备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题
2018年高考数学(理)二轮复习 ：规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题
规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题典例2 (12分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――――→结合(1)知f (x )min＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t－t －e ＋1→研究g (t )的单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0，g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝ln x ＋1x.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意的x >1，恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立，求k 的取值范围； (3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1) (n ∈N *，n ≥2)．(1)解 f ′(x )＝－ln xx2，由f ′(x )＝0⇒x ＝1，列表如下：因此函数f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，极大值为f (1)＝1，无极小值． (2)解 因为x >1，ln(x －1)＋k ＋1≤kx ⇔ln (x －1)＋1x －1≤k ⇔f (x －1)≤k ，所以f (x －1)max ≤k ，所以k ≥1.(3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1⇒ln x x ≤1－1x，当且仅当x ＝1时取等号． 令x ＝n 2(n ∈N *，n ≥2)． 则ln n2n2<1－1n 2⇒ln n n 2<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2<12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1(n ≥2)，所以ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1＋1n ＋1－12＝2n 2－n －14(n ＋1).。
含参数不等式的“恒成立”问题解题方法荟萃
含参数不等式的“恒成立”问题解题方法荟萃含参数不等式的“恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 【方法荟萃】 一、分离变量法对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
【例1】不等式-2cos 2x +4sinx-k 2+k<0对一切实数x 恒成立，求参数k 的取值范围。
分析与解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k 2-k+3<==>（2 sinx+1）2max < k 2-k+3 而（2 sinx+1）2max =9∴k 2-k+3=9，解之得：k > 3或k < -2故k 的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。
【例2】设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。
分析与解：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()()an n xxx+-+++121 就必须也是正数。
并容易看出，可以将a 分离出来。
当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔>+-+++xx x xxxn n n a a n n 11210121令()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx x n n n x 1121 ϑ，只要对()x ϑ在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。
【推荐精选】2018年高中数学 黄金100题系列 第23题 函数中存在性与恒成立问题 理
第23题 函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分． 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．恒成立：关于x 的不等式f (x )≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．若函数()f x 在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ，则:①不等式()f x a >在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔>；②不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔≥；③不等式()f x b <在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔<；④不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔≤；若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(,)m n ，则：①不等式()f x a >（或()f x a ≥）在区间D 上恒成立m a ⇔≥；②不等式()f x b <（或()f x b ≤）在区间D 上恒成立n b ⇔≤．一、函数性质法【例1】1）已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ．对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，求实数m 的取值范围．【分析】1）根据题意条件中的x 是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题．2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x 不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数)(x f 和)(x g 分别求出它们的最值，再根据只需满足)()(max min x g x f >即可求解2）、对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥ 等价于m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0， 即041≤-m ，所以41≥m 【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想．【例2】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果．【例3】对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围．【答案】1x <-或3x >．二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤)，得λ的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围．【分析】（1）由'()l n 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =处的切线的斜率为3，可知'()3f e =，可建立关于a 的方程：ln 13a e ++=，从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立，只需max 2()[]f x k x ≥即可，而由（1）可知()ln f x x x x =+，∴问题即等价于求函数1ln ()x g x x+=的最大值，可以通过导数研究函数()g x 的单调性，从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =，当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数，因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．（2） 由（1）知，()ln f x x x x =+，∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln x k x +⇔≥对任意0x >成立， 令1ln ()x g x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值， 221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =， 当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法．此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则．常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥，（ D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围．【例5】【2018浙江绍兴教学质量调测】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,1-【例6】已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(－4，0]．(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∞76-，．三、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例7】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围．（节选）【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ，那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数．而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题，问题即可求解．【解析】由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x 在[]11-，上单调递减，【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度．即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果．此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了．【例8】若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________． 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231,271四、数形结合法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例9】求证：1()x a f x a x +-=-，对于[1,2]x a a ∈++恒有32()2f x -≤≤-成立． 【答案】证明见解析． 【解析】原方程可化为11y x a =--，由图像可知，[1,2]x a a ∈++，函数单调递增 3()(2),()(1)22f x f a f x f a ≤+=≥+=-，故得证．【例10】已知函数()222f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围．【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k =-，则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决．()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩，解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<． 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时，往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象．常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩，同理，若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立，则有00a <⎧⎨∆<⎩．若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解．其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理），这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．五、存在性之常用模型及方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()max f x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k < ()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()max D x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()min D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()max D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔>． 【例11】已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(， ⑴若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f =，求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x x x >0，所以)(x h 在]2,0[上是增函数，由此可求得)(x h 的值域是[0，3ln 4-]，所以实数a 的取值范围是[0，3ln 4-]．⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，即)(x h a >有解，故h max (x)>a ，由⑴知h max （x ）=3ln 4-，于是得a <3ln 4-．点评：在求不等式中的参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时，常用分离参数法．另外要注意方程有解与不等式有解的区别，方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题，而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题．⑶解析：对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立，即min )(x h a >，由⑵可知a <0．点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的，切不可混为一团．另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值．以下充要条件应细心思考，甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤；②若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤．⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=，若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，即max min )()(x g x f >，即a ->3ln 0，所以3ln >a ．点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别， ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同，而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同，21,x x 的取值在[0，2]上具有任意性．⑸解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，即max max )()(x g x f >，由⑷可知即a ->3ln 4，所以3ln 4+->a ．点评：设)(x g 的最大值为M ，对任意]2,0[2∈x ，)()(21x g x f >的条件M x f >)(1，于是问题转化为存在]2,0[1∈x ，使得M x f >)(1，因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >． ⑹解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，则A B ⊆，所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应，所以对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内，因此，)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集．⑻解析：若存在21,x x 使得)()(21x g x f =，则A B ≠∅，∴33≤+a ，∴实数a 的取值围是].0,(-∞【例12】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0． （1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围．【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0，可以将其转化为关于a ，b 的方程，进而求得b 的值：()()1af x a x b x'=+--，()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞，使得不等式()1a f x a <-成立，只需min ()1af x a >-即可，因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值，进而得到关于a 的不等式即可，而由（1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-，则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=，因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性，从而可以解得a 的取值范围是()()11,+∞．②当112a <<时，1a >，()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭， 不合题意，无解，10分 ③当1a >时，显然有()0f x <，01a a >-，∴不等式()1af x a <-恒成立，符合题意，综上，a 的取值范围是()()11,+∞．【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可解决．它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝．处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题．【跟踪练习】1．【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m>B ．0<m<1C ．m>0D ．m>1 【答案】CD ．∵m>1⇒m>，所以m>1是“不等式在R 上恒成立”的充分不必要条件，故D 错误；故选C ．2．【2018届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数()()()22f x x xxax b =+++，若对x R ∀∈，均有()()2f x f x =-，则()f x 的最小值为 （ ）A ．94-B ．3516- C ．2- D ．0 【答案】A3．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在(],1-∞上递减的函数()221f x x tx =-+，且对任意的[]12,0,1x x t ∈+，总有()()122f x f x -≤，则实数t 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]2,3D ．[]1,2【答案】B4．【2018届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数定义运算“”：，设，若函数 恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意可得，画图f(0)=-1，f(-2)=2，由图可知，，选D ．5．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A6．【2018届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A． B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）【答案】B由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1 即g （x ）＜g （1）即x ＞1；当x ＜0时，函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1综上可知：实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B ．7．【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】已知(),0,1a b ∈，不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使200bx x a ++=成立，则1211a b+--的最小值为 （ ） A．3 B．43+ C．4． 【答案】B【解析】由不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，得0{140a ab >∆=-≤，由存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立，得140ab ∆=-≥，所以14ab =，且(),0,1a b ∈， 1211a b +--=181242221-411-414441a a a a a a a +=++=++----，令()1212,11-414f x x x x =++<<- ， ()()()222887141x x f x x x +---'=，当()0f x '=，解得x =，代入2443f ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，选B ． 8．【2017届江西省高三4月联考】已知函数()213,1{log ,1x x x f x x x -+≤=>，若对任意的x R ∈，不等式()254f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B9．【2017江西师大附属中学十月模拟】已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,0-B ．[]1,0-C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】要使对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立， 只需当()120,,x x R ∈+∞∈时，有()()max min f x g x ≤由g ()'x =1x e -知，当x <0时，g ()'0x <；当x >0时，g ()'0x >，所以()()00min g x g ==(1)当0a >时，易知当()x f x ∞∞→+→+时，易知，不满足()120,,x x R ∈+∞∈时，有()()max min f x g x ≤，故0a >不成立；(2)当0a =时，()ln f x x x =-+，此时，此时()11'1x f x x x-+=-+=，当0x 1<<时， ()´0f x >，当x 1>时，()'0f x <，所以()()110max f x f ==-≤，成立；【名师点睛】把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决本题的关键，同时需注意对a 进行分类讨论． 10．【2018山西第一次五校联考】已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值为()A ．eB ．3C ．2e D ．3e 【答案】A【点睛】本题的关键步骤有：观察发现()f x 与()g x 互为反函数；将原命题等价转化为ln xe x x λλ≥≥在()0,+∞上恒成立；利用导数工具求()xh x e x λ=-的最小值，从而求得e λ≤；11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知对()0,x ∀∈+∞，不等式ln 1n x m x +≥-恒成立，则mn的最大值是( )A ．1B ．1-C ．eD ．e -【答案】C【解析】不等式ln 1n x m x +≥-可化为()l n 10l n 1n nx m F x x m x x+-+≥=+-+，令，则()221n x nF x x x x ='-=-，所以当x n=时，()mi n l n 2F x n m =+-，即l n202n mm n n +-≥⇒≤+>，所以2ln m n n n +≤，令()2l n n G n n +=，则令()21ln 0nG n n -'-==可得1n e =，故()max 211G n e e-==，即2ln m n e n n +≤≤，应选答案C ． 【名师点睛】解答本题的思路是将不等式ln 1n x m x +≥-可化为ln 10nx m x+-+≥，，然后再构造函数()ln 1n F x x m x =+-+，并对其进行求导，求出函数()ln 1nF x x m x=+-+的最小值为ln 2n m +-，即ln 20n m +-≥，然后求出目标函数()2ln n G n n +=的最大值为e ，即2ln m n e n n +≤≤，所以求出mn 的最大值是e ．12．【2018河南南阳一中高三上学期第二次考试】已知函数()2ln f x kx x =+，若()0f x <在()f x 定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．13．【2017上海普陀区高三二模】设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ． 【答案】2a ≤-【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数．本题是利用方法 ③ 求得a 的最大值．14．【2018届河南南阳一中高三8月测试】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】][5,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．【2018河南洛阳高三期中考试】已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-；（2）(),10-∞-．试题解析：（1）由题可得，()232f x x ax b =++'，∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123{ 123ab-+=--⨯=，∴3{ 26a b =-=-；（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--， 当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-．16．【2018河北衡水中学高三上学期二调考试】已知函数()21ln 2f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值． 【答案】（1）见解析（2）2（2）由()21ln 112x ax a x -≤--， 得()()22ln 12x x a x x ++≤+，因为0x >，所以原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在区间()0,+∞内恒成立．令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln '2x x x g x xx -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间()0,+∞内单调递增， 又()112ln2011022h h ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0002ln 0h x x x =+=， 且当00x x <<时，()'0g x >，()g x 单调递增，【名师点睛】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对a 进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数()g x 的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由()0002ln 0h x x x =+=可得002ln x x =，在解题时将0ln x 进行代换以使问题得以求解． 17．【2018西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数()21f x ax bx =++（0a ≠， x R ∈）．（1）若函数()f x 的最小值为()10f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下， ()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围．【答案】(1) ()221f x x x =++ ，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞ ；(2) k 的取值范围为(),1-∞．试题解析：（1）由题意得()110f a b -=-+=， 0a ≠，且12ba-=-， ∴1a =， 2b =，∴()221f x x x =++，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞． （2）()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立， 转化为21x x k ++>在区间[]3,1--上恒成立．设()21g x x x =++， []3,1x ∈--，则()g x 在[]3,1--上递减，∴()()min 11g x g =-=，∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．18．【2018重庆一中高三9月月考】已知二次函数()()25f x ax bx x R =++∈满足以下要求：①函数()f x 的值域为[)1,+∞；② ()()22f x f x -+=--对x R ∈恒成立． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设()()41f x M x x -=+，求[]1,2x ∈时()M x 的值域． 【答案】（1）()245f x x x =++；（2）133,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．试题解析：（2）()()244111f x x x M x x x -++==++[]1,2x ∈ ∴令1t x =+，则[]2,3t ∈()()22214114122221t t x x t t t x t t t-+-++++-∴===-++[]2,3t ∈ 21323,3t t⎡⎤∴-+∈⎢⎥⎣⎦∴所求值域为13:3,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．【2018浙江温州模拟】已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．此时，对任意实数都有成立，的取值范围是．(Ⅱ) 对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，由(ⅱ) 当，即时，恒成立．（ⅲ）当，即时，．综上可知，．20．【2018山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设函数()()()222,4f x x g x f x ⎡⎤=--=-⎣⎦ （1）求函数()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值()h m ；（3）若不等式()()2422g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）424x x +；（2）()()4242242,2{0,20 4,0m m m m m m m +++≤--<<+≥ ；（3）[]0,4．试题解析：（1）()()2242244g x x x x =---=+．（2）()()g x g x -=， ()g x ∴为偶函数，()3'48g x x x =+，故函数在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增，①当20m +≤，即2m ≤-时， ()g x 在区间[],2m m +单调递减，()()()()422242h m g m m m ∴=+=+++．②当0m ≥时， ()g x 在区间[],2m m +单调递增，()()424h m g m m m ∴==+．（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤．2422a a ⇔-+≤，2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤，所以不等式的解集为[]0,4．。
含参不等式恒成立问题例题
含参不等式恒成立问题例题在数学的世界里，有一种“含参不等式恒成立”的问题，听起来有点复杂，但实际上就像生活中的一些小窍门，掌握了就能轻松应对。
想象一下，数学就像一场舞会，里面有各种各样的舞步，有的简单易学，有的则需要你慢慢去摸索。
这些含参不等式就像那些你在舞会里需要学的舞步，只要掌握了，你就能在任何场合中游刃有余。
先说说什么是“含参不等式”。
简单来说，就是不等式中有参数，这些参数就像是调味料，放多少，怎么放，都会影响最终的结果。
参数就像是调皮的小孩子，让不等式变得难以捉摸。
可是，只要你找到合适的调味方式，不论参数怎么变化，不等式都能保持“和谐”的状态，听起来是不是很神奇？拿一个简单的例子来说吧，想象一下你在做饭，盐、糖、醋，每一样都要掌握好分量，才能做出美味的菜肴。
如果你在一道菜里放了太多盐，那就惨了，味道会让人皱眉；可是如果放得刚刚好，哇，绝对让人回味无穷。
这就是不等式的精髓，参数调得好，一切都能顺理成章。
在这道问题中，我们会遇到一些技巧，比如要学会“化简”。
有些东西，表面上看起来复杂，实际上只要你用对了方法，往往就能简单明了。
就像你在穿衣服的时候，挑选一件合适的外套，有时候那件看似简单的衣服，搭配得当，反而能让你瞬间提升气场。
其实数学也有同样的道理，化繁为简，才能找到最优解。
还有一些不等式的常用形式，比如“阿莫尔不等式”，听起来很高大上，其实就像在说：“伙计，学会了这招，你就能在不等式的海洋中畅游无阻。
”它帮助我们理解不同参数之间的关系，打下坚实的基础。
就好比你在乐队里，如果每个人都能把自己的乐器演奏得当，那整个乐队就会和谐得像一首动人的交响曲。
哦，咱们得聊聊例子了。
举个例子吧，假如有一个不等式 (a + b geq 2sqrt{ab)，听上去像是个难题，但实际上它是在说：只要你把 (a) 和 (b) 搞得好，它们的和总是大于等于它们的几何平均。
这就像你和朋友一起出去玩，不论你们买了多少东西，只要快乐是最重要的。
高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.例1 已知关于x 的不等式2320ax x -+>)(R a ∈.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．（2）求不等式ax x ax ->+-5232)(R a ∈的解集【答案】（1）1,2a b ==（2）①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ②当03<<-a 时，}13{-<<x ax ③当3-=a 时，∅④当3-<a 时，}31{ax x <<-⑤ 当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0： 不等式为()0332>--+x a ax ，即()()013>+-x ax第二步，分别求出其对应的不等式的解集： 当0=a 时，原不等式的解集为{}1|-<x x ； 当0≠a 时，方程()()013=+-x ax 的根为1,321-==x ax ；所以当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13|x a x x 或； ②当03<<-a 时，13-<a，∴}13{-<<x a x③当3-=a 时，13-=a ，∴∅④当3-<a 时，13->a，∴}31{a x x <<-学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ；②当03<<-a 时，}13{-<<x a x ③当3-=a 时，∅；④当3-<a 时，}31{ax x <<-；⑤当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x .考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知2320ax x -+=的两根为1x x b ==或，且0a >，根据根与系数的关系，即可求出,a b 的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为()()310ax x -+>，然后通过对参数a 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．学*科网考点：命题真假性的应用类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步 得出结论.例2 解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a学*科网 试题分析：21(1)10()(1)0ax a x a x x a-++>⇔-->,先讨论0a <时不等式的解集；当0a >时，讨论1与1a的大小，即分10<<a ，1=a ，1>a 分别写出不等式的解集即可. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练3】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a ＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．考点：一元二次不等式．【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ． －1<a<0B ． 0<a<1C ． 1<a<3D ． 3<a<6 【答案】C【解析】由()()22x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1， 由不等式()22212a x bx b -+-<0解得()()222222,2121b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1b a --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1ba --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．学&科网类型三 根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例3 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围． 【答案】.010<≤-≥k k 或【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.第三步，得出结论：综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类. 【变式演练5】在区间错误!未找到引用源。
恒成立问题与存在性问题(最新精华)
恒成立问题与存在性问题思路一：（1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >⇔min )(；不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥⇔min )(；不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f <⇔max )(；不等式a x f ≤)(在区间D 上恒成立a x f ≤⇔max )(；（2）若函数在D 区间上不存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，且值域为),(n m 则 不等式a x f >)(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥⇔；不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤⇔。
例题1：已知函数.ln )(x x x f =（1）求函数.ln )(x x x f =的最小值；（2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。
答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围。
答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(-（2）22->e m（3）)3ln 23,2ln 22(--思路二（1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，即],[)(n m x f ∈则不等式有解的问题有下列结论：不等式a x f >)(在区间D 上有解max )(x f a <⇔；不等式a x f ≥)(在区间D 上有解max )(x f a ≤⇔；不等式a x f <)(在区间D 上有解min )(x f a >⇔；不等式a x f ≤)(在区间D 上有解min )(x f a ≥⇔。
关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题
关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题 Last revised by LE LE in 2021“恒成立问题”的解法常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分离参数法； ④数形结合法。
一、函数性质法1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于⎩⎨⎧>)(0)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()0f x <，则有⎩⎨⎧((n f m f 例1.p ,求使不等式2x x 的取值范围。
略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.2.二次函数：①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或0a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)选B 。
例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题高考中，考生需要解决的问题中有很多都是函数的恒成立不等式。
恒成立不等式指的是一个函数在给定参数和限制条件下，其解一定存在，并且保持恒定不变。
历来，解决恒成立不等式问题一直是数学研究的重要任务，也是高考考生面对的重要内容。
本文将介绍如何解决高考中函数含参量不等式恒成立问题。
首先，考生必须搞清楚恒成立不等式的定义。
由于该不等式是以函数形式存在的，因此第一步是定义函数。
在确定函数的式子后，可以采用一定的解法来解决问题。
常用的方法包括：（1）等式分析法。
等式分析法是一种对某个等式展开求解的方法，将某个等式分解为最基本的等式，并对其进行求解。
（2）函数分析法。
函数分析法是一种采用函数理论的方法，将原函数分解为多个函数的和，再逐步分析与求解。
（3）数学归纳法。
数学归纳法是一种将具有相似性质的不等式归纳为一组不等式的方法，经过数学处理之后，便可获得某个恒成立的不等式。
其次，考生在解决恒成立不等式问题时，要注意以下几点：（1）理清题目，弄清函数、参量以及限制条件，以确定函数的范围和解的存在性。
（2）仔细斟酌，用一定的方法来解决问题，尤其是函数分析法，其中往往涉及的知识相对复杂，要求考生熟悉相关的数学知识。
（3）考虑实际问题，在解决过程中必须考虑到具体情况，如参量的取值范围等，以确定解的可行性。
最后，考生要熟悉不同的解决恒成立不等式问题的方法，例如函数分析法和数学归纳法等，并结合自己的实际情况进行练习。
经过以上分析，可以看出，解决高考中函数含参量不等式恒成立问题的方法虽然繁琐，但是结果是可预测的。
考生在解决恒成立不等式问题时，可以采取多种方法，如函数分析法、数学归纳法等，以此来求得恒成立的不等式。
只有当考生做好准备，了解这些方法的操作，才能在考试中取得好的成绩。
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题
高考中函数含参量不等式恒成立问题的解题在高考中，学生们往往遇到含参量不等式这类问题，这类问题可以有相当复杂的解法，比如把这个不等式转化成函数求解。
许多同学对于这类问题不太了解，或者因为时间和精力的限制而缺乏手段，最终可能无法解出答案，从而不能取得好的成绩。
因此，掌握如何正确解题非常重要。
首先，在解决不等式问题时，需要仔细阅读题干，了解问题中所涉及的变量，并要分析出不等式的特征。
如果问题中出现了等号、不等号和参量，且参量中有变量，这时就需要把它转换成函数求解。
比如，若有一个不等式：x + y 2，则可以把它转换成函数形式：y =√2-x，其中y是变量，x是参量。
将不等式转换为函数形式后，就可以根据函数的性质，分析出不等式的解。
之后，就可以根据参量变化的关系，求出函数图像上的根，从而得到不等式的解。
其中，如果参量是一个正数，函数图像会在该参量处有一个最高点，而一个负数会产生最低点，因此可以根据参量的特点查找有关解的信息。
此外，在计算的过程中，函数的参量不应该产生任何负值，否则将可能导致函数求解出错，从而不能得到正确的结果。
最后，当我们求得不等式的解后，可以使用函数的一般化的简便方法，即判断一定范围内的参量是否满足不等式。
举个例子，若有不等式 x + y 2，而我们想要解出所有x 1时，y值是多少，则可以把x参量从1开始，逐步递增，每次改变1，查看y在对应x下是否满
足不等式限制，直至把区间内的所有结果查询完。
总之，要想正确解题，学生们需要仔细阅读题干，准确分析问题，把不等式转换成函数求解，并要注意参量不应该产生负值，最后可以使用函数的一般化的简单方法，从而得到函数的正确解。
证明含参数的不等式恒成立解题模板
如何证明含参数的不等式恒成立题型：已知含参数的函数()f x ，证明在某区间上()()()(x)f x g x f x g ><或恒成立（()g x 不含参数）解题步骤：第一步：构造函数()()()F x f x g x =-，将问题转化为()0()0F x F x ><或恒成立的问题，如果这里的()g x 不明显，我们先对含参函数进行讨论，找到合适的()g x 。
第二步：求出'()F x ，令'()0F x =，求出()F x 在区间上的最小值或最大值。
第三步：证明最小值大于0，或最大值小于0。
【例题】1、（浙江高考）已知a R ∈，函数3()42f x x ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间.（2）证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->.思路分析：()20f x a +->中含有绝对值，不方便求导，因此可考虑寻找函数()g x ，使()2()0f x a g x +-≥>.解（1）由题意的'2()122f x x a =-①当0a ≤时，'()0f x ≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞.②当0a >时，'()12()()f x x x =，此时函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞和，单调递减区间为⎡⎢⎣.（2）证明：由于01x ≤≤，当2a ≤时，33()2=4x 224x 42f x a ax x +--+≥-+. 当2a >时，333()2=4x 2(1)24x 4(1)24x 42f x a a x x x +-+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则()2()f x g x ≥，要证()20f x a +->，只要证明()0g x >即可。
'2()626(g x x x x =-=-+则有所以min ()10g x g ==>, 当01x ≤≤时，32210x x -+>，故3()24420f x a x x +-≥-+>，即证。
2018高考数学黄金解题模板专题26含参不等式的存在性与恒成立问题——王彦文
专题四：恒成立综合研究（大题，解析式）【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】方法一 判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步 得出结论.例1 若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f . （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞.（2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴231m x x <-+在区间[]1,1-上有解，故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值， 由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5, ∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.方法二 分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.例2 若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得， 因为0x >，则4424x x x x+≥⋅=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤， 即2340a a --≤，解得14a -≤≤，故选A.考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法三 函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； 第三步 得出结论.例3 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈， 其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】05a <<.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f xa <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤. 【变式演练1】已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(21,e e e ⎤-⎦．（2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x≤令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201ef f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用． 【变式演练2】已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1） 5440--=x y （2） 详见解析（3） [1,)+∞试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数：2'222(2)()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x ，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：（Ⅱ）函数的定义域为：{|0}≠x x2'222(2)()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，1222,--=-=a a x x aa'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ，所以，()f x 单调递增区间为22(,)(,)和---∞-+∞a a a a ，单调减区间为22(,0))和(0,---a a a a ．考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 3.【2016高考江苏卷】已知函数错误！未找到引用源。
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化： a f x 恒成立a f x ；max a f x 恒成立 a f xmin2、能成立问题的转化： a f x 能成立a f x ；min a f x 能成立 a f xmax3 、恰成立问题的转化： a f x 在M 上恰成立 a f x 的解集为M a f x 在M 上恒成立a f x 在C M 上恒成立R另一转化方法：若x D,f (x) A在D 上恰成立，等价于 f (x) 在D 上的最小值f min (x) A，若x D, f ( x) B在D 上恰成立，则等价于 f (x) 在D 上的最大值f max (x) B .4、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c,d ，使得 f x1 g x2 ，则f mi n xg mi n x5、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f max xg max x6 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f m a x xg m i n x7 、设函数 f x 、g x ，存在x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则f m i n xg m a xx8、设函数 f x 、g x ，对任意的x1 a , b ，存在x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，设f(x) 在区间[a,b]上的值域为 A ，g(x)在区间[c,d] 上的值域为B, 则A B.9、若不等式 f x g x 在区间D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数y g x 图象上方；10、若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数y f x 和图象在函数y g x 图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R; 某不等式的解为一切实数; 某表达式的值恒大于 a 等等⋯恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起第 1 页到了积极的作用。
高中数学黄金100题系列第23题函数中存在性与恒成立问题文(new)
第23题 函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分．解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．恒成立：关于x 的不等式f （x )≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．若函数()f x 在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ，则:①不等式()f x a >在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔>；②不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔≥;③不等式()f x b <在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔<；④不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔≤；若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(,)m n ,则：①不等式()f x a >（或()f x a ≥)在区间D 上恒成立m a ⇔≥;②不等式()f x b <（或()f x b ≤）在区间D 上恒成立n b ⇔≤．一、函数性质法【例1】1）已知函数12)(2+-=ax x x f ,xa x g =)(，其中0>a ,0≠x ．对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥，求实数m 的取值范围．【分析】1）根据题意条件中的x 是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数,再求出此函数的最值来解决问题．2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x 不一定是同一数值,故可分别对在两个不同区间内的函数)(x f 和)(x g 分别求出它们的最值，再根据只需满足)()(max min x g x f >即可求解2)、对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥ 等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0， 即041≤-m ，所以41≥m 【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上,常见于两种---—一分为二或和而为一,另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想．【例2】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m 来求解．【解析】【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果．【例3】对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围．【答案】1x <-或3x >．二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤)恒成立的形式;（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤）,得λ的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值;（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围．【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =处的切线的斜率为3，可知'()3f e =，可建立关于a 的方程：ln 13a e ++=，从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立，只需max 2()[]f x k x≥即可,而由(1）可知()ln f x x x x =+，∴问题即等价于求函数1ln ()x g x x +=的最大值，可以通过导数研究函数()g x 的单调性，从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-,令'()0g x =，解得1x =,当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时， '()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．（2） 由（1)知，()ln f x x x x =+，∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln x k x+⇔≥对任意0x >成立,令1ln ()x g x x +=，则问题转化为求()g x 的最大值， 221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =,解得1x =， 当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数(或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法．此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则．常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小,即最终转换求函数最值．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥，( D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:(1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式;（2) 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值;（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围．【例5】【2018浙江绍兴教学质量调测】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,1-【解析】设t a x =-||，则t a x ±=，2222t at a x +±=,故原不等式转化为)0(0222≥≥±+t at t t ，即022≥±+a t ，所以022≤-≥±t a ,即11≤≤-a ．故应填答案[]1,1-． 【例6】已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．（1）若对于x ∈R ,f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于x ∈[1，3］,f （x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1)(－4，0］．(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∞76-，．三、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位"交换一下,变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例7】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，（Ⅰ）求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围．（节选)【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ，那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数．而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解．【解析】由(Ⅰ）知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+，()g x 在[]11-，上单调递减，【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度．即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果．此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了．【例8】若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________． 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231,271四、数形结合法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥(或()()f x g x ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例9】求证:1()x a f x a x +-=-，对于[1,2]x a a ∈++恒有32()2f x -≤≤-成立． 【答案】证明见解析．【解析】原方程可化为11y x a=--，由图像可知,[1,2]x a a ∈++,函数单调递增 3()(2),()(1)22f x f a f x f a ≤+=≥+=-，故得证．【例10】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k ≥,求实数k 的取值范围．【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k =-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决．()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩，解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<． 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时，往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象．常见的有两类函数：若二次函数()20y axbx c a =++≠大于0恒成立,则有00a >⎧⎨∆<⎩，同理，若二次函数()20y axbx c a =++≠小于0恒成立,则有00a <⎧⎨∆<⎩．若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解．其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注:若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理），这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．五、存在性之常用模型及方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()max f x k >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题(即不等式有解问题)与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()max D x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()min D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()max D x f x k f x k⇔<≠∅⇔>． 【例11】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(， ⑴若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f =,求实数a 的取值范围;⑵若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，求实数a 的取值范围;⑶若对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围;⑸若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x x x 〉0,所以)(x h 在]2,0[上是增函数，由此可求得)(x h 的值域是[0，3ln 4-］，所以实数a 的取值范围是[0，3ln 4-]．⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，即)(x h a >有解，故h max (x)>a ,由⑴知h max （x)=3ln 4-，于是得a <3ln 4-．点评：在求不等式中的参数范围过程中，当不等式中的参数(或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时，常用分离参数法．另外要注意方程有解与不等式有解的区别，方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题，而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题．⑶解析:对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立，即min )(x h a >，由⑵可知a <0．点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的，切不可混为一团．另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值．以下充要条件应细心思考，甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤； ②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤．⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=,若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，即max min )()(x g x f >，即a ->3ln 0,所以3ln >a ．点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别， ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同，21,x x 的取值在［0,2］上具有任意性．⑸解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >,即max max )()(x g x f >,由⑷可知即a ->3ln 4,所以3ln 4+->a ．点评：设)(x g 的最大值为M ，对任意]2,0[2∈x ,)()(21x g x f >的条件M x f >)(1，于是问题转化为存在]2,0[1∈x ，使得M x f >)(1，因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >． ⑹解析:对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，则A B ⊆,所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内，因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集．⑻解析:若存在21,x x 使得)()(21x g x f =，则A B ≠∅，∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞ 【例12】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0． （1)求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-,求a 的取值范围． 【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0，可以将其转化为关于a ，b 的方程,进而求得b 的值：()()1af x a x b x'=+--，()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=;（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞，使得不等式()1a f x a <-成立，只需min ()1a f x a >-即可，因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a的不等式即可,而由(1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-，则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=，因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性，从而可以解得a 的取值范围是()()21,211,---+∞．②当112a <<时,11aa>-， x1,1a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1aa - ,1a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭()f x ' -+()f x极小值()()()minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭, 不合题意,无解，10分 ③当1a >时，显然有()0f x <,01a a >-,∴不等式()1af x a <-恒成立，符合题意， 综上，a 的取值范围是()()2211,-+∞．【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种:一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可解决．它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝．处理的原则就是:不熟系问题转化为熟悉问题．【跟踪练习】1．【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ )A ．m 〉B ．0〈m 〈1C ．m 〉0D ．m>1 【答案】CD ．∵m 〉1⇒m 〉,所以m 〉1是“不等式在R 上恒成立”的充分不必要条件，故D错误; 故选C ．2．【2018届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数()()()22f x x x x ax b =+++，若对x R ∀∈，均有()()2f x f x =-，则()f x 的最小值为（ ）A ．94-B ．3516- C ．2- D ．0【答案】A3．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在(],1-∞上递减的函数()221f x x tx =-+，且对任意的[]12,0,1x x t ∈+，总有()()122f x f x -≤，则实数t 的取值范围为( )A ．2,2⎡⎤-⎣⎦B ．1,2⎡⎤⎣⎦C ．[]2,3D ．[]1,2【答案】B4．【2018届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数定义运算“”:,设，若函数 恰有三个零点,则实数的取值范围是( ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可得，画图f （0)=—1，f （-2)=2，由图可知，，选D ．5．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知，若对任意的,不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A6．【2018届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ） A ．B ．（﹣∞，﹣1)∪（1，+∞）C ．(﹣1，1）D ．(﹣1，0）∪（0,1) 【答案】B由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1 即g （x)＜g （1）即x ＞1；当x ＜0时,函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1综上可知：实数x 的取值范围为(﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B ．7．【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】已知(),0,1a b ∈,不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使200bx x a ++=成立，则1211a b+--的最小值为 （ ) A ．1023 B ．243+ C ．42+．42【答案】B【解析】由不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,得0{140a ab >∆=-≤，由存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立,得140ab ∆=-≥，所以14ab =，且(),0,1a b ∈，1211a b+--=181242221-411-414441aa a a a a a+=++=++----，令()1212,11-414f x xx x=++<<-,()()()222887141x xf xx x+---'=，当()0f x'=，解得3224x-=，代入32242443f⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭，选B．8．【2017届江西省高三4月联考】已知函数()213,1{log,1x x xf x x x-+≤=>，若对任意的x R∈，不等式()254f x m m≤-恒成立，则实数m的取值范围为( )A．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B9．【2017江西师大附属中学十月模拟】已知函数()()()221ln,,1xf x ax a x x a Rg x e x=-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R∈+∞∈,不等式()()12f xg x≤恒成立，，则实数a的取值范围为（）A．[)1,0-B．[]1,0-C．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D．3,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】B（2)当0a=时，()lnf x x x=-+，此时，此时()11'1xf xx x-+=-+=，当0x1<<时，()´f x>，当x1>时，()'0f x<，所以()()110maxf x f==-≤，成立；【名师点睛】把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决本题的关键，同时需注意对a 进行分类讨论．10．【2018山西第一次五校联考】已知0λ>,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值为（)A ．eB ．3C ．2eD ．3e【答案】A【解析】令()(),ln xf x eg x x λλ==，易得()f x 与()g x 互为反函数⇒()f x 与()g x 关于直线y x =对称⇒原命题等价于ln xe x x λλ≥≥在()0,+∞上恒成立．记()xh x e x λ=-()1'10xh x e λλ=-=()()()()ln 0,ln ,'0;ln ,,'0x x h x x h x λλλλλλ⇒=⇒∈<∈+∞>()()ln min ln ln ln 0h x h e e λλλλλλλλλ⇒==-=-≥⇒≤，记()ln x x x ϕλ=-,同理可得e λ≤，综上λ的最大值为e ,故选A ． 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现()f x 与()g x 互为反函数;将原命题等价转化为ln xe x x λλ≥≥在()0,+∞上恒成立; 利用导数工具求()x h x e x λ=-的最小值，从而求得e λ≤;11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知对()0,x ∀∈+∞，不等式ln 1nx m x+≥-恒成立，则mn的最大值是( ） A ．1 B ．1- C ．e D ．e -【答案】C【名师点睛】解答本题的思路是将不等式ln 1n x m x +≥-可化为ln 10nx m x +-+≥，，然后再构造函数()ln 1n F x x m x =+-+，并对其进行求导，求出函数()ln 1nF x x m x=+-+的最小值为ln 2n m +-，即ln 20n m +-≥,然后求出目标函数()2ln n G n n +=的最大值为e ，即2ln m ne n n+≤≤,所以求出mn的最大值是e ． 12．【2018河南南阳一中高三上学期第二次考试】已知函数()2ln f x kx x =+,若()0f x <在()f x 定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．13．【2017上海普陀区高三二模】设0a <,若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是 ．【答案】2a ≤-【解析】因为不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，所以不等式()22cos 1cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，令cos t x =，即()2210t a t a ---≤对于任意的[]1,1t ∈-恒成立，因为0a <，所以1122a -<-，则()2110a a ---≤,即220a a +-≥，解得2a ≤-或1a ≥（舍）；故答案为2a ≤-．【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立（()max a f x ≥可）或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合（()y f x =图象在()y g x = 上方即可）；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数．本题是利用方法 ③ 求得a 的最大值．14．【2018届河南南阳一中高三8月测试】若正实数,x y 满足244x y xy ++=,且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】][5,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．【2018河南洛阳高三期中考试】已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈． （1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1)的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-;（2)(),10-∞-．【解析】试题分析：（1）求出导函数()f x '，利用()10f '-=，且()2f '=0，解方程组可求得3{ 26a b =-=-；（2)利用导数研究函数()f x 的单调性,可得函数()f x 在[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，只需102c c ->即可求c 的取值范围． 试题解析：（1）由题可得，()232f x x ax b =++', ∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123{ 123ab-+=--⨯=，∴3{ 26a b =-=-；（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--,当x 变化时,()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时,f x 的最小值为10c -，要使2f x c >恒成立,只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-．16．【2018河北衡水中学高三上学期二调考试】已知函数()21ln 2f x x ax =-,a R ∈．（1)求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立,求整数a 的最小值． 【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析:（1）先确定函数的定义域,求导后得()21'ax f x x-=，根据a 正负进行讨论，可得函数的单调区间；(2）中可通过分离参数将问题转化成()22ln 12x x a x x++≥+在区间()0,+∞内恒成立求解，令()()22ln 1g 2x x x x x++=+,结合函数零点存在定理可求得()g x 的最值．（2）由()21ln 112x ax a x -≤--，得()()22ln 12x x a x x ++≤+， 因为0x >，所以原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在区间()0,+∞内恒成立．令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()() ()22212ln'2x x xg xx x-++=+，令()2lnh x x x=+，则()h x在区间()0,+∞内单调递增,又()112ln2011022h h⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，，所以存在唯一的1,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002ln0h x x x=+=，且当0x x<<时，()'0g x>，()g x单调递增，【名师点睛】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对a进行分类的标准;第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数()g x的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由()0002ln0h x x x=+=可得002ln x x=,在解题时将0ln x进行代换以使问题得以求解．17．【2018西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数()21f x ax bx=++（0a≠，x R∈）．(1）若函数()f x的最小值为()10f-=，求()f x的解析式,并写出单调区间；（2）在（1)的条件下, ()f x x k>+在区间[]3,1--上恒成立,试求k的取值范围．【答案】(1) ()221f x x x=++，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞ ;（2）k的取值范围为(),1-∞．试题解析:（1)由题意得()110f a b -=-+=， 0a ≠，且12ba-=-， ∴1a =， 2b =，∴()221f x x x =++,单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞． (2)()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立， 转化为21x x k ++>在区间[]3,1--上恒成立．设()21g x x x =++， []3,1x ∈--，则()g x 在[]3,1--上递减, ∴()()min 11g x g =-=,∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．18．【2018重庆一中高三9月月考】已知二次函数()()25f x ax bx x R =++∈满足以下要求：①函数()f x 的值域为[)1,+∞；② ()()22f x f x -+=--对x R ∈恒成立． （1）求函数()f x 的解析式； (2)设()()41f x M x x -=+，求[]1,2x ∈时()M x 的值域．【答案】（1）()245f x x x =++；（2)133,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．试题解析:(2）()()244111f x x x M x x x -++==++[]1,2x ∈ ∴令1t x =+，则[]2,3t ∈ ()()22214114122221t t x x t t t x t t t-+-++++-∴===-++[]2,3t ∈ 21323,3t t ⎡⎤∴-+∈⎢⎥⎣⎦∴所求值域为13:3,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．【2018浙江温州模拟】已知二次函数,对任意实数,不等式恒成立，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ)．∴，由此时,对任意实数都有成立，的取值范围是．(Ⅱ) 对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差,由（ⅱ） 当，即时，恒成立． (ⅲ）当,即时，．综上可知,．20．【2018山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设函数()()()222,4f x x g x f x ⎡⎤=--=-⎣⎦（1）求函数()g x 的解析式;(2）求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值()h m ；（3）若不等式()()2422g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）424x x +；（2)()()4242242,2{0,20 4,0m m m m m m m +++≤--<<+≥ ；（3）[]0,4．试题解析:（1）()()2242244g x x x x =---=+．（2）()()g x g x -=， ()g x ∴为偶函数，()3'48g x x x =+， 故函数在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增,①当20m +≤，即2m ≤-时, ()g x 在区间[],2m m +单调递减,()()()()422242h m g m m m ∴=+=+++．②当0m ≥时， ()g x 在区间[],2m m +单调递增， ()()424h m g m m m ∴==+．（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤．2422a a ⇔-+≤，2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤，所以不等式的解集为[]0,4．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
专题30 含参不等式的存在性与恒成立问题-备战2021高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)
【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一 分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.例1 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【变式演练1】已知函数()124x x f x a =++在(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是 . 【变式演练2】若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]-方法二 函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； 第三步 得出结论.例2 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈， 其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【变式演练3】已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【变式演练4】设函数2()1xf x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。
不等式恒成立、存在性问题的解题方法
不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用变换主元的方法，将m 看作主变元，即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。
3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
2018年高中数学 黄金100题系列 第23题 函数中存在性与恒成立问题 理
第23题 函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分． 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．恒成立：关于x 的不等式f (x )≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．若函数()f x 在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ，则:①不等式()f x a >在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔>；②不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔≥；③不等式()f x b <在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔<；④不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔≤；若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(,)m n ，则：①不等式()f x a >（或()f x a ≥）在区间D 上恒成立m a ⇔≥；②不等式()f x b <（或()f x b ≤）在区间D 上恒成立n b ⇔≤．一、函数性质法【例1】1）已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ．对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，求实数m 的取值范围．【分析】1）根据题意条件中的x 是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题．2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x 不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数)(x f 和)(x g 分别求出它们的最值，再根据只需满足)()(max min x g x f >即可求解2）、对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥ 等价于m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0， 即041≤-m ，所以41≥m 【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想．【例2】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果．【例3】对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围．【答案】1x <-或3x >．二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤)，得λ的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围．【分析】（1）由'()l n 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =处的切线的斜率为3，可知'()3f e =，可建立关于a 的方程：ln 13a e ++=，从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立，只需max 2()[]f x k x ≥即可，而由（1）可知()ln f x x x x =+，∴问题即等价于求函数1ln ()x g x x+=的最大值，可以通过导数研究函数()g x 的单调性，从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =，当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数，因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．（2） 由（1）知，()ln f x x x x =+，∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln x k x +⇔≥对任意0x >成立， 令1ln ()x g x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值， 221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =， 当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法．此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则．常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥，（ D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围．【例5】【2018浙江绍兴教学质量调测】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,1-【例6】已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(－4，0]．(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∞76-，．三、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例7】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围．（节选）【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ，那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数．而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题，问题即可求解．【解析】由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x 在[]11-，上单调递减，【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度．即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果．此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了．【例8】若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________． 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231,271四、数形结合法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例9】求证：1()x a f x a x +-=-，对于[1,2]x a a ∈++恒有32()2f x -≤≤-成立． 【答案】证明见解析． 【解析】原方程可化为11y x a =--，由图像可知，[1,2]x a a ∈++，函数单调递增 3()(2),()(1)22f x f a f x f a ≤+=≥+=-，故得证．【例10】已知函数()222f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围．【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k =-，则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决．()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩，解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<． 【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时，往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象．常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩，同理，若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立，则有00a <⎧⎨∆<⎩．若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解．其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理），这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．五、存在性之常用模型及方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()max f x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k < ()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()max D x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()min D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()max D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔>． 【例11】已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(， ⑴若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f =，求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x x x >0，所以)(x h 在]2,0[上是增函数，由此可求得)(x h 的值域是[0，3ln 4-]，所以实数a 的取值范围是[0，3ln 4-]．⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，即)(x h a >有解，故h max (x)>a ，由⑴知h max （x ）=3ln 4-，于是得a <3ln 4-．点评：在求不等式中的参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时，常用分离参数法．另外要注意方程有解与不等式有解的区别，方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题，而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题．⑶解析：对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立，即min )(x h a >，由⑵可知a <0．点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的，切不可混为一团．另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值．以下充要条件应细心思考，甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤；②若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤．⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=，若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，即max min )()(x g x f >，即a ->3ln 0，所以3ln >a ．点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别， ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同，而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同，21,x x 的取值在[0，2]上具有任意性．⑸解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，即max max )()(x g x f >，由⑷可知即a ->3ln 4，所以3ln 4+->a ．点评：设)(x g 的最大值为M ，对任意]2,0[2∈x ，)()(21x g x f >的条件M x f >)(1，于是问题转化为存在]2,0[1∈x ，使得M x f >)(1，因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >． ⑹解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，则A B ⊆，所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应，所以对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内，因此，)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集．⑻解析：若存在21,x x 使得)()(21x g x f =，则A B ≠∅，∴33≤+a ，∴实数a 的取值围是].0,(-∞【例12】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0． （1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围．【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0，可以将其转化为关于a ，b 的方程，进而求得b 的值：()()1af x a x b x'=+--，()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞，使得不等式()1a f x a <-成立，只需min ()1af x a >-即可，因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值，进而得到关于a 的不等式即可，而由（1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-，则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=，因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性，从而可以解得a 的取值范围是()()11,+∞．②当112a <<时，1a>，()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭， 不合题意，无解，10分 ③当1a >时，显然有()0f x <，01a a >-，∴不等式()1af x a <-恒成立，符合题意，综上，a 的取值范围是()()11,+∞．【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可解决．它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝．处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题．【跟踪练习】1．【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m>B ．0<m<1C ．m>0D ．m>1 【答案】CD ．∵m>1⇒m>，所以m>1是“不等式在R 上恒成立”的充分不必要条件，故D 错误；故选C ．2．【2018届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数()()()22f x x xxax b =+++，若对x R ∀∈，均有()()2f x f x =-，则()f x 的最小值为 （ ）A ．94-B ．3516- C ．2- D ．0 【答案】A3．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在(],1-∞上递减的函数()221f x x tx =-+，且对任意的[]12,0,1x x t ∈+，总有()()122f x f x -≤，则实数t 的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]2,3D ．[]1,2【答案】B4．【2018届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数定义运算“”：，设，若函数 恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意可得，画图f(0)=-1，f(-2)=2，由图可知，，选D ．5．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A6．【2018届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A． B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）【答案】B由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1 即g （x ）＜g （1）即x ＞1；当x ＜0时，函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1综上可知：实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B ．7．【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】已知(),0,1a b ∈，不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使200bx x a ++=成立，则1211a b+--的最小值为 （ ） A．3 B．43+ C．4． 【答案】B【解析】由不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，得0{140a ab >∆=-≤，由存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立，得140ab ∆=-≥，所以14ab =，且(),0,1a b ∈， 1211a b +--=181242221-411-414441a a a a a a a +=++=++----，令()1212,11-414f x x x x =++<<- ， ()()()222887141x x f x x x +---'=，当()0f x '=，解得x =，代入2443f ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，选B ． 8．【2017届江西省高三4月联考】已知函数()213,1{log ,1x x x f x x x -+≤=>，若对任意的x R ∈，不等式()254f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B9．【2017江西师大附属中学十月模拟】已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,0-B ．[]1,0-C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】要使对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立， 只需当()120,,x x R ∈+∞∈时，有()()max min f x g x ≤由g ()'x =1x e -知，当x <0时，g ()'0x <；当x >0时，g ()'0x >，所以()()00min g x g ==(1)当0a >时，易知当()x f x ∞∞→+→+时，易知，不满足()120,,x x R ∈+∞∈时，有()()max min f x g x ≤，故0a >不成立；(2)当0a =时，()ln f x x x =-+，此时，此时()11'1x f x x x-+=-+=，当0x 1<<时， ()´0f x >，当x 1>时，()'0f x <，所以()()110max f x f ==-≤，成立；【名师点睛】把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决本题的关键，同时需注意对a 进行分类讨论． 10．【2018山西第一次五校联考】已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值为()A ．eB ．3C ．2e D ．3e 【答案】A【点睛】本题的关键步骤有：观察发现()f x 与()g x 互为反函数；将原命题等价转化为ln xe x x λλ≥≥在()0,+∞上恒成立；利用导数工具求()xh x e x λ=-的最小值，从而求得e λ≤；11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知对()0,x ∀∈+∞，不等式ln 1n x m x +≥-恒成立，则mn的最大值是( )A ．1B ．1-C ．eD ．e -【答案】C【解析】不等式ln 1n x m x +≥-可化为()l n 10l n 1n nx m F x x m x x+-+≥=+-+，令，则()221n x nF x x x x ='-=-，所以当x n=时，()mi n l n 2F x n m =+-，即l n202n mm n n +-≥⇒≤+>，所以2ln m n n n +≤，令()2l n n G n n +=，则令()21ln 0nG n n -'-==可得1n e =，故()max 211G n e e-==，即2ln m n e n n +≤≤，应选答案C ． 【名师点睛】解答本题的思路是将不等式ln 1n x m x +≥-可化为ln 10nx m x+-+≥，，然后再构造函数()ln 1n F x x m x =+-+，并对其进行求导，求出函数()ln 1nF x x m x=+-+的最小值为ln 2n m +-，即ln 20n m +-≥，然后求出目标函数()2ln n G n n +=的最大值为e ，即2ln m n e n n +≤≤，所以求出mn 的最大值是e ．12．【2018河南南阳一中高三上学期第二次考试】已知函数()2ln f x kx x =+，若()0f x <在()f x 定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．13．【2017上海普陀区高三二模】设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ． 【答案】2a ≤-【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数．本题是利用方法 ③ 求得a 的最大值．14．【2018届河南南阳一中高三8月测试】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】][5,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．【2018河南洛阳高三期中考试】已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-；（2）(),10-∞-．试题解析：（1）由题可得，()232f x x ax b =++'，∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123{ 123ab-+=--⨯=，∴3{ 26a b =-=-；（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--， 当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-．16．【2018河北衡水中学高三上学期二调考试】已知函数()21ln 2f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值． 【答案】（1）见解析（2）2（2）由()21ln 112x ax a x -≤--， 得()()22ln 12x x a x x ++≤+，因为0x >，所以原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在区间()0,+∞内恒成立．令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln '2x x x g x xx -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间()0,+∞内单调递增， 又()112ln2011022h h ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0002ln 0h x x x =+=， 且当00x x <<时，()'0g x >，()g x 单调递增，【名师点睛】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对a 进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数()g x 的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由()0002ln 0h x x x =+=可得002ln x x =，在解题时将0ln x 进行代换以使问题得以求解． 17．【2018西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数()21f x ax bx =++（0a ≠， x R ∈）．（1）若函数()f x 的最小值为()10f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下， ()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围．【答案】(1) ()221f x x x =++ ，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞ ；(2) k 的取值范围为(),1-∞．试题解析：（1）由题意得()110f a b -=-+=， 0a ≠，且12ba-=-， ∴1a =， 2b =，∴()221f x x x =++，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞． （2）()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立， 转化为21x x k ++>在区间[]3,1--上恒成立．设()21g x x x =++， []3,1x ∈--，则()g x 在[]3,1--上递减，∴()()min 11g x g =-=，∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．18．【2018重庆一中高三9月月考】已知二次函数()()25f x ax bx x R =++∈满足以下要求：①函数()f x 的值域为[)1,+∞；② ()()22f x f x -+=--对x R ∈恒成立． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设()()41f x M x x -=+，求[]1,2x ∈时()M x 的值域． 【答案】（1）()245f x x x =++；（2）133,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．试题解析：（2）()()244111f x x x M x x x -++==++[]1,2x ∈ ∴令1t x =+，则[]2,3t ∈()()22214114122221t t x x t t t x t t t-+-++++-∴===-++[]2,3t ∈ 21323,3t t⎡⎤∴-+∈⎢⎥⎣⎦∴所求值域为13:3,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．【2018浙江温州模拟】已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．此时，对任意实数都有成立，的取值范围是．(Ⅱ) 对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，由(ⅱ) 当，即时，恒成立．（ⅲ）当，即时，．综上可知，．20．【2018山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设函数()()()222,4f x x g x f x ⎡⎤=--=-⎣⎦ （1）求函数()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值()h m ；（3）若不等式()()2422g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）424x x +；（2）()()4242242,2{0,20 4,0m m m m m m m +++≤--<<+≥ ；（3）[]0,4．试题解析：（1）()()2242244g x x x x =---=+．（2）()()g x g x -=， ()g x ∴为偶函数，()3'48g x x x =+，故函数在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增，①当20m +≤，即2m ≤-时， ()g x 在区间[],2m m +单调递减，()()()()422242h m g m m m ∴=+=+++．②当0m ≥时， ()g x 在区间[],2m m +单调递增，()()424h m g m m m ∴==+．（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤．2422a a ⇔-+≤，2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤，所以不等式的解集为[]0,4．。
高中含参不等式的恒成立问题整理版
三在x [句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f 心理 三 三
f 心 理 三
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
（2）当
a
三 时，
f
心x理
三在x
[ 句
]
上恒成立
f f
心 理 心理
三 三
f
心x理
三在x
[句 ]
上恒成立
b 2a
或
b 2a
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象
位置关系通过特指求解 a的取值范围。
解：设 T:f (x) =(x 1)2 ,T:g(x) log x ,则 T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2f)(x,) <g(x)
1
2
a
1
恒成立即 T的图象一定要在 T的图象所的下方，显然 a>1并,且必须也只需 g(2) f (2)
解：要使 (a 2)x 2 2(a 2)x 4 0 对于 x Ｒ恒成立，则只须满足：
a 2 0 （1） 4(a 2)2 16(a 2) 0 或
a 2 0 （2） 2(a 2) 0
4 0
a 2 解（1）得 2 a 2
，解（2） a ＝２
∴参数 a 的取值范围是－２＜ a ２．
的最值问题：
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
；
若对于 取值范围内的任一个数都有
恒成立，则
.
例
1．已知函数
f
2018届高考数学问题2.2函数中的存在性与恒成立问题提分练习201801182214
2.2函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设f(x) ax2 bx c(a 0),（1）f(x) 0在x R上恒成立 a 0且 0；（2）f(x) 0在x R上恒成立 a 0且 0 .(2) 对于一次函数f(x) kx b, x [m,n] 有：f(m) 0f(x) 0恒成立 , f(x) 0恒成立f(n) 0ff(m)(n)(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域．(4) 利用分离参数法来确定不等式f x, 0,（x D, 为实参数）恒成立中参数 的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为g f x （或g f x ）恒成立的形式；②求f x 在x D上的最大（或最小）值；③解不等式g f x(或( ) g f x) ,得 的取值范围.max min(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.1三、知识拓展(1)恒成立问题①.∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；②.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma x<A ；③.∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴F(x)min >0；④.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴F(x) ma x <0；⑤.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)ma x；⑥.∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) ma x < g(x) min.(2)存在性问题①.∃x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A；②.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min <A；③.∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴F(x) ma x >0；④.∃x0∈D,使得f(x0) <g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴F(x) min <0；⑤.∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min；⑥.∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) <g(x2)成立,则f(x) min < g(x) ma x.(3)相等问题若f(x)的值域分别为A,B,则①.∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则A B；②∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则A B .(4)恒成立与存在性的综合性问题①∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in> g(x) m in；②∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立,则f(x) max < g(x) max.四、题型分析解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.(一) 函数性质法【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围．【分析】本题实质是存在性问题2x3＋10 10解法二：由已知得：a> ＝x＋,x2 x210 20设g(x)＝x＋(1≤x≤2),g′(x)＝1－,x2 x3∵1≤x≤2,∴g′(x)<0,所以g(x)在[1,2]上是减函数．9g(x)m in＝g(2),所以a> .2【点评】解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax2>x3＋10中x2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．f x e x ax a,其中【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数 2 1xa ,若存在唯一的整数t,使得f t 0,则a的取值范围是（）13A．,12e B．3 3,2e 43 3C．,2e 43D．,12e【答案】Dg x e x x h x ax a.由题意知存在唯一整数t,使得g t 在直线【解析】令 2 1 ,h x的下方.g x e x ,当x 1 时,函数单调递减,当 1' x 2 1x ,函数单调递增,当2 21x 时,函数取得最小值为212e 2 .当x 0 时,g(0) 1,当x 1时,g(1) e 0,直线3h x ax a过定点 1, 0 ,斜率为a,故 a g 0 且g e 1 a a,解得1 33m,12e.(二)分离参数法【例2】已知函数f(x) ax x ln x的图象在点x e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．(1)求实数a的值；(2)若f(x) kx2 对任意x 0 成立,求实数k的取值范围.【分析】（1）由f'(x) a ln x 1结合条件函数f(x) ax x ln x的图象在点x e 处的切线的斜率为3,可知f'(e) 3,可建立关于a的方程：a ln e 1 3,从而解得a 1；（2）f(x)要使f(x) kx2 对任意x 0 恒成立,只需 即可,而由（1）可知k[ ]x2maxf x x x x,∴问题即等价于求函数g(x) 1 ln x( ) ln的最大值,可以通过导数研究函数xg(x) 的单调性,从而求得其最值：g'(x)1x (1 ln x) ln xx,令g'(x) 0 ,解得x 1,x x2 2当0 x 1时,g'(x) 0 ,∴g(x) 在(0,1) 上是增函数；当x 1时,g'(x) 0,∴g(x) 在(1, )上是减函数,因此g(x) 在x 1处取得最大值g(1) 1,∴k 1即为所求.【解析】(1)∵f(x) ax x ln x,∴f'(x) a ln x 1,又∵f(x) 的图象在点x e 处的切线的斜率为3,∴f'(e) 3,即a ln e 1 3,∴a 1；(2)由（1）知, f(x) x x ln x,∴f(x) kx2 对任意x 0 成立k 1 ln x对任意x 0 成立,x1 ln x令g(x) ,则问题转化为求g(x) 的最大值,xg'(x)1x (1 ln x) ln xx,令g'(x) 0 ,解得x 1,x x2 2当0 x 1时,g'(x) 0 ,∴g(x) 在(0,1) 上是增函数；4当x 1时,g'(x) 0,∴g(x) 在(1, )上是减函数．故g(x) 在x 1处取得最大值g(1) 1,∴k 1即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式f x, 0 ,（x D, 为实参数）恒成立中参数 的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为g f x （或g f x ）恒成立的形式；(2)求f x 在x D上的最大（或最小）值；(3)解不等式g f x (或g f x) ,得 的取值范围.max min【牛刀小试】【2017湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数f(x) log x,ag(x) 2 log (2x t 2) ,其中a 0 且a 1,t R．a(1)若t 4,且[1 ,2]x 时,F(x) g(x) f(x) 的最小值是－2,求实数a的值；4(2)若0 a 1,且[1 ,2]x 时,有f(x) g(x) 恒成立,求实数t的取值范围.41【答案】(1)；(2)[2, ) .55(2)∵f(x) g(x) 恒成立,即log 2 log (2 2)a x a x t 恒成立,1∴log log (2 2)a x a x t .2又∵0 a 1, [1 ,2]x ,∴x 2x t 2 ,4t 2x x 2 ∴恒成立,∴t ( 2x x 2) .max令 2 2 2( 1)2 17 ( [1 , 2])y x x x x ,4 8 4∴y max 2 .故实数t的取值范围为[2, ) .(三)主参换位法【例3】已知函数f(x) ln(e x a)(a为常数）是实数集R上的奇函数,函数g x f(x) sin x是区间1,1 上的减函数,(1)求a的值；(2)若g x t2 t 在x 上恒成立,求t的取值范围.( ) 1 1,1【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母： 及t,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将 视作自变量,则上述问题即可转化为在 , 1 内关于 的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.6【解析】(1)a 1(2)由(1)知：f(x) x, g(x) x sin x,在 1，1 上单调递减,g(x)g x x( ) cos 0在 1，1 上恒成立,cos x， g x g ,1( ) ( 1) sin1max只需 sin1 t2 t 1,2 （其中 1）恒成立,(t1) t sin1 1 0由上述②结论：可令f t t ）,2( 1) sin1 1 0( 1t 1 0则t 1 t sin1 1 02,t 1t t2sin1 0,而t2 t sin1 0 恒成立, t1 .【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式2x 1 m x 1 对任意m 1, 1 恒成立,求实数x的取值范围.2【答案】 3 1 x 2【解析】2x 1 m x 1 可转化为m x2 1 2x 10 ,设2f m m x x ,则f m 是关于m的一次型函数,要使f m 0恒成立,只2 1 2 1 02f 1 x2x0需,解得 3 1 x 2 .2f 1 x2x 2 0(四)数形结合法【例4】已知函数f x x2 2kx 2 ,在x 1恒有f x k,求实数k的取值范围.【分析】为了使题中的条件f x k在x 1, 恒成立,应能想到构造出一个新的函数7F x f x k ,则可把原题转化成所构造新的函数在区间 1, 时恒大于等于 0 的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置 关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函 数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构 造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数y ax 2 bx c a大于 0恒成立,则有 a 0,同理,若二次函数y ax 2 bx c a小于 0恒成立,则有 a 0.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足: 当 x 0 时, f x x ,若不等式3f 4t f 2m mt 2 对任意实数t 恒成立,则实数 m 的取值范围是（ ）A ． , 2B ． 2,0C. ,0 2, D． , 2 2,8【答案】A【解析】当 x 0 时,f x f ( x ) x f (x ) x (x R ) f (x ) 在 R 上是增函数334t 2m mt 对任意实数 t 恒成立 4t mt 2 4t 2m 对任意实数 t 恒成立,结合二2次函数图象可得mm16 8m 0 2, 2 ,故选 A.(五)存在性之常用模型及方法1 a 【例 5】设函数,a R 且 a 1.曲线 y f x 在点 1, f 1处f xa ln xx bx22的切线的斜率为 0 . （1）求b 的值；（2）若存在 x 1, ,使得f xa,求 a 的取值范围.a 1【分析】（1）根据条件曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线的斜率为 0 ,可以将其转化为关a于 a ,b 的 方 程 ,进 而 求 得 b 的 值 ：1 , f 1 0f x a x bxa 1 ab 0 b 1； （ 2） 根 据 题 意 分 析 可 得 若 存 在 x [1, ),使 得 不 等 式aaf xf (x ) 即可,因此可通过探求 f (x ) 的单调性进而求得 f (x )成立,只需a 1 a 1min1 a的最小值,进而得到关于 a 的不等式即可,而由（1）可知f x a ln xx x ,则22x1 1 a x a,因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断f(x) 的单调性,从f xx而可以解得a的取值范围是 2 1, 2 1 1, .a【解析】（1） 1 ,f x a x bx由曲线y f x 在点 1, f 1 处的切线的斜率为0 ,得f 1 0 ,1 a即a 1 a b 0 ,b 1；4分（2）由（1）可得,f x a ln x x x,22a x2 x a x 11 a x a a 1,f x 1 a x 1x x x令fx 0,得x11,ax2 1aa2a11,而1 a1a,91a①当,a 时,1 21 a1 aa 1在1, 上, f x 0, f x 为增函数,f xf 11,min22a 1 a令,即 a 2 2a 1 0,解得 2 1 a 2 1.2 a 11a②当,a 1时, 1 2 1 aax1,1 a1 a aa,1 af xf xA极小值Aa aa aa2f x f aln1 a 1 a2 1 aa1 a 1min,不合题意,无解,10分a③当 a 1时,显然有 f (x ) 0,a 1,∴不等式 f (x )a a 1恒成立,符合题意, 综上,a 的取值范围是 2 1, 2 1 1, .【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为" x M, P(x)"的否定为" x M, P(x)"；原命题为" x M, P(x)"的否定为“ x M, P(x)".处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题.1 【牛刀小试】已知f(x) x2 x2 ,g(x) ln(x 1) a,(1)若存在x1, x [0,2] ,使得f( ) ( ) ,求实数a的取值范围；x1 g x2 2(2)若存在x1, x [0,2] ,使得( ) ( )f ,求实数a的取值范围.x1 g x2 2五、迁移运用101．【2018届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式3 2 x0x log 对任意0, 1xa3 恒成立,则实数a的取值范围为（）A. [ 127,1） B.1,127C.10,27D.10,27【答案】A【解析】构造函数f（x）=3x2,g（x）=-log a x, x 10,∵不等式3x2-log a x＜0对任意3x0,1恒成立,3∴f （13）≤g（13）∴3•19-1log3≤0．∴0＜a＜1且a≥a127∴实数a的取值范围为[1，1）,27故选A1 32 1 3x a x2．【2018届广西贵港市高三上学期12月联考】若不等式ln x 1 ln33对任意的x ,1 恒成立,则a的取值范围是（）A.10,3B.10,3C. 2,D.,2【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有：1 3 1 3 32x a x xln ln ,由对数函数的单调性3 3有：1 32x 1 a 3x3x,整理可得：3 3a1 32x,由恒成立的条件有：3xa1 32x2x1 33xmin,其中y1 3 12xx3 2x3 3x,当且仅当x 0 时等号成立.即x 0 时,函数y1 32x取得最小值2 .3x综上可得：a 2 .本题选择D选项.113.【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数f x2x2x, x0x 2x, x2,若关于的不等式2 0f x af x恰有个整数解,则实数的最大值是（）A. B. C. 5 D.【答案】D1f x xe4．【2018届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数,若对任意x R,xf x ax恒成立,则实数a的取值范围是（）A. ,1 eB. 1 e,1C. 1,e 1D. 1 e,【答案】Bf x x x ax恒成立,即【解析】函数1 ，对任意x R, f x ax恒成立,∴ 1e ex x1 1x恒成立；设g x ,h x a 1 x,x∈R；在同一坐标系内画出两个函数x a 1 xxe e的图象,如图所示；12则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方,求g x 的导数'g x e ,x且过g x 图象上点 x y 的切线方程为0 , 0y y e x x,且该切线方程过原点(0,0),x0 0y e x,即e x e x x,解得x则00 00 0 0 x ；∴切线斜率为k e x e,∴应满足0 1a−1>−e,即a>1−e；又a−1⩽0,∴a⩽1,∴实数a的取值范围是(1−e,1].故选B.5．【2018届广东省五校高三12月联考】已知函数f x ln x a 2 x 2a 4(a 0),若有且只有两个整数x,1 x使得f x ,且1 0 f x ,则a的取值范围是（）22 0A. ln3, 2B. 2 ln3, 2C. 0,2 ln3D. 0,2 ln3【答案】C【解析】由题意可知, f x 0 ,即ln x a 2 x 2a 4 0, a 0 ,,设g x 2x ln x 4,h x ax 2a,由ax2a2x ln x 4 a01 2 1 ,可知g x 2x ln x4 ,在0, 1xg' x 2x x21 上为减函数,在上为增,2函数, h x ax 2a的图象恒过点 2, 0 ,在同一坐标系中作出g x ,h x 的图象如下：若有且只有两个整数x x,使得f x ,且1, 2 1 0 2 0xx,使得f x ,且f x ,则13a 0a 0 { h 1 g 1h 3 g 3,即 { a 2 a 2 ln 3,解得 0 a 2 ln3,故选C.16．【2018届陕西省西安高三上学期期中】已知函数f x x 3 a 2 x ,若对于任意的3x x ,都有1, 20,1 f x 1 f x 2 1成立,则实数 a 的取值范围是（ ）A.2 3 2 3 ,3 3B.2 3 2 3, 3 3C.2 3 2 3 ,0 0, 3 3D.2 3 2 3,0 0,3 3【答案】A7.【2017宁夏育才中学上学期第二次月考】设函数f(x) x3 x,x R. 若当0时,2不等式f(m sin ) f(1 m) 0 恒成立,则实数m的取值范围是（）A.1( ,1]21B.( ,1)2C.[1, )D.( ,1]【答案】D【解析】易得f(x) 是奇函数, f (x) 3x2 1 0 f(x)在R上是增函数,又1 1f(m sin ) f(m 1) m sin m 1 m ,0 sin 1 m 11 sin 1 sin,故选D.8.【2017河北省武邑中学2高三上学期第三次调研】若对 x, y 0, ,不等式144ax e x y e x y 2 ,恒成立,则实数 a 的最大值是（）22A ．1 4B ．1C. 2D ．1 2【答案】D【解析】 e x y 2 e x y 2 2 2 e x y 2e x y 2 2 2e x 2 2 4ax 2e x 2 2恒成立1 e 1 x 2a ,设 2xe 1 xe(e 1) (x 1)e1x 2x 2x 2x 2g (x )g '(x ),再设xxx22h x x e h x ( ) (1)x 21 '( )(x 2)e x ,令h '(x ) 0 x 2 当 0 x 2,h '(x ) 0, 当2x 2,h '(x ) 0 h (x ) h (2) 0g x 仅有一解 x 2 ,且 ( ) (2) 1 1 '( ) 0 g x g a ,故选 D.2ln x (x b )29.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知函数f (x )(b R ) ,若存在x1x [ ,2],使得 f (x ) x f '(x ) ,则实数b 的取值范围是（）2A ． ( , 2)B ． ( , 3)C. (, 9)D ． ( ,3)24【答案】C 【解析】由题意,得1 2x (x b ) ln x (x b )2,则 f (x ) xf(x ) ＝ f (x )x2ln x (x b )2x1 2x (x b ) ln x (x b ) 2－x＝ 1 2x (x b )x ．若存在1x [ ,2],使得 f (x ) x f '(x ) , 2则1 2x (x b ) 0,所以 1 ．设 ( )11 2x 1 2b x g x x ,则2x2x,当g(x) 12x2x2 21 2 时,g (x) 0 ；当 2 2时,g (x) 0,所以g(x) 在[1 , 2 ]x x上单调递减,在2 2 2 2 22 上单调递增,所以当x 2 ,函数g(x) 取最大值,最大值为(2) 2 1 9[ ,2] g ,所以2 4 49b g(x) ,故选C．max410．【2018届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式2e x nx 15 0 在实数集R上恒成15立,则正整数n的最大值是_____．[参考数据：7 2 15e ]2【答案】n 14【解析】不等式2e x nx 15 0 在实数集R上恒成立,等价于y 2e x的图象恒在y nx 15上方, y nx 15与y 2e x的图象相切时斜率n最大,设y nx 15与y 2e x的图象相切时切点坐标为x,则n0 2e x,切线方程为y e e x x ,将点0, 15 代入切线2 x 2 x0 0 0方程可得g x e x x , g x 在 1, 上递增,g 2 0, g 30,0 2 0 1 15 0x , n0 2,32e x0 2e2 ,2e3 , y 2e x的图象恒在y nx 15上方,所以n2e x 2e,而2e 14,15 ,所以正整数n的最大值是14,故答案为n 14 .0 2 21 b11．【2018届河南省漯河高三上学期第四次模拟】已知 2 xf x x2 c（b, c为常数）1 1和 是定义在M= x|1 x 4 上的函数,对于任意的x M,存在x M 使g x x4 x得f x f x , g x g x ,且f x g x ,则f x 在M上的最大值为0 = 00 0__________.【答案】51 1 1 1【解析】∵g x x 2 x 1,(当且仅当x=2时,等号成立),4 x 4 xb b 1 b 1 b b∴ 2 2 2 1 c ,∴f cg ,∴ 1 f x x2 c x2 1 ,2 2 2 x 2 x 2b x b3∴ ,∵f(x)在x=2处有最小值,∴f' 2 0 ,即b=8,故c=−5, f' x xx x2 21 8 x 83故 2 ,故f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,4]上是增函数,2 x xf x x5, f' x2161 7f 1 8 5 , f 4 8 2 5 5,故 f(x)的最大值为 5. 而2212.设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f (x ) 在点 A ,B 处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 ．【答案】[ 1,1]x a x x ax 【解析】因为 f ( ) cos sin 2 cos( ),4则存在实数x,使得))11x(a ))(成立.xax2 cos( 12 cos(,2244不妨设22 cos( 2 ) [ 2,0). k 1 a2 cos(x 1 ) (0,a 2],则 k axa44因此 0 k ( k ) 2 a 2 ,1 2 a 2 ,a 2 1, 1 a 1.1213.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数 f (x ) ax 2 a ln x , ( ) 1g x,e x ex其中 a R ,e 2.718 为自然对数的底数. （1）讨论 f (x ) 的单调性；（2）证明：当 x 1时,g (x ) 0 ；（3）确定 a 的所有可能取值,使得 f (x ) g (x ) 在 (1, )区间内恒成立. 【解析】（1）由 f (x ) ax 2a ln x ,得1 2ax 12 f '(x ) 2ax(x0) .x x当 a 0 时, f '(x ) 0在 (0, )成立,则 f (x ) 为 (0, )上的减函数； 当 a 0 时,由 f '(x ) 0 ,得12x ,2a 2aa∴当x(0, ) x 时, f'(x) 0 . 2a时, f'(x) 0,当( 2a, )2a时, f'(x) 0,当( 2a, )2a2a2a则f(x) 在(0, )2a 2a上为减函数,在( , )上为增函数.2a综上,当a 0 时, f(x) 为(0, )上的减函数；当a 0 时, f(x) 在(0,2 )a2a上为减函数,在2a( , )上为增函数.2a（2）证明：要证g(x) 0(x 1) ,即1 0,即证1e e,也就是证x e x ex x exxe.17令h(x)ex,则h'(x)xe(x 1)x,∴h(x) 在(1, )上单调递增,则h(x) h(1)e,2minx即当x 1时,h(x) e,∴当x 1时,g(x) 0 ；（3）由f(x) g(x) ,得 2 ln 1 1 0ax a x ex .x设( ) 2 ln 1 1 0t x ax a x ex ,由题意知,t(x) 0 在(1, )内恒成立.x1 1 1x∵t(1) 0,∴有t'(x) 2ax e1 x 2ax e1 x 0 在(1, )内恒成立.x x x2 21 x x1 2 2令(x) 2ax e1 x '(x) 2a e x 2a e x,,则 1 1x x x x2 23 3当x 2 时, '(x) 0 ,令h(x)x 2,h'(x)x32x 6,函数在[1, 2)上单调递增.∴h(x) h(1)1.minx4又2a 1,e1 x 0 ,∴1 x 2, '(x) 0 .综上所述,x 1, '(x) 0 , (x) 在区间(1, )单调递增,∴t'(x) t'(1) 0 ,即t(x) 在区间(1, )单调递增,∴ 1a .2b14.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数f(x) a(x ) b ln x(其中xa，b R).(Ⅰ)当b 4 时,若f(x) 在其定义域内为单调函数,求a的取值范围；(Ⅱ)当a 1时,是否存在实数b,使得当x [e，e2 ] 时,不等式f(x) 0 恒成立,如果存在, 求b的取值范围,如果不存在,说明理由（其中e 是自然对数的底数,e ＝2.71828…）.【解析】(Ⅰ)由题x 0 ,4f(x) a(x )4ln xx,4 4 ax 4x4a2f(x) a(1 )x x x2 2.①当a 0 时,知f (x) 0 ,则f(x) 是单调递减函数；②当a 0 时,只有对于x 0 ,不等式ax x a≥恒成立,才能使f x 为单调函数,只需2 4 4 0≤,解之得a≤ 1或a≥1 ,此时a 1．( 4) 16a02 2综上所述,a的取值范围是( ,0] [1, ) ．(Ⅱ)f(x) b ln x x b,其中x 0 ,xb b x bx b2．f(x) 1x x x2 2(ⅰ)当b 0时, f (x) 0 ,于是f(x) 在(0， ) 上为减函数,则在[e，e2 ]上也为减函数,18知b 1f x f b b 恒成立,不合题意,舍去．(ⅱ)当b0时,由( ) (e) e (1 ) e 0maxe ef x得( ) 0xb b2 4b．列表得2x(0, b b24b2)b b2 4b2(b b24b2, )f x＋0 －( )f(x) ↗极大值↘①若b b24b2e2≤,则f(x) 在[e，e2 ]上单调递减,e 1≤,即be知b 11 1 e 2e2f x f b b ,而( ) (e) e (1 ) e (1 )b e≤(1 ) e0 ,maxe e e e e 1 e 1于是f(x)max 0 恒成立,不合题意,舍去．②若b b2 4b ,即be2e2,e 1则f(x) 在(e ,b b24b2)上为增函数,在(b b24b2, )上为减函数,要使在[e，e2 ]恒有f(x) 0 恒成立,则必有ff(e) 0，(e ) 0，22 4b e eb，e 0 b，3 2e e 1 e e则b e4所以由于e3 e2 (2e2 1) e3 3e2 1 0 ,则2 e 0 b.b，2e 2e2 12e e e2 4 4e 1 e e 2e13 2 2b,所以e2e1．15. 【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数( ) ( 1) 1 2f x x e axx2(a R)I 当a 1时,求f(x) 的单调区间；II 当x (0, + ) 时,y f (x)的图象恒在y ax3 x2 (a 1)x的图象上方,求a 的取值范围.19(ii) 当a 1时,ln a 0 , f (x) xe x ax x(e x 1) 0恒成立,f(x) 在( , ) 上单调递增,无减区间；综上,当a 0时, f(x) 的单调增区间是(0, ),单调减区间是( ,0)；当0 a 1时, f(x) 的单调增区间是( ,ln a) 和(0, ) ,单调减区间是(ln a,0)；当a 1时, f(x) 的单调增区间是( , ) ,无减区间.II 由 I 知f (x) xe axx当x (0, + ) 时,y f (x)的图象恒在y ax3 x2 (a 1)x的图象上方, 即xe x ax ax3 x2 (a 1)x对x (0, + ) 恒成立即e x ax2 x 1 0 对x (0, + ) 恒成立记g(x) e x ax2 x 1 (x 0) , g (x) e x 2ax 1 h x' x 2h x e a1(i) 当a 时,h' x e x 2a 0 恒成立,g (x) 在(0, )上单调递增,2g (x) g'(0) 0 , g(x) 在(0, )上单调递增g(x) g(0) 0 ,符合题意；1(ii) 当a 时,令h' x 0 得x ln(2a)2时,h' x 0, g (x) 在(0,ln(2a)) 上单调递减x(0,ln(2a))x (0,ln(2a))时,g (x) g'(0) 0 g(x) 在(0,ln(2a)) 上单调递减,20x (0,ln(2a ))时,g (x ) g (0) 0,不符合题意 1综上可得 a 的取值范围是 ( , ].216. 【2017广东省惠州市第二次调研】已知函数 f (x ) ln x ,h (x ) a x (a R ). （Ⅰ）函数 f (x ) 的图象与 h (x ) 的图象无公共点,求实数 a 的取值范围； （ Ⅱ） 是 否 存 在 实 数 m ,使 得 对 任 意 的x,都 有 函 数 y f (x ) m ( , ) 的 图 象在1 2xg (x )ex的图象的下方？若存在,请求出整数 m 的最大值；若不存在,请说理由.x（参考数据： ln 2 0.6931,ln3 1.0986 , e 1.6487, 3 e 1.3956）. 【解析】（Ⅰ）函数 f (x ) 与 h (x ) 无公共点,等价于方程 ln x 1 ln x令t (x )t xt '(x ) 0, x,则令得e'( ),xx2ln x xa 在 (0, )无解x (0,e )e [](e , )t x ＋－'( )t (x )增 极大值 减1因为 x e 是唯一的极大值点,故……………4分tt (e )maxeln x故要使方程 a 在 (0, )无解,x当且仅当 a,故实数 a 的取值范围为 (1 , ) 1e e（Ⅱ）假设存在实数 m 满足题意,则不等式 ln x对(1 , )m exx 恒成立.x x 2即m e x x ln x对(1 , )x 恒成立.2令r(x) e x x ln x,则r'(x) e x ln x 1,令 (x) e x ln x 1,则 '( ) 1 ,∵ '(x) 在(1 , )x e x 上单调递增,x 2, '(1) e 1 0 ,且 '(x) 的图象在(1 ,1)'( ) 2 01e212 2上连续,∴存在1x ( ,1) ,使得 '(x) 0 ,即ex0 0210 ,则xx x,∴当0 ln 01x ( , x) 时,221(x) 单调递减；当x (x, ) 时, (x) 单调递增,1则 (x) 取到最小值 (x) e x ln x 1 x 10 0 0x12 x1 1 0 ,x∴r'(x) 0 ,即r(x) 在区间(1 , )内单调递增.21 1 1 11 1m r( ) e ln e ln 2 1.99525,∴存在实数m满足题意,且最大整数m的值2 22 2 2 2为1.17.【2017河南省天一大联考】已知函数f(x) b ln x．（1）当b 1时,求函数G(x) x2 x f(x) 在区间1 ,e2上的最大值与最小值；（2）若在 1,e 上存在x,使得1 bx f(x) 成立,求b的取值范围．0 0x【解析】（1）当b 1时,G(x) x2 x f(x) x2 x ln x(x 0),G'(x)(2x 1)(x 1) ,x令G'(x) 0 ,得x 1,当x变化时,G(x) ,G'(x) 的变化情况如下表：x(0,1) 1 (1, )g x 0'( )G(x) 极小值1 1 1 1因为G( ) ln ln 2 1,G(1) 0 ,2 4 2 4G(e) e e 1 e(e 1) 1 1,2上的最大值与最小值分别为：所以G(x) x2 x f(x) 在区间1 ,e2G x G e e2 e ,G(x) G(1) 0 ．( ) ( ) 1max min22①当1 b e ,即b e 1时,h (x ) 在 1,e 上单调递减,故 h (x ) 在 1,e 上的最小值为 h (e ) ,由1 bh (e ) eb 0 ,可得bee 2 1 e 1． 因为 e 2 1 e 1 b ,所以e 1e 2 1 e 1．②当1 b 1,即b 0时,h (x ) 在 1,e 上单调递增, 故 h (x ) 在 1,e 上的最小值为 h (1) ,由 h (1) 1 1 b 0, 可得b 2 （满足b 0）．③当1 1 b e ,即 0 b e 1时,h (x ) 在 (1,1 b )上单调递减,在 (1 b ,e ) 上单调递增,故h x 在 1,e 上的最小值为 h (1 b ) 2 b b ln(1 b ) ． ( )因为 0 ln(1 b ) 1,所以 0 b ln(1 b ) b ,所以 2 b b ln(1 b ) 2 ,即 h (1 b ) 2 ,不满足题意,舍去．综上可得b 2 或be 2 1e 1 ,e 2 1所以实数b 的取值范围为 ( , 2) (, ) ．e 118.【2018届云南省师范大学附属中学 2018届高三 12月高考适应性月考】已知函数f xln x.x 1（1）确定函数 f x 在定义域上的单调性,并写出详细过程；（2）若f x ke x在 1, 上恒成立,求实数k的取值范围.23f x ke在 1， 上恒成立得：lnx（2）由xx1kex在1， 上恒成立.整理得：ln 1 0x k x e x 在 1， 上恒成立.令h x ln x k x 1 e,易知,当k 0 时, h x 0在 1， 上恒成立不可能, xk 0,1 x又 , h 1 1 ke,h x kxexx在 1， 上单调递减,所以1°当k h x kxe1 时, h 1 1 ke 0,又 1e xh x 0 在 1， 上恒成立,则h x 在 1， 上单调递减,又h 1 0 ,所以h x 0在 1， 上恒成立.12°当0 k时,h 1 1 ke 0 ,e1 1 x1,又 在1，h k e k0 h x kxek x上单调递减,所以存在x ， ,使得h x ,0 1 0 0所以在1，x 上h x 0,在 x， 上h x 0 ,0 0所以h x 在 1，x 上单调递增,在x， 上单调递减, 0 024又h 1 0 ,所以h x 0 在1，x上恒成立,所以h x 0在 1， 上恒成立不可能.综上所述, k1.e25。
巧解含参数不等式恒成立与存在性问题
巧解含参数不等式恒成立与存在性问题一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.例1、若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围. 解：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主元，原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x . 说明：在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
例2、已知关于x 的不等式2210mx mx ++>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解：当0m =时，原不等式化为10>显然成立；当0m ≠时，则需要满足条件：201440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩； 综上，实数m 的取值范围是[0,1).例3、若2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。
（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥，73a ∴≤又4a >所以a 不存在； （2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤，又44a -≤≤，42a ∴-≤≤（3） 当22a->即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥，7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤说明：在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
问题6.1 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品含解析
2018届高三数学成功在我专题六不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． (一)函数性质法1.一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x a x b a ==+≠,若()y f x =在[],m n 内恒有()0f x >,则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）0,()0.a f n <⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f m fn >⎧⎪⎨>⎪⎩同理,若在[],m n 内恒有()0f x <,则有()()0,0.f m fn <⎧⎪⎨<⎪⎩【例1】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法,将m 视为主变元,即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果． 2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 主要有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x a x b x c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x a x b x c a =++≠（1）当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b b a a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f fαβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b b a a a f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 【例2】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段期中】对于任意实数x ，不等式()()222240a xa ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. (]2,2-D. ()2,2- 【答案】C【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x 轴的下方，故抛物线开口向下且和x 轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围.【小试牛刀】已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间⎣⎡⎦⎤12，32内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题,求实数a 的取值范围．【解析】p 真时,Δ＝4a 2－4≥0⇒a ≥1或a ≤－1.则p 假时,－1＜a ＜1.q 真时,令g (x )＝x 2＋3(a ＋1)x ＋2,则⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12≤0，g ⎝⎛⎭⎫32≤0，得a ≤－52.则q 假时,a ＞－52.而p 且q 为假,即p 与q 一真一假或同假．当p 真q 假时,－52＜a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时,无解；当p 假q 假时,－1＜a ＜1.综上得a ＞－52.3.其它函数：()0f x >恒成立⇔m in ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔m a x ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．【例3】已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a ,b 为常数．（1）试确定a ,b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围．【分析】22)(c x f -≥恒成立,即 2m in ()2f x c ≥-,要解决此题关键是求m in ()f x ,0>x ．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0fx ≥成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-.【解析】（1）由已知得()()01,ln ln 1ln1x x G x x x x'<<=--=-．令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<,所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 从而()m in 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭． （2）由（1）中ln 2c =-得()()121x a f x a e a x+=+-+．所以()()221xa xe af x x-+'=．令()()21xg x ax e a =-+,则()()20xg x ax x e '=+>． 所以()g x 在()0,+∞上单调递增,因为()()01g a =-+,且当x →+∞时,()0g x >,所以存在()00,x ∈+∞,使()00g x =,且()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增． 因为()()020010x g x a x ea =-+=,所以0201x a x ea =+,即021x a a ex +=,因为对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0fx ≥成立,所以()()()00m in 01210x a f x f x a ea x +==+-+≥．所以()211210a a a x x +++-+≥,即21120x x +-≥,亦即200210x x --≤,所以0112x -≤≤．因为0201x a x ea =+,所以02011x a x ea+=>,又00x >,所以001x <≤,从而020x x ee≤,所以11a e a+<≤,故11a e ≥-．(二)分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()m ax ()g f x λ≥(或()()m in g f x λ≤) ,得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4.】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知函数()ln f x x x =,2()3g x x a x =-+-. （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围； （3）探讨函数12()ln xF x x ee x=-+是否存在零点？若存在,求出函数()F x 的零点；若不存在,请说明理由.【分析】(1)求函数()f x 的层数可得()ln 1f x x '=+,并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间(0,)+∞上的最小值为()m in11f x f e e ⎛⎫==-⎪⎝⎭,分别讨论当1[,2]t t e∈+与1[,2]t t e∉+时函数在区间[,2]t t +上的单调性与最小值即可；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立32ln a x x x⇔≤++,构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>,求函数()h x 的最小值即可；(3)()0Fx =12ln 0xx eex⇔-+=()2ln 0xx x x x e e⇔=->,由（Ⅰ）知当且仅当1xe=时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-,构造函数()()20xx x xeeϕ=->,求其导数,研究函数()()20xx x xeeϕ=->的单调性与最值可知()()m inm ax11()x f x eϕϕ==-≤,且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等,所以有()()f x x ϕ>,即两个函数无公共点,即函数()F x 无零点. 【解析】（Ⅰ）()ln 1f x x '=+,由()'fx <得,10x e<<,由()'fx >得1xe>,∴函数()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 当10t e<≤时,()m in1112,tfx f ee e ⎛⎫+>∴==-⎪⎝⎭；当1te>时,()f x 在[],2t t +上单调递增,()()m inln f x ft t t==,()m in11,0,1ln ,.t e e fx t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩（Ⅲ）令()F x =,得12lnxx eex-+=,即()2ln0xx x x x ee=->,当（Ⅰ）知当且仅当1x e=时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-,设()()20xx x xeeϕ=->,则()'1xx x eϕ-=,易知()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,∴当且仅当1x =时,()x ϕ取最大值,且()11eϕ=-,∴对()0,x ∈+∞都有12lnxx eex>-,即()12ln 0xF x x eex=-+>恒成立,故函数()F x 无零点.【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知函数()1xx f x e-=．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程和函数()f x 的极值： （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞,都有()()1221f x f x e-≥-成立,求实数a 的最小值．【答案】（1）切线方程为210x y +-=,函数()f x 在2x =时,取得极小值21e-（2）1【解析】（1）因为()2xx f x e-'=,所以()02f '=-,因为()01f =,所以曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y +-=． 由()2xx f x -'=解得2x =,则()f x '及()f x 的变化情况如下：所以函数()f x 在2x =时,取得极小值21e-．（2）由题设知：当1x >时,()10xx f x e-=<,当1x <时,()10xx f x e-=>,若1a <,令[)122,,1x x a =∈,则[)12,,x x a ∈+∞,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e>⇔-<⇔-<==-,显然不符合题设要求．．．9分若1a ≥,对[)()()1212,,,0,0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e≤⇔-≥⇔-≥≥=-,显然,当1a ≥,对[)12,,x x a ∀∈+∞,不等式()()1221f x f x e-≥-恒成立,综上可知,a 的最小值为1． (三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当11a -≤≤时,2(4)420x a x a +-+-> 恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设2()(2)(44)f a x a x x =-+-+,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞.【小试牛刀】已知函数322()9c o s 48c o s 18s in f x x x x αβα=-++,()()g x f x '=,且对任意的实数 t 均有(1c o s )0g t +≥,(3sin )0g t +≤．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有2()11f x x m x ≥--,求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ) 2()()318c o s 48c o s g x f x x x αβ'==-+,,01co s 2,t R t ∀∈≤+≤23sin 4t ≤+≤,而(1c o s )0g t +≥,(3sin )0g t +≤恒成立．则由二次函数性质得(2)0(4)0g g =⎧⎨≤⎩ ,解得co s 1α=,1c o s 2β=,sin 0α= ∴ 32()924f x x x x =-+．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x a x ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x a x ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式23lo g 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围． 【解析】由题意知：23lo g a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,在同一坐标系内,分别作出函数23y x =和lo g a y x =的图像,观察两函数图像,当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若1a >函数lo g a y x =的图像显然在函数23y x =图像的下方,∴不成立；当01a <<时,由图可知,lo g a y x =的图像必须过点11,33⎛⎫⎪⎝⎭或在这个点的上方,则11lo g 33a ≥, 127a ∴≥,1127a ∴>≥．综上得：1127a >≥．(五)消元转化法【例7】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at tx f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t 的取值范围．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”． 二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立,则等价于在区间D 上()m ax f x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的()m in f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看,含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()m a xD xfx k fx k⇔⊆<⇔<(){}()()m inD xfx k fx k⇔⊆>⇔>,而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k<()()f x k >成立(){}()m inDxfx k fx k⇔<≠∅⇔<(){}()()m axDx fx k fx k⇔<≠∅⇔>．【例8】已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝(12)x 错误！未找到引用源。
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备战2018高考数学黄金解题模板 含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一 判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步 得出结论.例1 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-.【点评】一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a . 例2 若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f .（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞.（2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，∴231m x x <-+在区间[]1,1-上有解， 故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值，由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5,∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.【变式演练1】已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
【答案】),31()1,(+∞--∞ .【解析】由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或,所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ . 【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-当0a >时，显然有解，当0a =时，2210ax x +->有解，当0a <时，∵2210ax x +->有解，∴440a ∆=+>，∴10a -<<，∴不等式2210ax x +->有解时1a >-，∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．考点：命题真假性的应用方法二 分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步 先求出含变量一边的式子的最值；第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.例3 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立⇔m a x ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立⇔m a x()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立⇔m i n()()f x g a >。
（4）()()f x g a ≥恒成立⇔min ()()f x g a ≥.【变式演练3】已知函数()f x =(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是 . 【答案】3[,)4-+∞．【变式演练4】若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为0x >，则44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤，即2340a a --≤，解得14a -≤≤，故选A.考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二 函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步 得出结论.例4 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈， 其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】05a <<.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤.【变式演练5】已知函数(),0xf x e ax a =->． （1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(21,e e e ⎤-⎦．（2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x ≤ 令()()()()221,0,,x x x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201e f f a f e e e =<≤=-， 即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦ 考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．【变式演练6】设函数2()1x f x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。
【答案】12a ≤【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。
本题抓住(0)0f =这一重要的解题信息，将问题转化为()(0)f x f ≥在0x ≥时恒成立，通过研究函数()f x 在[0,)+∞上是不减函数应满足的条件，进而求出a 的范围。
隐含条件(0)0f =对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用.【变式演练7 （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1） 5440--=x y （2） 详见解析（3） [1,)+∞【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：（Ⅱ）函数的定义域为：{|0}≠x x当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ，所以，()f x 单调递增区间为（Ⅲ）因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有在[1,)+∞上恒成立．即1>a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增， 时，'()0,()<g x g x 单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立 综上知，a 的取值范围是[1,)+∞考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题【高考再现】1.【2017天津理，8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616- （C）[- （D）39[]16- 【答案】A当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x--=-+≤-x =时取等号），222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2xf x a ≥+转化为()()22x x f x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.2.【2017天津文，8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[- 【答案】A 【解析】【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围. 本题中的函数()f x 和()2xg x a =+都是比较熟悉的函数，考场中比较快速的方法是就是代入端点，画出函数的图象，快速准确，满足题意时()f x 的图象恒不在函数2xy a =+下方，当a =时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =-B 选项，3. 【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[32e，1）【答案】D【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题4.【2015高考四川，文15】已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x --，n ＝1212()()g x g x x x --，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④【解析】对于①，因为f '(x )＝2xln 2＞0恒成立，故①正确【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.5.【2016高考新课标1卷】已知函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．考点：导数及其应用6. 【2016高考山东理数】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<a，当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增.即23)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。