线性代数第五章 相似矩阵

第五章 相似矩阵

§1 特征值与特征向量

特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。

定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：

(1)AX X λ=。

则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。

例如矩阵1000A ⎛⎫= ⎪

⎝⎭，取11= 0X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20=1X ⎛⎫

⎪⎝⎭，则有 11=1AX X ⋅，22=0AX X ⋅，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征

向量。

（1）式又可以写成 ()0

(2)E A X λ-=。

即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有

||0 (3)E A λ-=。

（3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。

对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。

例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以

2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。

例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

的特征值与特征向量。 解：因 21

10||430(2)(1)1

02

E A λλλλλλ+--=

-=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。

当2λ=时，

310100410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1001η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。 故属于2λ=的特征向量为11(0)k k η≠。

当 1λ=时，

210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2121η-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

。 故属于1λ=的特征向量为 222(0)k k η≠。

§2 相似矩阵

定义2：若n 阶方阵A 和B ，存在一个可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。则称矩阵A 与B 相似，记为 ~A B 。

对于相似矩阵，有下列性质： 1）任一方阵A ，它与自身相似； 2）若A 与B 相似，则B 与A 相似；

3）若A 与B 相似，B 与C 相似，则A 与C 相似；

4）A 与B 相似，则 ||||E A E B λλ-=-。

证明：只证4），因A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得 1P AP B -=。从而

111|||||()|E B P EP P AP P E A P λλλ----=-=-

1||||||||P E A P E A λλ-=-=-。

如果方阵A 相似与对角形矩阵，则称A 可以对角化。并非每个方阵均可以对

角化，例如矩阵0100A ⎛⎫= ⎪

⎝⎭

，对任何2阶可逆矩阵P ，1P AP -均不能为对角形矩阵。

下面给出一般方阵A 相似对角形的条件。

若A 相似对角形，则有 11 (4)n P AP λλ-⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

记 1(,

,)n P X X =，由（4）式可得

111(,

,)(,

,) n n n A X X X X λλ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

即

111(,,)(,,)n n n AX AX X X λλ=。

从而 1,2,

,i i i AX X i n λ==()。

由定义知i λ为A 的特征值，由P 可逆知i X 为非零向量，且12,,,n X X X 线

性无关。所以它是属于i λ的特征向量。以上过程可逆，故存在下面定理。 定理1：n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征

向量。

该定理给出了矩阵相似对角形的充分必要条件，但如何找出n 个线性无关的特征向量，则需要下列一些结果。

定理2：方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。

证明：设1,

,s X X 是分别属于不同特征值1,,s λλ的特征向量，当1s =时，

命题成立。

设当s k =时命题成立，

则当1s k =+时，设有 11110

(5)k k k k l X l X l X +++++=

（5）式乘以1k λ+，有

11111110 (6)k k k k k k k l X l X l X λλλ++++++

++=

再对（5）式两边左乘以A ，有

1111110 (7)k k k k k k l X l X l X λλλ++++

++=

（6）-（7）得

11111()()0 k k k k k l X l X λλλλ++-+

+-=。

由归纳假设，1,

,s X X 线性无关。从而 1()0 (1,2,

,)i k i l i k λλ+-==。

由于1k i λλ+≠，所以 0 (1,2,,)i l i k ==，代入（5）式，得 10k l +=。

即 11,

,k X X + 线性无关，故1s k =+命题成立。从而定理得证。

推论1：n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 一定可以对角化。

实际计算中，先求出n 阶方阵A 的全部特征值，再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。若这个“大”向量组中向量个数等于n ，则A 可以对角化，