2.2 曲线的弧长

课堂练习：4
课外作业：习题1单，2(1)，3.
储亚伟
微分几何
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二、曲线的弧长参数与判定
（二）、弧长（自然）参数判定
定理2.1 设 r r (t ), t [a, b] 是 E 3 中一条正则曲线，则 t是它的弧长
参数的充要条件是| r(t ) | 1, 即 t 是弧长参数当且仅当沿着曲线 C 切向量

场是单位切向量场.
储亚伟
作业练习：
微分几何
第二章
§ 2.2
曲 线 论
曲线的弧长
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一、弧长的定义与求法
(一）、弧长的定义

.
问题：r (t ) 的物理意义？速度向量、速率与路程.
弧长定义： E 中的正则曲线 C : r (t ) 从 t 0 到 t1 的(有向)弧长定义为：
3
s | r(t ) | dt ,
s a b
2 2
, a sin
s a b
2 2
,Байду номын сангаас
a b
2
2
).
理论上，正则曲线总可取自然参数，但实际操作存在困难： 1.（2.4）不易求出，如 r (t ) (a cos t, b sin t ,0).
t2 t r ( t ) ( t , , 0) s ( t ) 1 t 2 ln(1 1 t 2 ). 2.反函数不易求出，如 2 2
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二、曲线的弧长参数与判定
（一）、弧长（自然）参数
r 例4.将圆柱螺线 (t ) (a cos t , a sin t , bt ) 化为自然参数表示.
s
t 0
a 2 b2 du a 2 b2 t t
s a b bs
2 2
,
r ( s) (a cos
t1 t0
(2.1)
弧长是曲线的一个不变量，它与正交标架及可允许参数变换无关.？
因此，曲线的弧长是一个几何量。
储亚伟
一、弧长的定义与求法
(二）、弧长的求法
s
b 2
.
例1.平面正则曲线 y f ( x), x [a, b] 的弧长公式：
a
r 例2.圆柱螺线 (u) (a cos u, a sin u, bu), u [0, t ] 的弧长：
1 f ( x) dx


r 2 ( ) r2 ( )d .
s a 2 b2 du a 2 b2 t. 0 r 例3.双曲螺线 (u) (a cosh u, a sinh u, au), u [0, t ] 的弧长：
s
t 0
t
2a cosh udu 2a sinh t.
储亚伟
二、曲线的弧长参数与判定
（一）、弧长（自然）参数
1.弧长参数的定义：
s(t ) | r ( ) | d
t a
（2.4）
因 s s(t ) C3 ,
s(t ) | r ( ) | 0, 故 s s(t ) 是曲线 C 的保持定向
的可允许参数变换，即总可以把正则曲线的弧长作其为参数，这种参数 称为弧长参数或自然参数. 2.弧长元素： 注意 ds | r(t ) | dt 也是曲线的不变量，称为曲线的 弧长元素（或称弧微分）.