2_傅里叶级数与傅里叶变换

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§2.4 连续时间信号的傅里叶变换
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• 1.从傅里叶级数到傅里叶变换：定义（FT） –对于周期性连续时间信号 x t ，若令 T ，且保
持 T1 不变，则有：
k 0 , 且
–这样，傅里叶级数就变为傅里叶变换：
T1
X (j)= e jt dt
1 j t e j

T1
1 jT1 2 jT1 e e sin(T1 ) j
信号波形
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信号频谱
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•
• 【解】：
1 x ( t )= 2π
W
1， W 【例2.7】：已知：X ( j) ，求 x (t ) 0， W
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• 4.傅里叶级数的含义
– 将周期性信号
x(t ) 分解为各次谐波的线性组合的形式。
。
–加权系数为傅里叶级数的系数 ak
– 可得到信号的频谱，包括幅度谱 ak 和相位谱 ak 。
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• 5.傅里叶级数的性质（略）
– 线性； – 时移特性；频移特性； – 共轭特性； – 时间反转特性；时域尺度变换； – 微分性质，积分性质； – 周期卷积；乘法性质； – 帕色伐尔定理； – …… – 请自行阅读相关教材。
– （1）连续周期信号的傅里叶级数（FS） – （2）离散周期信号的离散傅里叶级数（DFS） – （3）连续非周期信号的傅里叶变换（FT） – （4）离散非周期信号的离散时间傅里叶变换 （DTFT） – （5）离散非周期信号的离散傅里叶变换（DFT） – （6）离散非周期信号的快速傅里叶变换（FFT） – 其他傅里叶变换（STFT，FRFT，……）
大连理工大学硕士研究生校管课程 信号分析与数据处理
第2章
傅里叶级数与傅里叶变换
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2012年9月
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内容概要
• §2.1 • §2.2 • §2.3 • §2.4 • §2.5 概述 周期性连续时间信号的傅里叶级数 周期性离散时间信号的傅里叶级数 连续时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换
。
1 j t j t 1 e d t e W 2 π jt
W
W
1 1 j Wt j Wt sin(Wt ) e e 2 π jt πt
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• 讨论（比较【2.6】和【2.7】）
– 基波周期为T，且 0
2 。 T
T1
• 【解】：由傅里叶级数正变换定义式，有：
1 ak T 1 jk 0 t jk 0 t dt e e T1 jk 0T
T1 T1
2 e jk 0T1 e jk 0T1 = k 0T 2j
2 sin( k 0T1 ), k 0 k 0T
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• 2.计算
ak • 【例2.3】：已知： x[n] sin 0 n ，求：
• 说明：给定不同的 0 值， x[n] 可能是周期的（有不同 的周期），或者可能是非周期的。
• 【解】：假设1：0 2 / N ，则 x[n] 为周期信号。
• 由欧拉公式，有， • 则：
n n 1 j2N 1 j2N x[n ] e e 2j 2j
1 1 a1 , a1 , 且 ak 0 (if k 1) 2j 2j
a1 a N 1 a4 (when N =5)
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•
N 和 m 无公因子，则 x[n] 可 确定一个基波周期为N的信号。将 x[n] 改写为：
X (j)= e
a t 0
e
j t
dt e e

at jt
dt e at e jt dt
0
1 1 2 2 a j a j a 2
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• 【例2.5】：已知： x(t ) (t ) ，求 X ( j) 。 • 【解】：
1 j 0 t sin 0t (e e j0t ) 2j
– 与逆变换的定义式比较，有：
k
1 1 a1 , a1 , 其余 ak 0 2j 2j
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• 【例2.2】：信号 x(t ) 如图，
1， t T1 x (t ) T 0， T1 t 2
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§2.3 周期性离散时间信号的 傅里叶级数
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• 1. 定义（DFS）
x[n ]
k N

ak e
jk0n

k N

ak e
jk
2 n N
逆变换
jk 2 n N
1 ak N
n N
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• FSFT的图示
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• 2.计算
• 【例2.3】：已知 x(t ) e at u(t )，a 0 ，求 • 【解】：由定义，有：
X (j)= e at e jt dt
0
X ( j ) ：
1 1 e ( a j ) t , a0 a j a j 0
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• 傅里叶的主要贡献
– 任何周期信号可以用成谐波关系的正弦函数级数表 示。
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• 傅里叶理论的发展历程
• 傅里叶之前周期性现象的研究
– 古代巴比伦（Babylonians）时代，利用这一理论来 研究天体运动。 – —1748年，欧拉（Euler）用于研究弦的振动，其 结论为： – 如果某一时刻，振动弦的形状是这些标准振荡模式 的线性组合，则其后任何时刻，振动的弦的形状也 都是这些振荡模式的线性组合。
• 幅度谱和相位谱：
， X (j)= tan X (j) 2 2 a a 1
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• 上例的频谱
幅度谱
相位谱
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• 【例2.4】：已知：x(t) eat u(t)， a 0 ，求 X ( j) 。 • 【解】：
a0 1/ 2
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周期性连续时间信号的频谱
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• 3.狄利赫莱条件（收敛问题）
x(t ) 必须绝对可积，即满足： x (t ) dt – 在任何周期内，
T
– 在任意有限区间内，x(t ) 具有有限个起伏变化。 – 在任何有限区间内，x(t ) 只有有限个不连续点，且在不 连续点上，函数值有限。 – 一般实际应用中的信号，都满足上述三个条件。
n n 1 jm 2N 1 jm 2N x[n ] e e 2j 2j
假设2： 0
2 m (m 1) ，且 N
• 则：
am
1 1 （在一个周期内） , a m , 其余 ak 0 2j 2j
•
1 1 , a3 =a2 , a k =a N k ; ak =a N +k 2j 2j 1 1 if N =3, m=2, then a2 , a2 =a1 , a k =a N k ; ak =a N k 2j 2j if N =5, m=3, then a3
x (t )
k
ae
k

jk 0 t

k
ae
k

jk
2 t T
1 x (t )= X (j)e jt d 2π -
1 ak T


T
x (t )e
jk 0 t
dt
X (j)= x (t )e jt dt
-

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• 傅里叶理论的意义
– 在数学、科学、工程上产生巨大影响，是电子信息 与通信技术的基石之一。 • 有了傅里叶理论，才有： – 信号的频域分析处理； – 通信的频率划分与复用； – 其他科学与工程问题的分析与解决。 – 近年来，傅里叶理论有新发展： • 本部分介绍4种：FS，DFS，FT，DTFT • 近年来：STFT与WT （第V部分介绍），FRFT
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§2.1 概述
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• 1.傅里叶级数与傅里叶变换的作用
– 把时间信号 x (t ) 频谱，以便进行频域分析和处 理。
– 是一种正交分解方法：三角函数集，复指数函数集 等。
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• 2.傅里叶级数与傅里叶变换的分类
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• 3.傅里叶生平与傅里叶理论的发展
– Joseph Fourier，法国科学家，工程师（1768-1830） – 1768年3月21生于欧塞尔，1830年5月16卒于巴黎。 – 9岁父母双亡，17岁回乡教书（数学）。 – 1794年法国高等师范学校首批学员，次年到巴黎综 合工科学校任教。 – 1798年随拿破仑远征埃及；1801年回国，任伊泽尔 省地方长官。 – 1817年当选科学院院士。 – 1822年任科学院终身秘书，后任法兰西学院理工科 大学校务委员会主席。

x[n ]e jk0n
1 N
n N

x[n ]e
正变换
– 式中：N ：基波周期；0 ：基波角频率；x ( n )：周 期性离散时间信号； ak ：傅里叶级数的系数 – 说明： ak 是周期性的，即：
a0 a N , a1 a N 1 , , ak ak N
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• 离散傅里叶级数的频谱
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• 3.离散傅里叶级数的性质（略）
– 线性； – 时移特性；频移特性； – 共轭特性； – 时间反转特性；时域尺度变换； – 微分性质，积分性质； – 周期卷积；乘法性质； – 帕色伐尔定理； – …… – 请自行阅读相关教材。
X (j)= (t )e jt dt 1

(t )
信号波形
t
0
信号频谱
X ( j )
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•
• 【解】：
T1 T1
1， t T 【例2.6】：已知：x(t ) ，求 X ( j) 。 0， t T1
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§2.2 周期性连续时间信号的 傅里叶级数
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• 1. 定义（FS）
x (t )
jk 0 t a e k
k
k
ae
k

jk
2 t T
逆变换
1 ak T

T
x (t )e jk0t dt
正变换
– 式中：T ：信号周期； 0 ：基波角频率； x(t ) ：周 期性连续时间信号； ak ：傅里叶级数的系数
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• 2.傅里叶级数的计算
• 【例2.1】：已知 x(t ) sin 0t ，求
ak 。
jk 0 t a e k 。
• 【解】：方法：利用逆变换公式 x(t )
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• 傅里叶理论的出现
– 1807年，Fourier完成有关Fourier级数的论文，由4位科 学家评审。 • 同意发表的：S. F. Lacroix；G.Monge； P.S.Laplace • 强烈反对的： J. L. Lagrange – 结果论文未能发表。 – 15年后（1822年），有关傅里叶级数的理论才在其著作 中发表： “Theorie Analytique de la Chaleur” 《热分 析理论》， – 后由Dirichlet给出若干精确条件。