数学思维导图
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①二次根式的乘法法则：错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。 (a≥0，b≥0) 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
②积的算术平方根的性质：错误！未找到引用源。 (a≥0，b≥0) 两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积． ③二次根式的除法法则：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (a≥0，b＞0) 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． ④商的算术平方根的性质：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (a≥0，b＞0)
B
E
C
D
A
实数
一、思维导图
1.无理数定义：无限不循环小数 2.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零 3.算术平方根：若一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，则这个正数 x 为 a 的算术平方根。a 的算术平方根记作错误！未找到引用源。 ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。规定：0 的算 术平方根为 0。 4.平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。 5.二次根式的定义：一般形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数， 被开方数必须大于或等于 0。 6.最简二次根式满足：①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数 ②．根号下不含可以开得尽方的数 7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根 式叫做同类二次根式。 2 8. (错误！未找到引用源。) =a (a≥0) 错误！未找到引用源。=a(a≥0)
解：原式=6 xy 3 xy 4 xy 6 xy =- xy 6、已知，2m+1 的平方根是±3， n 2 的算数平方根是 2，求 m+2n 的平方根. 解：由题意，得 2m+1= (3) 2
n2 =2
2
解得，m=4，n=18 ∴m+2n=40 故 m+2n 的平方根为 2 10 . 7、使 x ＋ A.x≥0
2
1 1 解：原式可化为 ( x ) 2 ( x ) 2 x x
∵0<x<1，∴ ∴x- 1 <0 x ∴原式=x+
1 >1 x
1 1 +x－ =2x x x
－ ，其中 x=4,y=27. y 3 y 5、先化简，再求值. 6x 4x xy 3 36 xy x y x
a b 1 ≥0.
又∵ a b 2 、 a b 1 互为相反数 ∴ 即
a b 2 = a b 1 =0
a-b+2=0 a+b-1=0 解得 b= 3
2
2
a=- 1
代入原式，得
1 3 原式= 3 22 3 = 2
答：所求式的值为-2
8 =-2
2 1ö æ 1 4、已知 0<x<1，化简 x 4 － çx+ ÷ -4 è xø x
勾股定理
一、思维导图
二、易错题
1、满足 a²+b²=c²的三个正整数，称为＿＿＿，比如：5,12, ＿＿＿。 解：勾股数；√5²+12²=13 2、在△ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则△ABC 的周长是＿＿ ＿。 解：应分两种情况说明： （1）当△ ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ ABD 中，BD= √（AB² -AD² ） = √（15² -12² ）=9， 在 Rt△ACD 中，CD=√（ AC² -AD² ）= √（13² -12² ）=5，∴BC=5+9=14 ∴△ABC 的周长为：15+13+14=42； （2）当△ ABC 为钝角三角形时，高 AD 交 BC 延长线于 D 在 Rt△ ABD 中，BD= √（AB² -AD² ）= √（15² -12² ）=9． 在 Rt△ ACD 中，CD=√ （AC² -AD² ）= √（13² -12² ）=5 ∴BC=9-5=4 ∴△ABC 的周长为：15+13+4=32 综上，当△ ABC 为锐角三角形时，△ ABC 的周长为 42； 当△ ABC 为钝角三角形时，△ ABC 的周长为 32． 3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图） ，已知灯罩高 108cm，底面周 长为 36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带 4 圈，最少需要彩纸多长？那么绕 n 圈呢？ 解： （1）∵缠绕灯罩 4 圈，且高 108cm ∴一圈高：108÷4=27cm ∴一圈彩带长：√27²+√36²=45cm ∴四圈彩带总长：45×4=180cm （2）∵绕 n 圈，且高 108cm ∴一圈高：108÷n（cm） ∴一圈彩带长：√（108÷n）²+36² ∴彩带总长：n×√（108÷n）²+36²=36×√n²+9
4、 在正方形 ABCD 中， E 是 BC 中点， F 为 CD 上一点， 且 DF=3CF， 判断 AE 和 EF 的位置关系。 证：连 AF。设 DF=3x，CF=x ∴AD=AB=DC=BC=x+3x=4x ∴BE=EC=2x ∵∠B=∠C=∠ D=90° ∴AE²= （2x）2+（4x）2=20x² EF²=x²+（2x）²=5x² AF²=（3x）²+（4x）²=25² ∴AE²+ EF²= AF² ∴AE⊥EF 5、如图，在△ABC 中，∠B=90°，两直角边 AB=7，BC=24，在 三角形内有一点 P，使 P 到各边距离相等。与 AC，CB，AB 的交点为 G，F，E。则这个距离为＿＿＿。 解：∵∠B=90° ∴AC=√AB²+BC²=√7²+24²=25 连 CP，PA，BP，设 GA=x，则 EA=x BE=7-x=EB，CF=CG=17+x ∴17+x+x=25 x=4 ∴这个 距离为 7-4=3 6、在△ABC 中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，BD²=72，AE⊥BC 于 E，求 EC²。 解：∵AB 的中垂线为 FD ∴∠B=22.5°=∠BAD，∴∠ADC=45°，∴DE=EA BD²=AD²=72，∵AE⊥DC，∴AE²+DE²=72 ∴AE²=DE²=36 ∵∠C=60°，∴∠EAC=30° 设 EC²=x²，则 AC²=(2EC) ²=4x² X²+36=4x² X²=12 ∴EC²=12 7、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 AB 上，BM=2，对角线 AC 上有一动点 P，求 PM+PB 的最小值。 解： 连接 MD。 做 M 关于 AC 的对称点 E 交 AD 于 E。 ∵MB=2 ∴ ED=2 最小值为 BE。 ∵∠A=90° ∴BE=√ （8-2） ²+8²=10 ∴PM+PB 最小值为 10 8、一个梯子 AB 长 2.5m，顶端 A 靠在墙 AC 上。这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5m， 梯子向右水平滑动 0.5m 停在 DE 位置上，求梯子顶端 A 向下滑动了多少米？ 解∵∠C=90°， ∴AB²=AC²+BC²，DE²=EC²+CD² ∴2.5²=AC²+1.5²，2.5²=EC²+（1.5+0.5）²， ∴AC=2m，EC=1.5m， ∴AE=AC-EC=2-1.5=0.5（m） ， 9、将一根长 24cm 的筷子置于底面直径 5cm，高 12cm 的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外 的长度为 h（cm） ，则 h 的取值范围是＿＿＿。 解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大=24-12=12cm． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小，此时，杯内筷子长=√5²+12²=13cm ∴h=24-13=11cm． ∴h 的取值范围是 11cm≤h≤12cm 10、一张矩形纸片 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，折叠后，使得点 D 与点 B 重合，C 与 G 重合，求折叠后 BE 的长和折痕 EF 的长。 解：∵折叠后 D 与 B 重合 ∴ED=BE CF=CG，AB=DC=3cm
x y y x ，求 x+y 的值.
解：∵ 2 x ≥0， 1 y ≥0 又∵ 2 x 1 y 0 ∴
x =2， y =1
又∵ ∴x12,y1或
x y y x ，即 x-y≤0
x2 2, y2 1 .
）
∴x+y=－1 或 2 9、 下列各式计算正确的是（ A、
1 有意义的 x 的取值范围是（ x2
） D.x≥0 且 x≠2
B.x≠2
C.x>2
解：使 x 有意义的 x 的取值范围是 x≥0， 使
1 x2
有意义的 x 的取值范围是 x-2≠0，x-2>0.
1 有意义的 x 的取值范围是 x>2. x2
综上，使 x ＋
8、 已知 2 x 1 y 0 ，且
2
）
A.①②③
B.③④⑤
C.③④
D.②④
解：错误原因①：0 的平方根为 0 ③：5 的平方根为± 5 ⑤： 22 的平方根是 2（任何非负数的平方根为非负数） 故选 D 3、若 a b 2 与 a b 1 互为相反数，求 3 22a 2b 的值. 解：∵
a b 2 ≥0，
A
A
Pn Pn-1 P1 C D1 Dn-1 B
B
P
C
2、 如图,等边三角形 ABC 的边长 a=25+12 根号 3,P 是三角形 ABC 内的一点,若 PA2 +PB2 =PC2。若 PC=5，求 PA、PB 的长。 3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦 AB 与小半圆相切且与直径平行弦 AB 长 12 厘米图中阴影部分面积是多少？ A
9 3 1 a a 2a 4 2 1 1 4 16 3 3 3 3
B、 16
C、 D、
2 2 32 2 3 5
4y 2 3 y （x>0，y≥0） 2 27 x 9x
解：错因：A.应为
3 a a 2
B.应为
49 7 3 3 3
C.应为
13
故选 D
10、
是否存在正整数 a、b（a<b） ，Biblioteka Baidu其满足 a b 1404 ？若存在，试求出 a，b
的值；若不存在，请说明理由。 解：存在.
二、易错题
1.已知：y= 1 x－ +2 2 x ，求 4 x y － x 2 5 y . 2
x-2
解：∵x－2≥0, 2－x≥0
1 ∴x=2, y= ×2－0+0=1 2 将 x=2，y=1 代入所求式，得
原式= 9 4 5 =3-3=0 2、下列说法：①只有正数才有平方根；②－2 是 4 的平方根；③5 的平方根是 5 ；④± 3 都是 3 的平方根；⑤ 2 的平方根是－2，其中正确的是（
三、思考题
1、 如图，△ABC 为等腰三角形，C 为直角顶点，D1，D2，D3......Dn-1 是 CB 边上的 n 等分点，从 C 作 AD1 的垂线，分别交 AD1，AD2，AD3........ADn-1AB 于 P1，P2， P3，......Pn-1,Pn 点，连接 PnDn-1，求证:∠AD1C=∠BDn-1Pn。
O
C 4、已知 P,Q 均为质数，切满足 5P2 +3Q=59.则以 B P+3，1-P+Q，2P+Q-4 为边长的三角形是什 么三角形？ 5、如图，△ABC 中三条角平分线交于点 O，已知 AB＜BC＜CA，求证：OC＞OA＞OB。 6、将长为 2n（n 为自然数且 n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b， c）为三边长分别是 a，b，c 且满足 a＜b＜c 的一个三角形，就 n=6 的情况，分别写出所有 满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？ 7、如图，RT△ABC 中，D 是 AC 中点，DE⊥AB 与 E，求证：BE2-AE2=BC2
设 FC=x（cm） ，则 BF=9-xcm，GF=x（cm） ∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠G=90° ∴BF²=BG²+GF² (9-x) ²=3²+x² ∴x=4 BF=9-4=5cm 又∠BEF=∠DEF=∠EFB ∴BE=BF=5cm 作 FH⊥AD 交 AD 于 H，FC=HD=3，EH=9-3-5=1cm ∵∠FHE=90° ∴EF=√1²+3²=√10（cm）
②积的算术平方根的性质：错误！未找到引用源。 (a≥0，b≥0) 两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积． ③二次根式的除法法则：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (a≥0，b＞0) 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． ④商的算术平方根的性质：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (a≥0，b＞0)
B
E
C
D
A
实数
一、思维导图
1.无理数定义：无限不循环小数 2.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零 3.算术平方根：若一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，则这个正数 x 为 a 的算术平方根。a 的算术平方根记作错误！未找到引用源。 ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数。规定：0 的算 术平方根为 0。 4.平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。 5.二次根式的定义：一般形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数， 被开方数必须大于或等于 0。 6.最简二次根式满足：①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数 ②．根号下不含可以开得尽方的数 7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根 式叫做同类二次根式。 2 8. (错误！未找到引用源。) =a (a≥0) 错误！未找到引用源。=a(a≥0)
解：原式=6 xy 3 xy 4 xy 6 xy =- xy 6、已知，2m+1 的平方根是±3， n 2 的算数平方根是 2，求 m+2n 的平方根. 解：由题意，得 2m+1= (3) 2
n2 =2
2
解得，m=4，n=18 ∴m+2n=40 故 m+2n 的平方根为 2 10 . 7、使 x ＋ A.x≥0
2
1 1 解：原式可化为 ( x ) 2 ( x ) 2 x x
∵0<x<1，∴ ∴x- 1 <0 x ∴原式=x+
1 >1 x
1 1 +x－ =2x x x
－ ，其中 x=4,y=27. y 3 y 5、先化简，再求值. 6x 4x xy 3 36 xy x y x
a b 1 ≥0.
又∵ a b 2 、 a b 1 互为相反数 ∴ 即
a b 2 = a b 1 =0
a-b+2=0 a+b-1=0 解得 b= 3
2
2
a=- 1
代入原式，得
1 3 原式= 3 22 3 = 2
答：所求式的值为-2
8 =-2
2 1ö æ 1 4、已知 0<x<1，化简 x 4 － çx+ ÷ -4 è xø x
勾股定理
一、思维导图
二、易错题
1、满足 a²+b²=c²的三个正整数，称为＿＿＿，比如：5,12, ＿＿＿。 解：勾股数；√5²+12²=13 2、在△ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则△ABC 的周长是＿＿ ＿。 解：应分两种情况说明： （1）当△ ABC 为锐角三角形时，在 Rt△ ABD 中，BD= √（AB² -AD² ） = √（15² -12² ）=9， 在 Rt△ACD 中，CD=√（ AC² -AD² ）= √（13² -12² ）=5，∴BC=5+9=14 ∴△ABC 的周长为：15+13+14=42； （2）当△ ABC 为钝角三角形时，高 AD 交 BC 延长线于 D 在 Rt△ ABD 中，BD= √（AB² -AD² ）= √（15² -12² ）=9． 在 Rt△ ACD 中，CD=√ （AC² -AD² ）= √（13² -12² ）=5 ∴BC=9-5=4 ∴△ABC 的周长为：15+13+4=32 综上，当△ ABC 为锐角三角形时，△ ABC 的周长为 42； 当△ ABC 为钝角三角形时，△ ABC 的周长为 32． 3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图） ，已知灯罩高 108cm，底面周 长为 36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带 4 圈，最少需要彩纸多长？那么绕 n 圈呢？ 解： （1）∵缠绕灯罩 4 圈，且高 108cm ∴一圈高：108÷4=27cm ∴一圈彩带长：√27²+√36²=45cm ∴四圈彩带总长：45×4=180cm （2）∵绕 n 圈，且高 108cm ∴一圈高：108÷n（cm） ∴一圈彩带长：√（108÷n）²+36² ∴彩带总长：n×√（108÷n）²+36²=36×√n²+9
4、 在正方形 ABCD 中， E 是 BC 中点， F 为 CD 上一点， 且 DF=3CF， 判断 AE 和 EF 的位置关系。 证：连 AF。设 DF=3x，CF=x ∴AD=AB=DC=BC=x+3x=4x ∴BE=EC=2x ∵∠B=∠C=∠ D=90° ∴AE²= （2x）2+（4x）2=20x² EF²=x²+（2x）²=5x² AF²=（3x）²+（4x）²=25² ∴AE²+ EF²= AF² ∴AE⊥EF 5、如图，在△ABC 中，∠B=90°，两直角边 AB=7，BC=24，在 三角形内有一点 P，使 P 到各边距离相等。与 AC，CB，AB 的交点为 G，F，E。则这个距离为＿＿＿。 解：∵∠B=90° ∴AC=√AB²+BC²=√7²+24²=25 连 CP，PA，BP，设 GA=x，则 EA=x BE=7-x=EB，CF=CG=17+x ∴17+x+x=25 x=4 ∴这个 距离为 7-4=3 6、在△ABC 中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，BD²=72，AE⊥BC 于 E，求 EC²。 解：∵AB 的中垂线为 FD ∴∠B=22.5°=∠BAD，∴∠ADC=45°，∴DE=EA BD²=AD²=72，∵AE⊥DC，∴AE²+DE²=72 ∴AE²=DE²=36 ∵∠C=60°，∴∠EAC=30° 设 EC²=x²，则 AC²=(2EC) ²=4x² X²+36=4x² X²=12 ∴EC²=12 7、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 AB 上，BM=2，对角线 AC 上有一动点 P，求 PM+PB 的最小值。 解： 连接 MD。 做 M 关于 AC 的对称点 E 交 AD 于 E。 ∵MB=2 ∴ ED=2 最小值为 BE。 ∵∠A=90° ∴BE=√ （8-2） ²+8²=10 ∴PM+PB 最小值为 10 8、一个梯子 AB 长 2.5m，顶端 A 靠在墙 AC 上。这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5m， 梯子向右水平滑动 0.5m 停在 DE 位置上，求梯子顶端 A 向下滑动了多少米？ 解∵∠C=90°， ∴AB²=AC²+BC²，DE²=EC²+CD² ∴2.5²=AC²+1.5²，2.5²=EC²+（1.5+0.5）²， ∴AC=2m，EC=1.5m， ∴AE=AC-EC=2-1.5=0.5（m） ， 9、将一根长 24cm 的筷子置于底面直径 5cm，高 12cm 的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外 的长度为 h（cm） ，则 h 的取值范围是＿＿＿。 解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大=24-12=12cm． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小，此时，杯内筷子长=√5²+12²=13cm ∴h=24-13=11cm． ∴h 的取值范围是 11cm≤h≤12cm 10、一张矩形纸片 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，折叠后，使得点 D 与点 B 重合，C 与 G 重合，求折叠后 BE 的长和折痕 EF 的长。 解：∵折叠后 D 与 B 重合 ∴ED=BE CF=CG，AB=DC=3cm
x y y x ，求 x+y 的值.
解：∵ 2 x ≥0， 1 y ≥0 又∵ 2 x 1 y 0 ∴
x =2， y =1
又∵ ∴x12,y1或
x y y x ，即 x-y≤0
x2 2, y2 1 .
）
∴x+y=－1 或 2 9、 下列各式计算正确的是（ A、
1 有意义的 x 的取值范围是（ x2
） D.x≥0 且 x≠2
B.x≠2
C.x>2
解：使 x 有意义的 x 的取值范围是 x≥0， 使
1 x2
有意义的 x 的取值范围是 x-2≠0，x-2>0.
1 有意义的 x 的取值范围是 x>2. x2
综上，使 x ＋
8、 已知 2 x 1 y 0 ，且
2
）
A.①②③
B.③④⑤
C.③④
D.②④
解：错误原因①：0 的平方根为 0 ③：5 的平方根为± 5 ⑤： 22 的平方根是 2（任何非负数的平方根为非负数） 故选 D 3、若 a b 2 与 a b 1 互为相反数，求 3 22a 2b 的值. 解：∵
a b 2 ≥0，
A
A
Pn Pn-1 P1 C D1 Dn-1 B
B
P
C
2、 如图,等边三角形 ABC 的边长 a=25+12 根号 3,P 是三角形 ABC 内的一点,若 PA2 +PB2 =PC2。若 PC=5，求 PA、PB 的长。 3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦 AB 与小半圆相切且与直径平行弦 AB 长 12 厘米图中阴影部分面积是多少？ A
9 3 1 a a 2a 4 2 1 1 4 16 3 3 3 3
B、 16
C、 D、
2 2 32 2 3 5
4y 2 3 y （x>0，y≥0） 2 27 x 9x
解：错因：A.应为
3 a a 2
B.应为
49 7 3 3 3
C.应为
13
故选 D
10、
是否存在正整数 a、b（a<b） ，Biblioteka Baidu其满足 a b 1404 ？若存在，试求出 a，b
的值；若不存在，请说明理由。 解：存在.
二、易错题
1.已知：y= 1 x－ +2 2 x ，求 4 x y － x 2 5 y . 2
x-2
解：∵x－2≥0, 2－x≥0
1 ∴x=2, y= ×2－0+0=1 2 将 x=2，y=1 代入所求式，得
原式= 9 4 5 =3-3=0 2、下列说法：①只有正数才有平方根；②－2 是 4 的平方根；③5 的平方根是 5 ；④± 3 都是 3 的平方根；⑤ 2 的平方根是－2，其中正确的是（
三、思考题
1、 如图，△ABC 为等腰三角形，C 为直角顶点，D1，D2，D3......Dn-1 是 CB 边上的 n 等分点，从 C 作 AD1 的垂线，分别交 AD1，AD2，AD3........ADn-1AB 于 P1，P2， P3，......Pn-1,Pn 点，连接 PnDn-1，求证:∠AD1C=∠BDn-1Pn。
O
C 4、已知 P,Q 均为质数，切满足 5P2 +3Q=59.则以 B P+3，1-P+Q，2P+Q-4 为边长的三角形是什 么三角形？ 5、如图，△ABC 中三条角平分线交于点 O，已知 AB＜BC＜CA，求证：OC＞OA＞OB。 6、将长为 2n（n 为自然数且 n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b， c）为三边长分别是 a，b，c 且满足 a＜b＜c 的一个三角形，就 n=6 的情况，分别写出所有 满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？ 7、如图，RT△ABC 中，D 是 AC 中点，DE⊥AB 与 E，求证：BE2-AE2=BC2
设 FC=x（cm） ，则 BF=9-xcm，GF=x（cm） ∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠G=90° ∴BF²=BG²+GF² (9-x) ²=3²+x² ∴x=4 BF=9-4=5cm 又∠BEF=∠DEF=∠EFB ∴BE=BF=5cm 作 FH⊥AD 交 AD 于 H，FC=HD=3，EH=9-3-5=1cm ∵∠FHE=90° ∴EF=√1²+3²=√10（cm）