力学相对性原理与动能定理

动能的变换 d 1 m v 2 d 1 m (v ' u )2 ii i i
i
2
i
2
1 1 2 2 d mi v 'i u mi vi ' ( mi )u 2 i i i 2 1 d mi v 'i2 u d ( mi vi ') i 2 i
n
三、机械能守恒定律不满足协变性吗？
机械能守恒定律是在一定条件下的动能定理， 它并非牛顿定律的单纯推论。 它是否满足相对性 原理就要看这个条件是否满足相对性原理了。
此即系统的功能定理
注意，第一式两边所乘的dri，是第i个质点相对于惯性 系S的位移、如果不是相对于S系的位移，而乘以相对 于别的参考系的位移，则dri=vidt将不成立，上式右边 也就得不出来了.
n
n
n
• 对于保守系统有势能的概念：
dE p fi dri
i
n
1 2 fi dri d ( mi vi E p ) i i 2
机械能守恒定律协变性疑难
叶邦角 中国科学技术大学物理学院
中国科学技术大学物理学院《力学》教学组教学研讨会，2010年元旦， 安庆
伽利略变换与相对性原理 动能定理的协变性
机械能守恒定律不满足协变性吗？ 相对性原理与协变性
一、伽利略变换与力学相对性原理
1.伽利略变换
2.力学的相对性原理
1 1 2 不仅 mi vi mi v 'i2 i 2 i 2 1 1 2 2 而且 d ( mi vi ) d ( mi v 'i ) i 2 i 2
即不仅动能与参考系有关，而且动能的改变也与参考 系有关(顺便提一下，动量与此不同，虽然动量也与 参考系有关，但动量的改变却与参考系无关)．
( Fi ) udt d mi vi ' u u d ( mi vi ')
i i i
1 2 Fi dri ' d mi v 'i dE p ' i i 2
这就证明了保守体系的质点组的动能定理是服从 伽利略相对性原理的．
3.非保守体系的动能定理也满足相对性原理
牛顿定律服从相对性原理，故由牛顿定律推导 出的一切规律都应服从相对性原理． 动量定理、动能定理、角动量定量等都是牛顿 定律的推论，它们当然应该服从相对性原理． 力学的规律或公式可以直接从S系转换成S’系， 只需在公式中把所有物理量变成带“’”的物 理量。
S系
S’系
i i i0
F dt m (v v
a a ', F F ', m m ' F ma F ' ma '
在两个相互做匀速直线运动的惯性系中，牛顿定 律具有相同的形式。
相对性原理
物理学的基本规律在不同的惯性系具有相同的形式， 或物理学规律是满足伽利略协变性的。 即表达基本规律的数学关系式在不同惯性系形式相同， 数学关系式相同的意思不是指数值相同，而是其形式 相同。
此即保守系统的功能定理
n
n
2. 动能定理的伽利略变换
ri ri ' ut vi vi ' u
功的变换
F dr i Fi (dri ' udt ) Fi dri ' Fi udt i i i i
可见，在一般情况下, 外力对系统所作的功与参考 系有关．
如果内力存在着像摩擦力这样的非保守内力，则：
f
ij
n
ij
dri f保内ij dri f非保内ij dri f非保内ij dri dE p
ij ij ij
n
n
n

ij
非保守内力总是成对出现，在经典力学中满足牛顿第 三定律，因此 与参照系选 n n 择无关！ f dr f dr
d (ri pi ) ri Fi dt i i
d (r 'i pi ') ri ' Fi ' dt i i
二、动能定理的协变性
下面由伽利略变换来证明动能定律满足相对 性原理。 1.从牛顿定理到动能定理
设有一保守的(即只有保守内力的)力学系 统，在惯性系S中第i个质点的位置矢量为ri，所 受外力为Fi ，内力为 fi，则牛顿定律为
非保内ij i

i j
非保内ij
ij
f非保内ij drij f '非保内ij drij '
i j i j
n
n
1 2 F dr f dr d m v i i ij i i dE p 非保内ij i i j i 2
n
1 2 Fi ' dri ' f '非保内ij drij ' d mi v 'i dE p ' i i j i 2
dvi Fi fi mi dt
• 两边乘以第 i个质点的位移dri= vidt，可得
1 2 Fi dri fi dri mi vi dvi d ( mi vi ) 2
对全部质点取和
1 2 Fi dr fi dri d ( mi vi ) i i i 2 i
i i i
)
F ' dt ' m (v ' v '
i i i i i
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i0
)
F dr f
i i i i j
n
非保内ij
drij
F ' dr ' f '
i i i i j
n
非保内ij
drij '
1 d mi vi2 dE p i 2
1 d mi v 'i2 dE p ' i 2
势能增量的变换
dE p f i dri f i (dri udt )
i i
f i dri ' u ( f i )dt f i dri ' dE p '
i i i
可见势能与动能不同，它与参考系无关．
动能定理的整体变换
1 2 F dr ' F udt d m v ' i i i i u d ( mi vi ') dE p ' i i i 2 i i