠，解得10a -<<且12a ≠-，即实数a 的取值范围为111,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）方法一：（分类讨论）令()()ln 1m x x x =--，则()111x m x x x-'=-=，所以当01x <<时()0m x '>，函数单调递增，当1x >时()0m x '<，函数单调递减，所以()m x 在1x =处取得极大值，又()10m =，所以()ln 10x x --≤恒成立，即ln 1≤-x x ，当0a =时，()()()22ln 2ln 2120f x x x x x x x ⎡⎤=-=-≥--=>⎣⎦，符合题意；当0a ≠时，()()()2121212222a a x x ax x a a a f x ax x x x +⎛⎫+- ⎪⎡⎤+-++'⎣⎦⎝⎭=+-==，①若0a >，()0f x '≥对[]1,2x ∈恒成立，()f x 在[]1,2单调递增，()()min 120f x f a ==+>，符合题意；②若a<0，则（ⅰ）当12a ≤-，11a a +-≤，()0f x '<恒成立，()f x 在[]1,2单调递减，只需()()()min 24422ln201f x f a a a ==+-+≥⇒≥-，所以112a -≤≤-；（ⅱ）当103a -≤<时，12a a+-≥，()0f x '≥恒成立，()f x 在[]1,2单调递增，只需()()min 120f x f a ==+>，所以103a -≤<均符合题意；（ⅲ）当1123a -<<-时，112a a +<-<，当11,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，当1,2a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，所以()f x 在11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，则()()(){}min min 1,2f x f f =，而当1123a -<<-时，()10f >，()20f >均成立，所以1123a -≤<-符合题意.综上所述，1a ≥-.方法二：（分离参数）()()()22222ln 02ln 2ln 2f x ax x a x x x a x x =+-+≥⇔-≥-恒成立，设()22ln g x x x =-，[]1,2x ∈，则()2122g x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'，由1y x x =-在[]1,2单调递增，得10x x-≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,2单调递增，所以()()110g x g ≥=>，所以()222ln 22ln 2ln 22ln x x x x a x x a x x --≥-⇔≥-恒成立，只需2max2ln 22ln x x a x x -⎛⎫≥ -⎝⎭.设()22ln 22ln x x h x x x -=-，[]1,2x ∈，则()()()()2221ln 22ln x x x h x x x ---=-'设()ln 2x x x ϕ=--，[]1,2x ∈，则()1110x x x xϕ'-=-=≤，所以()x ϕ在[]1,2单调递减，所以()()130x ϕϕ≤=-<，（或者由ln 12ln 20x x x x x ≤-<+⇒--<）,从而得()0h x '≥，故()h x 在[]1,2单调递增，所以()()max 2ln242142ln2h x h -===--，所以1a ≥-.方法点睛，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．已知离心率为2的双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左右顶点分别为A ，B ，顶点到渐近线过双曲线E 右焦点F 的直线l 与双曲线E 交于P ，Q （异于点A ，B ）两点.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)记ABP ，ABQ ，BPQ V 的面积分别为1S ，2S ，3S，当123S S S -=l 的方程；(3)若直线AP ，AQ 分别与直线1x =交于M ，N 两点，试问MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【正确答案】(1)221412x y -=；(2)4x y =±+；(3)定值，2π.【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）根据题意设直线:4l x my =+，联立方程组将面积的表达式表示出来，根据面积的值进而求解；（3）根据题意设出直线,AP AQ 的方程，求出点M ，N 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】（1）设双曲线E 的焦距为2c ，取一条渐近线为0bx ay -=，又(),0A a -，则由题意可得224ca abca b c⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩，故双曲线E的标准方程为221412x y-=；（2）由题意可得直线l的斜率不为0，设直线:4l x my=+，()11,P x y，()22,Q x y.联立2241412x myx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x整理得()223124360m y my-++=，当2310m-≠时，()()()222244313614410m m m∆=--⨯=+>，则1222431my ym+=--，1223631y ym=-.当l与双曲线交于两支时，121212S S AB y y-=-，31212S BF y y=-，1232S SS-=，不合题意；当l与双曲线交于一支时，121212S S AB y y -=+，31212S BF y y =-，则()1211112231211122242214S S y y y y m S y y m y y y y -++====-++-1m =±，故:4l x y =±+；（3）直线AP 的方程为()1122y y x x =++，令1x =，得1132y y x =+，则1131,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.直线AQ 的方程为()2222y y x x =++，令1x =，得2232y y x =+，则2231,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.因为()4,0F ，所以1133,2y FM x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2233,2y FN x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，()()1212122121212121233999992224636y y y y y y FM FN x x x x x x m y y m y y ⋅=+=+=+++++++++22222223699363199990362436144363366363131m m m m m m m m m ⎛⎫⨯ ⎪⨯-⎝⎭=+=+=-=-+⨯-⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故FM FN ⊥ ，即2MFN π∠=，故MFN ∠为定值π2.。

浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

浙江省杭州2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.1.两条平行直线1l ：3450x y +-=与2l：6850x y +-=之间的距离是（）A.0 B.12C.1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可.【详解】345068100x y x y +-=⇒+-=，12=，故选：B2.已知圆()()()2122292:x m y m m C -+-=-与圆22288340:x y x C y m +--+-=，则“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m -+-=-；易知20m ->，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =-，两半径之和12r r +=若4m =，圆心距12C C =，两半径之和12r r +=，此时1212C C r r =+=，所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C与圆2C外切，则2-=4m =或2m =（舍），所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件.故选：C3.已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A.1±B. C. D.2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d=，则弦长为||MN =，则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =.故选：C.4.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26，B.[]48， C. D.⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5.已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（）A.2B.C.172D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y '，当||2||M D M E ''==化简整理得221x y +=，即点M '的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||2BE ==，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,2E 并求出满足条件||2||M D M E ''=的点M '的轨迹是解题的关键.6.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（）A.12B.2C.2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOF DEF DOE S OF h S EF h S OE h === ，因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEF DOF DEF S S S =⋅ ，即2EFOF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++--，联立22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++-=，由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a c a c a b a b a b-+=-=++⋅，直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++--=--，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c ⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅-⋅++===-++-++-++，则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，则()22222c a a c =-，即422430a c a c -+=，即42310e e -+=，解得232e =，则512e =，故选：D7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（）A.5B.23C.4D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=-，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=-，如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =-，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ，所以22::3:4:5AF BF AB =，设23AF x =，则24,5BF x AB x ==，由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3a x =，所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =故点A 与上顶点重合，在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +-+-∠===⋅⨯，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +-∠==，解得：5c a =，所以椭圆离心率为故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A.63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]3,21- C.63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B -，(1,0)F ，所以直线AF的方程为1)y x =-，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x -=-+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y -+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得912,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ，因为[]3cos 4sin 5sin()5,5θθθϕ+=+∈-，所以OM ON ⋅∈[]3,21-．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y -+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当25a =时，12l l ⊥B.当2a =-时，12l l ∥C.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1-D.当1l ，2l平行时，两直线的距离为【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1-，直接判断即可；B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可；C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y -+-=，此时两直线的斜率分别为115k =-和25k =，所以有121k k ×=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =-时，那么直线1l 为30x y -+=，直线2l 为30x y -+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得：()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +-+-=，整理可得：()1370a y x y -+-+=，故直线2l 过定点()2,1-，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a --=-，解得：3a =或2a =-，当2a =-时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离13d ==，故D 选项正确.故选：AD .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（）A.2ABF △的周长为4aB.若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C.若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是6565⎣⎦D.若1k =时，则2ABF △的面积是222ca b +【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=-，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率,65e ∈⎣⎦，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积22212S c x c b x a ==+-，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c -；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c -，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，中点()00,Mxy ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++-=；由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=-+，所以221202222x x a k cx b a k +==-+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k -+==-=---+，可得2222OMk b k a k b k a⋅-==⋅-，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅= 可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c -⋅=+--=---，可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上；又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率,65e ∈⎥⎣⎦，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++-=；所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a-+=-=++；所以21222ax x b a -=+易知2ABF △的面积21211221212221122S F F y a F F y cc y y c x b x =+=-=+=-即可得2ABF△的面积是222ca b+，故D 正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11.已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A.12x x 为定值B.线段AB 的中点在一条定直线上C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D.AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩可得()222220k x km p x m +-+=，()2222224480km p k m p kmp ∆=--=->，对于A 选项，2122m x x k=不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k +-==，00p km p y kx m m k k-=+=+=为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmmk x x m x x y y k k k y y p p p k -+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km pp x x AF k p p BF x x -+-+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12.已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（）A.四边形PAMB 周长的最小值为2B.||AB 的最大值为2C.若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若(,0)4Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C，根据题意，计算PAB 的底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D，设动点(,0)P m ，求出切线AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确．【详解】对于选项A，设||MP t =，则||||BP AP ===则四边形PAMB 周长为2，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2，所以四边形PABM 周长最小为2+，故A 错误；对于选项B，12||||2MAP PAMB S S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ⨯⨯=，所以||AB ==，因为2t ，所以)||AB ∈，故B 错误；对于选项C，因为(1,0)P ，所以||MP =t =，所以||AB ==，1||||2AC AB ==，||2AP ==，||PC ==所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；对于选项D，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +--=，又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +--=化简得11230mx y -+=设()22,B x y ,同理可得22230mx y -+=，因此点,A B 都过直线230mx y -+=，即直线AB 的方程为230mx y -+=，MP 的方程为22y x m=-+，二者联立得，22230y x mmx y ⎧=-+⎪⎨⎪-+=⎩①②，由①式解出22x m y =-，代入②式并化简得227302x y y +-+=，配方得2271(416x y +-=，2y ≠，所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆，设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R +==+=，故D 正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1--【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d =，因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=->，当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21-≤<-，故答案为：[)2,1--.14.形如()0b y ax b x =+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x=-的一个焦点坐标为______.【答案】,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点.【详解】由4135-x y =x 知，其两条渐近线分别为403xx =,y =，所以双曲线4135-x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线，令43x y =的倾斜角为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==-，则22tan 3tan 2022θθ+-=，解得tan 22θ=-（舍去），1tan 22θ=，所以11tan122tan 31421tan 122θπθθ++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--，即一条对称轴为3y x =，故另一条对称轴为13y x =-，显然13y x =-与4135-x y =x有交点,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长3015a ==，而渐近线0x =与对称轴13y x =-夹角的正切值为3，3b a =，又因为3015=a ，所以303033155⨯=b =a =，由2222641553+=c =a +b =，设焦点为1,3m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则221433m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以305m =±，所以焦点坐标为,,,515515⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：,515⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭或,515⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.15.在椭圆2213x y +=上有点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______.【答案】71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可；法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠，联立2213y x bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2246330x bx b ++-=，所以1232x x b +=-，()212314b x x -=，则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+-=+，.法一：因为31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1123302OP k -==-，OP 的中点坐标为3,414⎛⎫ ⎪⎝⎭，OP 中垂线的斜率为3-，所以OP 中垂线方程为113:344l y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即532y x =-+，因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即31,44b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以AB 中垂线的斜率为1-，则AB 中垂线方程213:44l y b x b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即12y x b =--，联立53212y x y x b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得54354b x b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，则圆心坐标535,44b b C ++⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为22222AC BC OC AC +==，所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎥⎫⎛⎫+=-+++-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎣⎦⎝，整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++⎛⎫⎛⎫+-+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1232x x b +=-，()212314b x x -=，1212y y b +=，21234b y y -=，所以()22222112123624x x x x b x x +=+-+=，()2222211212624y b y y y y y -+=+-+=，则2203563614242532244b b b b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪- ⎪+⎝⎭⎝+-⨯⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，直线3:2AB y x =-，满足题意，又535,44b b C ++⎛⎫-⎪⎝⎭，所以此时圆心坐标71,88C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立22y x b x y Dx Ey =+⎧⎨+++=⎩，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=，所以1222b D E x x +++=-，2122b Ebx x =+，又1232x x b +=-，()212314b x x -=，所以3222b D E b ++-=-，()223142b b Eb -+=，所以1322D b b =+，1322E b b=-，因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b ⎛⎫⎛⎫+++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22530b b ++=，解得32b =-，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =-，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =-时，1332722234D ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1332122234E ⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于方程2246330x bx b ++-=，有()2299361633361633044b b ⎛⎫∆=--=⨯-⨯-> ⎪⎝⎭，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x -+=，有2915Δ42028⎛⎫=--⨯⨯> ⎪⎝⎭，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以圆心为71,88⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：71,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16.已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程有2440y my --=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-，则1222M y y y m +==，111x my =+，221x my =+，则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x -，()1,0F ，则()1,2N m -，()212||41AB y m =-=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++-=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+=，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m =故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +-=（2）0y =或=1x -【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程.【详解】解：设点(),B m n 则1102211m n n m -+⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以点()1,0A -关于直线l ：10x y +-=对称的点的坐标为()1,2B （1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =-，则直线1l 为：()21y x -=--，即30x y +-=.（2）由条件可知：22AB =，ABC 的面积为2，则ABC 的高为22222h ⨯==，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为2.直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b ，则有122a b -+=，即1b a =-或3b a =+又1b a =-，解得：10a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=⎩则直线2l 为：0y =或=1x -【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.18.已知圆221:(1)5C x y +-=，圆222:420C x y x y +-+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，化简得10x y --=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d ==，则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++；由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上，则()414111λλλ--=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +-+-=，即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：由（1）得1y x =-，代入圆222:420C x y x y +-+=，化简可得22410x x --=，解得22x ±=；当22x +=时，2y =；当22x -=时，2y =-；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎛⎛⎛-⎪-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以222321722222r ⎛⎛+=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(8)9160916916916m t t mt t t m m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20.已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94-；（2）存在98(,)55P -或98(,55P -满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ-，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x -，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD 方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．【小问1详解】由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--；【小问2详解】设00(9,8)P x x -，（00x ≠），∴010893x k x -=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x y x x -=++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x y x x -=++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x -++=+，即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++--++=，2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=-++，00121212012012883()33(2)[29393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=-++=-+++2200002200000083480832(2))93112527045932561x x x x x x x x x x ⋅=-+=--+---+++2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x -+-+=⋅=+++++，同理CD 的方程为008(3)93x y x x -=--，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x -++-+-=，2034200480549x x x x x +=--+，20034200112527045549x x x x x x -+-=-+，∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC OD y x x x x x y k k x x x x x x x x -+-⋅+=+=-=----+20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x ---=-=--+-+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x -+--+=++-+，整理得200(251)0x x -=，∵00x ≠，∴015x =±，∴存在98(,)55P -或98(,)55P -满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x -，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠= 的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A p y FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +-=；（2）表达出0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==.【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=︒===，设(),A A A x y ，由焦半径可得：2A p y FA FD +===，112222ABD A p S BD y p ⎛⎫=⋅⋅+=⨯= ⎪⎝⎭ ，解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +-=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设0,2p S ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m k p n m k b ⎧+⎪=-⎪⎪⎨⎪-⎪=⋅+⎪⎩，解得：221212b p m k k b p p n k +⎧=-⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb --=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==-，则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b+=++++()222221220pb k pk b b pb b -+++=-+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==，【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22.如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A -，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=-=-【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =-=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty -=，显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x-=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty m --=则有：4P Q y y m⋅=-由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON =从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m =，进而有：4||E D DE x x m m=-=-结合||,4P Q OD m y y m =⋅=-（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<）可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅314()444m m m m m m=⋅⋅-⋅=-+又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m-⋅-+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y m y x⎧-⋅-+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：24(4)40x m x m-+-+=由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤-令3()4g m m m =-+，求导可知()g m在上单调递增又43-≤=故有：()g m在(0,4-上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=-=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷(含解析)

浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷(含解析)

浙江省金华市2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合,,则( )A.或 B.C. D.2．已知复数( )A.-2B.2C.D.3．若a ,,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列说法错误的个数为( )①已知,若,则②已知,则A.0B.1C.2D.35．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高,以1开头的数出现的频数约为总数的三成,并提出定律：在大量进制随机数据中,以开头的数出现的概率为.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若,则k 的值为( )A.14B.15C.24D.256．袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,取得白球得1分,取得黑球得2分,取得红球得3分,直到取到的球的总分大于{ln 0}M x x =>01xN xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭M N = {1x x <-0}x >{1x x -<1}>{}01x x <<{}1x x >z =z z -=4i -4i0b >a b >3ln 3ln a b b a ->-()210X N σ~,()809P X ≥=．()81208P X ≤≤=．153X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()()5093E X D X ==,．b n ()log b bP n =()()*165ln6ln2ln2ln8kn p n k =-=∈+∑N ()*4k k ∈>N ,或等于4分时终止,用X 表示终止取球时所需的取球次数,则( )7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为( )8．已知函数,当大值为M ,有,则实数k 的最大值为( )二、多项选择题9．下列选项中正确的有( )A.已知在,则C.若非零向量,D.已知,,且与夹角为锐角,则的取值范围是10．下列命题错误的是( )A.线性相关模型中,决定系数越大相关性越强,相关系数r 越大相关性也越强B.回归直线至少会经过其中一个样本点C.已知一系列样本点的经验回归方程为,若样本点与的残差相等,则D.以模型去拟合某组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则a,b 的值分别为3,411．如图,已知圆台的下底面直径,母线,且,P 是下底面圆周上一动点,则( )()3P X ==()()322111432f x x x a x b a b ⎛⎫=-+-+≥∈ ⎪⎝⎭R ,0x ∈［，(M k ≥ab 5252a b ⋅=)b c a b c⋅≤ a b b = 2b += ()12a = ，()23b = ，a a b λ+ λ58⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2R ()i i x y ,()()i 123i i x y =⋯,，，ˆ2ˆy x a =+()2m ，()3n ,28m n +=e bx y a =ln z y =4ln3z x =+OO '4AB =2BC =AC BC ⊥A.圆台的侧面积为B.圆台C.当点P 是弧中点时,三棱雉的内切球半径D.的最大值为三、填空题12．的展开式中的常数项为____________.13．在锐角三角形中,边长为1,且,则边的长度取值范围是___________.14．某学校举办校庆,安排3名男老师和2名女老师进行3天值班,值班分为上午和下午,每班次一人,其中女老师不在下午值班,且每个人至少要值班一次,则不同的安排方法共有____________种（用数字作答）.四、解答题15．设函数,其中,已知.（1）求的解析式;（2）已知,求的单调递增区间及值域.16．在如图所示的直三棱柱中,,,D ,E 分别是线段,上的动点.（1）若平面,,求的值;OO '6πOO πAB A BCP -23r >2PA PC +922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC BC 2B A =AC ()cos f x x x ωω=-()0,3ω∈π26f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 111ABC A B C -2AB BC ==12AA =BC 11A B //DE 11ACC A 1132B E EA =::CD BD :（2）若三棱柱是正三棱柱,D 是的中点,求二面角余弦值的最小值.17．已知函数,.（1）求曲线在点处的切线方程;（2）讨论的单调性;（3）证明：当时,.18．某超市为促进消费推出优惠活动,为预估活动期间客户投入的消费金额,采用随机抽样统计了200名客户的消费金额,分组如下：,,,,（单位：元）,得到如图所示频率分布直方图：表示）（2）若把消费金额不低于800元的客户,称为“活跃客户”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,求列联表中x,y 的值,并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？（3）为感谢客户,该超市推出免单福利,方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人,从中抽取2人进行免单,试写出总单金额YBC D BE A --()()212ln 22f x x x a x =+++a ∈R ()y f x =()()11f --,()f x 2a <-()234a f x a a ae ++>-[)0200，[)200400，[)400600， []10001200，95%的分布列及其期望.（每一组消费金额按该组中点值估计,期望结果保留至整数.）附：19．已知①设函数的值域是C ,对于C 中的每个y ,若函数在每一处都等于它对应的,这样的函数叫做函数的反函数,记作,我们习惯记自变量为x ,因此可改成即为原函数的反函数.易知与互为反函数,且.如的反函数是可改写成即为的反函数,与互为反函数.②是定义在D 且取值于D 的一个函数,定义,,,,则称是函数在D 上的n 次迭代.例如,则.对于一些相对复杂的函数,为求出其n 次迭代函数,我们引入如下一种关系：对于给定的函数和,若函数的反函数存在,且有,称与关于相似,记作,其中称为桥函数,桥函数满足以下性质：（1）若,则（2）若为的一个不动点,即,则为的一个不动点.（i ）若函数,求（写出结果即可）（ii ）证明：若,则.（iii ）若函数,求（桥函数可选取）,若,试选取恰当桥函数,计算.()()()()()2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()()y f x x A =∈()g y ()g y x ()()x g y y C =∈()()y f x x A =∈()()1x f y y C -=∈()()1x f y y C -=∈()()1y f x x C -=∈()()1y f x x C -=∈()()y f x x A =∈()()1f f x x -=2x y =2log x y =2log y x =2x y =2log y x =2x y =()f x ()()0f x x =()()()1f x f x =()()()()2f x f f f f x =- ⋯()()()n f x f f f ff f x == ()()n f x ()f x ()f x x a =+()()n f x x na =+()f x ()g x ()x ϕ()1x ϕ-()()1f xg x ϕϕ-= ()f x ()g x ()x ϕf g ϕ~()x ϕf g ϕ~1g fϕ-~0x ()f x ()00f x x =()0x ϕ()g x ()22f x x =()()n f x f g ϕ~()()n n fg ϕ~()22f x x x =+()()n f x ()1x x ϕ=+()2612c x x x =-+()()n c x参考答案1．答案：D解析：,,所以,所以或,所以 或, 所以.故选：D.2．答案：C 解析：,所以.故选：C.3．答案：C解析：由可得,令,,所以 在上单调递增,所以由,即,当时,因为 在 上单调递增, 所以 ,当 ,因为 在 上单调递增,所以 ,所以 “”是“ ”的充要条件.故选:C.4．答案：B 解析：5．答案：A解析：即,{ln 0}{1}M x x x x =>=>∣∣0>(1)0x x +>0x >1x <-{1N x x =<-∣0}x >{1}M N x x => ∣2i12i iz -==--12i =-+4i z z -=-3ln 3ln a b b a ->-3ln 3ln a b a b +>+()3ln (0)x F x x x =+>1()3ln 30x F x x'=+>()F x (0,)+∞3ln 3ln a b a b +>+()()F a F b >a b >()F x (0,)+∞()()F a F b >()()F a F b >()F x (0,)+∞a b >a b >3ln 3ln b a b a ->-161616161656781()log log log log 567kn k p n k=+=++++∑ ()*ln 6ln 2,4ln 2ln 8k k -=∈>+N 16161log log 35k +=,解得.故选: A.6．答案：B解析：由题意,时, 取球的情况为：白白红,白白黑, 白黑白, 白黑黑, 白黑红, 黑白白,黑白黑, 黑白红,所以故选：B.7．答案：D解析：如图, 设正三棱锥的底面边长为,高为,外接球半径为.因为体积为1 ,所以,所以不论外接球的球心在正三棱锥的内部（图1）,外部（图2)还是与G 重合（图3）,其外接球半径均满足,将当且仅当即故选：D.8．答案：C 解析：3=14k =3X =21122211122111(3)54335433354333P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯++⨯⨯+++⨯⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB BC AC a ===GS h =OA OS R ==211132V h =⨯=2a h =2222()3h R R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭2a h ===≥==312a =a =9．答案：BC 解析：10．答案：AB 解析：11．答案：ABD 解析：12．答案：5376解析：的展开式的通项为:,,令,解得: ,所以 的展开式中的常数项为:.故答案为:5376 .13．答案：解析：因为 , 所以 ,由正弦定理得, ,因为,所以 ,因为是锐角三角形,所以,解得,所以,即边的长度取值范围是.故答案为：.14．答案：252解析：若上午值班均为女教师, 则不同的安排方法共有 种,可知下午值班均为男教师,则不同的安排方法共有 种,则不同的安排方法共有 种;922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()921831992C C (2)rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭0,19r =⋯1830r -=6r =922x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭669C (2)5376-=2B A =sin sin 22sin cos B A A A ==2cos b a A =1a =2cos b A =ABC △π0,2π20,2ππ30,2A B A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos b A =∈AC3226-=33A 6=6636⨯=若上午值班有男教师, 则不同的安排方法共有种,①当上午值班的男教师不下午值班时,则不同的安排方法共有 种;②当上午值班的男教师也下午值班时, 则不同的安排方法共有 种;则不同的安排方法共有种;综上所述：不同的安排方法共有种.15．答案：（1）（2）解析：（1）可化为,所以所以,又所以,所以（2）令解得又所以故的单调递增区间为所以所以1333C A 18=3226-=33A 6=18(66)216⨯+=36216252+=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()[]12f x ∈-，()f x ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππsin 2666πf ω⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2k π662ω--=-+212k ω=-k ∈Z ()03ω∈，0k =2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()111πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()111ππππ63k x k k -≤≤+∈Z π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10k =()f x π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()[]12f x ∈-，解析：方法1.（1）过点E 作,交于M ,连接,如图,由平面,平面,则平面又平面,,且,平面,故平面平面又平面平面,平面平面,所以方法2过点D 作,可得,所以四点共面四边形是平行四边形1//EM A A AB DM 1AA ⊂11AA C C ME ⊄11AA C C //EM 1ACC A 32BM AM ==//DE 11ACC A DE EM E = DE EM ⊂DEM //DEM 11ACC A DEM ABC DM =11A ACC ABC AC =//DM ACBD CD ==23=//MD AB //MD AE 1MDEA 11111111////A ED AA C C AA C C EA MD A M ED A M ED E MD⎧⎪=∴⎨⎪⊂⎩平面平面平面，平面∴1EA MD 1A E MD ∴=25DM CD AB CB ===23=（2）过D 作,垂足为G ,正三棱雉可得平面,再过作,垂足为N ,连接,则即为二面角的平面角.当E 位于时故二面角方法2：取的中点O 由正三棱锥得平面如图建立空间直角坐标系,,,设平面的法向量令平面法向量DG AB⊥DG ⊥11A ABB GGN BE ⊥DN ,EB NG EB DG EB DGN EB ND NG DG G ⊥⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨=⎩平面 DNG ∠B AE D --cos GN DNG DN ∠===1A min DG =min DNG ∠==B AE --BA OC ⊥11AA B B()2,,0E t ()0,1,0B -[]10112D t ⎛-∈- ⎝，，()21,0BE t =+ ,102BD ⎛= ⎝ ，DEB ()n x y z =,, ()102210BD n y z BE n x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩y =)11t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11AA B B ()001m =，，当时取到17．答案：（1）（2）时增区间为,当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）见解析解析：（1）令又过点直线方程为可化为（2）当,在上恒成立,故在上单调递增;当时,令得令得故在上单调递增,在上单调递减综上所述：时增区间为当时单调递增区间为,单调递减区间为（3）证明：不等式可化为恒成立由（2）知,当时,,令,cos cos ,m n θ== 1t =min cos θ=()112ya x a =++-0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()()()222222x a a f x x x x x '++=++=>-++()111x k f a='=--=+,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭-()()3112y a x +=++()112y a x a =++-()()()2222x af x x x ++=+'>- 0a ≥()0f x '>()2,x ∈-+∞()f x ()2,-+∞0a <()0f x '>2x >-+()0f x '<22x -<<-()f x ()2-++∞(2,2--+0a ≥()2,-+∞0a <()2-++∞(22--，()2340a f x a a ae ++-+>2a <-()(()min 112ln 222f x f a a a =-+=-+--()()()222min 154343ln 222a a a f x a ae a f x a ae a a a a ae a ++-+≥++-+=-+-++()()215ln 222a g a a a a ae a =-+-++则.令则.因为,所以所以在上单调递增.所以,所以,所以在上单调递减.因为,所以,所以,即当时,.18．答案：（1）620（2）有的把握与性别有关（2）列联表如下因此有的把握与性别有关.（3）可视作抽出消费900元8人,消费1100元4人()()12ln 32a a g a a a e ae =+---+'()()12ln 32a a h a a a e ae =+---+()()1222a h a e a a=+-+'2a <-()0h a '>()h a ()2∞--，()()2121ln202h a h e -<-=-++<()0g a '<()g a ()2-∞-，()22ln2210g e --=-++>()()20g a g >->()()()22min 43430a a f x a ae a f x a ae a g a ++-+≥++-+=>2a <-()234a f x a a ae ++>-95%100013000155000270002590002110001620=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．()2220012003200952410010060140χ⨯-==⨯⨯⨯．23841χ>．95%19．答案：（1）（2）成立（3）见解析解析：（1）（2）因为,有,即所以有,即由数学归纳法或递推法可知成立.（3）根据相似函数不动点也相似,桥函数选取时可令不动点为一解,当,可选取桥函数（不唯一）,易得由（2）可知,即有.当,选取桥函数,.易得由（2）可知,,即有.()141611800200022001933333311E Y =⨯+⨯+⨯≈2122n n x -⋅()()n n f g ϕ~()()2122n n n f x x -=⋅f g ϕ~1f g ϕϕ-= f g ϕϕ= 1f f g f g g g g ϕϕϕϕϕϕ-=== ()()22fg ϕ~()()n n f g ϕ~()22f x x x =+()1x x ϕ=+()()()211121,11211x x g f f x x x ϕϕϕϕ---=-==+=-+-+= ()2n n g x =()()n n fg ϕ~()()()()2n 1111nn n f g g x ϕϕϕ-==-=+- ()2612c x x x =-+()3x x ϕ=-()1123x x g f x ϕϕϕ--=+==, ()2n n g x =()()n n f g ϕ~()()()2133n n n f g x ϕϕ-==-+。

2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题2【含答案】

2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题2【含答案】

2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x y x ==-，{}23B x x =<，则A B = （）A ．1]-∞（，B ．0,3⎡⎤⎣⎦C ．(3,1⎤-⎦D ．)1,3⎡⎣【答案】C【分析】先化简集合,A B ，利用集合的交集运算即可求解【详解】因为{}{}11A x y x x x ==-=≤，{}{}2333B x x x x =<=-<<，所以{}31A B x x ⋂=-<≤，即(3,1A B -⋂=⎤⎦，故选：C2．设复数z 满足1i 1i ()z -=+，则||i z -在复平面内对应的点在第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】利用复数除法运算求得||i z -，进而判断其对应点所在象限.【详解】由()1i (1i)1i 2ii 1i (1i)(1i)2z +++====--+，故||i=1i z --在复平面内对应的点为()1,1-.所以z 在对应点在第四象限.故选：D.3．已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()-⊥a b b r r r ，则a 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】A【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，根据a b b →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭得到2||||cos ||a b b θ⋅⋅= ，联立||2||a b =，得解.【详解】解：设向量a ，b的夹角为θ，()a b b -⊥，()0∴-⋅=a b b ，即2()a b b ⋅= ，所以2||||cos ||a b b θ⋅⋅=①，a，b为非零向量，且满足||2||a b =②，∴联立①②可得1cos 2θ=，[0,π]θ∈ ，所以两向量的夹角为π3.故选：A4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（）A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】B【分析】先利用2a ，53a ，89a 成等差数列解出3q ，再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B.5．若函数sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,m 上单调递增，则m 的最大值为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.【详解】由sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得当22,262k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈时函数单调递增，即122,2,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，12,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又函数在[]0,m ，所以203m <≤，即m 的最大值为23，故选：C.6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）A ．96种B ．60种C ．36种D ．24种【答案】B【分析】分类讨论优先安排羽毛球场志愿者，再用全排列和分组分配法求解即可.【详解】羽毛球场安排两个志愿者：44A 24=种，羽毛球场安排一个志愿者：2343C A 36=种，不同的安排方法共有60种.故选:B.7．已知拋物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB l ⊥于点B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（）A ．163B ．833C ．1633D ．83【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知||||AF AB =，可推出2π3FAB ∠=，从而求得π6BFD ∠=，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线2:8C y x =准线2x =-与x 轴交点为D ，焦点(2,0)F，由于点A 在C 上，AB l ⊥，故||||AF AB =,因为2π3FAB ∠=，所以π6ABF ∠=，而AB ∥x 轴，所以π6BFD ∠=,而||4DF =,所以483||π3cos6BF ==，故选：B 8．已知4ln 4a a -=，3ln 3b b -=，2ln 2cc -=，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c<<D ．a c b<<【答案】C【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln 3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1f x x >'>，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C二、多选题9．已知m ，n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（）A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊥∥，则m n⊥【答案】BD【分析】利用空间线面关系的判定与性质定理逐项判断即可求解.【详解】对于A ，若//,m n αα⊂，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，由,m n m α⊥⊥，得//n α或n ⊂α，不论是//n α还是n ⊂α，都可结合n β⊥，得到αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,,m αβα⊥则m β⊥，又//n β，所以m n ⊥，故D 正确；故选：BD.10．已知圆22:410M x y x ++-=，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（）A ．圆M 关于直线320x y ++=对称B ．直线0x y +=与圆M 相交所得弦长为3C ．3b a -的最大值为12D ．22a b +的最小值为52-【答案】AC【分析】验证圆心是否过直线判断A ，求出相交弦长判断B ，把3bt a =-变以(3)b t a =-代入圆方程，利用判别式不小于0判断C ，利用原点到圆心的距离求得22xy +最小值判断D ．【详解】圆M 标准方程是22(2)5x y ++=，(2,0)M -，半径为5r =，易得M 点在直线320x y ++=上，A 正确；点M 到直线0x y +=的距离为222d ==，弦长为222222(5)(2)23l r d =-=-=，B 错；由3bt a =-得(3)b t a =-代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t +--+-=，22222(64)4(1)(91)80200t t t t ∆=--+-=-+≥，1122t -≤≤，所以t 的最大值是12，C 正确；2OM =，min 52OP =-，所以22a b +的最小值是2min ()945OP =-，D 错误．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．11．已知函数()3234f x x x =-+，则（）A ．()f x 的极小值为2B ．()f x 有两个零点C ．点()1,2是曲线()y f x =的对称中心D ．直线35y x =-+是曲线()y f x =的切线【答案】BCD【分析】利用导数研究函数()3234f x x x =-+的单调性、极值点、极值以及零点判断A 、B ，根据函数关于点对称的充要条件判断C ，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.【详解】()3234f x x x =-+ ，()236f x x x '∴=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，(),0x ∴∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()f x \的极小值为：()32223240f =-⨯+=，()f x 的极大值为：()32003044f =-⨯+=，∴()f x 有两个零点，()f x 的极小值为4，故A 错误、B 正确；对C ，若点()1,2是曲线()y f x =的对称中心，则有()()24f x f x +-=，将函数()3234f x x x =-+代入上式验证得：()()32323423244x x x x ⎡⎤-++---+=⎣⎦，故C 正确；对于D ，2363k x x =-=-，解得：1x =，当1x =时，()12f =，∴切线方程为：23(1)y x -=--，即35y x =-+，故D 正确.故选：BCD.12．已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A ．n 为偶数时，()221n n a -=-B ．229n T n n=-+C ．992049T =-D ．n T 的最大值为20【答案】AC【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n 为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292n n a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n nT a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC三、填空题13．61()2x x -展开式中的常数项为__________．【答案】1516【详解】366216611()()22r r rrr r r T C x C x x--+=-=-，令3602r -=，得4r =，∴常数项为446115()216C -=．14．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为5003π的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______【答案】96π【分析】由球体积求得球半径，再由球的截面性质求得圆柱的高，从而得圆柱体积．【详解】球的半径为R ，3450033R ππ=，解得5R =，圆柱的高为：221086-=．可得16696V ππ=⋅=．故答案为：96π．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65a a 的取值范围为___________.【答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据等差数列的性质可得公差0d >，由*3N ,n n S S ∀∈≥可得3234S S S S ≤⎧⎨≤⎩，从而可得132a d--≤≤，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得65a a 的取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，由于*3N ,n n S S ∀∈≥，所以0d >，且3211134111332233463S S a d a d a d S S a d a d a d ≤+≤+≤-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨≤+≤+≥-⎩⎩⎩，即132ad --≤≤，则16111515511444a a a d d a a a a d d d++===++++，由132a d --≤≤得[]141,2a d +∈，故1131,224a d⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+，即65a a 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．若对任意正实数x ，y 都有2(ln ln )0e x y y x y m ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(0,1].【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为e(2e )(ln )x x y y m-≤，再构造函数()(2e )ln h t t t=-（0t >），求其最大值，进而求得结果.【详解】由于x 为正实数，对不等式两边同时除以x 变形可得：21()(ln )0e y x yx y mx--≤，化简得：1(2)(ln )e x x y y m-≤，即：e (2e )(ln )x x y y m -≤，令x t y =（0t >），则对任意的0t >，e(2e )ln t t m-≤，所以max e[(2e )ln ]t t m-≤，设()(2e )ln h t t t =-，0t >，则2e()ln 1h t t t'=-+-，所以212e()0h t t t''=--<，所以()h t '在(0,)+∞上单调递减，又因为2e(e)ln e 10eh '=-+-=，所以()00e h t t '>⇒<<，()0e h t t '<⇒>，所以()h t 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以max ()(e)e h t h ==，所以ee m≤，解得：01m <≤，即：m 的取值范围为(0,1].故答案为：(0,1].四、解答题17．已知a 、b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}()max 1,2f x x x x =+-∈R .(1)写出()f x 的解析式，并求出()f x 的最小值；(2)若函数()()2g x x kf x =-在(],1-∞-上是单调函数，求k 的取值范围.【答案】(1)()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，()f x 的最小值为32(2)(],2-∞【分析】（1）作差221263x x x +--=-，可得出1x +与2x -的大小关系，进而可化简得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的单调性，可求得函数()f x 的最小值；（2）化简函数()g x 在(],1-∞-上的解析式，分析可知函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，可得出关于实数k 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为221263x x x +--=-，当12x ≥时，2212630x x x +--=-≥，则(){}max 1,211f x x x x x =+-=+=+；当12x <时，2212630x x x +--=-<，则(){}max 1,222f x x x x x =+-=-=-.所以，()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，故函数()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，函数()f x 的最小值为1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（2）解：当1x ≤-时，()2f x x =-，则()()222g x x kf x x kx k =-=+-，因为函数()g x 在(],1-∞-上单调，因为二次函数()g x 的图象开口向上，故函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，所以，12k -≥-，解得12k-≥-，解得2k ≤，因此，实数k 的取值范围是(],2-∞.18．已知函数()13sin cos cos 212f x x x x =--，x ∈R .(1)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(2)已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线，求a ，b 的值.【答案】(1)最小值为2-，最小正周期为π.(2)323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而可得最小值与最小正周期；（2）根据()0f C =可得π3C =，再根据向量共线的性质结合正弦定理可得2b a =，进而根据余弦定理求解即可.【详解】（1）()31πsin 2cos 21sin 21226f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∴()f x 的最小值为2-，最小正周期为π.（2）∵()πsin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，ππ11π2666C -<-<，∴ππ262C -=，∴π3C =.∵m与n 共线，∴sin 2sin 0B A -=.由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，①∵3c =，由余弦定理，得22π92cos3a b ab =+-，②解方程组①②，得323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.19．在①21,323n n n a n b T =-=+；②222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，数列{}n b 的前n 项和是n T ，___________.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求n R .【答案】(1)选条件①：故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；(2)选条件①：113n n n R +=-；选条件②：所以111n R n =-+．【分析】（1）选条件①：由323n n b T =+，11323n n b T ++=+可得13n n b b +=，根据等比数列通项公式即可求解n b ；选条件②：由22n n S n a =+，2112(1)n n S n a ++=++，可得1(1)()n n a n a n +-+=--，利用迭代法可求n a ，借助已知条件可得n b ；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.【详解】（1）选条件①：由323n n b T =+，可得11323n n b T ++=+，两式相减可得11332n n n b b b ++-=，所以13n n b b +=，在323n n b T =+中，令1n =，可得11323b b =+，所以13b =，所以{}n b 是以3为首项，公比为3的等比数列，1333n nn b -=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：由22n n S n a =+，可得2112(1)n n S n a ++=++，两式相减可得()221121n n n a n n a a ++=+-+-，即121n n a a n ++=+，所以1(1)()n n a n a n +-+=--，在22n n S n a =+中，令1n =，可得1121a a =+，所以11a =，所以由[]1(1)n n a n a n --=---，[]12(1)(2)n n a n a n ----=---，L ，212(1)0a a -=--=，所以11(1)(1)0n n a n a --=--=，从而有()n a n n *=∈N ，所以2(1)22n n n a n n S ++==，22(1)n n n b a S n n ==+，故数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；（2）选条件①：由（1）知()2112133nn n n c n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，123n n R c c c c =+++⋅⋅⋅+，()()23111111135232133333n nn R n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()234121111112213333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111133112222211333313n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--=- ⎪⎝⎭-，所以113n n n R +=-，即113nnn R +=-；选条件②：由（1）知111(1)1n c n n n n ==-++，所以12311111111112233411n n R c c c c n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-++ ．20．如图：已知△PAB 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且PA ＝PB ＝22AB ，∠ABC ＝60°，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥PA ；（Ⅱ）若F 为线段PD 上的点，且EF 与平面PEC 的夹角为45°,求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）310535.【分析】(I)先根据面面垂直的性质定理证明CE ⊥平面PAB ,再由线面垂直的性质证明CE PA ⊥;（Ⅱ）以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,求出平面EFC 的法向量、平面PBC 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）在菱形ABCD 中，∵60ABC ∠=∴△ABC 为正三角形，又∵E 为AB 的中点∴CE AB ⊥，∵平面PAB 与平面ABCD 垂直，AB 为平面PAB 与平面ABCD 的交线，∴CE ⊥平面PAB ，又∵PA ⊂平面PAB ∴CE PA⊥（Ⅱ）∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，又∵PE CE ⊥，AB CE E ⋂=∴PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示设2AB =，则2PA PB ==，1EP EA EB ===，3EC =，∴()()()()()0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,1,2,3,0E B C P D -设EF EP k PD =+，其中01k ≤≤，则()2,3,1EF k k k =-- ，∵()1,0,0EB = 为平面PEC 的法向量，∴2cos ,2EF EB =〈〉 ，得12k =，即F 是PD 的中点，∴311,,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =r 为平面EFC 的法向量，则·0{·0n EF n EC ==310{2230x y z y -++==令2z =，得1x =，取()1,0,2n =r ，设()111,,m x y z =r 为平面PBC 的法向量，则·0{·0m PB m PC == 得出11110{30x z y z -=-=令11z =，得1131,3x y ==，取31,,13m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面EFC 与平面PBC 夹角为θ，则·3105cos cos ,35n m n m n m θ=〈〉==.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知()2,0A -，()2,0B 平面内一动点P 满足34PA PB k k ⋅=-．(1)求P 点运动轨迹C 的轨迹方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，当P 点坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，0PM PN k k +=恒成立，试探究直线l的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)是定值；12【分析】对于小问1，设点(),P x y ，代入34PA PB k k ⋅=-，整理化简得P 点轨迹方程；对于小问2，设出直线l ：y kx m =+，联立曲线C 的方程，结合韦达定理，代入0PM PN k k +=，整理得到k 和m 的关系，进而判断直线是否过定点．【详解】（1）设(),P x y ，则3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，所以P 点轨迹方程为：()221043x y y +=≠．（2）显然直线l 不垂直于x 轴，故设l ：y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，代入22143x y +=并整理得：()2223484120k x kmx m +++-=，122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴()()()()1212211212121233332221111PM PNy y x y x y x x y y k kx x x x --+-+-+++=+=----()()()()()()12211212121232321x kx m x kx m x x k x x m x x x x +++-+-+++=-++()()12121212322321kx x m k x x m x x x x ⎛⎫+--+-+ ⎪⎝⎭=-++()2221212412382233423401m km k m k m k k x x x x --⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭==-++，整理得：()()212230k k m -+-=，若2230k m +-=，此时l 过P ，不合题意；若210k -=，即12k =符合题意，故直线l 的斜率为12．22．已知函数()e 2xf x a x -=+-.(1)当=2a 时，求()f x 在[]1,3-上的值域；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且120x x <，证明：02a <<且122ln x x a +>.【答案】(1)[]ln21,2e 3--(2)证明见解析【分析】（1）求出()f x '，则可得()f x 在[]1,3-上的单调性，即可求出其最值，则可得出答案；（2）由()f x 有两个零点12,x x ，易知>0(ln )<0a f a ⎧⎨⎩，由此可得0e a <<，又由120x x <可知()00f <，则可证02a <<；令120x x <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知212ln <<ln a x x a -，结合()f x 在(),ln a -∞上单调递减，则可证()()122ln f x f a x <-，又()()120f x f x ==，即可证()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()=2ln ,>ln g x f x f a x x a --，求出()g x '，易证()0g x '<恒成立，则可得()()ln 0g x g a <=，即得证.【详解】（1）当=2a 时，()2e 2xf x x -=+-，则()e 2ex x f x ='-，当[)1,ln2x ∈-时，()0f x '<，当(]ln2,3x ∈时，()0f x '>，故()min ()ln2ln21f x f ==-，因为()()()3231,12e 33e f f f =+-=->，所以max ()=2e 3f x -，故()f x 在[]1,3-上的值域为[]ln21,2e 3--；（2）证明：因为()e 2xf x a x -=+-，所以()e e x xaf x -'=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，不存在两个零点，不满足题意；当0a <时，当(),ln x a ∈-∞时()0f x '<，当()ln +x a ∈∞，时()0f x '>，即()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln +a ∞，上单调递增，要使()f x 有两个零点12,x x ，则需(ln )=ln 1<0f a a -，解得0e a <<，又120x x <，不妨令120x x <<，则()020f a =-<，所以02a <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知()()12,ln ,ln ,+x a x a ∈-∞∈∞，则212ln <<ln a x x a -，因为当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，所以要证122ln x a x >-，只需证()()122ln f x f a x <-，因为()()12f x f x =，所以()()122ln f x f a x <-等价于()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()2ln 2ln 22ln e e ,ln x x ag x f x f a x x a a a x a --=--=-+->，则()2ln 2e e2x x ag x a a --=--='()2ln e e x x a a ---+，因为2ln +2ln 2e +e2e =x x ax x a a----≥，当且仅当ln x a =时，等号成立，所以()2ln 2e e 0x x aa ---+<，即()g x 在()ln ,a +∞上单调递减，所以()()ln 0g x g a <=，故()()()1222ln f x f x f a x =<-，则122ln x x a +>.。

浙江省数学高二下学期理数期中考试试卷

浙江省数学高二下学期理数期中考试试卷

浙江省数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）“复数为纯虚数”是“”的（）A . 充分条件，但不是必要条件B . 必要条件，但不是充分条件C . 充要条件D . 既不是充分也不是必要条件2. （2分）用反证法证明“若a，b，c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为（）A . 假设a，b，c至少有一个大于1B . 假设a，b，c都大于1C . 假设a，b，c至少有两个大于1D . 假设a，b，c都不小于13. （2分） (2018高三上·南阳期末) 已知是关于的方程（）的一个根，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·东城模拟) 据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1 ， a2 ， a3 ，…，an ，和b1 ， b2 ， b3 ，…，bn ，令M={m|am＜bm ， m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于 n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A . 若A B，B C，则A CB . 若A B，B C同时不成立，则A C不成立C . A B，B A可同时不成立D . A B，B A可同时成立5. （2分）设 ,若 ,则（）A .B .C .D .6. （2分）若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A . 48B . 72C . 168D . 3127. （2分）(sinx-cosx)dx=（）A . 2B . 4C . πD . 2π8. （2分） (2015高二下·宁德期中) 若f（x）=2xf′（1）+x2 ，则f′（0）等于（）A . 2B . 0C . ﹣2D . ﹣49. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A . 乙可以知道两人的成绩B . 丁可能知道两人的成绩C . 乙、丁可以知道对方的成绩D . 乙、丁可以知道自己的成绩10. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020高三上·南漳期中) 已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则 ________.12. （1分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>> ）A．2± B ．C ．D ．12±2．已知空间两条不同直线m n ､，两个不同平面a β､，下列命题正确的是（ ） ①,m n αα⊥⊥，则//m n ②//,//,//m n αβαβ，则//m n ③,m m αβ⊥⊥，则//αβ ④,//n n αβ⊥，则αβ⊥ A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④3．已知直线:10l x ay a +--=，圆22:220M x y x +--=.则直线l 与圆M 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 有关4．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（ ）种. A ．120B ．240C ．480D ．7205．已知等差数列{}n a ，前n 项和为52020,n S a a ､是方程2230x x --=两根，则2024S =（ ） A ．2020B ．2022C ．2023D ．20246．空间点()()()1,1,1,1,2,3,1,2,4A B C --，则点A 到直线BC 的距离d =（ ）A B C D 7．已知椭圆22221x y a b+=，P 为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为2,3AP BP A B k k ⋅≤-､，则离心率e 的范围为（ ）A ．⎫⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎣⎦8．三棱锥-P ABC 中，1,120PA PB PC AC AB CAB =====∠=o 则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ．9πB ．9π2C ．18πD ．36π二、多选题9．已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．若20A =，则2l 表示与x 轴平行或重合的直线 B ．直线1l 可以表示任意一条直线 C ．若12210A B A B -=，则1l P 2l D ．若12120A A B B +=，则12l l ⊥10．已知正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，前n 项积为n T ，且满足7781,1a a a ><，则下列说法正确的是（ ）A ．01q <<B ．1q >C ．14131T T <<D ．{}n T 存在最大值11．已知定义域为R 的函数()f x 不恒为零，满足等式()()()2xf x x f x =+'，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 在定义域上单调递增C ．()f x 是偶函数D ．函数()f x '有两个极值点三、填空题 12．抛物线212x y =的准线方程为 .13．61x ⎛ ⎝展开式中常数项为 .14．已知正方体1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，点M 为正方体棱上的一动点，则使得1125MB MD +=的点M 有 个.（用数字作答）四、解答题 15．函数()[]212ln ,1,32f x x x x x =--∈，求()f x 的最大值和最小值 16．如图多面体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，//EF AB ，22AB AF EF ===，120,60FAB ABC ∠=∠=o o ，平面ABEF ⊥平面ABCD.(1)求证：BD CE ⊥；(2)求平面BDE 与平面ADF 所成锐角的余弦值.17．（1）求圆22:1O x y +=和圆22:680M x y y +-+=的公切线l（2）若l 与抛物线24xy =相交，求弦长 18．在高等数学中对于二阶线性递推式21n n n a pa qa ++=+求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列21n n n a pa qa ++=+的特征方程写为2x px q =+①，若①有两个不同实数根,αβ，则可令1112n n n a c c αβ--=+；若①有两个相同的实根α，则可令()112n n a c nc α-=+，再根据12,a a 求出12,c c ，代入即可求出数列{}n a 的通项.(1)斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如{}{}1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144n F =L 的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；(2)已知数列{}n a 中12212,1,2n n n a a a a a ++===+，数列{}n b 满足()12log (1)n n n b a -=--，数列{}n c 满足1sin1cos cos n n nc bb +=，求数列{}nc 的前n 项和n T . 19．已知点()2,1P -为焦点在x 轴上的等轴双曲线上的一点.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线l PO 且l 交双曲线右支于,M N 两点，直线,PM PN 分别交该双曲线斜率为正的渐近线于,E F 两点，设四边形EFNM 和三角形PEF 的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的取值范围.。

浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题(含答案)

浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题(含答案)

第二学期北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、单选题（每小题5分共40分）1．集合{}1,2,3,4A =，{}25B x x =∈<<N ，则A B = （ ）A ．{}234，，B ．{}34，C ．{}345，，D ．{}2345，，，2．已知空间两条不同直线m 、n ，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（ ）①m α⊥，n α⊥则m n ∥②m α∥，n β∥，αβ∥则m n ∥③m α⊥，m β⊥则αβ∥④n α⊥，n β∥则αβ⊥A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①④3．已知非零向量a ，b ，则“两向量a ，b 数量积大于0”是“两向量a ，b夹角是锐角”的（ ）条件A ．必要B ．充分C ．充要D ．即不充分也不必要4．东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（ ）种。

A ．120B ．240C ．480D ．7205．已知等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，5a 、2020a 是方程2230x x --=两根，则2024S =（ ）A ．2020B ．2022C ．2023D ．20246．空间点()1,1,1A -，()1,2,3B -，()1,2,4C 则点A 到直线BC 的距离d =（）A B C D 7．已知4tan 3θ=-，()3π,4πθ∈，则sin θ=（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，1AC AB ==，120CAB ∠=︒则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．9π2C ．18πD ．36π二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）9．已知直线1l ：1110A x B y C ++=和直线2l ：2220A x B y C ++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若20A =，则2l 表示与x 轴平行或重合的直线B ．直线1l 可以表示任意一条直线C ．若12210A B A B -=，则12l l ∥D ．若12120A A B B +=，则12l l ⊥10．已知正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，前n 项积为n T ，且满足71a >，781a a <，则下列说法正确的是（ ）A ．01q <<B ．1q >C ．14131T T <<D ．{}n T 存在最大值11．已知定义域为R 的函数()f x 不恒为零，满足等式()()()2xf x x f x '=+，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()f x 在定义域上单调递增C ．()f x 是偶函数D ．函数()f x '有两个极值点三、填空题（每小题5分共15分）12．复数34i z =+，则2iz+的虚部为______．13．一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______14．三角形ABC ，AB c =，BC a =，CA b =，D 为AB 边上一点，2CD =，AC CD ⊥，45BCD ∠=︒，则)b +的最大值为______四、解答题（共77分）15．（本题13分）函数()212ln 2f x x x x =--，[]1,3x ∈，求()f x 的最大值和最小值16．（本题15分）如图多面体ABCDEF ，底面ABCD 为菱形，EF AB ∥，22AB AF EF ===，120FAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABCD（1）求证BD CE⊥（2）求平面BDE 与平面ADF 所成锐角的余弦值17．（本题15分）（1）求圆O ：221x y +=和圆M ：22680x y y +-+=的公切线 （2）若 与抛物线24xy =相交，求弦长18．（本题17分）在高等数学中对于二阶线性递推式21n n n a pa qa ++=+求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列21n n n a pa qa ++=+的特征方程写为2x px q =+①，若①有两个不同实数根α，β，则可令1112n n n a c c αβ--=+；若①有两个相同的实根α，则可令()112n n a c nc α-=+，再根据1a ，2a 求出1c ，2c ，代入即可求出数列{}n a 的通项。

浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。

浙江杭州地区(含周边)重点中学2024年高二下学期期中考试数学试卷

浙江杭州地区(含周边)重点中学2024年高二下学期期中考试数学试卷

2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷。

项是符合题目要求的。

1.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则()sin A C +=（ ） A.12D.12.已知()23P B A =，()38P AB =，则()P A =（ ） A.916 B.316 C.14 D.343.直线3450x y −+=关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A.3450x y +−=B.3450x y ++=C.3450x y −+=D.3450x y −−=4.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm ，则该次降水的降雨量最接近（ ）A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm5.82x 的展开式中的常数项是（ ） A.7 B.-7 C.28 D.-286.若函数()321132f x x x b =−+有两个零点，则（ ） A.0b = B.16b = C.16b =− D.0b =或16b = 7.将双曲线22122x y −=绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近线分别为x 轴和y 轴），所以我们也称反比例函数1y x =的图象为双曲线.同样“对勾函数”y x =象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）A. B.4 C. D.8.记由0，1，2，3，4五个数字组成的五位数为12345a a a a a .则满足“对任意(),15i i N i ∈≤≤，必存在(),15j i j N j ≠∈≤≤，使i j a a =”的五位数的个数为（ ）A.120B.160C.164D.172二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题是真命题的是（ ）A.对向量a ，b ，若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =B.对复数1z ，2z ，若120z z ⋅=，则10z =或20z =C.对向量a ，b ，若220a b += ，则0a b ==D.对复数1z ，2z ，若22120z z +=，则120z z == 10.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，若11a >，且202220231a a ⋅>，()()20222023110a a −⋅−<，下列结论正确的是（ ）A.20232024S S <B.2022202410a a −<C.数列{}n T 无最大值D.2022T 是数列{}n T 中的最大值 11.设抛物线()220y px p =>焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，下列选项中是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件的是（ ） A.234OA OB p ⋅=− B.212y y p =− C.224p xx = D.112FA FB P+= 第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()2327ln 2f x x x =−在区间[]1,2上的最大值为____________. 13.在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，若()1,0,0OA = ，()0,1,0OB = ，()0,0,2OC = ，则点O 到平面ABC 的距离为____________.14.已知数列{}n a 满足()()*111n n na n a n N +−+=∈，32a =，则1a =____________，2024a =___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分13分）如图，在平面四边形ABCD 中，6AB BC ==，BD BC ⊥，AC 为BCD ∠的平分线，且cos ACB ∠. （I ）求线段AC 的长；（Ⅱ）求ACD △的面积.16.（本题满分15分）已知函数()()e x f x ax a R =−∈.（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.17.（本题满分15分）如图，四棱锥A BCDE −中，平面ABC ⊥平面BCDE ，ABC △是边长为2的等边三角形，底面BCDE 是矩形，且BE =. （I ）若点G 是AE 的中点，（i ）求证：AC ∥平面BDG ；（ii ）求直线DG 与平面ABC 所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段AB 上是否存在一点F ，使二面角B CE F −−的大小为4π.若存在，求AF AB的值；若不存在，请说明理由.18.（本题满分17分）已知抛物线C ：22x y =，点()00,D x y 为抛物线C 外一点（如图），过点D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（I ）求证：直线AB 的方程为000x x y y −−=；（Ⅱ）若()00,D x y 在直线12y =−上，以50,2E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.19.（本题满分17分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X .（I ）写出1X 的分布列并计算()1E X ；（Ⅱ）某人重复进行了100次操作，记1,00,0n n n X a X = =≠ ，(),1100n N n ∈≤≤，求该数列{}n a 的前100项和100S 的最大值；（Ⅲ）定性分析当交换次数趋向于无穷时，()n E X 趋向的值.（简要说明你的理由）。

2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学质量检测模拟试题 (含答案)

2023-2024学年浙江省高二下学期期中联考数学质量检测模拟试题 (含答案)

2023-2024学年浙江省高二下册期中联考数学模拟试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知数列{}n a 满足112,5n n a a a +-==-，则4a=（）A.-3B.-1C.1D.3【正确答案】C【分析】根据递推公式可知数列{}n a 为等差数列，结合首项求得4a 的值.【详解】因为数列{}n a 满足12n n a a +-=，所以数列{}n a 为等差数列，公差为2d =又因为1=5a -，所以()454121a =-+-⨯=.故选：C2.234(12)(1)(1)x x x +++++的展开式中2x 的系数是（）A.12B.13C.14D.15【正确答案】B【分析】根据二项展开式的通项及性质，即可求得展开式中2x 的系数.【详解】由二项展开式的通项，可得由多项式展开式中2x 的系数为2222234C 2C C 43613⋅++=++=.故选：B.3.2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（）A.14 B.34C.110D.310【正确答案】A【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】设事件A 为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB 为“两个青团子都为肉馅”，则事件A 包含的基本事件的个数为()231C n A +==4，事件AB 包含的基本事件的个数为()1n AB =，所以()()()14n AB P B A n A ==,故选：A4.下列导数运算正确的是（）A.()2023202320222022e 20232023e x x '+=+B.()20232021ln 2023xx x '⋅=C.(sin2023)2023cos2023x x'=D.222sin sin cos cos cos x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算律判断A,B,D 选项，根据简单的复合函数求导判断C 选项.【详解】()2023202320222022e 202302023x x x '+=+=,A 选项错;()202320222023202220221ln 2023ln 2023ln xx xx x x x x x ⋅⋅=⋅'⋅=++,B 选项错;(sin2023)2023cos2023x x '=,C 选项正确;2222sin cos sin 1cos cos cos x x xx x x '+⎛⎫== ⎪⎝⎭,D 选项错;故选:C.5.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位 ，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如，如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位数至多含3个5的情况有（）A.10种B.25种C.26种D.27种【正确答案】C【分析】分类情况讨论结合组合数的计算可得种类.【详解】方法一：至多含3个5，有以下四种情况：不含5，有05C 1=种；含1个5，有15C 5=种；含2个5，有25C 10=种；含3个5，有35C 10=种，所以，所有的可能情况共有01235555C C C C 26+++=种方法二：所有可能的情况有5232=种，其中不符合条件有含有4个5，有45C 5=种；含有5个5，有55C 1=种；所以，所有的可能情况共有545552C C 325126--=--=种故选：C .6.为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的25，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的45，若有95%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（）参考公式及数据：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附：()20P K k ≥0.050.0100k 3.8416.635A.7B.11C.15D.20【正确答案】C【分析】设男生的人数为：()*5N m m ∈，根据题意可列出22⨯列联表，由公式求出2K 53m =，由53.841 6.6353m≤<求出5m 的取值范围，可得答案.【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：()*5N m m ∈，由题意可列出22⨯列联表：男生女生合计喜欢吃甜食2m4m 6m不喜欢吃甜食3mm 4m 合计5m5m10m()()()()222()10(243)564553n ad bc m m m m m m K a b c d a c b d m m m m -⋅⋅-⋅===++++⋅⋅⋅.由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，所以53.841 6.6353m≤<；解得：11.523519.905m ≤<，因为*m ∈N ，故5m 的可能取值为：12,13,14,15,16,17,18,19，即男生的人数可以是：12,13,14,15,16,17,18,19，所以选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C.7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足，()11ef =，若()()f x f x '>-，则不等式()2e x f x +>的解集为（）A.(),0∞- B.(),1-∞- C.()1,-+∞ D.()3,+∞【正确答案】B【分析】根据函数的奇偶性和导数确定函数单调性即可求解.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴=--，则()()f x f x ''=-，即()f x '是偶函数，由()()()f x f x f x '='>-，可得()()0f x f x '->，构造()()e xf xg x =，则()()()0e xf x f xg x ''-=<，所以函数()g x 单调递增，不等式()2e xf x +>可化简为()()22211e e ex f x f ++>=，即()()21g x g +>，所以21x +<，解得1x <-.故选：B.8.已知数列{}n a 满足()*1111,N 21n n n a n a a n n na ++==∈+，若不等式2810n a n nλ++≥对任意的*N n ∈都成立，则实数λ的取值范围是（）A.44,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭B.[)15,-+∞C.)9,∞⎡--+⎣ D.[)18,-+∞【正确答案】A【分析】根据构造数列和等差数列定义，通项公式以及对号函数的性质即可求解.【详解】由数列{}n a 满足()*1111,N 21n n n a n a a n n na ++==∈+，可得216a =，易知0n a ≠，因为111n n n a n a n na ++=+，所以()111n n n na nn a a ++=+，所以()11111n nn a na +-=+，因为112a =，所以1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()11111n n n na a =+-=+，所以()11n a n n =+且0n a >，因为不等式2810n a n nλ++≥恒成立，所以整理得()()81n n n λ++≥-恒成立，因为()()()818999n n f n n nn⎛⎫++⎛⎫=-=-++≤-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当8n n n=⇒=.当2n =时，()452153f =-=-；当3n =时，()4433f =-，所以443λ≥-，即实数λ的取值范围是44,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，故选：A.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.9.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元）4235销售额y （万元）49263954若y 与x 线性相关，且线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，则下列说法正确的是（）A.ˆ9.1a=B.当x 增加1个单位时，y 增加约9.4个单位C.y 与x 正相关D.若广告费用为6万元时，销售额一定是65.5万元【正确答案】ABC【分析】由于线性回归直线过样本中心点，所以求出x y ，代入回归方程中可求出ˆa，即可得到回归直线方程，在一一判断即可；【详解】依题意()14235 3.54x =+++=，()149263954424y =+++=，样本中心点是()3.5,42，则ˆˆ429.4 3.59.1a y bx =-=-⨯=.所以线性回归方程为ˆ9.49.1yx =+，所以A 正确，对于B ，由ˆ9.49.1yx =+，可知当x 增加1个单位时，y 增加约9.4个单位，所以B 正确，对于C ，因为0.10>，所以y 与x 正相关，所以C 正确，对于D ，令6x =，则9.469..5ˆ165y=⨯+=，所以若广告费用为6万元时，销售额大约是65.5万元，故D 错误；故选：ABC10.已知函数()()321R 3f x x ax x a =--∈，则（）A.当0a =时，函数()f x 的极小值为23B.若函数()f x 图象的对称中心为()()1,1f ，则1a =C.若函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥或1a ≤-D.函数()f x 必有3个零点【正确答案】BD【分析】求导，由导数的正负，根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质､函数零点的定义逐一判断即可.【详解】对于A ：当0a =时，()313f x x x =-，则()21f x x '=-，令()01f x x '>⇒>或1x <-，易知()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,1-单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()f x 极小值为()121133f =-=-，故A 错误；对于B ：因为函数()f x 图象的对称中心为()()1,1f ，所以有()()()()21121101f x f x f a x a ++-=⇒-=⇒=，故B 正确；对于C ：若函数()f x 在R 上单调递增，则()2210f x x ax =+-≥'恒成立，而2440a ∆=+>，显然()0f x '=必有两根()121212,,10x x x x x x <⋅=-<，则()f x 在()12,x x 递减，故C 错误；D 项：()211003f x x ax x x ⎛⎫=+-=⇒= ⎪⎝⎭或2110,3x ax +-=由于21103x ax +-=的2403a ∆+>=，且1210,3x x ⋅=-≠所以21103x ax +-=必有2相异非零根，故()f x 必有3个零点，故D 正确.故选：BD11.为了迎接杭州2022年第19届亚运会，某高校一学生会计划从6男4女共10名大学生干部中，选出3男2女共5名志愿者，安排到杭州奥体中心的A ，B ，C ，D ，E 五个场馆进行志愿者活动，每名志愿者安排去一个场馆且不重复，其中女同学甲不能安排在A ､B 两个场馆，男乙同学不能安排在B 场馆，并且男同学丙必须被选且必须安排在E 场馆，则（）A.甲､乙都不选的方案共有432种B.选甲不选乙的方案共有216种C.甲､乙都选的方案共有96种D.总的安排方案共有1440种【正确答案】ABC【分析】根据题意，可分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，结合排列数与组合数的公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，甲乙都不选的方案共有224434C C A 432=种，所以选项A 正确；选甲不选乙的方案共有12132433C C C A 216=种，所以选项B 正确；甲乙都选，则分两种情况：乙排A 或乙不排A ，乙排A 的方案共有11122432C C C A 48=种，乙不排A 的方案共有21122432A C C A 48=种所以甲乙都选的方案共有484896+=种，所以C 正确；由总的安排为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选，其中选乙不选甲的方案，共有12134333C C C A 216=种所以总方案共有43221621696960+++=种，所以选项D 错误.故选：ABC.12.已知函数()e 1ln x f x ax a x x=++在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个单调区间，则实数a 的取值可以是（）A.e -B.-C.2e 2-D.72-【正确答案】BD【分析】将问题等价于()0f x '=在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭有两个不同的实数根，进一步转化为e 0x ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一不为1的根，构造函数()e xg x x=-，求导得单调性即可求解.【详解】由题意可知函数在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个单调区间，等价()0f x '=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有两个不同的根.()()()21e x x ax f x x-'+=，令()0f x '=，则11x=，即e 0xax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯不为1的一根，则有e xa x=-有唯一不为1的根，令()e x g x x =-，则()()21e x x g x x -'=-，故当()()11,0,2x g x g x '>>>单调递增，当()()21,0,x g x g x '>><单调递减，且()()2e 11e,2,22g g g ⎛⎫⎪⎝⎭=-=-=-即2e ,2a ⎛∈-- ⎝，故选：BD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知2nax⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则n =__________.【正确答案】7【分析】根据展开式的二项式系数之和公式即可求解.【详解】根据展开式的二项式系数之和为2n ，所以2128n =，解得7n =，故答案为.714.某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过,,A B C 每个项目测试的概率都是34.若用X 表示甲通过测试项目的个数，则()D X =__________.【正确答案】916【分析】根据题意得到随机变量X 服从二项分布3(3,)4X B ，结合方差的计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机变量X 的可能的取值分别为0,1,2,3，因为甲通过,,A B C 每个项目测试的概率都是34，且每个项目之间相互独立，所以随机变量X 服从二项分布3(3,4X B ，则()3393(14416D X =⨯⨯-=.故答案为.91615.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*1111,21n n n a S S a n n +==-+-∈N，若存在*m ∈N ，使得166m m S S +==，则m =__________.【正确答案】11【分析】根据递推关系式，逐个计算，即可得到结果；【详解】()*1221,2n n n n a a n n a a +++=-∈∴-=N ，逐个计算12345611,10,13,8,15,6a a a a a a ==-==-==-78910111217,4,19,2,21,0a a a a a a ==-==-==11m =故答案为:1116.已知函数()()3243f x t x x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，则实数t 的取值范围是__________.【正确答案】(](),01,-∞⋃+∞.【分析】由()0f x =，得到(2334x t x x =≠+，令()2334xg x x =+，求得()()4232434x x g x x =+'-，得出函数的单调性与极值，作出()g x 的图象，根据题意转化为()y g x =与y t =的图象有且仅有一个公共点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()3243f x t x x =+-，令()0f x =，可得(2334x t x x =≠+，令()(2334x g x x x =≠+，可得()()4232434x x g x x =+'-，令()0g x '=，解得x =或2x =或x =0当(()(),,,2,x ∈-∞+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又由x →-∞时，()0g x →；x →（左侧）时，()g x →-∞；x →（右侧）时，()g x ∞→+；x →+∞时，()0g x →，且()()00,21g g ==，所以函数()g x 的图象，如图所示，因为()f x 存在唯一的零点0x ，即()y g x =与y t =的图象有且仅有一个公共点，所以0t ≤或1t >，即实数t 的取值范围为(](),01,-∞⋃+∞.故答案为.(](),01,-∞⋃+∞四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n n n b a a a +=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】（1）*2,N n n a n =∈（2）n T 21222;n n n +=++-【分析】（1）由等比数列基本量的计算以及等差中项即可求解，（2）由分组求和，结合等差等比的求和公式即可化简求值.【小问1详解】已知等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列，()32422a a a ∴+=+，()11124228a a a ∴+=+,解得12a =，1*222,N ;n n n a n -∴=⨯=∈【小问2详解】()12122log 222log 22212n n n n n n n b n ++=⋅+=+=++，()()()()221221222221212n n n T n n n n -∴=++++++++=+++++- .21222;n n n +=++-18.已知函数()3(1)121f x x x a =--++-.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[]22-,上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【正确答案】（1）递减区间是()(),1,3,∞∞--+，递增区间是()1,3-.（2）7-【分析】（1）求得()()()313f x x x '=-+-，结合()0f x '<和()0f x ¢>的解集，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）由（1）得到函数()f x 在[]22-,上的单调性，结合题意求得2a =-，进而求得函数的最小值.【小问1详解】解：函数()332(1)12139f x x x a x x x a =--++-=-+++的定义域为R ，可得()()()2369313f x x x x x '=-++=-+-由()0f x '<得1x <-或3x >，由()0f x ¢>得13x -<<，因此函数()f x 在()(),1,3,∞∞--+上单调递减，在()1,3-上单调递增，所以函数()f x 的递减区间是()(),1,3,∞∞--+，递增区间是()1,3-.【小问2详解】解：由（1）知，函数()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，又由()()22,222f a f a-=+=+因此()max ()22220f x f a ==+=，解得2a =-，所以()min ()157f x f a =-=-+=-所以函数()f x 在[]22-,上的最小值是7-.19.2022年11月30日美国OpenAI 研发的聊天机器人程序ChatGPT （全名：ChatGenerativePre-trained Transformer ）发布，再次引发了人类是否会被人工智能（AI ）取代的热议.目前为止，要机器人或人工智能系统完全达到人类的水平，有自发的情感和创造性是很难实现的.但在某些理性思维的领域机器人有着明显的优势，比如国际象棋方面.某国际象棋协会组织棋手与机器人进行国际象棋比赛，比赛规则如下：两位棋手组队挑战，两人各与机器人比赛一次为一轮比赛，每一轮比赛中两人的比赛结果相互独立，互不影响.在一轮比赛中两人都赢小组积分1分，两人都输小组积分-1分，两人一赢一输小组积分0分，两轮比赛后计算每组得分.现甲､乙两位棋手组队向机器人发起了挑战，甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5，记该小组在一轮比赛中的得分记为X ，在两轮比赛中的得分为Y .（1）求()0P X ≤的概率；（2）求Y 的均值.【正确答案】（1）0.7（2）0.2【分析】（1）得出随机变量X 的取值为1,0,1-，结合()()()010P X P X P X ≤==-+=，即可求解；（2）先得出随机变量Y 的可能取值为2,1,0,1,2--，结合题意求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，可得随机变量X 的取值为1,0,1-，可得(1)(10.6)(10.5)0.2P X =-=--=，(0)0.6(10.5)(10.6)0.50.5P X ==⨯-+-⨯=，(1)0.60.50.3P X ==⨯=所以()()()0100.20.50.7P X P X P X ≤==-+==+=.【小问2详解】解：由题意，随机变量Y 的可能取值为2,1,0,1,2--，可得(2)0.20.20.04P Y =-=⨯=，()10.20.50.50.20.2P Y =-=⨯+⨯=，(0)0.50.50.20.30.30.20.37P Y ==⨯+⨯+⨯=，(1)0.50.30.30.50.3P Y ==⨯+⨯=，(2)0.30.30.09P Y ==⨯=，所以随机变量Y 的分布列为Y2-1-012P 0.040.20.370.30.09所以期望为()()()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知函数()()ln ,0,1f x x ax a =-∈.（1）若12a =时，求()f x 的单调区间和极值；（2）求()f x 在[]1,2上的最小值.【正确答案】（1）递增区间为()0,2，递减区间为()2,+∞，极大值为ln21,-无极小值；（2）答案见解析【分析】（1）求导，由导函数的正负即可求解函数的单调性，进而可求解极值，（2）由函数的单调性，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题设()11222x f x x x-+=-=',令()002f x x '>⇒<<，()02f x x '<⇒>，()f x \的递增区间为()0,2，递减区间为()2,+∞，故()f x 的极大值为()2ln21,f =-无极小值；【小问2详解】()11a x a f x a x x'⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=，()100f x x a '>⇒<<，()10f x x a '<⇒>，由于()10,1,1a a ∈∴>，()f x \在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，①当12a ≥，即102a <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，()()min 1f x f a ∴==-，②当112a <<，即112a <≤时，函数()f x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()21ln2f f a -=- ，若1ln22a <<时，()()min 1f x f a ==-，若ln21a ≤<时，()()min 2ln22f x f a ==-，综上所述：当0ln2a <<时，()()min 1f x f a ==-；当ln21a ≤<时，()()min 2ln22f x f a ==-.21.在等差数列{}n a 中，34584a a a ++=，973a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．【正确答案】：（Ⅰ）*98,;n a n n N =-∈（Ⅱ）【详解】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列{}n a 的首项1a 与公差d ，进而可求出通项公式n a ；（2）首先根据要求列出关于,n m 的不等式，再根据,m n 都是正整数，即可判断出落入()29,9m m 内的项数m b ，从而求出数列{}m b 的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前m 项的和m S ．试题解析：（1）因为{}n a 是一个等差数列，34584a a a ++=，所以3454384a a a a ++==，即428a =，设数列{}n a 的公差为d ，则945732845d a a =-=-=，故9d =．由413a a d =+，得12839a =+⨯，即11a =．所以*1(1)19(1)98,n a a n d n n n N =+-=+-=-∈，（2）对*m N ∈，若299m m n a <<，则298998m m n +<<+，因此121889999m m n --+≤≤+，故得21199m m m b --=-，于是321112(999)(199)m m m m S b b b --=+++=+++-+++ 219(181)1(19)910911811980m m m m +⨯-⨯--⨯+=-=--．考点：1、等差数列；2、等差数列通项公式及前n 项和公式；3、等比数列前n 项和公式；4、分组求和法．22.已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++.（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞【分析】（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x a x =有两个相异实根，令()ln x G x x =求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为ln 1x x m e x x ≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x =-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.【详解】（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ，知0x >()f x \有两个零点ln x a x⇔=有两个相异实根.令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=，由()0G x '>得：0<<x e ，由()0G x '<得：>x e ，()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==，又()10G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >当x →+∞时，()0G x →()f x \有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）当1a =时，()xf x e x =-，∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立ln 1x x m e x x ⇔≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立.令()()ln 10x x F x e x x x =-->()minm F x ∴≤()222ln ln x xx x e x F x e x x +'=+=令()2ln xh x x e x =+，()0,x ∈+∞，则()2120x h x xe x e x'=++>()h x ∴在()0,∞+上单增又()10h e =>，1201110e h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =即0020e n 0l x x x +=①当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，()()000min 00ln 1x x F x F x e x x ∴==--由①知0200ln x x ex =-001ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ 函数()x x xe ϕ=在()0,∞+单调递增001ln x x ∴=即00ln x x =-()0ln 0min 000011111x x F x e x x x x --∴=--=+-=，1m ∴≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞.本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.。

2021-2022学年浙江省杭州地区(含周边重点中学)高二下学期期中联考数学试题(解析版)

2021-2022学年浙江省杭州地区(含周边重点中学)高二下学期期中联考数学试题(解析版)

2021-2022学年浙江省杭州地区（含周边重点中学）高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 满足510a =，则28a a +=（ ） A ．5 B ．10C ．20D ．40【答案】C【分析】利用等差中项的性质求解. 【详解】解：由题得285220a a a +==. 故选：C2．已知函数()y f x =的导函数的图象如右下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用导函数与函数的单调性的关系即得.【详解】由题可知()(),0,0x f x '∈-∞>，()y f x =函数单调递增，()()0,,0x f x '∈+∞>，()y f x =函数单调递增.故BCD 错误. 故选：A.3．数列122022n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭( )A ．既有最大项，又有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．既无最大项，又无最小项【答案】A【分析】结合指数函数单调性和值域即可判断． 【详解】∵1021024=，1122048=， ∴根据指数函数单调性可知，122022n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭在1≤n ≤10时为减数列且为负，在n ≥11时也为减数列且为正， 故数列最小项为第10项，最大项为11项． 故选：A ．4．已知随机变量X 满足()2D X =，则()31D X -=（ ） A ．5 B ．6 C ．12 D ．18【答案】D【分析】根据方差的性质计算可得；【详解】解：因为()2D X =，所以()()223133218D X D X -==⨯=；故选：D5．数列的前2022项和为（ ）A B C 1 D 1【答案】B【分析】，利用裂项相法求和即可；【详解】=记的前n 项和为n T ，则2022140452T =+)112=；故选：B6．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()0f x f x '-<，则（ ） A ．()()12f f > B ．()()12f f < C ．()()e 12f f > D ．()()e 12f f <【答案】C【分析】由已知条件构造函数()()e xf xg x =，对函数求导，可判断出函数的单调性，然后由函数的单调性比较大小即可【详解】令()()e x f x g x =，则()2()e ()e ((e ))e )(x x xx f x f x f x f x g x ''--'==， 因为()()0f x f x '-<，e 0x >， 所以()0g x '<，所以()g x 在R 上为减函数， 所以(1)(2)g g >， 所以2(1)(2)e ef f >，所以()()e 12f f >， 故选：C7．某项射击试验中，某人首射中靶的概率为0.6，若前一次中靶，则后一次中靶的概率为0.9，若前一次不中靶，则后一次中靶的概率仍为0.6.若此人射击二次，则该人第二次中靶的条件下，第一次中靶的概率是（ ）A ．35B ．913C ．1013D ．910【答案】B【分析】直接由条件概率公式计算即可.【详解】设第一次中靶为事件A ，第二次中靶为事件B ，则()0.60.90.54P AB =⨯=，()()0.60.910.60.60.78P B =⨯+-⨯=，则()0.549()()0.7813P AB P A B P B ===. 故选：B.8．已知前n 项和为n S 的数列{}n a 满足()2132nn n S a n n -⋅=+-+，则2022a =（ ）A ．222022-⨯B ．2220228086⨯+C ．2220234044⨯+D ．2220238086⨯+【答案】B【分析】利用赋值法，分别令2024,2022n n ==求出202320232022S =⨯，202120212020S =⨯，再令2023n =可得20222023220222021S S =+⨯，再由202220222021a S S =-可求得结果【详解】因为()2132(1)(2)nn n n S a n n a n n -⋅=+-+=+--， 所以()2024202420241(20241)(20242)S a -⋅=+-⨯-，所以202420242023(20241)(20242)S S S =-+-⨯-， 所以2023(20241)(20242)20232022S =-⨯-=⨯， 同理202120212020S =⨯， 因为()2023202320231(20231)(20232)S a -⋅=+-⨯-，所以20232023202220222021S S S -=-+⨯， 所以20222023220222021S S =+⨯， 所以202220222021a S S =-202322022202120212020S =+⨯-⨯22023202222021=⨯⨯+⨯2220228086=⨯+，故选：B 二、多选题9．下列求导错误的是（ ） A ．()21log 33ln 2'=B ．()1ln 22'=x xC ．()2sin sin 2x x '=D ．2cos cos sin x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据基本初等函数的导数公式，导数的运算法则及简单的复合函数的导数计算法则计算可得；【详解】解：对于A ：()2log 30'=，故A 错误；对于B ：()()()()1ln 2ln 2ln ln 2ln x x x x''''=+=+=，故B 错误；对于C ：()2sin 2sin cos sin 2x x x x '==，故C 正确；对于D ：()22cos sin cos sin sin x x x x x x x x x x x '''--⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，故D 错误； 故选：ABD10．已知二项式()812x -的展开式中（ ） A ．含2x 项的系数为28B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项是第五项D ．系数最大的项是第六项【答案】BC【分析】利用二项展开式的通项公式，对四个选项一一讨论： 对于A ：利用通项公式直接求解； 对于B ：利用赋值法，令x =1，即可求得； 对于C ：利用二项式系数的性质可得；对于D ：每一项的系数记为()182rr r t C +=-.直接求出系数最大的项. 【详解】二项式()812x -的展开式的通项公式为()182rr r T C x +=-. 对于A ：含2x 项为()2222382284112T C x x x =-=⨯=.故A 错误；对于B ：在二项式()812x -的展开式中，令x =1，可得所有项的系数和为1.故B 正确； 对于C ：二项式()812x -的展开式一共有9项，由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项是第五项. 故C 正确；对于D ：每一项的系数记为()182r r r t C +=-.显然r 为奇数，10r t +<；r 为偶数，10r t +>. 要求系数最大的项，只需比较r 为偶数的情况：r =0时，()001821t C =-=；r =2时，()22382112t C =-=；r =4时，()445821120t C =-=；r =6时，()667821792t C =-=；r =8时，()88782256t C =-=.故系数最大的项为第七项.故D 错误. 故选：BC.11．已知()0P A >，()0P B >，()0P C >（ ） A ．若事件,A B 独立，则()()P A P A B =B ．若事件,A B 互斥，则()()()()P A BC P A C P B C +=+ C ．若事件,A B 独立，则()()()()P C AB P C A P C B = D ．若事件,A B 互斥，则()()()()P C A B P C A P C B +=+ 【答案】AB【分析】根据条件概率的公式及独立事件与对立事件的概率公式即可求解.【详解】对于A ，因为事件,A B 独立，所以()()()P AB P A P B =， 所以()()()()()()()()P AB P A P B P A P A B P A P B P B ====,故A 正确； 对于B,因为事件,A B 互斥，所以()()()P A B P A P B +=+, ()()()()()()()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P A B C P C P C P C P C +⎡⎤+⎣⎦∴+===+()()P A C P B C =+,故B 正确；对于C ，因为事件,A B 独立，所以()()()P AB P A P B =， 所以()()()()()()()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P C AB P AB P AB P A P B ⎡⎤+⎣⎦===()()()()()()()()P AC P BC P C A P C B P A P B P A P B =+≠，故C 不正确；对于D, 因为事件,A B 互斥，所以()()()P A B P A P B +=+, 所以()()()()()()()()P C A B P AC BC P C A B P A P B P A P B +⎡⎤+⎣⎦+==++()()()()()()P AC P BC P C A P C B P A P B +=≠++,故D 不正确.故选：AB.12．已知()e xf x x ax b -=--（ ）A ．若24e b >，则()0,a ∞∃∈+，使函数()yf x =有2个零点 B ．若24e b >，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点 C ．若240e b <<，则()0,a ∞∃∈+，使函数()y f x =有2个零点 D ．若240e b <<，则(),0a ∃∈-∞，使函数()y f x =有2个零点 【答案】ACD【分析】数形结合，将问题转化为判断直线与曲线交点个数【详解】令()0f x =，则e xxax b =+ 所以 设()e xxg x =，则()1e x x g x ='- 当1x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减 ()g x 在1x =处取得极大值()11eg =当x 趋向于-∞时，()g x 趋向于-∞；当x 趋向于+∞时，()g x 趋向于0 又()2ex x g x -''=，()20g ''=且当2x <时，()0g x ''<；当2x >时，()0g x ''> 所以，2x =是函数()g x 的拐点()222e g =，()212eg '=- 所以()g x 在2x =处的切线方程为()2122e y x -=--，即2214e e y x =-+ 如图所示，ACD 正确，B 错误 故选：ACD 三、填空题 13．函数()1f x x=在区间[1,1]x +∆上的平均变化率是___________. 【答案】11x-+∆ 【分析】根据给定条件求出函数值的增量，再利用平均变化率的意义计算即得. 【详解】依题意，在区间[1，1+x ∆]内的函数值的增量为： y ∆=f (1+Δx )-f (1)=11x +∆-1=1xx-∆+∆， 于是得yx ∆∆＝11x-+∆， 所以所求的平均变化率为11x-+∆. 故答案为：11x-+∆ 14．函数()323f x x x =-的极小值点是___________.【答案】2【分析】利用函数极值点的定义求解.【详解】解：因为函数()323f x x x =-，所以()236f x x x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>，当02x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的极小值点是2， 故答案为：215．5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）. 【答案】114【分析】先把5位学生分为两类分别为3,1,1和2,2,1，再用分步分类计数原理及间接法，结合组合数公式即可求解.【详解】由题意可知5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，，共有2233535322150C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种.甲、乙分配到同一个志愿点，有()12333336C C A +⋅=种所以不同的分配方案有15036114-=种 故答案为：114.16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于*n ∀∈N ，()()2120n n S a S a +++<恒成立，则等比数列{}n a 的公比为___________.【分析】由题可得()()221110n n q q q q q q ++--+--<恒成立，由1n =时，可得112q -<<-，进而210q q +-=，即得.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题可知1q ≠，由()()2120n n S a S a +++<，可得()()1111111011n n a q a q a q a q q q +⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥++<--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()()()2221121101n n a q q q q q q q ++--+--<-，即()()221110n n q q q q q q ++--+--<，当1n =时，()()()()()22211212110q q q q q q -+-=-++<，∴112q -<<-，又,0n n q →+∞→，10n n q q +⋅<，()()221110n n q q q q q q ++--+--<恒成立，则210q q +-=，解得q .四、解答题17．已知()2sin 2f x x x =+. (1)求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求函数()y f x =的单调递增区间.【答案】1 (2)()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再将π12x =代入计算即可； （2）根据三角函数的单调性进行转化即可求解.【详解】(1)())sin 21cos2sin 2f x x x x x =-=π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππ2sin 22sin 1121236f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)由（2）知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈所以函数()y f x =的单调递增区间是()π5ππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.18．如图，已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=，2AB =，1BC =，SA =M 、N 分别为SB 、SC 的中点.(1)证明：//BC 平面AMN ； (2)求点M 到平面ABN 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)1510【分析】（1）利用中位线的性质可得出//MN BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点A 在平面ABC 内作AO AB ⊥，以点A 为坐标原点，AO 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M 到平面ABN 的距离.【详解】(1)证明：因为M 、N 分别为SB 、SC 的中点，则//MN BC ，BC ⊄平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，因此，//BC 平面AMN .(2)解：过点A 在平面ABC 内作AO AB ⊥，因为SA ⊥平面ABC ，以点A 为坐标原点，AO 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0B 、35,02C ⎫⎪⎪⎝⎭、(3S 、3M ⎛ ⎝⎭、3534N ⎝⎭， 设平面ABN 的法向量为(),,n x y z =，()0,2,0AB =，35344AN ⎛= ⎝⎭，则2035044n AB y n AN x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，可得()2,0,1n =-， AM ⎛= ⎝⎭，所以，点M 到平面ABN 的距离为325AM nd n⋅===. 19．盒子里有3个球，其中2个白球，1个红球.从中随机取球，若取到红球则放回，若取到白球，则不放回，当第2次取到红球时，取球终止. (1)求恰好取了4次球的概率；(2)设游戏终止时取出的白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及期望. 【答案】(1)1118； (2)分布列答案见解析，数学期望：32.【分析】（1）由题可知前3次取得1次红球，2次白球，第4次为红球，以取得红球为标准分类即得；（2）由题可得ξ的取值为0，1，2，分别求概率即得分布列，再利用期望公式可得. 【详解】(1)由题可知前3次取得1次红球，2次白球，第4次为红球， 设第i 次取到红球的事件记为i A ，1,2,3i =，则()2212311139A P A A =⋅⋅=，()2222311126A P A A =⋅⋅=，()2232313A P A A ==，故恰好取了4次球的概率()()()()1231118P A P A P A P A =++=； (2)由题可知ξ的取值为0，1，2()1110339p ξ==⋅=，()2111215132233218p ξ==⋅⋅+⋅⋅=，()11218p ξ==所以ξ的分布列为：所以()15113012918182E ξ=⨯+⨯+⨯=.20．阿司匹林（分子式984C H O ，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300mg ，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200mg .阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式763C H O ，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的2330，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位mg ）；(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg . 【答案】(1)()1265mg 24(2)证明见解析【分析】（1）设n a 是24n 小时后第1n +次服药前血液中水杨酸的含量，先求出1a ，再表示出递推关系式1123200430n n a a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，即可求解；（2）先由（1）中递推关系式构造得到等比数列4609n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，求得2304n a ≤，再求得刚服药后23023200230430+⨯<即可求解. 【详解】(1)设n a 是24n 小时后第1n +次服药前血液中水杨酸的含量，易知每24小时，水杨酸的含量变为原来的14，则12312303003044a =⨯⨯=， 2n ≥时，11123146020043043n n n a a a --⎛⎫⎛⎫=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21146025301265mg 434824a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭； (2)由（1）知14601460949n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1460230936a -=， 则4609n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为23036，公比为14的等比数列， 故146023019364n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，146023014602301230936493644n n a -⎛⎫⎛⎫=+⋅≤+⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 230231120023023043012+⨯=⨯<， 故急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230mg.21．已知点Q 为双曲线()222:11y C x b b-=>右支上的点，双曲线C 在点Q 处的切线l 交渐近线于点M ，N .(1)证明：Q 为MN 中点；(2)若双曲线C 上存在点P 使PMN 的垂心恰为原点，求b 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)1b <【分析】(1)设(),Q m n ，代入双曲线方程，得到Q 的切线方程，进而联立渐近线方程分别求出,M N ，通过运算即可证明Q 为MN 中点.(2)双曲线上存在点00(,)P x y ，设()11,M x y ，()22,N x y ，通过联立PM l 与PN l ，得到P 的坐标，然后分别把,P Q 代入双曲线方程，利用双曲线的几何性质，得到b 的范围. 【详解】(1)设(),Q m n ，满足()222mb n b -=，过Q 的切线方程21ny mx b-= 点M 满足方程21y bxny mx b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，2,b b M mb n mb n ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理可得点N 满足方程21y bxny mx b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，2,b b N mb n mb n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ ()22222b b mb m mb n mb n mb n +==-+-；()2222222b b nb n mb n mb n mb n -+==-+-. 所以Q 为MN 中点；(2)双曲线上存在点00(,)P x y ，()11,M x y ，()22,N x y . 由直线()111:PM l y y x x b -=-与直线()221:PN l y y x x b-=--得点P 坐标为 ()()()()22122111,22b x x b x x P b ⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由122x x m +=，212n x x b -=-得点P 坐标为()()22211,b n P b m b ⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭， 将点P 坐标代入双曲线方程得()()2222226111b n bm b---=，与点Q 满足的方程()22211n m m b -=≥联立得()()2222421111b m b b -=--≥， 解得212b <≤，即1b <.22．已知函数()()e 1ln f x x x =--，实数1x ，2x 为方程()f x a =的两个不等的根. (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()121ee 11e 2x x a ---+⎡⎤⎣⎦-≤. 【答案】(1)()()e 1ln e 1e 1a <---+ (2)证明见解析【分析】（1）利用函数的单调性即可求解；（2）通过观察发现()f x 在1x =处的切线方程为()e 2e+1y x =--，在e x =处的切线方程为e x y =-，利用导数即可证明()()e 2e 1f x x --+≤和()e xf x -≤，再利用()f x 在区间()0,e 1-和()e 1,-+∞上的切线与y a =的交点的横坐标与()f x a =零点的关系即可证明.【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，()e 1e 11x f x x x---'=-=， 所以()f x 在()0,e 1-上单调递增，在()e 1,-+∞上单调递减， 则()()()()max e 1e 1ln e 1e 1f x f =-=---+()e 1lne e 10-<-+=， 所以()()e 1ln e 1e 1a <---+(2)()f x 在1x =处的切线的斜率为()e 2f x '=-，其切线方程为()e 2e+1y x =--， 首先证明：()()e 2e 1f x x --+≤()()()e 1ln e 2e 1F x x x x =----+-， ()()()()e 11e 11e 2x F x x x---'=---=, ()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减, ()F x 的最大值()10F =，所以()()e 2e 1f x x --+≤成立,()f x 在e x =处的切线的斜率为()1e ef '=-，其切线方程为e x y =-，再证明：()e xf x -≤,()()e 1ln e xG x x x =--+，()()()e 1e e 111e e x G x x x---'=-+= ()G x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减,()G x 的最大值()e 0G =，所以()exf x -≤成立,不妨设12x x <，实数1x ，2x 为方程()f x a =的两个不等的实根,设直线y a =与()f x 在()000e 1x x x =<<-处的切线的交点的横坐标为1x '， 则()e 2e 1a x =--+可得1e 1e 2a x +-'=-, 由()()e 2e 1f x x --+≤可得11x x '≥， 设直线y a =与()f x 在()00e 1x x x =-<处的切线的交点的横坐标为2x '， 则exa =-可得2e x a '=-, 由()exf x -≤可得22x x '≤， 所以()1212e 11ee e 11e 2e 2a x x x x a a +--''--=+=-+⎡⎤⎣⎦--≤. （注：不等式ln 1≤-x x ，ln exx ≤可以直接使用）。

2023-2024学年浙江省宁波高二下学期期中联考数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波高二下学期期中联考数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波高二下册期中联考数学试题一、单选题1．角α终边上有一点()1,2P -，则cos α=（）A ．12-B ．2-C D ．5-【正确答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义求解.【详解】因为角α终边上有一点()1,2P -，所以r OP ==,所以cos5x r α===，故选:D.2．曲线()ln 1y x x =-在点()2,0处的切线方程为（）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．2y x =+D ．2y x =-【正确答案】A【分析】求函数()ln 1y x x =-在点()2,0处的导数值，根据点斜式求切线方程..【详解】因为()ln 1y x x =-，所以()ln 11x y x x '=-+-，所以()22ln 21221x y ==-+=-'，所以曲线()ln 1y x x =-在点()2,0处的切线斜率为2，所以曲线()ln 1y x x =-在点()2,0处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-，故选：A.3．在三角形ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，已知60,2,45A a B ∠∠=== ，则b =（）A ．B ．C ．3D ．4【正确答案】C【分析】利用正弦定理sin sin a bA B =，代入数据计算即可得答案．【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=，因为60,2,45A a B ∠∠=== 所以2sin 60sin 45b︒︒=，所以b =故选：C ．4．()()2na b n*+∈N 展开式中第6项的二项式系数最大，则2nx ⎫⎪⎭展开式中x 的系数为（）A ．10-B ．10C ．5D ．5-【正确答案】A【分析】利用二项式系数的基本性质可求得n 的值，然后写出2nx ⎫⎪⎭的展开式通项，令x 的指数为1，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】因为()()2na b n *+∈N 展开式中第6项的二项式系数最大，且()()2na b n *+∈N 共有21n +项，则()()2na b n *+∈N 的展开式共11项，所以，2111n +=，则5n =，所以，52x ⎫⎪⎭的展开式通项为()()53521552C C 20,1,2,5kkkk k kk T x k x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭，令5312k -=，可得1k =，因此，52x ⎫⎪⎭展开式中x 的系数为()15C 210⋅-=-.故选：A.5．已知α为第三象限角，3cos 5α=-，则()2sin2cos 1cos 2πααα+=++（）A ．209B ．49-C ．1532-D ．3332【正确答案】D【分析】利用同角三角函数的关系求得4tan 3α=，再利用正余弦的二倍角公式以及弦化切求解.【详解】因为α为第三象限角，3cos 5α=-，所以4sin 5α==-，所以sin 4tan cos 3ααα==，()22sin2cos 2sin cos cos 1cos 2π1cos2ααααααα++=++-2222sin cos cos 2tan 1332sin 2tan 32αααααα++===，故选：D.6．已知5个医生（其中有一对夫妻）分配到3个地区，要求每个地区至少一个医生，则这对夫妻分配到同一个地区的概率为（）A ．325B ．625C ．925D ．1225【正确答案】B【分析】先求出5个医生分配到3个地区，每个地区至少一个医生的方法数，再求其中这对夫妻分配到同一个地区的方法数，再由古典概型概率公式求概率.【详解】将5个医生分配到3个地区，每个地区至少一个医生的不同分配方法共有11312233543542332222C C C C C C A A 150A A +=种，其中互为夫妻的一对医生分配到同一地区的满足要求的不同分配方法共有13133333C A C A 36+=种，所以事件这对夫妻分配到同一个地区的概率36615025P ==，故选：B.7．函数()()e cos ,π,xf x a x x =+∈-+∞，下列说法不正确的是（）A ．当1a =时，()f x 无极值点B ．当1a =-时，()f x 存在唯一极小值点C ．对任意0a >，()f x 在()π,x ∈-+∞上不存在极值点D ．存在a<0，()f x 在()π,x ∈-+∞上有且只有一个零点【正确答案】C【分析】利用导数求函数在各种条件下的单调性和极值情况，由此判断A ，B ，C ，再结合零点存在性定理判断D.【详解】因为()()e cos ,π,xf x a x x =+∈-+∞，所以()e sin xf x a x -'=，当1a =时，()e sin xf x x =-'，当π0x -<≤时，1sin 0x -≤≤，()0f x ¢>，当0x >时，1sin 1x -≤≤，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()π-+∞，上单调递增，无极值点，A 正确；当1a =-时，()e cos xf x x =-，()π,x ∈-+∞，所以()+sin e sin e 1e +x x x x f x x ⎛⎫'== ⎪⎝⎭当0x ≥时，因为1sin 1x -≤≤，所以()0f x ¢>，所以函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，当π<0x -<时，设()sin 1e xxx ϕ=+，则()cos sin e xx xx ϕ-'=，令()cos sin 0e x x xx ϕ-'==，可得3π4=-x ，当3ππ4x -<<-时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在3π,π4⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当3π04x -<<时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在3π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又()π10ϕ-=>，()010ϕ=>，33443π1e 1204ϕ⎛⎫-=<⨯< ⎪⎝⎭，所以存在013π3ππ,,,044x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足()()010x x ϕϕ==，所以当()0π,x x ∈-时，()0x ϕ>，()0f x ¢>，函数()f x 在()0π,x -上单调递增，当()01,x x x ∈时，()0x ϕ<，()0f x '<，函数()f x 在()01,x x 上单调递减，当()1,0x x ∈时，()0x ϕ>，()0f x ¢>，函数()f x 在()1,0x 单调递增，所以函数()f x 在()0π,x -单调递增，在()01,x x 单调递减，在()1,x +∞上单调递增，所以当0x x =时函数()f x 取极大值，当1x x =时函数()f x 取极小值，所以函数()f x 存在唯一极小值点；B 正确；因为()e cos xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，所以()1sin e sin e e x x x x f x a x a a⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()1sin ex xg x a =-，可得()πsin cos 4e e xxx x xg x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '>，可得π5π2π2π44k x k +<<+，令()0g x '<，可得3ππ2π2π44k x k -<<+，所以函数()g x 3ππ2π,2π44k k ⎛⎫-+ ⎝⎭上单调递减，其中N k ∈，在区间3ππ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭和π5π2ππ44k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，2上单调递增，其中N k ∈，且π2π4π122π4e k g k a +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5π2π45π122π4e k g k a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中N k ∈，所以函数()g x 在3ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，π4π124e g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3π43π124e g a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当π4a >时，π04g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，3π04g ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故存在23ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()20g x =，当23π,4x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x >，当2π,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <，所以当π4a >时，存在23ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()20f x '=，当23π,4x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，当2π,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以2x 为函数()f x 的极大值点，C 错误；当π21e a --<<-时，当0x >时，()e sin e 10x xf x a x '=->->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()010f a =+>，所以函数()f x 在()0,∞+上不存在零点，当ππ,2x ⎛⎤∈-- ⎝⎦时，()e cos 0xf x a x =+>，函数()f x 在ππ,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上不存在零点，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，e x y =，sin y a x =-为增函数，所以函数()f x '在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上为增函数，又π2πe 02f a -⎛⎫'-=+< ⎪⎝⎭，()00f '>，存在3π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，满足()30f x '=，即33e sin 0xa x -=，当3π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 在3π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，当()3,0x x ∈时，()0f x ¢>，函数()f x 在()3,0x 单调递增，所以当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()333e cos x f x f x a x ≥=+，又33e sin 0xa x -=，所以()()33333e cos sin cos xf x a x a x x =+=+，当3π4x =-时，()()333sin cos 0f x a x x =+=，此时π4a -=所以存在()0,a f x <在()π,x ∈-+∞上有且只有一个零点，D 正确.故选：C.关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．8．已知随机变量19,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，若对任意的正实数()12,,x x m ∈+∞，满足当12x x <时，()122112ln ln x x x x D x x ξ->-恒成立，则m 的取值范围（）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．)3e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．2,e e ⎡⎤⎣⎦【正确答案】B【分析】由二项分布的方程公式求()D ξ，化简不等式可得2121ln 2ln 2x x x x --<，设()ln 2x f x x-=，由条件可得()f x 在(),m +∞为减函数，根据单调性与导数的关系可求m 的取值范围.【详解】因为19,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()129233D ξ=⨯⨯=，所以不等式()122112ln ln x x x x D x x ξ->-可化为122112ln ln 2x x x xx x ->-，又12x x <，所以121212ln 2ln 2x x x x x x -<-，所以2121ln 2ln 2x x x x --<，由已知对任意的()12,,x x m ∈+∞，且12x x <时，2121ln 2ln 2x x x x --<，设()ln 2x f x x -=，则()f x 在(),m +∞为减函数，因为()221ln 23ln x xf x x x -+-'==，所以23ln 0xx -≤在(),m +∞上恒成立，所以ln 3x ≥在(),m +∞上恒成立，所以3e x ≥，所以m 的取值范围为)3e ,⎡+∞⎣.故选：B.关键点点睛：若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、多选题9．2023春节档期有《流浪地球2》，《满江红》，《深海》，《无名》，《交换人生》5部电影，现采用抽签法决定放映顺序，记事件A ：“《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场”，事件B ：“《深海》是第一场”，则下列结论中正确的是（）A ．事件B 包含144个样本点B ．()1320P A =C ．()320P AB =D ．()326P B A =【正确答案】BC【分析】由条件求出样本空间的样本点的个数，再分别求事件,A B 所包含的样本点的个数，由此判断A ，再利用古典概型概率公式及条件概率公式判断其余选项.【详解】随机试验采用抽签法决定5部电影放映顺序有55120A =个样本点，《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场的排法可分为两类第一类，《满江红》排最后一场，其余4部电影在前4个位次全排列，共有44A 种排法，第二类，《满江红》不排在最后一场，先排《满江红》有3种排法，再排《无名》有3种排法，再排其它影片有33A 种排法，故第二类共有3333A ⨯⨯种排法，所以事件A 包含的样本点的个数为43433378A A +⨯⨯=，事件B 包含的样本点的个数为4424A =，所以A 错误；由古典概型概率公式可得()781312020P A ==，B 正确；《满江红》不是第一场，《无名》不是最后一场，且《深海》是第一场的排法可分为三步完成，第一步先排《深海》排在第一场，只有一种方法；再在第二场到第四场中排《无名》有3种方法，最后在剩余三个位次排列其它影片有33A 种排法，所以事件AB 包含的样本点的个数为33318A =，由古典概型概率公式可得()18312020P AB ==，C 正确；由条件概率公式可得()()()313P AB P B A P A ==，D 错误；故选：BC.10．下列等式正确的是（）A ．1sin15cos154︒︒=B ．22sin 22.512︒-=C ．sin26cos34cos26sin342︒︒+︒︒=D ．tan 71tan 2611tan 71tan 26︒-=+︒︒︒【正确答案】ACD【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.【详解】11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，A 正确；22sin 22.51cos 452︒-=-︒=-，B 错误；()sin 26cos34cos 26sin 34sin 2634sin 602︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，C 正确；()tan 71tan 26tan 7126tan 4511tan 71tan 26︒-︒=︒-︒=︒=+︒︒，D 正确；故选：ACD11．421(1)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中（）A ．各项系数之和为64B ．常数项为15C ．x 的系数为6D ．1x -的系数为16【正确答案】ABC【分析】根据二项式定理的展开通项公式一一求解.【详解】令1x =，则()424(11)161++=，所以各项系数之和为64，A 正确；因为442211(1)1(21)1x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭，411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的展开通项公式为1441C C rr r rr T x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以011122233314243444C 1,C 4,C 6,C 4T T x x T x x T x x ------========,所以原式的展开式中的常数项为21231215T x T x T ⨯+⨯+⨯=，B 正确；原式的展开式中含有x 的项为2122246x T x T x x x ⨯+⨯=+=，C 正确；原式的展开式中含有1x -的项为212341220T x T x T x -⨯+⨯+⨯=，D 错误；故选:ABC.12．已知[]π,πx ∈-，函数()2cos 1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 有1个极值点C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 的最大值1【正确答案】BD【分析】根据偶函数的定义判断函数()f x 为偶函数，排除A ，利用导数研究函数()f x 在[]0,π上单调性，极值和最值，结合偶函数的性质判断其余选项即可.【详解】因为[]π,πx ∈-，所以函数()f x 的定义域关于原点对称，又()()()()22cos cos 11x xf x f x x x --===+-+，所以函数()f x 为偶函数，A 错误；又()()()222sin 12cos 1x x x xf x x -+-'=+，设()()2sin 12cos g x x x x x =-+-，则()()()22cos 12cos cos 3g x x x x x x '=-+-=-+，当π02x <<时，()0g x '<，函数()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当ππ2x <<时，()0g x '>，函数()g x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()00g =，()2π12π<0πg =--+，所以当[]0,πx ∈时，()0g x ≤，当且仅当0x =时取等号，所以()0f x '≤，所以函数()f x 在[]0,π上单调递减，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)π,0-上单调递增，又()210101f ==+，故函数()f x 在[]π,π-上有一个极值点，B 错误，函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，C 错误；所以函数()f x 的最大值1，D 正确；故选：BD.方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．三、双空题13．52345012345(1)ax a a x a x a x a x a x +=+++++所有项的系数和为32，则=a __________；则135a a a ++=__________．【正确答案】116【分析】在所给式子中令1x =得到所有项的系数和表达式，列方程求a 的值，再令=1x -，相减得到135a a a ++得值.【详解】由52345012345(1)ax a a x a x a x a x a x +=+++++，令1x =，得()50123451a a a a a a a +++++=+，又01234532a a a a a a +++++=①，由已知()5132a +=，所以1a =，所以52345012345(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++，令=1x -，得0123450a a a a a a +-+-=-②，①—②，得1352(32)a a a ++=，所以13516a a a ++=，故1；16.四、填空题14．()()22ln f x f x x ='+，则()2f =__________．【正确答案】8ln24+【分析】由导数公式求()f x '，由此可求()2f '，再求()2f 即可.【详解】因为()()22ln f x f x x ='+，所以()()22ln24f f '=+，()()22f f x x x''=+，所以()()4222f f ''=+，故()28f '=，所以()28ln24f =+，故答案为.8ln24+15．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X 为恰好取到自己祝福信的人数，则()E X =__________．【正确答案】1【分析】先求X 的概率分布列，再根据公式求期望.【详解】有题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，5对应概率依次为：()55115A 120P X ===，()3555C 1013A 12012P X ====，()25552C 2012A 1206P X ====，()15559C 4531A 1208P X ====，()11311011206830P X ==---=，则()1113532111201268E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.故1.16．镜湖春游甲吴越，茑花如海城南陌．四月正是春游踏春时，小明打算利用假期去打卡鄞江古镇，千年水利工程它山堰就在此处．时间有限，小明打算游览6个景点，上午4场，下午2场．其中它山堰不排在第一场，趣湾农庄和茶园不能相邻．其中上午第4场和下午第1场不算相邻，则不同的游览方式有__________种．【正确答案】444【分析】先求出不考虑所给要求的游览方式的个数和它山堰排在第一场的不同的游览方式的个数，再求趣湾农庄和茶园相邻游览方式的个数和它山堰排在第一场且趣湾农庄和茶园相邻的游览方式的个数，利用间接法求解.【详解】若不考虑题中的要求则不同的游览方式的个数为66A 720=，其中它山堰排在第一场的不同的游览方式的个数为55A 120=，趣湾农庄和茶园相邻游览方式的个数214244A C A 192=，它山堰排在第一场且趣湾农庄和茶园相邻的游览方式的个数为213233A C A 36=，由间接法可得满足条件的不同的游览方式有72012019236444--+=种，故答案为.444五、解答题17．已知在n a 展开式中，所有项的二项式系数之和为256，第4项的系数是第3项的二项式系数的16倍．(1)求n 和a ；(2)求展开式中系数最大的项；(3)求34(1)(1)(1)n x x x ++++⋯++展开式中含3x 的项的系数．【正确答案】(1)8n =，2a =(2)最大项为19661792T x =和371792T x=(3)126【分析】（1）由条件结合二项式系数和结论列方程求n ，再由展开式通项公式求第4项的系数和第3项的二项式系数列方程求a ；（2）利用不等式法求展开式中系数最大的项；（3）由二项式定理求(1)n x +的含3x 的项的系数，再结合组合数的性质求解即可.【详解】（1）因为n a 展开式中，所有项的二项式系数之和为256，所以2256n =，解得8n =，所以8n a a =+，二项式8a 的展开式的通项公式为(5846188CC k k k kk kk T a a x--+=⋅=，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8k ∈，所以8a 的展开式的第4项的系数为338C a ⋅，第三项的二项式系数为28C ，由已知33288C 16C a =，所以2a =；（2）设第1k +项系数最大则11881188C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k --++⎧≥⎨≥⎩()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧⋅≥⎪---⎪∴⎨⎪≥⎪-+-⎩，解得56k ≤≤，又{}0,1,2,3,4,5,6,7,8k ∈，所以5k =或6k =，所以展开式中系数最大的项为第6项和第7项，所以系数最大项为19661792T x =和371792T x =．（3）由二项式定理可得(1)n x +，N n *∈，3n ≥的展开式的含3x 项的系数为3C n ，所以34(1)(1)(1)n x x x ++++⋯++展开式中含3x 的项的系数为：333333345678C C C C C C +++++，又33333343333343456784456789C C C C C C C C C C C C C 126++++=+=++++=+，所以34(1)(1)(1)n x x x ++++⋯++展开式中含3x 的项的系数为126.18．已知函数()22sin cos f x x x x =+(1)求函数()f x 的最小正周期､单调递增区间及最值；(2)若A 为锐角ABC 的内角且()f A a ==ABC 面积的最大值．【正确答案】(1)最小正周期π；单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；max min ()2,()2f x f x ==-(2)【分析】（1）化简函数解析式可得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的周期公式，正弦函数的单调性和最值结论求解即可.（2）由()f A =A ，再由余弦定理可得2212b c bc +=+，结合基本不等式可求ABC 面积的最大值．【详解】（1）()22sin cos sin2f x x x x x x=+--π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==．由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈．∴函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．当ππ22π32x k -=+，Z k ∈时，即当5ππ12x k =+，Z k ∈时，()f x 取最大值，最大值为2，当ππ22π32x k -=-，Z k ∈时，即当ππ12x k =-，Z k ∈时，()f x 取最小值，最小值为2-，max min ()2,()2f x f x ∴==-（2）由()f A =π2sin 23A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以πsin 232A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又π02A <<，所以ππ2π2333A -<-<，解得π3A =．由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，又a =，可得2212b c bc +=+．而222b c bc +≥，得12bc ≤，当且仅当b c ==时等号成立，所以1sin2S bc A =≤b c ==时，S 取得最大值19．已知函数()e xf x ax=-(1)求()f x 的单调区间；(2)当()0,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析；(2)(],e -∞【分析】（1）求导()e '=-x f x a ，再分a ≤0和a ＞0两种情况讨论求解；（2）由已知可得mine x a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，其中()0,x ∈+∞，利用导数求函数e xy x =的最小值即可.【详解】（1）由已知，()f x 的定义域是(),-∞+∞，()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x ¢>成立，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞②当0a >时令()0f x ¢>，得ln x a >，则()f x 的单调增区间为()ln ,a ∞+令()0f x '<，得ln x a <，则()f x 的单调减区间为(),ln a ∞-综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，函数()f x 没有单调递减区间；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为()ln ,a ∞+，函数()f x 的单调减区间为(),ln a ∞-；（2）当()0,x ∈+∞时，()e 0xf x ax =-≥成立，即0x >时，e xa x≤成立，所以min e x a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，其中()0,x ∈+∞，设()e xg x x=，设()()221ee e xx x x x g x x x -='-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，函数()g x 在()0,1上为减函数当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在()1,+∞上为增函数则()g x 在1x =处取得最小值，()1e g =，则ea ≤综上所述，()0,x ∈+∞时，()0f x ≥成立的a 的取值范围是(],e -∞.20．新高考按照“312++”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取12名（包含考生甲和考生乙）进行调查．假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响．(1)求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率．(2)已知抽取的这12名考生中，女生有3名．从这12名考生中随机抽取3名，记X 为抽取到的女生人数，求X 的分布列与数学期望．【正确答案】(1)14(2)详见解析【分析】（1）分别求得甲、乙选择了地理作为再选科目的概率再利用独立事件的概率求解；（2）由X 为的可能取值为：0，1，2，3，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.【详解】（1）解：考生甲选择了地理作为再选科目的概率是13243162C p C ===，考生甲选择了地理作为再选科目的概率是13243162C p C ===，所以考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率是111224p =⨯=;（2）X 为的可能取值为：0，1，2，3，所以()()3021939333121221270,15555C C C C p X p X C C ======，()()120393933312122712,3220220C C C C p X p X C C ======，则X 的分布列为：X 0123p21552755272201220()212727101230.755555220220E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[)70,80内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[)90,100内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．(1)求a 的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；(2)若我市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ~，其中15,σμ≈为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列､均值．附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．【正确答案】(1)0.034a =；1433(2)①1587；②分布列见解析；期望为32【分析】（1）由频率分布直方图的性质求a ，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量ξ服从二项分布13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：()0.0060.0120.0180.0160.0080.006101a ++++++⨯=所以，0.034a =，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有100.0061006⨯⨯=人，获二等奖的有100.0081008⨯⨯=人，获三等奖的有100.01610016⨯⨯=人，共有30人获奖，70人没有获奖，从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为117030C C ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以()1170302100C C 14C 33P A ==，即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为1433（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，350.00610450.01210550.01810650.03410μ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.01610850.00810950.0061064+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=则所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布()264,15N ，①因为79μδ+=，()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，所以10.6827(79)()0.158652P X P X μσ->=>+≈=，故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为0.15865100001587⨯=．②由64μ=，得1(64)2P X >=，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为12，所以随机变量ξ服从二项分布13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()303110C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()313131C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()323132C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()333113C 28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123P18383818()32E np ξ==.22．已知0a >，函数()2(ln )a f x x x a =-，其极大值点为m ，极小值点为n(1)若1a =，求()f x 的极小值；(2)求()f m 的最小值；(3)互不相等的正数123,,x x x ，满足()()()123f x f x f x ==，当123x x x <<，证明223eax x ⋅<【正确答案】(1)0(2)4e(3)证明见解析【分析】（1）求函数()2(ln 1)f x x x =-的导函数，利用导数分析函数()f x 的单调性和极值即可；（2）利用导数求函数()2(ln )a f x x x a =-的极大值，再求()f m 的最小值；（3）由（2）可得22e e a a ax -<<，3e ax >，再证明当2ee a a ax -<<时，()2e 0a f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，由此证明结论.【详解】（1）因为1a =，所以()2(ln 1)f x x x =-，函数()2(ln 1)f x x x =-的定义域为()0,∞+，所以()()()()2(ln 1)2ln 1ln 1ln 1f x x x x x '=-+-=-+，令()0f x '=，可得e x =或1ex =，当10e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1e e x <<时，()0f x '<，函数()f x 在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当e x >时，()0f x ¢>，函数()f x 在()e,+∞上单调递增，所以当e x =时，函数()f x 取极小值，极小值为()e 0f =；（2）()2(ln )a f x x x a =-的定义域为()0,∞+，又()()()()21112ln 2ln ln ln a a a f x ax x a x x a ax x a x a a ---⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭'，令()0f x '=，可得e a x =或2e a a x -=，当20ea a x -<<时，()0f x ¢>，函数()f x 在20,e a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当2e e a a a x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在2e ,e a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当e a x >时，()0f x ¢>，函数()f x 在()e ,a +∞上单调递增，所以当2ea a x -=时，函数()f x 取极大值，极大值为22224e e ,e a a a f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，令20t a =>，则()24e e tg t t =，()()224e 1e t t g t t -'=，令()0g t '=，可得1t =，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 在()0,1上单调递减，当1t >时，()0g t '>，在()1,+∞上单调递增，所以当1t =时，函数()24e e tg t t=取最小值，最小值为()1e g =，所以min 4()ef m =，（3）由（2）可得12e 0a a x -<<，22e e a a a x -<<，3e a x >，所以22e e a ax <，即22e e aa x >，当2e e a a a x -<<时，2ln a x a a-<<，()2222e e (ln )(ln )a a a a f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()222e e (ln )a a a a f x f x a x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎣⎭⎦⎝⎭，因为2e a x x <，所以2e a a a x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即2e 0a a a x x ⎛⎫< ⎪⎝-⎭，又()2ln 0x a ->，所以()2e 0a f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以()2ae f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()222e a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又()()23f x f x =，即()232e a f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭又因为()f x 在()e ,a +∞上单调递增，所以232e ax x <所以223e a x x ⋅<.关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．。

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浙江省高二下学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A . -2
B . 2
C . -4
D . 4
2. （2分） (2019高二上·沧县月考) “ ”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
3. （2分）下列函数为奇函数的是（）
A .
B . y=
C . y=xsinx
D . y=log2
4. （2分）用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到（）
A . 1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B . 1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C . 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D . 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
5. （2分）从,六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有（）种取法
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高二上·山西月考) 设函数为奇函数, 且在内是减函数, , 则满足的实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二下·海南期末) 已知离散型随机变量X的分布列如表：
X﹣1012
P a b c
若E（X）=0，D（X）=1，则a，b的值分别为（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
8. （2分）(2016·山东理) 若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）
A . y=sinx
B . y=lnx
C . y=ex
D . y=x3
9. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）
A . 2
B . 2
C . 4
D . 4
10. （2分） (2020高一上·长沙期中) 已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、双空题 (共3题；共4分)
11. （1分） (2017高二上·定州期末) 已知非空集合A、B满足以下四个条件：
①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．
若集合A含有2个元素，则满足条件的A有________个．
12. （1分）(2018·浙江模拟) 已知随机变量的分布如表所示，则 ________， ________．
1
P m
13. （2分） (2020高二下·北京期中) 把6块相同的牛排分给4位同学，每人至少一块，有________种分法．
三、填空题 (共4题；共4分)
14. （1分）在（3﹣x）5的展开式中，含x3的项的系数是________ 用数字作答）
15. （1分）函数的单调增区间是________.
16. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆：
上，则的最小值是________；此时坐标为________．
17. （1分） (2019高二下·长春期末) 若函数有且只有一个零点，则实数的值为
________.
四、解答题 (共5题；共50分)
18. （10分） (2016高二下·大丰期中) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．
（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；
（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．
19. （10分） (2016高二上·自贡期中) 如图，菱形ABCD的边长为2，△BCD为正三角形，现将△BCD沿BD 向上折起，折起后的点C记为C′，且CC′= ，连接CC′，E为CC′的中点．
文科：
（1）求证：AC′∥平面BDE；
（2）求证：CC′⊥平面BDE；
（3）求三棱锥C′﹣BCD的体积．
20. （10分） (2018高二上·沭阳月考) 已知函数在处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）若对任意的均有求实数k的取值范围；
（3）设为两个正数，求证：
21. （10分） (2016高三上·成都期中) 设函数f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x2+ ）．其中k≠0．
（1）讨论函数g（x）的单调区间；
（2）若存在x1∈（﹣1，1]，对任意x2∈（，2]，使得f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6成立，求k的取值范围．
22. （10分）(2018·自贡模拟) 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若有极值，对任意的，当，存在使，试比较与的大小.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
二、双空题 (共3题；共4分)答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
解析：
答案：13-1、
考点：
解析：
三、填空题 (共4题；共4分)答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
答案：17-1、
考点：
解析：
四、解答题 (共5题；共50分)答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
答案：19-3、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。

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