备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题

备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题

【高考地位】

含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.

【方法点评】

方法一 判别式法

使用情景：含参数的二次不等式

解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；

第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；

第三步 得出结论.

例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围

.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-.

【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立

⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；2）0)(

⎨⎧<∆<⇔00a . 例2 若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f .

（1）求()f x 的解析式；

（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞.

（2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，

∴2

31m x x <-+在区间[]1,1-上有解， 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值，

由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5,

∴实数m 的取值范围为()5-∞，

考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.

【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考

查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系

来解题.

【变式演练1】已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 【答案】),31()1,(+∞--∞ .

【解析】由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-

1()1,(+∞--∞ . 【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意

实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．

【答案】1a ≤-

当0a >时，显然有解，

当0a =时，2210ax x +->有解，

当0a <时，∵2

210ax x +->有解，

∴440a ∆=+>，∴10a -<<，

∴不等式2210ax x +->有解时1a >-，

∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②

由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．

考点：命题真假性的应用

方法二 分离参数法

使用情景：对于变量和参数可分离的不等式

解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

第二步 先求出含变量一边的式子的最值；

第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.

例3 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,2e e ⎛⎫

⎪⎝⎭ C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

【答案】D

考点：函数的恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、

因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立

⇔m a x ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立⇔m a x

()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立⇔m i n

()()f x g a >。（4）()()f x g a ≥恒成立⇔min ()()f x g a ≥.

【变式演练3】已知函数()f x =(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是 . 【答案】3

[,)4

-+∞．

【变式演练4】若关于x 的不等式243x a a x

+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞

C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]-

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得，因为0x >，则44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x

+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤，即2340a a --≤，解得14a -≤≤，故选A.

考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.

方法二 函数性质法

使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型

解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；

第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；

第三步 得出结论.