角平分线的性质定理和判定定理(含答案)
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几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理
一、 知识点(抄一遍)：
1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线.
2. 角平分线的性质定理：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题
1. 证明角平分线的性质定理.
（注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理：
∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理：
∵ ， ∴ .
4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O
点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线.
5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD.
B
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD.
7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.
8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；
（2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD.
O
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案
1. 证明角平分线的性质定理.
已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，
PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E
求证: PD=PE
证明：∵OC 平分∠ AOB
∴ ∠1= ∠2
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中
∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP
∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE
2.
证明角平分线的判定定理.
已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90°
在Rt △PDO 和Rt △PEO 中
PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ）
∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上.
3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理：
∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ．
O
O
4.已知：如图所示，BN、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BN、CP相交于O
点，连接AO，并延长交BC于M
求证：AM是∠BAC的角平分线.
证明：作OE⊥AC，OG⊥AB，OF⊥BC，
垂足分别为E、G、F.
∵BN平分∠ABC，OG⊥AB，OF⊥BC，
∴OG=OF.
同理可证：OE=OF.
∴OG=OE
又∵OE⊥AC，OG⊥AB，
∴AM是∠BAC的角平分线.
5.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，点E，F为垂足，
D是BE与CF的交点，AD平分∠BAC.
求证：BD=CD.
证明：
∵AD平分∠BAC，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DF=DE.
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DFB=∠DEC=90°. 在△DFB和△DEC中，
∠EDC=∠FDB
DF=DE
∠DFB=∠DEC
∴△DFB≌△DEC（
ASA）
∴BD=CD.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC. AD是∠CAB的平分线.
求证：AB=AC+CD.
证明：过点D作DE⊥AB，垂足为点
E.
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD.
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°=∠C.
在△CAD和△EAD中，
∠CAD=∠BAD，
∠DEA=∠C，
AD=AD.
∴△CAD≌△EAD（AAS）.
∴AC=AE，CD=DE.
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵∠DEB=90°，
∴∠EDB=45°=∠B.
∴DE=BE,
∴CD=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD.
B
7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB.
证明：过点M 作ME ⊥AD ，垂足为E ，
∵DM 平分∠ADC ， ∴∠1=∠2， ∵MC ⊥CD ，ME ⊥AD ，
∴ME=MC （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵MC=MB ， ∴ME=MB ，
∵MB ⊥AB ，ME ⊥AD ，
∴AM 平分∠DAB （到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ；
（2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD.
证明：（1）∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC=PD ∴∠PCD=∠PDC. （2）∵OP 平分∠AOB ， ∴∠COP=∠DOP. ∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴∠PCO=∠PDO=90°， ∴∠CPO=∠DPO. ∵PC=PD ，
∴△CDP 是等腰三角形，
∴PM 是等腰三角形底边上的中线和高线. 即OP 是CD 的垂直平分线. （3）由（2）知，∠CPO=∠DPO. ∴OP 平分∠CPD ， 又∵CP ⊥OA ，DP 垂直OB ， ∴OC=OD （角平分线的性质定理）.
O