高等数学二次曲面ppt
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九节二次曲面-PPT课件
单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
2-6_二次曲面
上页 下页 结束
6.1 压缩法
压缩变换后图形 图形方程的变化 ● 作压缩变换后图形方程的变化 设在直角坐标系中, 设在直角坐标系中 图形 S 有方程 F (x, y, z) = 0, 经过向 的压缩后变为图形 后变为图形S′ 经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后变为图形 ′. ′ ′ 则点 M′(x, y, z) ∈ S′ ⇔ 点M (x, y, z/k) ∈ S, 于是 S′ 的方程为 F (x, y, z/k) = 0. ′ 的方程为 类似可得 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 xz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 ′: F (x, y/k, z) = 0. 压缩后变为图形S′ 后变为图形 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 yz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 后变为图形S′ 压缩后变为图形 ′: F (x/k, y, z) = 0.
上页 下页 结束
6.1 压缩法
压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形. 压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形 平面上的一个椭圆可以看作被拉长(或压扁 的圆. 或压扁)的圆 平面上的一个椭圆可以看作被拉长 或压扁 的圆 反之, 椭圆也可压缩(或拉伸 成为圆. 例如一个长 反之 椭圆也可压缩 或拉伸)成为圆 例如一个长 或拉伸 成为圆 轴为 3, 短轴为 1/2 的椭圆如果在长轴方向压缩 3 就变为一个半径为1的圆 的圆. 倍, 短轴方向拉伸 2 倍, 就变为一个半径为 的圆 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法. 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法 用压缩法可以研究上面所列的二次方程(除 用压缩法可以研究上面所列的二次方程 除(5)) 的图像, 可以很容易得到它们的直观形象. 的图像 可以很容易得到它们的直观形象
6.1 压缩法
压缩变换后图形 图形方程的变化 ● 作压缩变换后图形方程的变化 设在直角坐标系中, 设在直角坐标系中 图形 S 有方程 F (x, y, z) = 0, 经过向 的压缩后变为图形 后变为图形S′ 经过向 xy 面、系数为 k 的压缩后变为图形 ′. ′ ′ 则点 M′(x, y, z) ∈ S′ ⇔ 点M (x, y, z/k) ∈ S, 于是 S′ 的方程为 F (x, y, z/k) = 0. ′ 的方程为 类似可得 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 xz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 ′: F (x, y/k, z) = 0. 压缩后变为图形S′ 后变为图形 经过向 图形 S: F (x, y, z) = 0 经过向 yz 面、系数为 k 的 压缩后变为图形 后变为图形S′ 压缩后变为图形 ′: F (x/k, y, z) = 0.
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6.1 压缩法
压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形. 压缩是几何图形的一种非常形象而直观的变形 平面上的一个椭圆可以看作被拉长(或压扁 的圆. 或压扁)的圆 平面上的一个椭圆可以看作被拉长 或压扁 的圆 反之, 椭圆也可压缩(或拉伸 成为圆. 例如一个长 反之 椭圆也可压缩 或拉伸)成为圆 例如一个长 或拉伸 成为圆 轴为 3, 短轴为 1/2 的椭圆如果在长轴方向压缩 3 就变为一个半径为1的圆 的圆. 倍, 短轴方向拉伸 2 倍, 就变为一个半径为 的圆 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法. 这种研究图形几何特征的方法称为压缩法 用压缩法可以研究上面所列的二次方程(除 用压缩法可以研究上面所列的二次方程 除(5)) 的图像, 可以很容易得到它们的直观形象. 的图像 可以很容易得到它们的直观形象
高等数学常用二次曲面图形.ppt
围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数 函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：
《I二次曲面介绍》PPT课件_OK
z' 1 (x'2- 2x') 1 y'2-2
2
2
O' =O
= 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3.
2
2
这仍不是标准方程，它在新的坐标系中
所表示的曲面仍不显然.
e1
e2'
e2
e1'
18
z' = 1 (x' - 2)2 1 y'2 -3. 这是从[O', e1' , e2' , e3' ]到[O'', e1'', e2'' , e3'' ]
x 0.
椭圆抛物面可以看成是一个顶点x在两条抛物线上的
椭圆运动产生。
y
13
5 双曲抛物面（马鞍面）
z
x2 a2
y2 b2
所表示的曲面.
对称性：对称于 xz, yz
平面和 z轴.
z
用z = h截曲面得
到
x2 a2
y2 b2
h,
z h.
用y = 0截曲面得到
x2 a2z,
y 0.
用x = k截曲面得到
y
2
b2 (z
k2 a2
)
x k
x
0
y
双曲抛物面可以看成是顶点在 14 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做
无心二次曲面
z z
x y
0
0
.
y
x
椭圆抛物面
双曲抛物面 15
§3 二次方程的化简
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面.
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
二次曲面及复习ppt课件
r个1
1 1 0 0
;
事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 假设
xTBx ≥ 0, ∨ n维列向量x，
那么 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个 特征值均为0.
另外，B与以下矩阵合同
r个1
1 1
0
0
;
P240第14题: 请注意在用定义说明一个 矩阵是正定时，需要强调x是非零的向量. 因为x=θ时， xTAx = 0 !
xTAx = (xT, T)Mx > 0,
yTBy = (T, yT)My > 0,
A, B都正定.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =
AO OB
,
证明: M正定 A, B都正定.
证明: ()
1
1
② 设P1AP =
, Q1BQ =
,
s
t
1
那么P O 1 A O OQ OB
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零 时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零 时，曲面为一对平行的平面.
8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零 时，曲面为一对平行的虚平面.
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz.
a11 a12 a13
x
b1
A = a12 a22 a23 x = y B = b2
a13 a23 a33
z
b3
;
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
二次曲面与空间曲线.ppt
行于x轴。如果 y1 b ，所得截痕为一对相交于点
(0, b,0) 的直线，其方程为
x
a
z c
0,
y b;
x
z
0,
a c
y b;
第六章 相似矩阵及二次型
29
类似地，用平面 x 0 和平行于x 0 的平面截
单叶双曲面，所得截痕也是双曲线，两平面 x a 截单叶双曲面所得截痕是两对相交的直线。
综合上面的讨论，可知椭球面的形状如图6.6 所示。
椭球面的对称中心，对称轴和对称平面分别
称为它的中心、主轴和主平面。椭球面与三个对
称轴有三个交点，称为它的顶点。如果 a b c，
则 a,b,c ，就分别称为半长轴、半中轴和半短轴。
第六章 相似矩阵及二次型
25
2. 单叶双曲面 由方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
第六章 相似矩阵及二次型
13
3. 柱面 表示空间一般曲面的方程F(x, y, z) 0 有三个
变量。如果只有两个变量，那么它所描述的曲面 有什么特点？例如 F(x, y) 0 。对于空间 点 M (x, y, z) ，只要 x, y 满足 F(x, y) 0 ，则该点 就在方程所描述的曲面上，而与z轴的坐标无关， 先分析一个具体的例子。
§7 二次曲面与空间曲线 一、二次曲面 二、二次曲面 三、空间曲线及其方程
第六章 相似矩阵与二次型
1
一、二次曲面
1. 曲面方程概念
在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点
的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面S 与三 元方程
F(x, y, z) 0
有下述关系：
（9）
（1）曲面 上任意一点的坐标都满足方程（9）
第讲二次曲面-精品
在一般情况下，如果曲面S与方程
F(x,y,z)0 有下面的关系：
（1）
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；
（2）不在曲面S上的点的坐标都不，而曲面S就叫做方程（1）
的图形．
象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间
解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而
第8讲---二次曲面
一、曲面的方程 二、常见的曲面的方程: 三、一般二次曲面
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
学习目标
1．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲 面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面 上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及 其图形. 2．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其 图形.
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直 角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线 是xOy面上的圆x2+y2=R2．
一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空 间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线 是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0.
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有 f(y1,z1)0
z C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有 zz1 , x2y2y 1
故旋转曲面方程为
M(x,y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
淮南矿业技师学院《应用数学》课件
例如,方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱 面,它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x ，该柱面叫做抛物柱面(如图所示）。
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
观察柱面的 形成过程:
30
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
31
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
19
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
观察柱面的 形成过程:
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
y
x x
.
48
平面
椭圆. 上的截痕情况:
30
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
31
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
19
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
观察柱面的 形成过程:
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
y
x x
.
48
平面
椭圆. 上的截痕情况:
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• 16
•5
（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
•6
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
• 13
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
• 14
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
• 15
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
•8
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
•9
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
z
图形如下：
o y
x
• 11
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
• 12
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
•1
（一）椭球面
椭球面与 三个坐标面 的交线：
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
• 10
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
o
x
y
•2
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
•3
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1
的交线为圆.
•4
截面上圆的方程
x
2
y2
a c
2 2
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
2Leabharlann pz1y2 2qz1
1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
•7
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z 轴
•5
（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
•6
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
• 13
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
• 14
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
• 15
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
•8
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
•9
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
z
图形如下：
o y
x
• 11
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
• 12
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
•1
（一）椭球面
椭球面与 三个坐标面 的交线：
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
• 10
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
o
x
y
•2
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a 2
c
2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
•3
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1
的交线为圆.
•4
截面上圆的方程
x
2
y2
a c
2 2
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
2Leabharlann pz1y2 2qz1
1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
•7
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z 轴