复变函数期末考试分章节复习题

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复变函数_期末基础知识复习_和_模拟试题

一基本内容：
第一、二章
一、复数的表示方法（代数、三角、指数表示法）及其运算公式。
二、函数可导和解析的充分必要条件，函数可导和
解析的充分条件。C-R方程。
三、初等函数（指数函数、三角函数、对数函数、
幂函数）的定义与性质。
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虚轴
复数的模：
z x2 y 2 r
C C
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x x(t ) 1 :光滑曲线C 的实参数方程为 ,t : , y y(t )
f ( z )dz
C
{u[ x(t ), y(t )] iv[ x(t ), y(t )]} {x(t ) iy(t )}dt
注：过z1与z2两点的直线的参数方程为: z z1 ( z2 z1 )t， t .
连接z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的直线段的参数方程为:
z z1 t ( z2 z1 ),0 t 1
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通过两点( x1 , y1 )与( x2 , y2 )的直线方程为
留数定理

C
k 1 华侨大学厦门工学院 09电子3班
f ( z )dz 2 i Re s[ f ( z ), zk ].
n
第八、九章一、傅氏变换、拉氏变换及它们的逆变换的定义。二、记住函数的几个重要性质。三、记住几个重要函数的积分变换。四、记住积分变换的性质（线性、位移、相似、微分、积分性质）。五、会用二、三、四中的结论求某些函数的积分变换或逆变换。六、会求解简单的微分方程。
f ( z ) Cn ( z z0 )n ,

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复习题2一．单项选择题1．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A）),(y x u 在),(00y x 处连续（B）),(y x v 在),(00y x 处连续（C）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（）（A）3-（B）2-（C）1-（D）13．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件4．下列命题中，正确的是()（A）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x （B）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()（A）iπ2-（B）0（C）iπ2（D）iπ46．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ()（A）1sin -（B）1sin （C）1sin 2i π-（D）1sin 2i π7．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）仅在零点不解析（D）处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数10．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A）i +-43（B）i +43（C）i -43（D）i --4311.ii 的主值为()（A）0（B）1（C）2πe（D）2eπ-12．ze 在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析13．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是()（A）)(z f 在复平面上处处解析（B）)(z f 以π2为周期（C）2)(iziz e e z f --=（D）)(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2()（A）i 6561-（B）i 6561+-（C）i 6561--（D）i 6561+15．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()（A）2iπ（B）2i π-（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能16．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()（B）i π2-（B）0（C）iπ2（D）iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18．设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦（）.A ．()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()（A）0（B）i π2（C）10（D）5i π20．积分21sin z z zdz ==⎰()（A）0（B）61-（C）3i π-（D）iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A ．一B ．二C ．三D ．四22.下列等式成立的是().A ．Lnz Lnz 77=；B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i；D ．)z z Re(z z =。

复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。

答案：$(1+i)^3=-2+2i$。

2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。

答案：$(-2+i)^4=7-24i$。

3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。

答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。

4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。

答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。

5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。

答案：$z^*=2+i$。

6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。

答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。

7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。

答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。

答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。

答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。

10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。

答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。

复变函数习题及答案解释

第一篇复变函数第一章复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值：（1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的：（1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=，那么()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ；（6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题：（1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向；（2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向；（3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形；（5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界；（2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 $ z = a + bi $（其中 $ a, b $ 为实数），则$ \bar{z} $ 表示（）A. $ a - bi $B. $ -a + bi $C. $ -a - bi $D. $ a + bi $答案：A2. 对于复变函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，以下说法正确的是（）A. $ u $ 和 $ v $ 都是调和函数B. $ u $ 和 $ v $ 都是解析函数C. $ u $ 和 $ v $ 都是连续函数D. $ u $ 和 $ v $ 都是可微函数答案：A3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可导，则下列说法中正确的是（）A. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析B. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处连续C. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可微D. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数为0答案：C4. 已知 $ f(z) $ 是解析函数，且 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有孤立奇点，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的留数是（）A. 0B. $ \infty $C. 1D. $ -1 $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ z = x + yi $，且 $ |z| = 2 $，则 $ x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ $。

答案：42. 设 $ f(z) = z^2 $，则 $ f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ $。

答案：-5 + 12i3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数 $ f'(z_0) $ 等于 \_\_\_\_\_。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数考试复习资料

一、单选题1.设f(z)=sin z，则下列命题中，不正确的是( )。

A、f(z)在复平面上处处解析B、f(z)以2T为周期C、D、丨f(z)丨是无界的答案： C2.A、iB、-iC、1D、-1答案： B3.下列命题中，不正确的是（）。

A、B、C、若在区域D内有f '(z)=g(z)，则在D内g'(z)存在且解析D、答案： D4.设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0，f(z0)( )A、等于0B、等于1C、等于2D、不能确定答案： C5.下列函数中，为解析函数的是（）。

A、x²-y²-2xyB、x²+xyiC、2(x-1)y+i(y²-x²+2x)D、x³+iy³答案： C6.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( ).A、B、C、D、答案： B7.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B8.A、2B、2iC、1+iD、2+2i答案： A9.A、不存在的B、唯一的C、纯虚数D、实数答案： D10.A、有界区域B、无界区域C、有界闭区域D、无界闭区域答案： D11.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共辄调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是（）。

A、v(x,y)+iu(x,y)B、v(x,y)-iu(x, y)二、判断题C 、u(x,y)-iv(x,y)D 、答案： B12.下列数中，为实数的是（）。

A 、B 、cos iC 、In iD 、答案： B1.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件.A 、正确B 、错误答案：正确2.若a 是f(z)和g(z)的一个奇点,则a 也是f(z)+g(z)的奇点。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》期末复习题及答案

第 1 页共 12 页复变函数复习题及答案一、选择题1．下列各式中表示有界区域的是（ C ）.A.0Re >zB.0Im >zC.2|2|<-zD.2||>z2．在映射2z w =下，双曲线122=-y x 在w 平面上的象是（A ）.A.平行于u 的直线B.平行于v 的直线C.双曲线D.圆3.方程2|||1|=+++i z z 所表示的曲线是（ B ）.A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线4.下列方程中表示直线的是（ C ）.A.1Re 2=z B.1=z z C.1=+z z D.1||||=+z z5.复数iiz -+=21在第（ A ）象限.A.一B.二C.三D.四 6．=Lni ( A )，其中k 是整数.A.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ22B.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ22C.i k ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ24 D.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ24 7．对于幂级数，下列命题中正确的是（ B ）.A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛 D 在收敛圆上，其处处发散8．0=z 是()zz z f 2sin =的（ D ）.A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点9．在复平面内，关于z sin 的命题中，错误的是（ C ）.A.z sin 是周期函数B.z sin 是解析函数C.1|sin |≤zD.()z z cos sin /=10．设C 为正向曲线1||=z ，则()=--⎰Ci z dz21( A ).A.0B.iπ1C.i πD. i π211．设()zz z z f 222-+=，则()[]=0,Re z f s ( C ).A.0B.1C.1-D. 2第 2 页共 12 页12.函数()zz f 1=将z 平面上的曲线1=x 映射成w 平面内的一条（ A ）.A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线13. 下列积分中，值不为零的是（ D ）（其中C 是正向曲线1||=z ）. A.⎰Czdz B.⎰C dz z zsin C.()⎰-Cdz z z 5.01D.()⎰-Cdz z z 2114. 下列级数中，绝对收敛的级数为（ D ）. A.∑∞=1n )1(1n i n + B.∑∞=1n ]2)1([n n i n +- C.∑∞=2n n i n ln D.∑∞=1n n ni 215. 2lim1n n nini→∞+-=（ A ）.A.12i -+B.12i +C.2i +D.∞16. 0=z 为函数()()zz z z z f 1sin11)(+-=的（ A ）.A.非孤立奇点B.极点C.本性奇点D.可去奇点17.下列式子中成立的是（ D ）. A.ii 2< B.1sin ≤z C.z z ln 2ln 2=D.z Lnz Lnz ln 2+=18.若幂级数∑+∞=0n nn z c 在点12i +收敛，则∑+∞=1n nn n z c 在点2=z 处的敛散性为（ A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定(∑+∞=1n nn n z c 与∑+∞=0n n n z c 收敛半径是一样的，再根据阿贝尔定理)19.0=z 是函数()zzz f 1sin =的（ D ）. A.可去奇点 B.极点 C.本性起点 D.非孤立奇点20.下列级数中条件收敛的是（ B ）.A. nn i ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+021 B.∑+∞=0n nn i C. ∑+∞=02n nn i D. ∑+∞=+021n nni21.下列级数绝对收敛的是（ B ）.第 3 页共 12 页()()()()()221111112nnnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑∑∑22、级数∑∞=++-111)1(n n n nz 的收敛半径R 和和函数为（ B ）. A.1),1ln(=+R z B.1),1ln(=+R z z C.1),1ln(=-R zD.1),1ln(=-R z z （∑∞=++-111)1(n n n nz = ∑⎰∑∑∞=∞=++∞=+-=+-=-0001211d )1(1)1()1(n z n n n n n n n n z z z n z z n z z()z z dz zz dz z z z z z zz n nn znn +=+=-=-=⎰⎰∑∑⎰∞=∞=+1ln 11)(d )1(001)23.设C 为椭圆1422=+y x ，则积分⎰Cz z d 1= （ A ）. A.i π2 B.π C.0 D.i π2- 24.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则( B )为D 内解析函数.A.),(),(y x iu y x v +B.),(),(y x iu y x v -C.),(),(y x iv y x u -D.xvi x u ∂∂-∂∂ 25. 级数∑∑+∞=+∞=+01n n nn n n bz z a b a ,(是复常数），则其收敛域是（ D ）.A.||||a z <B.||||b z <C.+∞<<||0zD.当||||b a <时||||||b z a <<二、填空题第 4 页共 12 页1．设42πiez -=，则=z Re 12． ()()112-+=z z z z f 在奇点0=z 附近的洛朗级数的收敛圆环域为1||0<<Z .3．方程0=chz 的根是i k π⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 4． -⎰=1||12sin z dz z zπ____i π_________.5． =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,sin Re 4z z z s 61. 6．=⎰=1||z dz z i π2.7． ()()by x i ay x z f +++=在复平面内解析，则=a 1-,=b 1 .8.设i e z +=1，则=z Im i k ⎪⎭⎫⎝⎛+24π；9.函数2z w =将z 平面内的曲线222=-y x 映射成w 平面内曲线的方程为2=u .10.=⎰+idz z 102()3131i +. 11.设()12-=z ze z f z，则()=0///f__-９_____________.(()12-=z ze z f z z z z e zze z z z ze 222111--=-=-= ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-=...!31 (3)253z z z z z z z = (2)332----=z z z ()()()()()32///!3002100z f z f z f f z f '''+++=所以()()9!3230,23!30-=-='''-='''f f ） 12.设()∑+∞=-=+02111n nn z c z ，则此幂级数的收敛半径是2 .13.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0,1sin Re 6z chz z s 1201. 14.=-⎰=3||24z dz z i π2第 5 页共 12 页15. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,11Re 3z s ___０_______.16. 设i z 22-=,则z arg =4π-,z ln =i 48ln π-.17.dz zez z⎰=11= i π18.设i z 432+=，则=||z 5.19. 若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a ____－３ .20. 0=z 是函数()121sin z e z z f z --=的__10__级极点.21. =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞,Re 21z e 0 .22.函数()4ln 2-=z zz f 的奇点的集合是}2{]0,( -∞ 23. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __-1+ie________. 24.()1-=z zz f 将区域2||=z 映射成___________________.25. z=0为()()122-=z e z z f 的 4 级零点.三、计算题1. 计算()i -1ln ，()1sin -i π和21的值解：()()i i i i i 42ln 211arg |1|ln 1ln π-=-+-=- ()i ee sh i ch i 211cos 1sin sin 2--=+=+πππ（()xshy i xchy iy x cos sin sin +=+）()()ππππ2sin 2cos 12)1(ln 2122i eeeii Ln +====+2. 求解析函数()iv u z f +=其中()01,22=+=f y x yu 解：()()()222222222/2z iy xy x iy x xy y u i x u z f =+-++=∂∂-∂∂= ()()c zidz z fz f +-==⎰/由()01=f 得到，i c = 3. 求满足方程i y iix 21+=++的x 和y 的值。

大学复变函数复习题+答案

《复变函数和积分变换》一．（本题30分，其每小题各3分）1. 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是；2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-，z=0为级极点，2i z ±=为级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ，则其收敛半径； 6.计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）；10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分）(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为： ①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =. （7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22yx ∂∂+∂∂=∆，并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分）八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

复变函数1到5章测试题及答案

第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1．当时，的值等于（B ）ii z -+=115075100z z z ++（A ）（B ）（C ）（D ）i i -11-2．设复数满足，，那么（A ）z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z （A ）（B ）（C ）（D ）i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3．复数的三角表示式是（D ）)2(tan πθπθ<<-=i z （A ）（B ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）（D ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若为非零复数，则与的关系是（C ）z 22z z -z z 2（A ）（B ）z z z z 222≥-z z z z 222=-（C ）（D ）不能比较大小z z zz 222≤-５．设为实数，且有，则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是（B ）),(y x （A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转，对应的复数为，则原向量对应的复数是（A ）3πi 31-（A ）（B ）（C ）（D ）2i 31+i -3i+3７．使得成立的复数是（D ）22z z =z（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设为复数，则方程的解是（B ）z i z z +=+2（A ）（B ）（C ）（D ）i +-43i +43i -43i --43９．满足不等式的所有点构成的集合是（D ）2≤+-iz iz z （A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域10．方程所代表的曲线是（C ）232=-+i z （A ）中心为，半径为的圆周（B ）中心为，半径为２的圆周i 32-2i 32+-（C ）中心为，半径为的圆周　（D ）中心为，半径为２的圆周i 32+-2i 32-11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）（A ）（B ）221=+-z z 433=--+z z （C ）（D ）)1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设，则（C ）,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=（A ）（B ）（C ）（D ）i 44--i 44+i 44-i 44+-13．（D ）000Im()Im()limz z z z z z →--（A ）等于（B ）等于（C ）等于（D ）不存在i i -014．函数在点处连续的充要条件是（C ）),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=（A ）在处连续（B ）在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x （C ）和在处连续（D ）在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15．设且，则函数的最小值为（A ）C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=（A ）（B ）（C ）（D ）3-2-1-1二、填空题1．设，则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22．设，则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3．设，则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4．复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=６．不等式所表示的区域是曲线（或522<++-z z 522=++-z z ）的内部1)23()25(2222=+y x ７．方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x ８．方程所表示的曲线是连接点和的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线９．对于映射，圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10． =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足，试求的取值范围．z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z(（或）)]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设，在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数，试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射，求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为．表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设，试讨论下列函数的连续性：iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1．在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；)(z f 2．在复平面处处连续))(z f 第二章解析函数（答案）一、选择题：1．函数在点处是( B )23)(z z f =0=z（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设为实数，则y x ,1)cos(≤+iy x （B ）若是函数的奇点，则在点不可导0z )(z f )(z f 0z （C ）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D （D ）若在区域内解析，则在内也解析)(z f D )(z if D 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ）（B ）xyi y x 222--xyi x +2（C ）（D ）)2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5．函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于（D ）不存在1-6．若函数在复平面内处处解析，那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a （A ）（B ）（C ）（D ）0122-7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f （A ）（B ）（C ）（D ）任意常数011-8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是( C ))(z f D （A ）若在内是一常数，则在内是一常数)(z f D )(z f D （B ）若在内是一常数，则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D （C ）若与在内解析，则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D（D ）若在内是一常数，则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9．设，则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f （A ）（B ）（C ）（D ）2i 2i +1i 22+10．的主值为( D )ii （A ）（B ）（C ）（D ）012πe 2eπ-11．在复平面上( A )ze （A ）无可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是( C )z z f sin )(=（A ）在复平面上处处解析（B ）以为周期)(z f )(z f π2（C ）（D ）是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13．设为任意实数，则( D )αα1（A ）无定义（B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ）（B ）（C ）（D ）3)1(i -i cos i ln e 23π-15．设是复数，则( C )α（A ）在复平面上处处解析（B ）的模为αz αz αz（C ）一般是多值函数（D ）的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1．设，则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3．导函数在区域内解析的充要条件为可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4．设，则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5．若解析函数的实部，那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6．函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7．设，则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8．复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -10．方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数z 1．（）;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2．（）);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知，试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)(（.为任意实常数）c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设为从原点沿至的弧段，则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2（A ）（B ）（C ）（D ）i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1(（A ）（B ）（C ）（D ）(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03．设为负向，正向，则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin （A ）（B ）（C ）（D ）i π2-0iπ2iπ44．设为正向圆周，则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos （A ）（B ）（C ）（D ）1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5．设为正向圆周，则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos（A ）（B ）（C ）（D ）)1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6．设，其中，则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z ='）i f π(（A ）（B ）（C ）（D ）i π2-1-i π217．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)(（A ）于（B ）等于（C ）等于（D ）不能确定i π2i π2-08．设是从到的直线段，则积分（ A ）c 0i 21π+=⎰cz dz ze （A ） (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9．设为正向圆周，则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π（A ）（B ）（C ）（D ）i π22i π20i π22-10．设为正向圆周，则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos （A ）（B ）（C ）（D ）ie π2eiπ20i i cos 11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果)(z f D c D D 在上的值为2，那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D )（A ）积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r （B ）,其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i （C ）若在区域内有，则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '（D ）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) （B ）（C ）（D ）c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214．下列命题中，正确的是(C)（A ）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有21,v v D u 21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若在区域内解析，则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )（A ）（B ）),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -（C ）（D ）),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设为沿原点到点的直线段，则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22．设为正向圆周，则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103．设,其中，则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4．设为正向圆周，则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65．设为负向圆周，则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内解析)(z f B 8．调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229．若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -323),(axy x y x u +==a 10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R （当时，；当时，；当时，）10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202.．（0）⎰=++22422z z z dz四、求积分，从而证明.（）⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若，试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(（（为任意实常数））321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章级数（答案）一、选择题：1．设，则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim （A ）等于（B ）等于（C ）等于（D ）不存在01i2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ）（B ）∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i （C ）（D ）∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ）（B ）∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) （D ）∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5．设幂级数和的收敛半径分别为，则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R （A ）（B ） 321R R R <<321R R R >>（C ）（D ）321R R R <=321R R R ==6．设，则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R （A ）（B ）（C ）（D ）q q10∞+7．幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R（A ）（B ）（C ）（D ）122∞+8．幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z （A ）（B ）)1ln(z +)1ln(z -（D ） (D) z +11lnz-11ln 9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R （A ）（B ）（C ）（D ）∞+12ππ10．级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z（A ）（B ）（C ）（D ）不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111．函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z （A ）（B ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n （C ）（D ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12．函数，在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z （A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn （C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线，那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) （B ）（C ）（D ）12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14．若，则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c （A ）（B ） 3141<<z 43<<z （C ）（D ）+∞<<z 41+∞<<z 3115．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是．12R R ≥3．幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么)(z f D 0z d 0z D 当时，成立，其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n （）．)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5．函数在处的泰勒展开式为．z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R ．7．双边幂级数的收敛域为．∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8．函数在内洛朗展开式为．zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径．=R π10．函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．n a n a （，)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ）),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数，并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n （，）3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z （）n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章留数(答案)一、选择题：1．函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )（A ）可去奇点（B ）本性奇点（C ）级极点（D ）小于级的极点m m 3．设为函数的级极点，那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）24．是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点（B ）一级极点（C ）一级零点（D ）本性奇点5．是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点6．设在内解析，为正整数，那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s （A ）（B ）（C ）（D ）k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7．设为解析函数的级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) （B ）（C ）（D ）m m -1-m )1(--m 8．在下列函数中，的是（ D ）0]0),([Re =z f s （A ）（B ）21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=（C ） (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9．下列命题中，正确的是( C )（A ）设，在点解析，为自然数，则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点．m （B ）如果无穷远点是函数的可去奇点，那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s （C ）若为偶函数的一个孤立奇点，则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s（D ）若，则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10． ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s （A ）（B ）（C ）（D ）32-32i 32i32-11． ( B)=-],[Re 12i e z s iz （A ）（B ）（C ）（D ）i +-61i +-65i +61i +6512．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若是的可去奇点或解析点，则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s （B ）若与在解析，为的一级零点，则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若为的级极点，为自然数，则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设为正整数，则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) （B ）（C ）（D ）0i π2niπ2i n π214．积分( B )=-⎰=231091z dz z z （A ）（B ）（C ）（D ）0i π2105iπ15．积分( C )=⎰=121sin z dz z z （A ）（B ）（C ）（D ）061-3i π-iπ-二、填空题1．设为函数的级零点，那么 9 ．0=z 33sin z z -m =m 2．函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ．=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3．设函数，则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4．设为函数的级极点，那么．a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5．设，则 -2 ．212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6．设，则．5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7．积分．=⎰=113z zdz e z 12iπ8．积分．=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分．()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ，其中为有限数．b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数，则．)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末考试题大全

____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上的曲线是3、假设01=+z e ,那么z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数，那么α1=〔〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔〕对任何复数z,22z z =成立2、〔〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，〔 ,2,1=n 〕证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二单项选择题〔每题2分，共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四计算题〔每题6分，共36分〕1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分五证明题〔每题7分，共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1，那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析，那么函数()z f 在区域D 内〔〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔〕A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中，()0Re 0==z f s z 的是〔〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔〕在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，那么积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、〔〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二单项选择题〔每题2分，共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四计算题〔每题6分，共36分〕1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分〔0<i z -<2〕 …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分五证明题〔每题7分，共14分〕1 证明：设f(z)=u 〔x ，y 〕+iv 〔x ，y 〕)(z f = u 〔x ，y 〕-iv 〔x ，y 〕)(z f i = v 〔x ，y 〕-i u 〔x ，y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ，那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=，那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数习题总汇与参考答案

复变函数习题总汇与参考答案第1章复数与复变函数一、单项选择题1、假设Z 1=〔a, b 〕,Z 2=(c, d),那么Z 1·Z 2=〔C 〕 A 〔ac+bd, a 〕 B (ac-bd, b) C 〔ac-bd, ac+bd 〕 D (ac+bd, bc-ad)2、假设R>0，那么N 〔∞，R 〕={ z ：〔D 〕} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R3、假设z=x+iy, 那么y=(D)A B C D4、假设A= ，那么|A|=〔C 〕A 3B 0C 1D 2二、填空题1、假设z=x+iy, w=z 2=u+iv, 那么v=〔 2xy 〕2、复平面上满足Rez=4的点集为〔 {z=x+iy|x=4} 〕3、〔设E 为点集，假设它是开集，且是连通的，那么E 〕称为区域。

2zz +2z z -iz z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，那么{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解：3、写出复数的代数式。

解：4、求根式的值。

+∞→n lim +∞→n limππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解：四、证明题1、证明假设，那么a 2+b 2=1。

复变函数期末考试分章节复习题

复变函数期末考试分章节复习题复变函数是数学分析中的重要内容之一，它研究的是具有复数作为自变量和因变量的函数。

它在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

以下是关于复变函数的各个章节的复习题，供期末考试复习使用。

一、复数及其运算1.什么是复数？它的一般形式是什么？2.复数的共轭对有什么性质？3.复数的乘法有什么性质？4.复数的除法有什么性质？二、复变函数的基本概念1.复变函数的定义是什么？2.复变函数的实部与虚部的定义是什么？3.复变函数的连续性的定义是什么？4.复变函数的可导性的定义是什么？三、柯西-黎曼方程1.什么是柯西-黎曼方程？它的表达式是什么？2.如何判断一个复变函数是否满足柯西-黎曼方程？四、初等复变函数1.对数函数、指数函数的定义是什么？2.对数函数、指数函数的主支与多值性的关系是什么？3.幂函数、三角函数的定义是什么？五、复积分1.复积分的定义是什么？2.复积分的性质有哪些？3.如何计算简单的复积分？六、柯西定理与柯西公式1.什么是柯西定理？它的表述是什么？2.什么是柯西公式？它的表述是什么？3.如何利用柯西公式计算复积分？七、洛朗级数与留数定理1.什么是洛朗级数展开？它的公式是什么？2.什么是留数？它的定义是什么？3.如何计算函数在一些孤立奇点处的留数？八、解析函数与调和函数1.什么是解析函数？它与可导性有什么关系？2.什么是调和函数？它与解析函数有什么关系？3.如何求解析函数的调和共轭函数？九、辐角原理与辐角定理1.什么是辐角原理？它的表述是什么？2.什么是辐角定理？它的表述是什么？3.如何利用辐角定理解决问题？以上是复变函数的主要章节及其复习题，每个章节都涵盖了该章节的基本概念、定理和计算方法。

希望这些题目能够帮助你复习复变函数，并在期末考试中取得好成绩。

复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本

《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导，则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛，则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析，且'()0f z ，则()f z C （常数）.( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限，则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ，则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =（）A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ，则arg z （）A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的（）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是（）。

复变函数期末考试分章节复习题

第一章复习题1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（） A. -2 B. 1 C. 8 D.142. z=2-2i ，|z 2|=（） A. 2 B.8 C. 4 D. 83. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（） A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（） A.x 2-y 2+2xyB.x 2-y 2-2xyC.x 2+y 2+2xyD.x 2+y 2-2xy5. arg(2-2i)=（） A.43π-B.4π-C.4πD.43π 6．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=w C ．6arg π-=wD ．3arg π-=w7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于18．设11z i=-+，则z 为（） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（）A. e 2+2xB. e |2i+2z|C. e 2+2zD. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（）A. e 2xB. e yC. e 2x cosyD. e 2x siny11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1D.Im z<012. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线13 .下列集合为无界多连通区域的是（）A.0<|z-3i|<1B.Imz>πC.|z+ie|>4D.π<<π2z arg 2314.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线15.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1D.π≤<πargz 2116．下列集合为有界闭区域的是（） A ．0< arg (z+3)≤2πB ．Re (z-i)<1C ．1≤Imz ≤2D ． 1≤||z i -≤417. arg(3-i)=___________.18. arg (-1+3i )= .19. 若i3i1z -+=，则z =___________.20．设i z 101103+-=，则=_z ____________.21. 若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.22. 复数1-3i 的三角表达式是_________________.23. 求方程z 3+8=0的所有复根. 24. 解方程z 4=-1.25 计算复数z=327-的值.26．求z =（-1+i ）6的共轭复数z 及共轭复数的模|z |.27．设复数)2)(1(--=i i iz（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 28．设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程. 29．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线.30．用θcos 与θsin 表示θ5cos ．第二章复习题1. ln(-1)为（） A.无定义的B.0 C .πi D.(2k+1)πi(k 为整数)2．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +3．Ln(-4+3i)的主值是（） A .ln5+i(-π-arctg 43) B .ln5+i(π-arctg 43) C .ln5+i(-π-arctg 34)D .ln5+i(π-arctg 34)4. 设z=x+iy ，解析函数f(z)的虚部为v=y 3-3x 2y ，则f(z)的实部u 可取为（） A.x 2-3xy 2B.3xy 2-x 3C.3x 2y-y 3D.3y 3-3x 35. 设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. -1 C. 1 D. 36. 设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. 1 C. 2 D. 37. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y 8. 若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A. e x (ycosy-xsiny)B. e x (xcosy-xsiny)C. e x (ycosy-ysiny)D. e x (xcosy-ysiny)9. 设v(x,y)=e axsiny 是调和函数，则常数a=（）A. 0 B. 1 C.2 D.310. 设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（） A. -2i B. 2i C. -2D. 211．正弦函数sinz=（）A ．i e e iz iz 2-- B ．2iziz ee --C ．i e e iz iz 2-+D ．2iziz e e -+12. 对数函数w=ln z 的解析区域为___________. 13．已知f(z)=u+iv 是解析函数，其中u =)ln(2122y x +,则=∂∂y v .14. 若sinz=0，则z=___________. 15. 若cosz=0，则z=________. 16．方程i z 31ln π+=的解为____________. 17. tgz 的所有零点为_________________.18. 设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20. 设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值.21．函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22. 已知调和函数v=arctg xy,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，求),(y x v .24.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 25.设v=e ax siny ，求常数a 使v 成为调和函数.26.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.27．设u=e 2x cos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).28．已知z ≠0时，22x yu x y -=+为调和函数，求解析函数()f z u iv =+的导数f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式．29．求方程sin z +cos z =0 的全部根.第三章复习题1.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C2zdz （）A. 0 B. 1 C.πiD. 2πi2.设C 为从-i 到i 的直线段，则⎰=Cdz |z |（）A. i B. 2i C.-i D. -2i3.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=-Czdz 1e z sin （）A.2πi ·sin 1B.-2πiC.0D.2πi4.⎰==-2|z |2)i z (dz （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi5.⎰=-=2|1z |dz z zcos （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi 6.⎰+=i220zdz （） A. i B. 2i C. 3i D. 4i7.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分⎰-Ca z dz22=（）A. ai2π-B. aiπ-C.ai2πD. ai π8.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（）A.0 B.πiC.2πiD.6πi9.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰=c z d z c o t （）A. -2πi B. 2πi C.-2π D.2π10.⎰=-3|i z |z dz=（） A. 0 B. 2π C. πi D. 2πi 11.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（）A. 0 B. 2πisin1 C. 2πsin1 D.1sin 21i π 12.⎰32dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin913．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6 B ．i π4 C ．iπ2D ．014．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π D ．i e 22π-15．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（）A ．i e3πB ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 16．复积分iiz e dz ⎰的值是（）A ． 1(1)e i ---B ．1e i -C ．1(1)e i --D ．1e i --17．复积分|1|2zz i e z i --=-⎰dz 的值是（）A ．i e B ．i e - C ．2πi ieD ．2πi ie -18.设C为正向圆周⎰=ξ-ξξ=<=ξC3d )z (2sin )z (f 1|z |1||时，，则当___________.19.设⎰==ζ<ζ-ζζ=L )z (f 3|:|L ),3|z (|,d zsin )z (f ，则___________. 20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21.设C 为正向圆周|z |=1,则=-⎰dz ie cz22π. 22. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰=Cdz z1___________. 23．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.24．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C3_)(____________.25．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.26．|3|1cos z z i e zdz -=⎰=______________.27. 设C 为正向圆周|z|=1，计算积分⎰+-=C 2.dz )2z )(21z (zsin I28. 计算积分⎰-=C3z dz )a z (e I ，其中C 为正向圆周|z|=1，|a|≠1.29. 计算积分⎰+-=C2dz z)i 1(z 1I ，其中C 为正向圆周|z|=2.30. 求积分⎰++-Cdz i z 22z 3I ）（＝的值，其中C:|z|=4为正向. 31. 求积分⎰-C4z dz z3e I ＝的值，其中C:|z|=1为正向.32．设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz zec z ⎰21.33．设C 为正向圆周|z-i |=21,求I =⎰+c z z dz )1(2. 34．设C 为正向圆周|z|=1，求I=⎰C zdz ze 5.35. 求积分I=⎰+Cdz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 36. 求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向.37．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze izC-⎰π 38．计算积分I=2()cx y ix dz -+⎰，其中C 为从0到1+i 的直线段．39．计算积分I=221(1)(1)Cdz z z -+⎰，其中C 为正向圆周2220x y x +-= 第四章复习题1. 复数列i 2n n e z π=的极限为（） A.-1 B.0 C.1D.不存在2. 设∑∞==0n n!n z )z (f ，则f (10)(0)为（）A.0 B.!101C.1D.10！3．z-21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 4．幂级数∑∞=+0)1(1n nn z i 的收敛半径为（） A ．2 B ．1 C ．21 D ．05. 下列级数中绝对收敛的是（）A.∑∞=+1!)43(n nn i B.nn i∑∞=+1)231( C. ∑∞=1n nni D.∑∞=+-11)1(n n n i6. 1e 1)z (f z -=在z=πi 处的泰勒级数的收敛半径为（）A. πiB. 2πiC. πD. 2π 7. 处在0z )i z )(2z (1)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（）A. 0B. 1C. 2D. 38. f(z)=211z+在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（） A.23B. 1C.2D.3 9. f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.310. z=2i 为函数222z )4z (z e )z (f +=的（）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点11. 以z=0为本性奇点的函数是（）A.z zsin B.)1z (z 1- C.2z z cos 1- D.z1sin12．点z=-1是f(z)=(z+1)5sin)1(1+z 的（）A.可去奇点B.二阶极点C.五阶零点D.本性奇点13. z=0为函数cos z1的（）A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点14．z=0是函数2zcos 1z-的（）A ．本性奇点B ．可去奇点C ．一阶极点D ．二阶极点15. 2)1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-0n nnz )1( B.∑∞=-0n n2z )1z (1 C.∑∞=--0n nn )1z ()1(D. ∑∞=---0n 2n n)1z ()1(16. 可以使f(z)=3)3(1+z z 在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2 D. 0<|z-2|<+∞17. f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nn z )( B.∑∞=-021n nz )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n)z ()(18. 设i 1a a limn 1n n +=+∞→，则幂级数∑∞=+0n n n z 1n a 的收敛半径为___________. 19. 幂级数∑∞=0n n nz 3n的收敛半径是___________.20. 幂级数∑∞=1n n nz n!n 的收敛半径是________.21．若在幂级数∑∞=0n nn z b 中，i b bnn n 43lim 1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.22．幂级数∑∞-12n nn nz 的收敛半径是____________.23．设n z z f nn n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________.24. z =0是f(z)=zz )1ln(+的奇点，其类型为 . 25. f(z)=21z z -在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . 26．设zz f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n nnza ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.27. 求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径.28 将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数.29．求)2)(1(1)(--=z z z f 在z =0处的泰勒展开式.30. 将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.31．将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．32. (1)求z 1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2z1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.33. 将函数)1z (z 1)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.34. 将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.35．求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式.36．将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．第五章复习题1. 设函数22iz )1z (e )z (f +=，则Res[f(z),-i]=（）A.0 B.4ie-C.4ie D.4e 2. 设f(z)=1z z22-，则Res[f(z),1]=（） A.0 B.1 C.πD.2π3. 若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π]=（） A. -2π B. -π C. -1 D. 04．函数z z tan 在z =0点的留数为（）A ．2B ．iC ．1D ．05．函数2z e e ibziaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（）A ．)(a b i -B ．a b -C ．b a -D ．)(b a i -6．Re [cot ,1]s z π=（） A ．1π- B ．1πC ．-2iD ．2i 7.设f(z)= +--++--+---nn z z z z )1()1()1(1)1(1)1(12,则Res[f(z),1]= . 8.利用留数计算积分⎰=+-=2|z |4zdz )4z )(1z (e I9.（1）求)4z )(1z (1)z (f 22++=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-++=)4x )(1x (dx I 22.10.（1）求2z2i z4e)z (f +=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-+=.dx 4x x2cos I 211．（1）求f(z)=12+z z在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数；（3）利用以上结果，求I=⎰+∞∞-+dx x x x 1sin 2.12. 利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz，其中C 为正向圆周|z|=1.13．（1）求f(z)=iz e zz21+在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分I=⎰+∞∞-+x d x 1xsinx214．求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.15．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222. 16．利用留数计算积分I=22(1)zc e dz z -⎰，其中C 为正向圆周||z =2． 17．（1）求242()1z f z z z =++在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分I=2421x dx x x +∞-∞++⎰．第六章复习题1. 把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（）A.1z 1z w +-=B.z 1)1z (i w -+=C.z 11z w -+= D.1z )1z (i w +-=2. w=e z 把带形区域0<Im z<2π映射成W 平面上的（） A.上半复平面B.整个复平面C.割去负实轴及原点的复平面D.割去正实轴及原点的复平面3. 线性变换z1z2+=ω（）A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<14. 线性变换ω=iz zi +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<15．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（）A ．-3π<ϕ<0B ．3π-<ϕ<0 C ．0<ϕ<3πD ．0<ϕ<3π6. 映射z1=ω是关于___________的对称变换.7. 线性映射ω=z 是关于________的对称变换.8．分式线性映射i z i z +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________. 9. 设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0；（2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2；（3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3；（4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z).10. 设D 是Z 平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Im ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3. 11．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限..12. 设D 是Z 平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Re ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0<Im ω2<π；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z). 13．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π求下列保角映射：（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.14．设Z 平面上区域D ：||z <2且||z i ->1．试求以下保角映射:（1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域D1：41<Im 1ω<21;（2）)(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形域D2：0<Im 2ω<π; （3）)(23ωωf =把D2映射成W 平面上的区域D3：Im ω>0;（4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0.第二篇复习题1.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（）A.-2B.-1C.1D.22. 函数f(t)=t 的傅氏变换F [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω) 3．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换F [])(t f 为（）A ． 2ω-eB ． 22ω-eC ． 22ωeD ． 2ωe4.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中⎩⎨⎧≤>=-.0t ,00t ,te )t (f t5．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，其中 f(t)=⎩⎨⎧>≤1||,01||,1t t6. (1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t7.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)]; (3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t000028．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换9.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）；（2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧-==+'1)0(sin y ty y全国2009年4月自考复变函数与积分变换试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z =1-i ,则Im(21z )=（）A ．-1B ．-21C ．21D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =15．积分⎰=2i iπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2 D ．π26．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（） A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43D ．i π23 7．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i π D ．2i π 8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜3 10．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（）A ．-1B ．-21 C ．21D ．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11．复数-1-i 的指数形式为__________.12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 13．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________. 14．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-Czdz z e 12__________. 15．函数)1(1)(2z z z f -=在圆环域0<z <1内的罗朗展开式为__________. 16．设)1()(1-=ze z zf ,则Res[f (z ),0]=__________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程.18．（本题6分）设C 是正向圆周⎰+-=-C z dz z z e z .23,2112计算19．（本题6分）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.20．（本题6分）求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式.21．（本题7分）计算z =(1+i )2i 的值.22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan )(),0(z f x xy>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(2dz z z e I Cz⎰-=24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算⎰+=C dz zz I .2sin )1(2四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -.6. 2k i π，()k z ∈.7. 0；8. i ±；9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末复习1-初等函数的映射

复变函数期末复习专题1
初等函数的映射
一、线性映射 1. w z b
w u iv z x iy b b1 ib2 w z b是一个平移映射
2. w az
z rei， a ei w rei( )
w az是旋转和伸缩合成的映射 w az b 称为线性映射
由w ez所构成的映射的特点是 :
把
0

Im(z) a(a 水平带形域
2
)
映射成
0
arg w 角形域
a
y
(z)
ia
v
w ez
x
(w)
arg w a
a
arg w 0 u
例2
w

e
z将半带形域：0ImR(ez(
z )
)0

映射成
什么区域？
解直线：Re(z) 0 圆：w e0 1
由此可见,在w zn映射下,
角形域0

0 (
2
n
)
角形域0

n0
y
(z)
v (w)
w zn
n0
0
x
u
例3
w1

z4将z平面的角形域0

argz

4
映射成
w平面的什么区域.
解:
w1

z4将所给角形域0

argz

4
映射成
上半平面Im(z) 0.
y (z)
直线 : Im(z) 0 射线： 0
直线 : Im(z) 射线：

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第一章复习题1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（） A. -2 B. 1 C. 8 D.142. z=2-2i ，|z 2|=（） A. 2 B.8 C. 4 D. 83. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（） A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（） A.x 2-y 2+2xyB.x 2-y 2-2xyC.x 2+y 2+2xyD.x 2+y 2-2xy5. arg(2-2i)=（） A.43π-B.4π-C.4πD.43π 6．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=w C ．6arg π-=wD ．3arg π-=w7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于18．设11z i=-+，则z 为（） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（）A. e 2+2xB. e |2i+2z|C. e 2+2zD. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（）A. e 2xB. e yC. e 2x cosyD. e 2x siny11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1D.Im z<012. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线13 .下列集合为无界多连通区域的是（）A.0<|z-3i|<1B.Imz>πC.|z+ie|>4D.π<<π2z arg 2314.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线15.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1D.π≤<πargz 2116．下列集合为有界闭区域的是（） A ．0< arg (z+3)≤2πB ．Re (z-i)<1C ．1≤Imz ≤2D ． 1≤||z i -≤417. arg(3-i)=___________.18. arg (-1+3i )= .19. 若i3i1z -+=，则z =___________.20．设i z 101103+-=，则=_z ____________.21. 若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.22. 复数1-3i 的三角表达式是_________________.23. 求方程z 3+8=0的所有复根. 24. 解方程z 4=-1.25 计算复数z=327-的值.26．求z =（-1+i ）6的共轭复数z 及共轭复数的模|z |.27．设复数)2)(1(--=i i iz（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 28．设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程. 29．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线.30．用θcos 与θsin 表示θ5cos ．第二章复习题1. ln(-1)为（） A.无定义的B.0 C .πi D.(2k+1)πi(k 为整数)2．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +3．Ln(-4+3i)的主值是（） A .ln5+i(-π-arctg 43) B .ln5+i(π-arctg 43) C .ln5+i(-π-arctg 34)D .ln5+i(π-arctg 34)4. 设z=x+iy ，解析函数f(z)的虚部为v=y 3-3x 2y ，则f(z)的实部u 可取为（） A.x 2-3xy 2B.3xy 2-x 3C.3x 2y-y 3D.3y 3-3x 35. 设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. -1 C. 1 D. 36. 设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. 1 C. 2 D. 37. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y 8. 若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A. e x (ycosy-xsiny)B. e x (xcosy-xsiny)C. e x (ycosy-ysiny)D. e x (xcosy-ysiny)9. 设v(x,y)=e axsiny 是调和函数，则常数a=（）A. 0 B. 1 C.2 D.310. 设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（） A. -2i B. 2i C. -2D. 211．正弦函数sinz=（）A ．i e e iz iz 2-- B ．2iziz ee --C ．i e e iz iz 2-+D ．2iziz e e -+12. 对数函数w=ln z 的解析区域为___________. 13．已知f(z)=u+iv 是解析函数，其中u =)ln(2122y x +,则=∂∂yv. 14. 若sinz=0，则z=___________. 15. 若cosz=0，则z=________. 16．方程i z 31ln π+=的解为____________. 17. tgz 的所有零点为_________________.18. 设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20. 设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值.21．函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22. 已知调和函数v=arctg xy,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，求),(y x v .24.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 25.设v=e ax siny ，求常数a 使v 成为调和函数.26.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.27．设u=e 2x cos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).28．已知z ≠0时，22x yu x y -=+为调和函数，求解析函数()f z u iv =+的导数f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式．29．求方程sin z +cos z =0 的全部根.第三章复习题1.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C2zdz （）A. 0 B. 1 C.πiD. 2πi2.设C 为从-i 到i 的直线段，则⎰=Cdz |z |（）A. i B. 2i C.-i D. -2i3.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=-Czdz 1e z sin （）A.2πi ·sin 1B.-2πiC.0D.2πi4.⎰==-2|z |2)i z (dz （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi5.⎰=-=2|1z |dz z zcos （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi 6.⎰+=i220zdz （） A. i B. 2i C. 3i D. 4i7.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分⎰-Ca z dz22=（）A. a i 2π-B. ai π- C. a i2πD. ai π8.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（）A.0 B.πiC.2πiD.6πi9.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰=c z d z co t （）A. -2πi B. 2πi C.-2π D.2π10.⎰=-3|i z |z dz=（） A. 0 B. 2π C. πi D. 2πi 11.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（）A. 0 B. 2πisin1 C. 2πsin1 D.1sin 21i π 12.⎰32dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin913．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6 B ．i π4 C ．iπ2D ．014．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π D ．i e 22π-15．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（）A ．i e 3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e3π 16．复积分iizedz ⎰的值是（）A ． 1(1)e i ---B ．1e i -C ．1(1)e i --D ．1e i --17．复积分|1|2zz i e z i --=-⎰ dz 的值是（）A ．i e B ．i e - C ．2πi ieD ．2πi ie -18.设C为正向圆周⎰=ξ-ξξ=<=ξC 3d )z (2sin )z (f 1|z |1||时，，则当___________.19.设⎰==ζ<ζ-ζζ=L )z (f 3|:|L ),3|z (|,d zsin )z (f ，则___________. 20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21.设C 为正向圆周|z |=1,则=-⎰dz ie cz22π. 22. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰=Cdz z1___________.23．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.24．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C3_)(____________.25．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.26．|3|1cos z z i e zdz -=⎰=______________.27. 设C 为正向圆周|z|=1，计算积分⎰+-=C 2.dz )2z )(21z (zsin I28. 计算积分⎰-=C3z dz )a z (e I ，其中C 为正向圆周|z|=1，|a|≠1.29. 计算积分⎰+-=C2dz z)i 1(z 1I ，其中C 为正向圆周|z|=2.30. 求积分⎰++-Cdz i z 22z 3I ）（＝的值，其中C:|z|=4为正向. 31. 求积分⎰-C4z dz z 3e I ＝的值，其中C:|z|=1为正向.32．设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz zec z ⎰21.33．设C 为正向圆周|z-i |=21,求I =⎰+c z z dz )1(2.34．设C 为正向圆周|z|=1，求I=⎰C zdz ze 5.35. 求积分I=⎰+Cdz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 36. 求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向.37．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze izC-⎰π 38．计算积分I=2()cx y ix dz -+⎰，其中C 为从0到1+i 的直线段．39．计算积分I=221(1)(1)Cdz z z -+⎰ ，其中C 为正向圆周2220x y x +-= 第四章复习题1. 复数列i 2n n e z π=的极限为（） A.-1 B.0 C.1D.不存在2. 设∑∞==0n n!n z )z (f ，则f (10)(0)为（）A.0B.!101C.1D.10！3．z-21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 4．幂级数∑∞=+0)1(1n nn z i 的收敛半径为（） A ．2 B ．1 C ．21 D ．05. 下列级数中绝对收敛的是（）A.∑∞=+1!)43(n nn i B.nn i∑∞=+1)231( C. ∑∞=1n nni D.∑∞=+-11)1(n n n i6. 1e 1)z (f z -=在z=πi 处的泰勒级数的收敛半径为（）A. πiB. 2πiC. πD. 2π7. 处在0z )i z )(2z (1)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. f(z)=211z+在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（） A.23B. 1C.2D.3 9. f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.310. z=2i 为函数222z )4z (z e )z (f +=的（）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点11. 以z=0为本性奇点的函数是（）A.z zsin B.)1z (z 1- C.2z z cos 1- D.z1sin12．点z=-1是f(z)=(z+1)5sin)1(1+z 的（）A.可去奇点B.二阶极点C.五阶零点D.本性奇点13. z=0为函数cos z1的（）A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点14．z=0是函数2zcos 1z-的（）A ．本性奇点B ．可去奇点C ．一阶极点D ．二阶极点15. 2)1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-0n nnz )1( B.∑∞=-0n n2z )1z (1 C.∑∞=--0n nn )1z ()1(D. ∑∞=---0n 2n n)1z ()1(16. 可以使f(z)=3)3(1+z z 在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2 D. 0<|z-2|<+∞17. f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nn z )( B.∑∞=-021n nz )z ( C.∑∞=-02n n )z (D.∑∞=---0121n n n)z ()(18. 设i 1a a lim n 1n n +=+∞→，则幂级数∑∞=+0n nn z 1n a 的收敛半径为___________.19. 幂级数∑∞=0n n nz 3n的收敛半径是___________.20. 幂级数∑∞=1n n nz n!n 的收敛半径是________.21．若在幂级数∑∞=0n nn z b 中，i b bn n n 43lim 1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.22．幂级数∑∞-12n nn nz 的收敛半径是____________.23．设n z z f nn n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________.24. z =0是f(z)=zz )1ln(+的奇点，其类型为 . 25. f(z)=21z z -在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . 26．设zz f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n nnza ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.27. 求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径.28 将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数. 29．求)2)(1(1)(--=z z z f 在z =0处的泰勒展开式.30. 将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.31．将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．32. (1)求z 1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2z1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.33. 将函数)1z (z 1)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.34. 将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.35．求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式.36．将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．第五章复习题1. 设函数22iz )1z (e )z (f +=，则Res[f(z),-i]=（）A.0 B.4ie-C.4ie D.4e 2. 设f(z)=1z z22-，则Res[f(z),1]=（） A.0 B.1 C.πD.2π3. 若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π]=（） A. -2π B. -π C. -1 D. 04．函数z z tan 在z =0点的留数为（） A ．2 B ．i C ．1 D ．05．函数2z e e ibziaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（）A ．)(a b i -B ．a b -C ．b a -D ．)(b a i -6．Re [cot ,1]s z π=（） A ．1π- B ．1πC ．-2iD ．2i7.设f(z)= +--++--+---nn z z z z )1()1()1(1)1(1)1(12,则Res[f(z),1]= . 8.利用留数计算积分⎰=+-=2|z |4zdz )4z )(1z (e I9.（1）求)4z )(1z (1)z (f 22++=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-++=)4x )(1x (dx I 22.10.（1）求2z2i z 4e)z (f +=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-+=.dx 4x x2cos I 211．（1）求f(z)=12+z z在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数；（3）利用以上结果，求I=⎰+∞∞-+dx x xx 1sin 2. 12. 利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz，其中C 为正向圆周|z|=1.13．（1）求f(z)=iz e zz21+在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分I=⎰+∞∞-+x d x 1xsinx214．求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.15．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222. 16．利用留数计算积分I=22(1)zc e dz z -⎰ ，其中C 为正向圆周||z =2．17．（1）求242()1z f z z z =++在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分I=2421x dx x x +∞-∞++⎰．第六章复习题1. 把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（）A.1z 1z w +-=B.z 1)1z (i w -+=C.z 11z w -+= D.1z )1z (i w +-=2. w=e z 把带形区域0<Im z<2π映射成W 平面上的（） A.上半复平面B.整个复平面C.割去负实轴及原点的复平面D.割去正实轴及原点的复平面3. 线性变换z1z2+=ω（）A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<14. 线性变换ω=iz zi +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<15．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（）A ．-3π<ϕ<0B ．3π-<ϕ<0 C ．0<ϕ<3πD ．0<ϕ<3π6. 映射z1=ω是关于___________的对称变换.7. 线性映射ω=z 是关于________的对称变换.8．分式线性映射i z i z +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________. 9. 设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0；（2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2；（3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3；（4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z).10. 设D 是Z 平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Im ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3. 11．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限..12. 设D 是Z 平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Re ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0<Im ω2<π；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z). 13．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π求下列保角映射：（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.14．设Z 平面上区域D ：||z <2且||z i ->1．试求以下保角映射:（1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域D1：41<Im 1ω<21;（2）)(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形域D2：0<Im 2ω<π; （3）)(23ωωf =把D2映射成W 平面上的区域D3：Im ω>0;（4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0.第二篇复习题1.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（）A.-2B.-1C.1D.22. 函数f(t)=t 的傅氏变换F [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω) 3．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换F [])(t f 为（）A ． 2ω-eB ． 22ω-eC ．22ωeD ． 2ωe4.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中⎩⎨⎧≤>=-.0t ,00t ,te )t (f t5．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，其中 f(t)=⎩⎨⎧>≤1||,01||,1t t6. (1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t7.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)];(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t000028．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换9.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）；（2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧-==+'1)0(sin y ty y全国2009年4月自考复变函数与积分变换试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z =1-i ,则Im(21z )=（）A ．-1B ．-21C ．21D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πi B ．)22(πn π-i C ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =15．积分⎰=2i iπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2 D ．π26．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（） A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43D ．i π23 7．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i π D ．2i π 8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜3 10．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（）A ．-1B ．-21 C ．21D ．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11．复数-1-i 的指数形式为__________.12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 13．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.14．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-Czdz z e 12__________. 15．函数)1(1)(2z z z f -=在圆环域0<z <1内的罗朗展开式为__________.16．设)1()(1-=ze z zf ,则Res[f (z ),0]=__________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程.18．（本题6分）设C 是正向圆周⎰+-=-C zdz z z e z .23,2112计算19．（本题6分）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.20．（本题6分）求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式.21．（本题7分）计算z =(1+i )2i 的值.22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan )(),0(z f x xy>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(dz z z e I Cz⎰-=24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算⎰+=C dz zz I .2sin )1(2四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。