第2章_薄透镜系统的初级像差方程组
第2章薄透镜系统的初级像差方程组
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下面由 P ，W 求P，W：
由于实际物平面位在无限远，不需要对物距进行规化，
因此
P ，P W，W只要对
得：P P
(h )3
W W
(h )2
规h,化，由公式
P P (h)32 .2(1 8) 0 3 1 .7 7 1 5 0
4000
h 放大到1，即 h 1
A
u1
h
F
u
A’
F’
f 1
l
f 1
u 1 u
l h
u 1 u
l h
P
P
(h )3
W W
(h )2
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(3) P ，W 对物距的规化
u1 0
f 1
A
u1 h 1
u A’
根据公式 S I I 2 n u K S h z P J W ，并假定入瞳
与透镜重合 hz 0 ，有：
KS
JWWy 2nu 2
由公式 SC lim KS
y0 y
SC K S W 1.1 4 1 4 0 5.7 1 5 0
lF C h 2 C n u 2
(6)
y F C h zh C n u
(7)
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SI 2nu2L hP
(1)
S I I 2 n u K S h z P JW
(2)
S II I n u 2 x ts
W W (h)2 0 .2(8 84 )0 2 1 .1 1 4 4 0 4000
薄透镜教距的测定及像差的观察
x始 10 10 10
x左 21.9 21.8 22.2
d 46.4 46.3 46.0
x右 68.3 68.1 68.2 80 80 80
x末
L 70 70 70
f’ 9.811 9.844 9.943
f’的平均值为 9.866. 【实验结果与分析】 ： 1. 分析本实验的系统误差，对于物距像距法，主要是测量物屏，透镜及像位置时，滑座上的读数准线和被测平 面是否重合，如果不重合将带来误差。对于位移法测凸透镜焦距，不存在这一问题。通过上述两种方法测透镜焦 距符合程度来确定系统误差对结果的影响。 本实验的偶然误差主要是人眼观察，成像清晰度引起的误差，由于人眼对成像的清晰分辨能力有限，所以观察到 的像在一定范围内都清晰，加之其他因素的影响，清晰成像位置会偏离真实像。
广东第二师范学院学生实验报告院系名称物理与信息工程系班别物理与信息工程系班别姓名专业名称学号实验课程名称普通物理实验实验项目名称薄透镜焦距的测定及像差的观察实验时间2016年年4月月30日实验地点物理实验室实验成绩指导老师签名内容包含
广东第二师范学院学生实验报告
院（系）名称 物理与信息工程系 班 姓名 别 专业名称 学号 实验课程名称 普通物理实验 实验项目名称 薄透镜焦距的测定及像差的观察 实验时间 2016 年 4 月 30 日 实验地点 物理实验室 实验成绩 指导老师签名
4
5
由公式（1）与图中的几何关系可得：
1 1 1 u1 D u1 f 1 1 1 u1 d D u1 d f
由上两式右边相等得：
u1
D d
2
将（5）式代入（3）式得：
f
D 2 d 2 D d D d 4D 4D
大学物理 几何光学 薄透镜 (2).ppt
n0 ni 1
i
ff
ni
(nL
1 1)( 1
r1
1) r2
O i
Qp
nL
d 0
d
p1 Q2 Q1 p2
薄透镜成像公式
1 1 1 p p f
➢ 符号规则：以薄透镜光心为分界点，入射光线方向 为正向，如入射光线自左向右，则当物点、像点、焦点 和薄透镜两面的曲率中心在光心右侧时，物距、像距、 焦距和曲率半径均为正；反之，在左侧则为负 .
r1 0, r2 0 r1 r2
r2 r1 0
r1 0, r2 0 r2 0 r1
r1 0,r2 0 r1 r2
➢ 凹、凸透镜成像图
1
1
h0
hi
2
F
p
2
1
h0
2 3
f
F
F
hi 3
p 1 2
➢ 焦平面 过焦点且垂直于主
光轴的平面，平行光线 （近轴）会聚于焦平面.
焦平面
各种形状的透镜 凸透镜（会聚） 凹凸透镜 平凸透镜 双凸透镜 平凸透镜 凹凸透镜
r1 0, r2 0 r1 r2
r1 r2 0
r1 0, r2 0
r1 0 r2
r1 0, r2 0 r1 r2
各种形状的透镜 凹透镜（发散） 凹凸透镜 平凹透镜 双凹透镜 平凹透镜 凹凸透镜
一 . 薄透镜成像公式 (d f , f , p, p, r)
n0 i
O
Qp
nL
d
d 0
ni Q1的像 Q的像
i
p1 Q2 Q1 p2
像方焦距 f
物方焦距 f
f f 1 p p
像 方 焦
工程光学设计 第2章 第二讲
B
垂轴色差 yF C yZF yZC
垂轴色差
A
C
D
y Z C
F yZF yZD
B
垂轴色差
yF C yZF yZC
❖ 3 二级光谱
d(sini sin m ) m
第二章 像差理论
2.3 薄透镜的初级像差理 论
2.3 薄透镜的初级像差理论
一. 薄透镜的初级像差普遍公式
球差和数 S hni(i u)(i i)
四 畸变
无畸变
正畸变
负畸变
负畸变
（a） 光阑位于透镜之前产生负畸变
正畸变
（a） 光阑位于透镜之后产生正畸变
❖ 线畸
yz yz y
q yz 100 %
y
五 色差
1 轴向色差
O1 O2
1 23
兰（F） 绿（D） 红（C）
l
′
F
AF′
AC′
-△l
′
FC
l
′
C
2 垂轴色差
A
F
D
C yZ C yZD yZF
四 反射光学系统和平面光学系统的像 差理论
❖ 1 平面反射镜像差
- i′ -i
-u
u′
2 加工或装配误差产生像差
仪器的主光轴
五 球面反射镜的像差
像点
球心
u=0
-i
- i′ - u′
h
r
光阑在反射镜球心
l
lp
球心
阑
光阑在反射镜顶点
l 球心 ip
lp 阑
六 棱镜或平面平行板的像差
光阑
- i1
正透镜
A
A0′ A′
负透镜
薄透镜的成像公式和放大率
解:
f1 20cm, f 2 5cm, d 16cm
H 2 16cm F1F2 1cm, d H1
f1d 20 16 xH H1 H 320cm 1 f 2d 5 16 x 80cm H H2H 1
拉格朗日—亥姆霍兹恒等式
h1 1 n2h2 2 nk hk k n1h11 n1
例：惠更斯目镜 由两个凸透镜 L1 L2组成，用逐次成像 法求像位置。
已知： f1 3a, f 2 a, d 2a 物点 Q 位于L1前a处 解： - P1= a ，代入第一个透镜的高斯公式
透镜制造者公式（lens-maker，s formula）
ff 1 (nL 1)(1 / r1 1 / r 2)
1 1 1 1 (nL 1)d (nL 1)[ ] f f r1 r 2 nr1r 2 1 1 1 f f 薄透镜的高斯公式： 1 P P f P P
3a 3a 1 得 P a 1
P 1 3 a 1.5a 2
同理对于第二个透镜，有
a a 1 P2 (3 / 2)a 2a
P2 7a / 5 1.4a
例题：凸透镜焦距为10厘米，凹透镜焦距 为4厘米，两个透镜相距12厘米。已知物在凸 透镜左方20厘米处，计算像的位置和横向放大 率并作图。
f1f 2 3a a f HF 3a / 2 (2a)
对于物点 Q ，P =HQ= - 4 a 由高斯公式
f f 1 P P 3a / 2 3a / 2 1 P 4a
得 P H Q 2.4a
即像点位于第二个透镜后1.4 a
第二章_像差
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29
子午平面：轴外物点的主光线与光学系统主轴所构成的平 面，称为光学系统成像的子午面。位于子午面内的那部分 光线，统称为子午光束。子午光束所结成的影像，称为子 午像点(t)。子午像点所在的像平面，称为子午像面。
弧矢像面：过轴外物点的主光线，并与子午面垂直的平面， 称为光学系统成像的弧矢面。位于弧矢面内的那部分光线， 统称为弧矢光束。弧矢光束所结成的影像，称为弧矢像点 (s)。弧矢像点所在的像平面，称为弧矢像面。
辅轴：轴外点和球心的连线称为该折射球面的辅轴
上光线：轴外点发出通过某孔径带上边缘的光线称某孔径
带的上光线
下光线：轴外点发出通过某孔径带下边缘的光线称某孔径
带的下光线
前光线：轴外点发出通过某孔径带前边缘的光线称某孔径
带的前光线
后光线：轴外点发出通过某孔径带后边缘的光线称某孔径
带的后光线
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第二部分：初级像差简介 （Aberration）
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1
高斯光学
光是电磁波
麦克斯韦方程
（原则上） 零波长近似 （实际上）
难以求解
光的所有传播定律 几何光学或光线光学
光线——波面的法线，其方向是在波长趋于零时的光能传播的方向。
几何光学的基础——四大定律
光的直线传播定律 光的独立传播定律 光的反射定律 光的折射定律
薄透镜是最简单的光学系统，它的球差可以写成结构参数的函数即：
当光焦度、物距一定时，也可写成
这里
正透镜恒产生负球差，负透镜 恒产生正球差，当入、出射光 线关于透镜对称时，球差取得 极值（绝对值最小），此时的 透镜形状为最小球差形状。
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24
球差校正方法
第2章_薄透镜系统的初级像差方程组讲解
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(3) 像散
SIII nu2 xts
hz2 P 2J h
hz W J 2
h
像散与光阑位置有关，但球差、彗差都为零时，
像散与光瞳位置无关。
(4) 光阑和薄透镜组重合时 hz 0
hz2 W J 2 h2
hz (3 )
h
(5)
SIC nu2lFC h2C
(6)
SIIC nuyFC hzhC
(7)
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像差方程组的用途：
1. 可以得到薄透镜组的像差性质。 2. 已知像差的数值，反求结构参数。
南薄透镜组像差的普遍性质
2.3.1 薄透镜组的单色像差性质 1．一个薄透镜组只能校正 两 种初级单色像差
SI hP hP
SII hz P J W hz P JW
S III
hz2 h
P 2J
hz h
W
J 2
SIV J 2 J 2
SV
hz2 h
P 3J
hz2 W h2
J2
hz (3 )
h
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2．光阑位置对像差的影响
(1) 球差
SI 2nu2L hP
与 h无z 关，所以光阑位置对球差没有影响。
(2) 彗差
SII 2nuKS hz P J W
(7)
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其中的参数：
J nuy nuy
薄透镜系统的初级像差理论
1.6.3薄透镜系统的初级像差理论[2]1.6.3.1初级像差理论在像差理论中，把各项像差和物高y （或视场角ω）、光束孔径h （或孔径角u ）的关系用幂级数的形式表示出来。
把最低次幂对应的像差量称为初级像差，而把较高次幂对应的像差量称为高级像差。
初级像差理论忽略了y 及h 的高次项，在y 及h 均不大的情况下，初级像差理论能够很好的近似代表光学系统的像差性质，为研究和设计工作带来极大的方便。
1.6.3.2薄透镜系统的初级像差方程组如果一个透镜组的厚度和它的焦距比较可以忽略，这样的透镜组称为薄透镜组。
由若干个薄透镜组组成的系统，称为薄透镜系统（透镜组间的间隔是可以任意的）。
对这样的系统在初级像差的范围内，可以建立像差和系统结构参数之间的直接函数关系。
如图1-16为一个简单的薄透镜系统示意图。
我们取两条辅助光线：第一辅助光线是由轴上点发出的经过孔径边缘的光线，它在第i 个透镜上的投射高为i h ；第二辅助光线是轴外点发出的经过孔径中心的光线，它在第i 个透镜上的投射高为zi h 。
而且第i 个透镜的光焦度也是已知的为i ϕ。
每个透镜组的i h 、zi h 和i ϕ叫做透镜组的外部参数，都是已知的，和薄透镜组的具体结构无关；对应的，每个透镜组的i r 、i d 、i n 称为透镜组的内部结构参数。
像差既和外部结构参数有关也和内部结构参数有关。
薄透镜系统初级像差方程组的作用是把系统中各个薄透镜组已知的完部参数和未知的内部结构参数与像差的关系分离开来，便于研究。
下面是各像差和数公式：球差和数''2'2[]i i iS nu L h p δI =-=∑（1-17）弧矢彗差和数'''2[]S zi i i iiS n u K h p J W II =-=-∑∑（1-18）像散和数2''2'2[2]zi zi tsi i i i i ii ih hS n u x p J W Jh h ϕIII =-=-+∑∑∑（1-19）像弯和数 2''2'22[2(1)]z i z iV Pi ii i i i iii h h S n u x p J W J h h ϕμI =-=-++∑∑∑ （1-20）畸变和数 32'''2222[3(3)]ziziziV zi i i i i i i iiih h h S n u y p JW J h h h δϕμ=-=-++∑∑∑ （1-21）轴向色差和数''2'2[]C FC i i iS n u L h C I =-∆=∑（1-22）垂轴色差和数'''[]C FC zi i i iS n u y h hC II =-∆=∑ （1-23）其中，'n 、'u 为系统最后像空间的折射率和孔径角，'''J nu y =是系统的拉格朗日不变量，他们以及每个透镜组的外部参数i h 、zi h 和i ϕ可以当成已知常数，在方括号里的求和式∑中，每个透镜组对应一项。
第二讲光学设计软件zemax的应用——薄透镜系统的初级像差理论
SΙC , SΙΙC ，把已知的外部参数代入，列出 把已知的外部参数代入，
只剩下各个透镜组的像差特性参数P,W,C的初级像差方 的初级像差方 只剩下各个透镜组的像差特性参数
像差特性参数P,W,C的归一化 的归一化 像差特性参数
1、P,W对入射高和焦距的归化： 、 对入射高和焦距的归化： 对入射高和焦距的归化 表示， f ' = h = 1 时的像差特性参数和入射角用 P , W , u1 表示，则 有， u1 W P u1 = W= P= 2 3 hϕ ( hϕ ) ( hϕ )
设计方法 •用初级像差理论求解薄透镜组的结构参数 用初级像差理论求解薄透镜组的结构参数 •从现有的资料中找出一个光学特性相近的系统作为原 从现有的资料中找出一个光学特性相近的系统作为原 始系统
初级像差与y 初级像差与y，h的关系 初级球差 δ L ' = a1h 初级彗差
2
K 's = a2 h 2 y
( −n ' u ')
n ', u '
系统最后像空间的折射率和孔径角 拉格朗日不变量 每个透镜组的外部参数
J = n ' y 'u '
ϕ , h, hz
以上参数都是已知的
P, W , C , µ 每个透镜组出现四个未知数，称内部参数 每个透镜组出现四个未知数，
µ=
∑ ni
ϕi
ϕ
ϕ = ∑ ϕi
µ
一般取近似值0.7 一般取近似值
2、P,W对物距的归一化 、 对物距的归一化 对物距归化即对
f ' = h = 1, u1 = 0
归化， u1 归化，
符号代表， 的像差参数由 P∞ , W∞符号代表，直接给出两者之间的 关系： 关系：
2019年薄透镜成像公式及作图法
薄透镜成像公式及作图法薄透镜成像公式及作图法薄透镜成像公式及作图法 2011年04月01日本节向您讲述透镜成像的各种有效的作图法，以及薄透镜成像公式应用，您一定会在这里找到许多有用的方法。
[内容综述]如果一个透明物体的两个界面都是球面，或者一个界面是球面，另一个界面是平面，这就是透镜，中央部分比边缘厚的，叫凸透镜，它具有会聚光线的性能，所以也叫做会聚透镜。
透镜中央部分比边缘薄的，叫凹透镜，它具有发散光线的性能，也以也叫做发散透镜。
如果透镜的厚度比两球面的曲率半径小得多，叫做薄透镜。
本讲主要的重点、难点是薄透镜成像公式的应用及透镜成像的作图法。
[要点讲解]1、单球面折射成像公式如图15-28所示，设单球面左、右方的折射率分别为1和n，S’是S的像，因为是近轴光线，所以i与r均很小，所以有(R为球面曲率半径)，代入?及，?式即为单球面成像公式，当时的v就是焦距f，所以2、薄透镜成像公式透镜实质上是两个单折射球面组成，它的成像过程就是连续两次的单球面成像过程。
下面讨论薄透镜成像。
如图15-29所示，设左球面的半径为，右球面半径为，透镜材料的折射率为n。
点光源S发出的近轴光经左球面折射后设成像于S’’，由于透镜很薄，两球面顶点可视为一点，设为O，设SO=u，OS’’=V’，由单球面折射成像公式可得原应成像于S"的光束在尚未会聚前又被第二个球面折射，第二次成像。
S’’成为物，是虚物，折射后成像于S’。
现在的物距是-v’，像距为v，则 ?+?可得，这就是薄透镜成像公式。
这里，u,v, , 均有正、负，规则同前面所规定的。
对图15-29，u,v, 均为正，为负，当时，当时，当透镜两边处于同一介质中时f=f ’。
当f和f’>0的透镜称为会聚透镜(凸透镜)。
当f 和f’<0的透镜称为发散透镜(凹透镜)。
用焦距表示，可将?式透镜的成像公式写成 (当f=f ’时)上式称为高斯公式。
3(透镜成像作图法(1)基本光线作图法如图15-30所示，从物方焦点发出的任意光线径透镜折射后必成为平行于主轴的光;平行于主轴射向透镜的任意光线径透镜折射后必经过像方焦点;过光心的光线径透镜后方向不变。
薄透镜pw
反之，可求得
P P u1 4W 1 u12 3 2
单透镜的 P 、W 、 C 和结构参数的关系
色差参数 C 1 不可能为0，因此单透镜不能消色差
单色像差参数 P ，W，除了与玻璃的折射率n有关，还和透 镜形状有关，用新的参数Q来表示单透镜的形状
' ts
hz2 h ' '2 x P 2 J z W J 2 / 2nu h h
' s
hz3 hz2 h ' ' y 2 P 3J 2 W J 2 z 3 / 2nu h h h
• 色差特性
（1）一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴色差 值的玻璃 （2）欲薄透镜组消除色差必须使用两种不同 （3）薄透镜组的消色差条件与物体位置无关
像差特性参数P、W、C的归一化
归一化就是把对任意物距、焦距、入射高时的像差特性参数，在保持透 镜组几何形状相似的条件下，转变成焦距等于1.入射高等于1，物平面 位在无限远时的像差特性参数。 （1）P,W对入射高和焦距的归一化
P P0 0.85 W 0.15
2
根据 P ，W， C 找出玻璃材料和求出参数结 构
（1）由 P , W 求 P 0
P0 P 0.85 W 0.15 2
0 （2）根据 P 和 C 查 Q0 值
' z
2 ' '2 L'FC h C / nu
' ' ' yFC h hC / nu z
薄透镜
表2.1公式2.2中使用的光线由左向右传播的物像符号法则位置物,s o像,s i 透镜左侧+(实) -(虚) 透镜右侧-(虚) +(实)对于物体不在无限远处，而且入射到透镜的波前不是平面波的情况，波前透视图可以让我们知道成像的位置。
比如，再一次参照图2.4，可见随着物体向透镜移近，从左侧入射并距离透镜s o的波前有更大的曲率(C=1/s o)。
虽然透镜有足够大的屈光本领使平面波波前汇聚到s i=f的像距上，但并不能将发散的球面波重新汇聚到同样的像距上。
因此，像的位置距离透镜更远。
定量来说，入射和透射波前的曲率变化取决于透镜的能力。
这种变化通过物理学入门课程中常用的成像公式总结为1 =1o+1i(2.2)这个公式说明，对于一个有正焦距f的透镜来说，较小的物距(=s o)会导致较大的像距(=s i)。
换句话说，入射到透镜上的波前曲率(C o=1/s o)和被透镜透射的波前曲率(C i=1/s i)之和等于透镜的焦度Φ=1/f。
因为一个给定透镜的焦度是常数，公式2.2表明物和像的波前曲率之和一定等于一个常数(等于1/f)。
随着物体靠近透镜，落在透镜上的波前曲率越大；而透射的波前曲率一定越小，因此汇聚的像点位置更远。
表2.1给出的符号法则区分了所谓的正透镜和负透镜。
正透镜的焦距f>0，它使一个无穷远处物体在正方向的焦点处（透镜右侧）成实像；负透镜的焦距f <0，它使一个无穷远处的物体在负方向的焦点处（透镜左侧）成虚像。
这两种基本类型的透镜的典型形状如图2.10所示。
正透镜负透镜平凸透镜平凹透镜双凸透镜双凹透镜正凸凹透镜负凸凹透镜图2.10三种类型的正、负透镜。
诺斯科技有限责任公司授权重绘。
不幸的是，本节中所使用的大多数透镜都不是简单的薄透镜。
例如，公式2.1给出的焦距随透镜厚度的增加而改变(见第3章)。
类似的其他细节也很重要：如果透镜很厚，我们应该使用哪个平面来测量物体到透镜或者透镜到像点的距离？同样的，对于一个包含许多单独成分（或元素）的透镜，我们应该使用哪个平面来测量焦距？这些细节已经超出了本文的范围；有关更具体信息请参见Kasunic[1]和Smith[2]。
薄透镜中医基础理论
1 u
1 v
(n
1)(
1 r1
1 r2
)
说明
1、上述三式适用于各种球面组成的薄透镜
如双凸薄透镜，r1取正，r2取负，故：
1 u
1 v
(n
1)(
1 r1
1 r2
)
2、薄透镜的焦距的焦度
r2 r1
当薄透镜前后的介质皆为空气时，n0=1，由v=∞， 则双凸薄透镜的第一焦距为：
f1
(n
1)(
1 r
1
1 r
薄透镜(lens) 透镜：至少有一个弯曲面，而且可以改变光束的聚散度。
透镜分类： 凸透镜 凹透镜 柱面透镜
一、薄透镜成像公式(the thin lens equation) 薄透镜：若透镜的两个球面顶点 P1 、P2之间的距离（即透镜的厚 度）与球面的曲率半径相比很小。
光心：透镜的中心，过
n1 n2 n3
n2 v1
n v
3 2
n3 n2 r2
n1 u1
n3 v2
n2 r1
n1
n3 n2 r2
薄透镜成像公式
薄透镜成像公式的推论
推论1：透镜置于某种介质中时，n1=n3=n0， n2=n,
则成像公式：
1 u
1 v
n
n0( 1 n0 r1
1 r2
)
推论2：透镜置于空气中时，n0 =1，n2 =n， 则成像公式：
1 f
=
(n-
1)(
1 r1
-
1 r2
)=
+
四、柱面透镜 柱面透镜在各个方向的曲率半径，对应着焦距、焦
度）不同，属非对称性折射系统。 柱面透镜和透镜一样有凸和凹两种形状。
薄透镜成像
三、 薄透镜组合
两个或两个以上薄透镜组成的共轴系统，称为薄透 镜组合。
1、d=0 紧密贴合的薄透镜组合
o u1= u
I
I1
v2= v v1= ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ u2
o u1= u
对一镜：
I
I1
v2= v
v1 u2= -v1
即
对二镜：
即
两式相加，得：
透镜组成像的高斯公式
令：
一次的物距。
例 凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20cm和-40 cm，组成共轴系统，相距40cm，在凸透镜前
30cm处放一物体，求像的位置？
作图：
L2
L1
F1’
F2
F2’
【美化图】
解：此题为非紧密透镜组，需要用逐次成像法 Ⅰ：利用薄透镜成像高斯公式：
11 1 uv f
1 1 1 30 v1 20
-
物像 同侧
应用
照相机、摄像机
测焦距
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放大镜
平行光的成像规则
主光轴
通常可以借助凸
透镜，用来确定平 F2 行光的成像位置。
第二
f 焦平
面
第二焦平面：过第二焦点做垂直于主光轴的平面 副光轴：通过光心的任意一条直线 只需要确定副光轴在第二焦平面的位置，就可得
薄透镜成像
薄透镜成像
透镜是由透明材料制成的光学元件，其两个表 面都是球面的一部分，或者只有一个球面，另一个 是平面。
将透镜两个折射面的曲率中心连接起来，称为 透镜的主光轴。
透镜两个表面顶点之间的距离称为透镜的厚度.
若透镜的厚度和焦距、物距、像距、球面曲率半 径相比很小，则称此透镜为薄透镜（thin lens)； 若其厚度不能忽略，则称它为厚透镜（thick lens).
推导推导出薄透镜成像公式
推导推导出薄透镜成像公式薄透镜成像公式是用于描述薄透镜形成的物体和像的关系的数学公式。
它的推导基于光线追迹法和薄透镜的光学性质。
本文将详细介绍薄透镜成像公式的推导过程。
1. 光线追迹法简介为了推导薄透镜成像公式，首先需要了解光线追迹法。
该方法基于光线的传播性质，通过绘制光线的传播路径来研究光的成像。
光线追迹法在光学中有着广泛的应用。
2. 薄透镜的定义和性质薄透镜是一个中间较薄的透光介质，它可以将入射光线汇聚或发散。
根据其形状，薄透镜分为凸透镜和凹透镜。
3. 凸透镜成像公式的推导以凸透镜为例，推导其成像公式。
假设物体位于光轴上的物距为p，物体高度为h，像距为q，像高度为h'。
根据光线追迹法，我们可以得到以下关系：公式1：(1/p) + (1/q) = (1/f)其中，f为凸透镜的焦距。
该公式表达了物距、像距和焦距之间的关系。
4. 符号约定在推导过程中，要确定符号的约定。
一般来说，我们使用以下约定：物距p：正值代表物体位于透镜的一侧，负值代表物体位于透镜的另一侧。
像距q：正值代表像位于透镜的一侧，负值代表像位于透镜的另一侧。
焦距f：凸透镜情况下为正值，凹透镜情况下为负值。
5. 利用类似三角形的关系在推导过程中，可以通过利用类似三角形的关系来得到更具体的公式。
借助几何相似性，我们可以得到以下关系：公式2：h'/h = -q/p6. 凸透镜成像公式的最终推导将公式1和公式2联立，可以解得：公式3：h'/h = -q/p = (p-f)/f通过对公式3进行整理，我们可以得到凸透镜成像公式：公式4：h'/h = -q/p = (1-q/f)这就是凸透镜的成像公式。
7. 凹透镜成像公式的推导凹透镜的成像公式与凸透镜的成像公式类似。
只需要根据约定的符号规定进行推导即可。
最终得到的凹透镜成像公式为：公式5：h'/h = q/p = (1-q/f)8. 薄透镜成像公式的应用薄透镜成像公式在光学实验和实际应用中具有重要意义。
第2章：薄透镜系统初级像差理论
=
J 2μϕ − 2n'u'2
=
− n' y'2 2f'
μ
μ≈0.7，x ' p 也应该是一个与结构无关的常数。
2.3.2薄透镜组的色差特性
∑ SIC = −n'u'2 ΔL'FC = h2C
∑ SIIC = −n'u' Δy'FC = hzhC
(1)一个薄透镜组消除了轴向色差必然同时消除垂轴 色差。 薄透镜组的两种色差，由唯一的色差参数C确定， 当轴向色差等于零，则C=0, 垂轴色差也同时等于零。
薄透镜系统初级像差方程组：把系统中各个薄透镜组 已知的外部参数和未知的内部结构参数与像差的关系 分离开来，使像差和内部结构参数之间关系的讨论简 化。
δL'= [∑ hP] (−2n'u'2 )
∑ ∑ K 'S = [
hz P − J
W ] (−2n'u') = K 'T 3
∑ ∑ ∑ x'ts = [
光瞳位置对像差的影响
(1) 球差与光瞳位置无关。
∑ SI = −2n'u'2 δL' = hP
(2)彗差与光瞳位置有关，但球差为零时，彗差与光瞳 位置无关。
∑ ∑ SII = −2n'u' K 'S = hz P − J W
如果球差为零，P=0，则 hz P = 0，与光瞳位置无关。
(3) 像散与光瞳位置有关。如果球差、彗差都等于 零，则像散与光阑位置无关。
内部参数P、W、C、μ
μ = ∑ϕi ϕ ni
ϕ ：该薄透镜组的总光焦度 ϕi和ni：透镜组中每个单透镜的光焦度和玻璃的折 射率。 对薄透镜组来说总光焦度等于各个单透镜光焦度之 和，即ϕ =∑ϕ i。 玻璃的折射率ni变化不大，一般在1.5～1.7左右， 近似为一个和薄透镜组结构无关的常数。 通常取μ的平均值为0.7。
初级像差方程组应用举例
初级像差方程组应用举例：1. 设计要求：焦距：f ’ =250mm通光孔径：D=40mm视场角：2w=6°入瞳与物镜重合物镜后棱镜系统的总厚度为150mm ，要求：'m L δ=0.1mm, 'm SC =-0.001,'FC L ∆=0.05 2. 经初级像差理论PW 法求解其结构参数r d 玻璃153.1 6 K9-112.93 4 ZF1-361.68 50∞ 150 K9∞第一次优化后新系统的结构参数为：r d 玻璃145.812 6 K9-120.3064 4 ZF1-413.5847 50∞ 150 K9∞ 96.08f ’=250, 'm L δ=-0.222, 'FC L ∆=0.05018, 'm SC =-0.001此时的球差值'm L δ=-0.222，而要求的目标值为0.1，根据初级像差公式P h hP 'L u'2n'S 342ϕδ==-=I ；两边对'L δ和P 微分有：P h )L ('u '2n 34'm 2ϕδ=∆-342h )'L ('u '2n P ϕδ∆-=∆； 在保持物方孔径角W u 1,不变的条件下更换玻璃，则0P P P ∆=∆=∆∞。
因为 200Q Q 352P P )(.-+=∞;15.0)Q Q (67.1W 0+--=∞;ϕh 'u =, n ’=1.0;L'δ=0.1-(-0.222)=0.322;所以 3420h L u 2n P ϕδ)'(''∆-=∆=ϕδ2h L 2)'(∆-=250120322022⨯⨯-.=-0.4025。
000P P P ∆+=*=0.13+（-0.4025）=-0.2725 由于色差不变，所以C 不变，C =0.0019。
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第二章 薄透镜系统的初级像差理论
2.1 概述 2.2 薄透镜系统的初级像差方程组 2.3 薄透镜组像差的普遍性质 2.4 像差特性参数的P，W，C的规化 C 和结构参数的关系 W 2.5 单透镜的 P 、 、 2.6 双胶合透镜组结构参数的求解 2.7 平行玻璃板的初级像差公式 2.8 光学系统消场曲的条件——petzval条件
u
A’
f 1
f 1
l
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（2）保持焦距 f 1 和物距 l 不变，把入射高 h 放大到1，即 h 1
A
u1
h
F F’
u
A’
f 1
f 1
l
1 u u l h 1 u u l h
P
P (h ) 3
W W (h ) 2
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(3) P ， W 对物距的规化
u1 0
A
f 1
h 1
u1
u
F’
A’
l
P P 4u1 (4W 1) u12 (5 2 )
W W u1 (2 )
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(4) C的规化
W 1.67(Q Q0 ) 0.15
P 2.05 2.35(1 1.26) 2 2.21
W 1.67(1 1.26) 0.15 0.284
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W 求P，W： 下面由 P ，
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由于实际物平面位在无限远，不需要对物距进行规化，
系统（透镜组之间的间隔可以是任意的）。
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2.2 薄透镜系统的初级像差方程组
B
1
孔径光阑
2
nyA源自uhz1h1
O
h2
hz 2
u
A’
y’
B’
d1
，d1， 2 ， u u， 已知：1 ， h2 第一辅助光线：h1 ， hz 2 第二辅助光线：hz1，
外部参数（与具体结构 参数（r,d,n）无关）
z
(2) (3) (4) (5) (6) (7)
hz2 hz 2 xts P 2 J W J nu 2 h h
xp J 2 2nu 2
hz3 hz2 hz 2 y P 3 J W J ( 3 ) h2 h z h 2 2nu
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2.1 概述
1.初级像差和y、h的关系：
(1) 初级球差
L a1h2
a2 h 2 y KS
3K S KT
(2) 初级彗差
(3) 初级子午场曲(细光束场曲) (4) 初级弧矢场曲
xt a3 y 2
2 x a y s 4
3 y a y z 5
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薄透镜系统的初级像差方程组
L
KS
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2 hP 2 n u
对薄透镜组求和
2nu KT 3
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
h P J W
z
hz2 hz 2 xts P 2 J W J nu 2 h h
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(3) 像散
S III
2 h h z P 2 J z W J 2 nu 2 xts h h
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像散与光阑位置有关，但球差、彗差都为零时， 像散与光瞳位置无关。
(4) 光阑和薄透镜组重合时 hz 0
像散与透镜组的结构无关，无法校正。 (5) 光阑和薄透镜组重合时
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2.4 像差特性参数P，W，C的规化 什么是规化？
任意物距 任意焦距 任意入射高
保持透镜组的几何形状相似
1
1
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A
u1
h F F’
u
A’
f
f
l
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(1) P、W对f’的规化
A
u1
h
F F’
得：
1 0.0156 64.1
实际的C值为：
C 0.0156 C 3.9 106 f 4000
2 2 S n u l h 代入公式 IC C FC
得：
h 2C 802 3.9 106 l FC 62.5 2 2 nu (80 / 4000 )
lFC
h C nu
2
z
2
y FC
h hC nu
南京理工大学紫金学院 其中的参数：
J nuy nu y
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i
i
ni
对单透镜求和
i C i
u i u i P (1 / n ) n i i
hz2 hz 2 x s P 2 J W J (1 ) 2nu 2 h h
hz3 hz2 hz 2 y P 3 J W J ( 3 ) h2 h z h 2 2nu
(5) 初级畸变
(6) 初级轴向色差
C1 （跟材料的色散系数 l FC
有关，与y、h无关）
(7) 初级垂轴色差
y FC C2 y
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2. 薄透镜的概念
如果一个透镜组的厚度和它的焦距比较可以 忽略，这样的透镜组称为薄透镜组。
由若干个薄透镜组构成的系统，称为薄透镜
因此
得： P
， P P
P (h ) 3
W ，只要对 W
规化，由公式 h,
W W (h ) 2
3
80 3 P P (h ) 2.21( ) 1.77 10 5 4000
80 2 W W (h ) 0.284 ( ) 1.14 10 4 4000
hz3 hz2 hz 2 SV 2nuy P 3 J W J h2 h2 h (3 ) z
畸变为零。
南京理工大学紫金学院 (6) 单薄透镜的petzval场曲 xp
S IV 2nu 2 xp J 2
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对单薄透镜组来说，x p 与结构无关。
JW W y 2n u 2 KS 由公式 SC lim y 0 y W 1.14 104 KS SC 5.7 105 y 2 2 KS
南京理工大学紫金学院 下面求色差，由公式
C 1
C 1
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S I hP hP
S II hz P J W hz P JW
S III hz2 hz P 2 J W J 2 h h
S IV J 2 J 2
hz2 hz2 2 hz SV P 3J 2 W J (3 ) h h h
W 1.67(Q Q0 ) 0.15
P P0 0.85(W 0.15) 2
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例：有一平凸透镜，焦距f’＝4000mm，玻璃材料 为K9（n=1.5163, =64.1）用作平行光管物镜， 如下图。通光口径 D ＝ 160mm ，求该透镜的初级 球差、彗差和轴向色差。
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2．光阑位置对像差的影响 (1) 球差
S I 2nu 2L hP
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与 hz 无关，所以光阑位置对球差没有影响。
(2) 彗差
hz P J W S II 2nuK S
彗差与光阑位置有关。但球差为零时，彗差即 与光瞳位置无关。
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已知 P W C , 找出玻璃材料和求出结构参数：
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2
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根据公式 S I 2nu2L hP ，得：
hP 80 1.77 105 L 1.77 2 2 2nu 2 (80 / 4000 )
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hz P J W ，并假定入瞳 根据公式 S II 2nuK S 与透镜重合 hz 0 ，有：
2
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S IV 2nu 2 xp J 2
hz3 hz2 hz 2 SV 2nuy P 3 J W J h2 h2 h (3 ) z
h 2C S IC nu 2 l FC
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根据对系统的像差要求，列出初级像差方程组 求解方程组得到系统中每个薄透镜组 的像差特性参数P，W，C 经过规化，求出 P , W , C
求出每个透镜组的结构参数
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2.5 单透镜的 P、W、 C 和结构参数的关系
P P0 2.35(Q Q0 ) 2
D 160
F’
f’＝4000
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Q 由表3－1用插值法得到n=1.5163时的 P 0 ， 0 值为：
P 0 2.05
Q0 1.26
由于透镜为平凸形，并且凸面向前，所以 c2 代入公式 Q c2 1 ，得：