高二年级第一学期开学考数学试题(必修1245)带答案
高二上学期入学考试数学试题及答案
高二（上）入学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=M ，{}0)2)(1(<-+=x x x N ，则=N M （ ） A ．{}0,1-B ．{}1,0C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,02．=︒︒-︒︒70sin 160sin 70cos 20cos （ ） A ．0B ．21C ．23 D ．13．下列说法中正确的是( ).A 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 .B 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形.C 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体.D 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台4．若3tan =α，则=-)4tan(πα（ ）A ．2B ．2-C ．21-D ．21 5．已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=+73a a （ ） A ．18B ．24C ．30D ．426． 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2log 0a b ->D ．21a b-<7．设l 、m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m 8．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则此三角形是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形9．等比数列}{n a 的各项均为正数，且167465=+a a a a ，则=+++1022212log log log a a a （ ）A ．20B ．15C ．8D ．5log 32+10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( ).A 12尺 815尺 .C 1631尺 .D 1629尺 11．在ABC ∆中，4=a ，5=b ，6=c ，则=AC2sin sin （ ）A ．43B ．54C ．1D ．3412．设n S 是数列{}n a 的前项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则2021S =（ ）.111,.,.2021,202120212020AB C D-二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.) 13．数列{}n a 前n 项和为n S ，其中n S 是首项为5，公比为5的等比数列，则n a =______ 14．若实数b a ,满足122=+ba，则b a +的最大值是___________.15．已知母线长为3m 的圆锥的轴截面的底角为α，且322sin =α，一只蚂蚁从底面圆周上一点A 出发沿圆锥侧面一周回到点A 所经过的最短路程为_____ 16.给出下列四个叙述:①化简sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒ ②已知向量a 与b 的夹角为45︒,||2a =,||4b =,则||10a b -=；③已知4cos()5αβ+=,4cos()5αβ-=-,且3(,2)2παβπ+∈,(,)2παβπ-∈,则24sin 225α=； ④已知O 为ABC ∆的重心,动点P 满足112663OP OA OB OC =++,则点P 是ABC ∆的边AB 的中线的一个三等分点.⑤.已知0,0a b >>,且2a b +=,则14a b +的最小值是 92⑥若不等式2210x x k x R -+->∈对恒成立,则实数k 的取值范围是k<2其中所有正确叙述的序号是 .三．解答题17．（10分）已知函数2()3(5)f x x a a x b =-+-+. (Ⅰ)当不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求实数,a b 的值；(Ⅱ)若对任意的实数a ,若不等式(2)0f <恒成立,求实数b 的取值范围.18．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为x m ，由于地形限制,0x a <≤，水池总造价为)(x f 元．（1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 的最小值．19. (12分)如图，是四棱柱1111D C B A ABCD -的三视图。
2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
2020—2021学年第一学期开学考试高二数学试题测试范围:数学必修二（第二，三,四章）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列选项中能得到平面a 〃平面3的是（）A.存在一条直线a, a//a,B.存在一条直线a, aua, a///?C.存在两条平行直线”，b, aua, buR, a///?, b//aD.存在两条异面直线〃，b, aua, buR, a///?, b//a2.若两个平而互相垂直，第一个平面内的一条直线“垂直于第二个平面内的一条直线〃，那么（）A.直线〃垂直于第二个平面B.直线b垂直于第一个平面C.直线a不一定垂直于第二个平面D. “必定垂直于过b的平而3.以力（1,3）, 8（-5,1）为端点的线段的垂直平分线的方程是（）A. 3x-y-8 = 0B. 3x + y + 4 = 0C. 3x-y+ 6 = 0D. 3% + y + 2 = 04.已知直线丘— y + 2=0和以M（3,—2）, N（2,5）为端点的线段相交，则实数人的取值范围为（）A.yB.C. D. k<-^>\5.两平行直线5x + 12y + 3 = 0与10% + 24y + 5 = 0间的距离是（）A.三B.去C.2D.13 13 26 266.直线5% + 12y - 8 = 0与圆（X - l）2 + （y+ 3）2 = 8的位置关系是（）・.A.相交且直线经过圆心C.相切B.相交但直线不经过圆心D.相离7 .若直线(1 + a)x +y + 1 = 0与圆％2 + y2 - 2% = 0相切，则实数a 的值为()A. 1 或 7B. 2 或一2C. 1D. -18 .已知圆M ：/ + y2-4y =。
，则加(工一1)2 +。
-1)2= i,则圆M 与圆N 的公切线条数是()A. 1B. 2C. 3D.49 .如图，在正方体A8CD - 4BiGDi 中，点E, F, G 分别是棱&BJ, 8%的中点，给出下列四个推断：①FG 〃平面力4。
高二数学上学期开学考试试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹高二数学上学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.已如集合，，那么A. B.C.或者D.2.向量，，，假设，那么实数x的值是A. B. C. D.3.，，那么A. B. C. D.4.等比数列满足，且，那么A.8B.16C.32D.645.对于实数a，b，cA.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么6.过两直线：，：的交点且与平行的直线方程为A. B.C. D.7.是公差为1的等差数列，为的前n项和，假设，那么A. B. C.10 D.128.设m，nA.，，且，那么B.，，且，那么C.，，，那么D.，，，，那么9.的内角A，B，C所对的边分别为，c，且，，A. B. C. D.10.直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.相交或者相切11.圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，假设圆锥的轴截面为正三角形，那么圆锥的体积与球的体积之比为A.27：32B.3：8C.：16D.9：3212.在R上定义运算：假设不等式对任意实数x成立，那么A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.函数的定义域为______．14.假设，，，那么的最小值为______．15.设，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，假设是偶函数，那么的最小值为______16.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，假设，那么．三、解答题〔本大题一一共4小题〕17.等差数列中，，，Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.圆C：，直线：，：假设，，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，务实数k的值线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程19.如图，正方体切掉三棱锥后形成多面体，过的截面分别交，于点E，F．证明：平面；求异面直线与EF所成角的余弦值．20.如图，某城有一块半径为单位：百米的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处图中阴影局部只有一块绿化地，后来有众多民建议在绿化地上建一条小路，便于民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，．应选：D．可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．此题考察了描绘法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考察了计算才能，属于根底题．2.【答案】A【解析】解：，，即，向量，，，，即，解得，应选：A．根据向量垂直和向量数量积的关系，建立方程关系即可得到结论．此题主要考察平面向量垂直于向量数量积之间的关系，利用向量坐标的根本运算是解决此题的关键，考察学生的计算才能．3.【答案】D【解析】解：由，，得到，所以，那么．应选：D．由cos x的值及x的范围，利用同角三角函数间的根本关系求出sin x的值，进而求出tan x的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tan x的值代入即可求出值．此题考察了同角三角函数间的根本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sin x和tan x时注意利用x的范围断定其符合．4.【答案】A【解析】解：等比数列满足，且，那么，解得，，应选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出的值此题考察了等比数列的通项公式，考察了运算求解才能，属于根底题5.【答案】BA，当时，有故A错误；B假设，那么，；，，故B正确；C假设，取，，可知，故C错误；D假设，取，，可知，故D错误．应选：B．6.【答案】D【解析】解：两直线：，：的交点为，解得，即；设与平行的直线方程为，那么，解得，所求的直线方程为．应选：D．求出两直线、的交点坐标，再设与平行的直线方程为，代入交点坐标求出m的值，即可写出方程．此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．7.【答案】B【解析】解：是公差为1的等差数列，，，解得．那么．应选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．此题考察了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：对于A，，，且，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，所以；故A正确；对于B，，，且，那么m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者者异面；故B错误；对于C，，，，那么与可能平行；故C错误；对于D，，，，，那么与可能相交；故D错误；应选：A．利用线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理对选项分别分析选择．此题考察了线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；关键是由条件，正确运用定理的条件进展判断．9.【答案】B【解析】解：，由正弦定理角化边得：，化简得：，，又，，应选：B．对等式利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求出角A．此题考察三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考察运算才能，属于根底题．10.【答案】D【解析】解：表示圆心为，半径，，，由，，得，，代入成立，所以点为圆上的定点，所以直线与圆相切或者者相交，应选：D．求出直线上的定点，判断点与圆的关系，求出即可．此题主要考察直线和圆的位置关系的判断，根底题．11.【答案】D【解析】解：取圆锥的轴截面如以下列图所示，设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，那么圆锥的母线长为2r，结合图形可得，所以，，圆锥的高为，所以，圆锥的体积为，因此，圆锥的体积与球的体积之比为．应选：D．设球的半径为2R，用R表示圆锥的底面圆半径以及高，再利用锥体体积公式得出圆锥的体积的表达式，然后再结合球体的体积公式可得出答案．此题考察球体体积的计算，考察圆锥体积的计算，解决此题的关键在于利用球体的半径来表示圆锥中的几何量，考察计算才能，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：，即任意实数x成立，故，应选：C13.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，那么：；；原函数的定义域为：．故答案为：．可看出，要使得原函数有意义，那么需满足，解出x的范围即可．考察函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.【答案】【解析】解：假设，，，那么，当且仅当时，取等号，那么的最小值为．故答案为：．利用柯西不等式求出即可．此题考察了柯西不等式的应用，属于根底题．15.【答案】【解析】解：因为，所以，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，那么，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，故答案为：．由三角函数图象的平移及三角函数的性质得：，又是偶函数，所以，即，又，所以的最小值为，得解．此题考察了三角函数图象的平移及三角函数的性质，属中档题．16.【答案】【解析】【分析】此题考察平面向量根本定理的运用，考察向量的加法运算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题，设，，那么，，利用平面向量根本定理，建立方程，求出，，即可得出结论．【解答】解：设，，那么，．由于，，且，解得，，，故答案为．17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，解得，，【解析】由，，结合等差数列的通项公式可求，d，进而可求由，利用裂项求和即可求解此题主要考察了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18.【答案】解：根据题意，圆C：，其圆心为，半径，点C到直线的间隔，那么直线被圆C截得的弦长，假设直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，那么直线被圆C截得的弦长，那么点C到直线的间隔，直线：，即，那么；解可得：；根据题意，设，线段AB的中点为M，且，那么，又由端点A在圆C上运动，那么有，变形可得：；故线段AB的中点M的轨迹方程为．【解析】根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的间隔和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的间隔，列方程求出k的值，根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案．此题考察直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于根底题．19.【答案】证明：，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．解：由得平面，又平面，平面平面，，是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，设正方休的棱长为a，那么，，，在中，，异面直线与EF所成角的余弦值为．【解析】推导出，，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面．推导出，从而是异面直线与EF所成的角或者所成角的补角，由此能求出异面直线与EF 所成角的余弦值．此题考察线面平行的证明，考察异面直线所成角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设，，那么直线AB方程为，即．因为AB与圆C：相切，所以，化简得，即，因此，因为，，所以，于是．又，解得，或者，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以AB最小值为，此时．答：当A，B两点离道路的交点都为百米时，小道AB最短．【解析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系设，，求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：，求得a，b的关系，再由两点的间隔公式和根本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．此题考察根本不等式在最值问题中的运用，同时考察直线和圆相切的条件，考察化简整理的运算才能，属于中档题．。
高二数学上学期开学考试试题文含解析(共20页)
武邑中学2021-2021学年(xuénián)上学期高二开学摸底考试数学试题第一卷选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，，那么应选2.△ABC中，那么△ABC的形状是〔〕A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得∴应选B.考点：余弦定理的应用3.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，那么此三角形的最大边长为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析(fēnxī)】由题意得△ABC的最大边为，根据三角形内角和定理求出A＝30°后再根据正弦定理求出即可．【详解】由题意得B> C，B> A，∴△ABC的最大边为．又，由正弦定理得，∴，即三角形的最大边长为．应选A．【点睛】此题考察正弦定理的应用和三角形中边角间的关系，考察计算才能，属于根底题．4.两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且=，那么使得为整数的正整数n的个数是〔〕A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式可得，于是将表示为n的关系式，别离常数后再进展讨论，最后可得所求．【详解】由等差数列的前n项和公式可得，，所以(suǒyǐ)当时，为整数，即为整数，因此使得为整数的正整数n一共有5个．应选D．【点睛】此题考察等差数列的和与项的关系和推理论证才能，解题时要结合求和公式进展变形，然后再根据变形后的式子进展分析，此题具有一定的综合性和难度，能较好地考察学生的综合素质．5.以下事件是随机事件的是〔〕①当时，；②当有解③当关于x的方程在实数集内有解；④当时，A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】C【解析】【分析】根据随机事件的概念对四个事件分别进展分析即可得到结论．【详解】对于①，由于时，成立，故事件①为必然事件；对于②，由于无实数根，故事件②为不可能事件；对于③，当关于x的方程在实数集内可能有解、也可能无解，故事件③为随机事件；对于④，当时，可能成立，也可能不成立，故事件④为随机事件．综上，事件(shìjiàn)③④为随机事件．应选C．【点睛】此题考察随机事件的概念和判断，解题时根据随机事件的概念求解即可，考察对根底知识的理解和掌握，属于根底题，．6.二次函数的最大值为0，那么〔〕A. 1B. －1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值．【详解】因为二次函数有最大值，所以．又二次函数的最大值为，由题意得，解得．应选B．【点睛】解题时要先根据二次函数的最值情况判断出的符号，然后再根据最值情况求得的值即可，考察理解判断和计算才能．7.容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如下图，那么以下说法不正确的选项是〔〕A. 样本(yàngběn)数据分布在的频率为B. 样本数据分布在的频数为40C. 样本数据分布在的频数为40D. 估计总体数据大约有10%分布在【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果．【详解】对于A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以A正确．对于B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以B正确．对于C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以C正确.对于D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故D不正确．应选D．【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，考察识图和用图解题的才能，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．8.甲、乙、丙三名运发动在某次比赛中各射击20次，三人成绩如下表环数 6 7 8 9 10甲 4 4 4 4 4乙 3 16 1 0 0丙8 4 8 0 0用分别表示甲、乙、丙三人这次射击(shèjī)成绩的HY差，那么以下关系正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题中数据求出甲、乙、丙三名运发动的比赛成绩的平均数和方差后比拟即可得到结论．【详解】用分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的平均数，由题意得：，，．所以,，，故，所以．应选(yīnɡ xuǎn)B．【点睛】此题考察样本平均数、方差的计算，由于解题时涉及到大量的计算，因此此题中容易出现的问题是计算中的错误，要求平时要做好这方面的训练．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且sinA,sinB，sinC成等比数列，且c=2a，那么cosB的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由sinA,sinB,sinC成等比数列得到，再结合和余弦定理可得的值．【详解】∵sinA,sinB,sinC成等比数列，∴，由正弦定理得．又，故在△ABC中，由余弦定理的推论得．应选B．【点睛】此题考察用余弦定理解三角形，其中解题的关键是根据题意得到三角形中三边的关系，考察计算才能和转化才能，属于根底题．10.数列满足，，，那么等于( )A. 15B. 10C. .9D. 5 【答案(dá àn)】A 【解析】 【分析】先由题意计算得到的值，然后再根据的值求出即可． 【详解】由题意得，即，解得，∴， ∴． 应选A ．【点睛】解答此题的关键是求出，进而得到数列的递推关系，然后再结合题意求解，考察推理和计算才能，属于根底题． 11.以下命题中错误的选项是．．．．．．( )A. 假如平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B. 假如平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C. 假如平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D. 假如平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 【答案】D 【解析】A. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，l ⊂α，l 不垂直于平面β，所以不正确；B. 如A中的图,平面(píngmiàn)α⊥平面β,α∩β=l,a⊂α,假设a∥l,那么a∥β，所以正确；C. 如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ.所以正确。
2024年新高二上学期开学考数学试卷与答案
2024年新高二上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若()()1,2,1,1OA OB =-=-，则AB = （）A．()2,3-B．()2,3-2．复数2i 2i z =-在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了培养青少年无私奉献，服务社会，回馈社会的精神，某学校鼓励学生在假期去社会上的一些福利机构做义工．某慈善机构抽查了其中100名学生在一年内在福利机构做义工的时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，则x 的值为（）A．0.0020B．0.0025C．0.0015D．0.00304．已知四边形ABCD 中，AB DC =，并且AB AD = ，则四边形ABCD 是（）A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．长方形5．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，事件C =“两枚硬币都正面朝上”，事件D =“至少一枚硬币反面朝上”则（）A．C 与D 独立B．A 与B 互斥C．()12P D =D．()34P A B ⋃=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos a b C =，则ABC 的形状一定为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形7．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A．α、β都垂直于一个平面γB．平面α内有无数条直线与平面β平行C．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β8．已知正三棱柱ABC A B C -₁₁₁的底面边长为2，侧棱长为D 为棱BC 上一点，则三棱锥A B DC -₁₁₁的体积为（）A．3B．32C．1D．29．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的等边三角形，PA ⊥平面ABC 且PA =一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点P ，则其爬过的路程最小值为（）10．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AD AB BC ===，点P 为梯形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,4-D．1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数1ii-=．12．已知向量(4,3)a =- ，(6,)b m = ，若a b ⊥，则m =，若a b∥，则m =．13．甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是45，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是.14．在ABC 中，30,A AC ∠== ，满足此条件ABC 有两解，则BC 边长度的取值范围为.15．如图，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确有①．E ，G ，F ，H 四点一定共面②．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF=③．若四边形EGFH 为菱形，则E ，F 一定为所在棱的中点④．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EGFH 周长的取值范围为⎡⎣三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）已知向量(1,3),(1,2)a b =-=．（1）求a b ⋅；（2）求a 与b夹角的大小；（3）求2a b - ．17．（13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点．(1)求证：1AC BD ⊥；(2)求证：1//AC 平面BDE ．18．（14分）在ABC 中，2sin2sin ,8,77b A a B ac =-==(1)求b 值；(2)求角C 和ABC 的面积.19．（15分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．选考情况第1门第2门第3门第4门第5门第6门物理化学生物历史地理政治高一选科人数807035203560高二选科人数604555404060高三选科人数504060404070(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k 门科目的概率为(12345,6)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（结论不要求证明）20．（15分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，△ABC 的面积为S，且2224a b cS +-=．(1)求角C ；(2)若2cos c b b A -=，试判断△ABC 的形状，并说明理由．21．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，11AA AB ==，平面11ABB A ⊥平面ABC .(1)求证：11AB AC ⊥；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，当直线1AC 与平面ABC 所成角为30︒时，（ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面11AAC C ；（ⅱ）求二面角1B A C A --的正弦值.条件①：11AC AC =；条件②：1A B =2024年新高二上学期开学考数学试卷答案1．C【分析】求出向量AB的坐标，根据模的计算公式求得答案.【详解】因为()()1,2,1,1OA OB =-=- ，所以()()11,122,3AB OB OA =-=+--=-,因此，AB == C .2．C【分析】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.【详解】由题意得2i 2i 12i z =-=--，故z 在复平面内对应的点为()1,2--，该点位于第三象限，故C 正确.故选：C3．B【分析】根据题意结合频率和为1列式求解即可.【详解】由题意可得：()200.01750.02250.0051x x ++++=，解得0.0025x =.故选：B.4．A【分析】由AB DC =，得到四边形ABCD 为平行四边形，再由AB AD = ，得到BC AB =，得出四边形ABCD 为菱形.【详解】由题意，四边形ABCD 中，因为AB DC =，可得AB AD = 且AB CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，可得BC AB =，所以四边形ABCD 为菱形.故选：A.5．D【分析】写出样本空间及事件,,,A B C D ，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD.【详解】样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A ={(正,正),(正,反)}，事件B ={(正,反),(反,反)}，事件C ={(正,正)}，事件D ={(正,反),(反,正),(反,反)}，对于A，13()()44P C P D ==，而CD =∅，()0P CD =，C 与D 不独立，A 错误；对于B，事件,A B 可以同时发生，A 与B 不互斥，B 错误；对于C，3()4P D =，C 错误；对于D，A B ⋃={(正,正),(正,反),(反,反)}，()34P A B ⋃=，D 正确.6．A【分析】利用余弦定理将cos a b C =化为2222a b c a b ab+-=⋅，然后化简可得答案.【详解】 cos a b C =，由余弦定理可得2222a b c a b ab+-=⋅，则22222a a b c =+-，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形.故选：A.7．D【分析】对于ABC，举例判断，对于D，由面面平行的判定理分析判断.【详解】对于A，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．8．C【分析】连接1A D ,通过已知条件证明AD ⊥平面11BCC B ,即AD 为三棱锥111A B DC -的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接1A D ,因为ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥,又因为1BB ⊥平面ABC ,且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥,因为1BC BB B = ,BC ⊂平面11BCC B ,1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ,所以AD 为三棱锥111A B DC -的高，且3AD =,所以111111112331332A B DC B DC V S AD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 9．B【分析】利用垂直条件证明得PA ⊥平面ABC ，即可得平面PAC ⊥平面ABC ，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.【详解】将底面ABC 旋转，以AC 为轴，旋转至平面PAC 与平面ABC 共面，如图，设ABC 的中心为O ，此时OP 为最短距离，设O 到直线AC 的距离为d ，则136d =，所以3OP =.10．D【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.【详解】如图ABP 中，O 为AB 中点，22()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA =++=+-=-（极化恒等式）共起点的数量积问题可以使用.如图，取AB 中点O ，则由极化恒等式知，2221·4PA PB PO OA PO =-=- ，要求PA PB 取值范围，只需要求2PO 最大，最小即可.由图，可知2PO 最大时，P 在D 点，即2222174PO DO AD AO ==+=，此时21·44PA PB PO =-= ，2PO 最小时，P 在O 点，即20PO =，此时211·44PA PB PO =-=- .综上所得，PA PB ⋅ 取值范围为:1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.11．【分析】由复数的除法运算即可求解.【详解】()()i 1i 1i 1i i i i ---==---，故答案为：1i--12．【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，若a b ⊥，则46308m m -⨯+=⇒=；若a b ∥，则43962m m -=⇒=-故答案为:8;92-13．【分析】设这道题没被解出来为事件A ，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率()1P P A =-【详解】设数学题没被解出来为事件A ，则()142113515P A ⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：()1P P A =-13115152=-=.故答案为：131514．【分析】根据三角形有两解，应满足sin 30AC BC AC ︒<<，化简即可求解.【详解】ABC 有两解，sin 30AC BC AC ∴︒<<，BC <<故答案为：.15．【分析】对①：连接正方体体对角线以及,EF HG ，通过证明,EF HG 互相平分，即可判断四边形FGFH 为平行四边形，从而证明四点共面；对②：通过证明当DH AE =时，也有四边形EGFH 为矩形，即可判断；对③：通过证明,H G 分别为所在棱中点时，也有四边形EGFH 为菱形，即可判断；对④：根据正方体侧面展开图，结合四边形EGFH 的形状，求得周长的最值，即可判断.【详解】因为正方体的1111ABCD A B C D -棱长为1，且1DH BG AE CF +=+=，可得1D H BG =，1AE CF =，对于①：连接1,BD HG ，交于点O ，如下图所示：根据题意，可得1D H BG =，又1//D H BG /，1BGO D HO ≌，故点O 为直线1,HG D B 的中点，同理可得1AEO C FO ≌，故点O 也为直线1,EF AC 的中点，则四边形EGFH 的对角线互相平分，故四边形EGFH 为平行四边形，则,,,H G E F 四点共面，故①正确；对于②：因为AE //DH ，故当DH AE =时，四边形EADH 为平行四边形，则//EH AD ，又AD ⊥平面11,AA B B EG ⊂平面11AA B B ，故AD EG ⊥，则EH EG ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为矩形；同理，当DH CF =时，也有四边形EGFH 为矩形，综上所述，当DH AE =或DH CF =时，四边形EGFH 为矩形，故②错误；对于③：若,H G 为所在棱的中点时，易知//HG BD /，又111,,,,BD AC BD AA AC AA A AC AA ⊥⊥⋂=⊂平面11AAC C ，故BD ⊥平面11AAC C ，又EF ⊂平面11AAC C ，故BD EF ⊥；则HG EF ⊥，又四边形EGFH 为平行四边形，故四边形EGFH 为菱形，即当,H G 为所在棱中点时，四边形EGFH 为菱形；同理，当,E F 分别为所在棱的中点时，四边形EGFH 也为菱形，故③错误；对于④：根据选项C 中所证，不妨取,E F 分别为所在棱的中点，此时四边形EGFH 为菱形满足题意，取11,BB DD 的中点分别为,M N，画出正方体的部分侧面展开图如下所示由图可知，当,G H 分别与,M N 重合时，四边形EGFH 的周长最小，最小值为4；当,G H 分别与1,B D 重合时，四边形EGFH的周长最大，最大值为12BD =故四边形EGFH周长的取值范围为，故④正确；故选：①④16．【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2a b -的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（2）设a 与b夹角为θ，则cos a b a b θ⋅== ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，所以25a b -== 17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面1ACA ，结合线面垂直的性质即可得解；（2）由中位线定理得出1//OE A C ，结合线面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（2）如图所示，连接OE ，因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，从而1//AC 平面BDE .18．【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos 7=-A ，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，因为0πC <<，所以角π3C =；因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=19．【分析】（1）样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，由此能估计高一年级选历史学科的学生人数．（2）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，利用列举法能求出事件“这2名参赛同学来自相同年级”的概率．（3）利用相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．20．【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出2A B =，结合π4C =判断三角形形状即可.【详解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.πππ,,,424C A B =∴== ABC 是等腰直角三角形.21．【分析】（1）根据面面垂直可证线面及线线垂直，进而可得线面垂直证明线线垂直；（2）（i）若选①，可证四边形11ACC A 为矩形，进而可得线线垂直，证得面面垂直；若选②，由勾股定理可证1AA AB ⊥，进而可证面面垂直；（ii）过B 作BD AC ⊥于点D ，再过D 作1DE A C ⊥，可得二面角的平面角，再根据定义法可得二面角的正弦值.【详解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，因为1AC 平面1ABC ，所以11AB AC ⊥；（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A为矩形，所以1AA AC ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，AC =BC =1A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以3BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以sin BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --若选择条件②：1A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =，因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63。
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期开学考试 数学含答案
2024—2025学年郑州市高二（上）开学考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知正数a ，b ，c 满足2b ac =，则a c bb a c+++的最小值为（）A.1 B.32C.2D.522.已知2319,sin ,224a b c ππ===，则（）A.c b a<< B.a b c<< C.a <c <bD.c <a <b3.已知1133log (1)log (1)a b -<-，则下列说法一定成立的是（）A.11a b> B.1120222021ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.n 0()l a b -> D.若AC abAB =，则点C 在线段AB 上4.已知函数()π37π5sin 2,0,63f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()4F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<< ，则1231222n n x x x x x -+++++= （）A.292πB.625π2C.1001π3D.711π25.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A 与C 互斥②B 与D 对立③A 与D 相互独立④B 与C 相互独立A.①③B.①④C.②③D.②④6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（）A.1B.2C.3D.47.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos a cC C b+=+，则a cb +的最大值为（）C.328.已知12,z z 是复数，满足124z z +=，13=z ，12z z -=12⋅=z z （）A.32B.3C. D.6二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.设12,z z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若12z z =，则12Rz z ∈B.若112z =-+，则202411i22z =-C.若12=z z ，则2212z z =D.若12z z z z -=-，且12z z ≠，则z 在复平面对应的点在一条直线上10.如图，函数()()π2tan 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC 的面积为π2，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为ππ,082k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC.()f x 的单调增区间是ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O 截得的弦长为④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为π2.A.①B.②C.③D.④三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是.13.若函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =，则()y f x =和()y g x =在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的所有公共点的横坐标的和为.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式()(3)0t g t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.16.（15分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数；(2)据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目.按分层抽样的方法从测试成绩在[)0,20，[]80,100的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率.17.（15分）ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为,,a b c .已知3,cos 2a A B A π==+.（1）求b 的值；（2）求ABC 的面积.18.（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC ，且2AD BC =，8PA PB AD ===，5CD =，点E ，F 分别为棱PD ，AD 的中点.(1)若平面PAB ⊥平面ABCD ，①求证：PB AD ⊥；②求三棱锥P ABE -的体积；(2)若8PC =，请作出四棱锥P ABCD -过点B ，E ，F 三点的截面，并求出截面的周长.19.（17分）已知平面向量π2sin 3cos 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数.(1)求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求函数()f x 的最小正周期；(3)求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】因为a ，b ，c 为正数且满足2b ac =，所以2a c b +≥=，当且仅当a b c ==时等号成立，令a c t b+=，[)2,t ∈+∞，则1a cb t b ac t ++=++，令1y t t =+，[)2,t ∈+∞，又1y t t=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取得最小值为15222+=，所以a c bb a c+++的最小值为52，当且仅当a b c ==时取得.故选D.2.【答案】D 【解析】293334π2π2π2πc a ==⨯<= c a∴<3132π2a π==⨯，设()sin f x x =，3()g x x π=，当6x π=时，31sin662πππ=⨯=()sin f x x ∴=与3()g x x π=相交于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭和原点∴0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin x xπ>10,26π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴13sin22π>，即b a >∴c<a<b故选：D.3.【答案】B【解析】因为1133log (1)log (1)a b -<-，则101011a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，即1a b >>，所以11a b<，故A 错误；因为12022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且a b >，所以1120222022ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1b >，所以by x =在()0,+∞单调递增，所以1120222021bb⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以1120222021a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为1a b >>，所以0a b ->，当01a b <-<时，()ln 0a b -<，当1a b ->时，()ln 0a b ->，故C 错误；又1a b >>，所以1ab >，由AC abAB =可得点C 在AB 延长线上，故D 错误；故选B.4.【答案】A【解析】函数()π5sin 2,6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，可得1ππ()23x k k =+∈Z ，即函数的对称轴方程为1ππ()23x k k =+∈Z ，又()f x 的周期为πT =，37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1π37ππ=233k +，可得24k =，所以函数在37π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有25条对称轴，根据正弦函数的性质可知，12231π5π71π2,2,,2366n n x x x x x x -+=⨯+=⨯+=⨯ （最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,将以上各式相加得12312π5π8π71π22226666n n x x x x x -⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2+7124π876π==292π323⨯⨯=，故选A.5.【答案】B【解析】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，所以A 与C 互斥，因此本序号说法正确；②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B 与D 同时发生，因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；③：()()()419341,1,369364369P A P D P AD ===-===，显然()()()P A P D P AD ≠，所以A 与D 不相互独立，所以本序号说法不正确；④：()()()1131,,263612P B P C P BC ====，显然()()()P B P C P BC =，所以B 与C 相互独立，所以本序号说法正确，故选：B.6.【答案】C【解析】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，所以()5π3π18k k ϕ⨯+=∈Z ，解得()5ππ6k k ϕ=-∈Z ，又因为ππ22ϕ-<<，所以6ϕ=π，所以()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()πcos 306f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()ππ3π62x k k +=+∈Z ，解得ππ39k x =+，因为[]0,πx ∈，所以π9x =，4π9，7π9.即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选C.7.【答案】B【解析】在ABC中，有2cos a cC C b++由正弦定理得sin 2sin sin sin cos A C B C B C +=+，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin 2sin sin B C C B C +=，因为sin 0C ≠，所以cos 2B B -=，即π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ62B -=，即2π3B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-()222a c ac a c ac=++=+-()()222324a c a c a c +⎛⎫≥+-=+ ⎪⎝⎭，则233a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，所以33a cb b +≤=.故选B.8.【答案】D【解析】因为21212121212()()()z z z z z z z z z z +=+⋅+=+⋅+，且124z z +=，13=z ，即221211121222212129||()16z z z z z z z z z z z z z z +=+++=+++=，得221212||7z z z z ++=；同理因为21212121212()()()z z z z z z z z z z -=-⋅-=-⋅-，且12z z -=即221211121222212129||()10z z z z z z z z z z z z z z z -=--+=+-+=，得：221212||1z z z z --=；联立可得：224z =，22z =，1212||326z z z z ⋅=⋅=⨯=.故选D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AD【解析】对于A，设()2i ,R z m n m n =+∈，则1i z m n =-，所以2212R z z m n =+∈，故A 正确；对于B，由112z =-，得2211122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()22421111i i 2222z z⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以450220462112z z ⨯-==，故B 错误；对于C，若121,i z z ==，则12=z z ，而22121,1z z ==-，故C 错误；对于D，因为12z z ≠，设12,z z 对应的点为,A B ，若12z z z z -=-，则z 在复平面内对应点到A 和B 的距离相等，即z 在复平面内对应点在线段AB 的垂直平分线上，所以z 在复平面对应的点在一条直线上，故D 正确.故选：AD.10.【答案】ABD【解析】A：当0x =时，()π02tan 24OC f ===，因为2ABC S π= ，所以122ABCS OC AB π== ，得π2AB =，即函数()f x 的最小正周期为π2，由πT ω=得2ω=，故A 不正确；B：由选项A 可知()π2tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ242k x +=，k ∈Z ，解得ππ48k x =-，k ∈Z ，即函数()f x 的对称中心为ππ,048k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故B 不正确；C：由ππ3ππ2π242k x k +<+<+，k ∈Z ，得π5ππ8282πk k x +<<+，k ∈Z ，故C 正确；D：将函数()f x 图象向右平移π4个长度单位，得函数π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 不正确.故选ABD.11.【答案】ACD【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()1,0,0E 、()2,2,1F 、()1,1,1O ，设点()2,,0G a ，其中02a ≤≤，对于①，()1,1,1OD =-- ，()1,2,1EF = ，()1,,0EG a =，若存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ，只需OD EF ⊥，OD EG ⊥，则1210OD EF ⋅=-+-= ，10OD EG a ⋅=-+=，解得1a =，此时，G 为BC 的中点，故当点G 为BC 的中点时，OD ⊥平面EFG ，①对；对于②，当点G 与点B 重合时，A ∈平面EFG ，②错；对于③，()0,1,1EO = ，()1,2,1EF =，则3cos 2EO EF OEF EO EF ⋅∠==⋅，因为0πOEF ≤∠≤，则π6OEF ∠=，所以，点O 到EF的距离为π12sin 622d EO === ，所以，直线EF 被球O截得的弦长为=对于④，设点O 在EF 上的射影为点M ，过直线EF 的平面为α，当直线OM 与平面α垂直时，平面α截球O 所得截面圆的半径最小，且半径的最小值为22=，因此，半径最小的圆的面积为2ππ22⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，④对.故选：ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令πsin cos )4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,]4-.13.【答案】3π【解析】因为()7tan f x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，()5sin 2g x x =的对称中心为π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，所以两函数的交点也关于π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭对称，k ∈Z ，又因为函数()7tan f x x =，()5sin 2g x x =的最小正周期为π，作出两函数的在π3π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，且123456x x x x x x <<<<<，其中13,x x 关于()0,0对称，20x =，46,x x 关于()π,0对称，5πx =，所以1234563πx x x x x x +++++=.故答案为：3π.14.【答案】3/【解析】正四棱台1111ABCD A B C D -的对角面为11ACC A 是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，在等腰梯形11ACC A 中，11AC A C ==，因为1AA =h =所以该棱台的体积为()221442233V =+⨯+⨯.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)1,2a b ==；(2)43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227x f x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ，最小值为420a b -++=，解得1,2a b ==.（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310t g t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-，而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增.由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=.因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.16.（15分）【答案】(1)0.0075；1603；(2)910【解析】（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =设中位数为x ，因为学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>所以中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为2225C 1C 10=，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.17.（15分）【答案】（1）2.【解析】（1）在ABC中，由题意知sin A ==又因为2B A π=+，所有sin sin(cos 23B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a BAb ==.（2）由2B A π=+得cos cos sin 2()B A A π=+=-=A B C π++=,得()C A B π=-+.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(3333=-+⨯13=.因此，ABC的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=.18.（17分）【答案】(1)①证明见解析.②247.(2)232 6.2+【解析】（1）①因为平面PAB ⊥平面,ABCD 平面PAB ⋂平面,ABCD AB =又因为底面ABCD 为直角梯形，其中//,AD BC 所以,AD AB ⊥又因为AD ⊂面,PAD 所以AD ⊥面.PAB 又因为PB ⊂面,PAB 所以.PB AD ⊥②由①知AD ⊥面,PAB 取PA 的中点设为,Q 连结,QE 则,QE AD //则QE ⊥面,PAB 则点E 到面PAB 的距离为14.2AD =又因为在ABCD 直角梯形ABCD 中4BC =，8PA PB AD ===，5,CD =解得3,AB =所以在等腰三角形PAB 中PAB S =△3247.4三棱锥P ABE -的体积132474247.34V =⨯⨯=（2）取线段PC 的中点H ，连接,EH HB ，因为DN BC =，且//DN BC ，所以四边形NDCB 为平行四边形，所以//DC NB ，又,E H 分别为线段,PD PC ，所以//EH DC ，所以//EH NB ，则四边形EHBN 为四棱锥P ABCD -过点,B E 及棱AD 中点的截面，则5BN CD ==，142EN PA ==，1522HE CD ==，在PBC 中，14,4,2BC HC PC ===，21cos 84PCB ∠==，所以22212cos 161624424.4BH BC HC BC HC HCB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则 6.BH =，所以截面周长为523546622BN EN HE HB +++=++=+19.（17分）【答案】(1)3π；(3)max ()2f x =，5π12x =【解析】（1）解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭ ，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝ ，π13322f a b ⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭==.解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅)2sin212sin x x =-sin2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π.（3）当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =.。
2019~2020学年度高二年级第一学期数学开学测试(附答案解析)
2019~2020学年度高二年级第一学期开学测试数学试卷考试范围：必修二必修五难度区间：A(难度大)考试时间：120分钟分值：150分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AP=，，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（）A. B. C. D.2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（）A. 1B.C. 1或D.4.函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A.B. 3，C. 4，D.5.已知平面上点，其中，当，变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是A. B. C. D.6.已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7.在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围为A. B. C. D.8.在锐角三角形ABC中，cos（A+）=-，AB=7，AC=2，则=（）A. B. 40 C. D. 349.已知三棱锥A—BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=90°，AD=2，若球O的表面积为29π，则三棱锥A—BCD的侧面积的最大值为( )A. B. C. D.10.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（）A. 两段圆弧B. 两段椭圆弧C. 两段双曲线弧D. 两段抛物线弧第II卷（非选择题共60分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知在体积为4π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面直径，且AB⊥CD，则三棱锥A-BCD的体积为______．12.底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为______ m2．13.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．14.已知数列{a n}中，a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n N），设b n=+++…+，若对任意的正整数n，当m[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．16.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b M时，|a+b|＜|1+ab|．17.已知数列的前n项和为，且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，设数列的前n项和为，证明．18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P-BFDE的体积．19.已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若，试求点P的坐标；（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）若AF=1，求证：CE∥平面BDF；（Ⅱ）若AF=2，求平面BDF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．21.已知圆C：，直线l：，．求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【解答】解：如图所示：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则当AM⊥BC时，线段PM达到最小值，由于PA⊥平面ABC,AM平面ABC,所以PA AM所以在中，PA2+AM2=PM2，解得AM=1，因为PA⊥平面ABC，BM平面ABC，则由，，平面PAM，故有BM平面PAM，AM平面PAM，BM，所以在中，BM==，则tan∠BAM==,则∠BAM=60°，由于∠BAC=120°，所以∠MAC=∠BAC-∠BAM=60°则△ABC为等腰三角形．所以BC=2，在△ABC中，设外接圆的直径为2r=，则r=2，设球心距离平面ABC的的高度为h,则,解得,所以外接球的半径R═，则S=，故选：C．2.【答案】C【解析】解：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选C．画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两直线的位置关系，由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：直线x+（1+m）y-2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1.故选A．4.【答案】B【解析】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意可得，点;而且圆心（x0，y0）在以原点为圆心，以2为半径的圆上．满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即36π-4π=32π，故选：C．先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列的求和、一元二次不等式，根据题中等式变形得，构造，从而解出本题.【解答】根据题意，，所以，所以，所以，因为对于任意的，，不等式恒成立，所以在时恒成立，即在时恒成立，设，，则，即，解得或，即实数的取值范围为.故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了锐角三角形内角和定理及其性质、余弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在锐角三角形ABC中，A＞B＞C，A+B+C=π，可得，于是＞，即可得出．【解答】解：∵在锐角三角形ABC中，A＞B＞C，A+B+C=π，∴，∴，又∵，∴，∴．故选A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．由cos（A+）=解得cosA=，再由余弦定理得BC=，cosB=，再根据向量数量积可得结果．【解答】解：由cos（A+）=-得：cosAcos -sinAsin =-，得cosA=sinA-，两边平方得：cos2A=sin2A-sinA+，整理得sin2A-sinA+-=0，解得sinA=或sinA=-（舍去），又A为锐角，∴cosA=，∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=72+（2）2-2××=43，∴BC=，∴cosB===，∴•=AB•BC•cos（π-B）=7××（-）=-40．故选A．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三棱锥的内接球的问题，找到球心所在是解题的关键.【解答】解析：因为球O的表面积为29π，所以球的半径为，设AB=a,AC=b，则底面直角三角形ABC的斜边为其外接圆的半径为因为AD⊥平面ABC，所以外接球的半径为=，则，由题意可知，所求三棱锥的侧面积为,运用基本不等式，，当且仅当时，等号成立，即侧面积的最大值为.故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线的轨迹，考查分析运算能力，属于难题．以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC′，设设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线，即可得到答案．【解答】解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为AC′，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′；以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C′（1，1，0），M （，1，1），∴=（1，1，-1），=（，1，0），∵cos∠MAC′====，设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，则cosθ====＞，∴θ＜∠MAC′，∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧；同理可知，P点在平面CDD′C′的交线是双曲线弧，故选C．11.【答案】【解析】解：取AB的中点O，连接OC，OD，则AD=BD，∴OD⊥AB，又AB⊥CD，CD∩OD=D，∴AB⊥平面OCD，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V圆柱=πR2h=4π，即R2h=4，∴三棱锥A-BCD的体积为V A-OCD+V B-OCD=S△OCD•AB===．故答案为：．将三棱锥分解成两个小棱锥计算．本题考查了圆柱、圆锥的体积计算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：如图所示，正三棱锥S-ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO 中，．于是，，．所以．故答案为由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．本题主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由已知及正弦定理可求= ，又b = 4a，可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：由正弦定理及= ，得= ，又b=4a，∴sinC= ，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC= ，∴cosC= == =，解得a = 1，b = 4 ，c = 4，∴S△ABC=absinC == .故答案为.14.【答案】（-∞，1）【解析】【分析】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．通过并项相加可知当n≥2时a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，进而可得数列{a n}的通项公式a n =n（n+1），裂项、并项相加可知b n=2（-）==，通过求导可知f（x）=2x+（x≥1）是增函数，进而问题转化为m2-mt+＞（b n）max，由恒成立思想，即可得结论.【解答】解：∵a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n N），当n≥2时，a n-a n-1=n，a n-1-a n-2=n-1，…，a2-a1=2，并项相加，得：a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，∴a n=1+2+3+…+n=n（n+1），又∵当n=1时，a1=×1×（1+1）=1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n =n（n+1），∴b n =+++…+=++…+=2（-+-+…+-）=2（-）==，令f（x）=2x+（x≥1），设x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=,,f(x1)-f(x2)>0∴f（x）在x[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3，即当n=1时，（b n）max =，对任意的正整数n，当m[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则须使m2-mt+＞（b n）max=，即m2-mt＞0对∀m[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（-∞，1），故答案为：（-∞，1）．15.【答案】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sin B=4（1-cos B），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1-cos B）2+cos2B=1，∴16（1-cos B）2+cos2B-1=0，∴16（cos B-1）2+（cos B-1）（cos B+1）=0，∴（17cos B-15）（cos B-1）=0，∴cos B=；（2）由（1）可知sin B=，∵S△ABC=ac•sin B=2，∴ac=，∴b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-2××=a2+c2-15=（a+c）2-2ac-15=36-17-15=4，∴b=2．【解析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π-B，再利用诱导公式化简sin （A+C），利用降幂公式化简8sin 2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题.16.【答案】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，是中档题．（I）分当x ＜时，当≤x≤时，当x ＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度困难．17.【答案】解：（1）当时，，得，当时，，得，∴数列是公比为3的等比数列，∴ .（2）由（1）得：，又①∴②两式相减得：，故，∴.【解析】本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.（1）利用时，即可得出.（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出.18.【答案】（Ⅰ）证明：连接EF交BD于O，连接OP．在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，∴BE=BF，DE=DF，∴△DEB≌△DFB，∴在等腰△DEF中，O是EF的中点，且EF⊥OD，因此在等腰△PEF中，EF⊥OP，从而EF⊥平面OPD，又EF⊂平面BFDE，∴平面BFDE⊥平面OPD，即平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，可得，，，PD=2，由于，∴∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，在Rt△POD中，由OD•PH=OP•PD，得．又四边形BFDE的面积，∴四棱锥P-BFDE的体积．【解析】（Ⅰ）连接EF交BD于O，连接OP，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，可得EF⊥OP，又EF⊂平面BFDE，即可证得平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，进一步得到∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，求出PH的值，则答案可求．本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，点P在直线上，设P（3m，m），连接MP，因为圆M的方程为，∴圆心M(0,2)，半径r=1，∵过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B，则有⊥，⊥，且，易得≌，又，即,则,即有，解得或，即P点的坐标为或，（2）根据题意，PA是圆M的切线，则⊥，则过点A,P,M三点的圆以MP为直径的圆，设P点坐标为（3m，m），M（0,2），则以MP为直径的圆为，变形得，即，则有，解得或，则当和时，恒成立，则经过A,P,M三点的圆必过定点，且定点坐标为和.【解析】本题主要考查了直线和圆的方程的综合应用以及圆锥曲线中的定点问题，考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力，难度较大. （1）根据题意，设P 点坐标，利用全等关系解得，即可解出m 的值，即P 点的坐标. （2）根据题意可得，根据斜率可得，解出n 的之即可解出面积最小值.（3）根据题意，PA 是圆M 的切线，则，可得以MP 为直径的圆为，即可解得经过A,P,M 三点的圆必过定点，且定点坐标为和.20.【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ． 由题可得F 为AG 中点，O 为AC 中点，∴FO ∥GC ； 又G 为PF 中点，E 为PD 中点，∴GE ∥FD ．又GE ∩GC =G ，GE 、GC ⊂面GEC ，FO ∩FD =F ，FO ，FD ⊂面FOD ． ∴面GEC ∥面FOD ． ∵CE ⊂面GEC ，∴CE ∥面BDF ；（Ⅱ）解：∵底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∴AC ⊥BD ，设交点为O ，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则B （0，- ，0），D （0，，0），P （- ，0，3），C （ ，0，0），F （ ，0，2）．则 ， ， ，，， ，，， ，，， ． 设平面BDF 的一个法向量为 ， ， ，则，取z =3，得 ， ， ． 设平面PCD 的一个法向量为 ， ， ，则，取y = ，得 ， ， ． ∴cos ＜ ， ＞==． ∴平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由三角形中位线定理可得FO ∥GC ，GE ∥FD ．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC ∥面FOD ，进一步得到CE ∥面BDF ；（Ⅱ）由底面ABCD 是边长为 3 的菱形，可得AC ⊥BD ，设交点为O ，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．21.【答案】（1）证明:圆C：（x+2）2+y2=5的圆心为C（-2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离＜．所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）解：设中点为M（x，y），因为直线l：mx-y+1+2m=0恒过定点N（-2，1），则,又所以,所以M的轨迹方程是，它是一个以，为圆心，以为半径的圆．（3）解:假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为,由于圆心C(-2,0) ，半径为，则圆心C(-2,0)到直线l的距离为＜化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．【解析】本题考查点到直线的距离公式，直线的一般式方程，轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．（1）圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离，可得：对m R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）设中点为M（x，y），利用k AB•k MC=-1，即可求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）利用圆心C（-2，0）到直线l的距离为，求出m的范围．22.【答案】(1)解:设直线l的方程为y＝k(x+1)，即kx-y+k＝0．因为直线l被圆C2截得的弦长为，而圆C2的半径为1，所以圆心C2(3，4)到直线l:kx-y+k＝0的距离为＋，化简，得12k2-25k+12＝0，解得或．所以直线l的方程为4x-3y+4＝0或3x-4y+3＝0;②写出动圆的方程即可求解.(2)①证明:设圆心C(x，y)，由题意，得|CC1|＝|CC2|，即＋＋＋．化简得x+y-3＝0，即动圆圆心C在定直线x+y-3＝0上运动;②解:圆C过定点，设C(m，3-m)，则动圆C的半径为＋＋＋＋．于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2＝1+(m+1)2+(3-m)2，整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)＝0．由得或，所以动圆C经过定点，其坐标为，．【解析】本题考查直线与圆及圆与圆的位置关系,同时考查动点轨迹的探求.(1)利用圆的弦长计算方法即可求解;(2)①由已知有|CC1|＝|CC2|,从而求出动圆圆心的轨迹即可求解;。
四川省高二上学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（ ） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上， 当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（ ）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2． 综上，得a=±2， 故选C ．6．函数的零点所在的区间为（ ）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（ ） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（ ）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（ ） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可 【详解】设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。
高二数学上学期入学考试试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校石室二零二零—二零二壹高二数学上学期入学考试试题〔含解析〕一、选择题〔一共12小题；一共60分〕()(){}120A x x =-+<，集合{}|13B x x =-<<，那么A B =〔〕A.{}|11x x -<<B.{}|23x x -<<C.{}|12x x <<D.{}|13x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】此题结合一元二次不等式的解法，考察集合的并集运算。
【详解】可解得集合A {}|21x x =-<<，{}|23A B x x ⋃=-<<，选B.【点睛】解决一元二次不等式应注意大前提是二次项系数大于零时才满足：小于取中间，大于取两边。
{}n a 中，1210a a +=，3460a a +=，那么78a a +=〔〕A.110B.160C.360D.2160【答案】D 【解析】【分析】34a a +应当做整体处理，可看做212()q a a +，求出2q ，再进展求解。
【详解】()2341260a a q a a +=+=，可求出2q =6，()3623781212()()6102160a a q a a q a a +=+=+=⨯=，选D.【点睛】等比数列的求法主要是解决q 的问题，整体代换解决q 是数学中常用的方法，考生应强化指数的相关运算。
3.αβ，为平面，,,a b c ) A.a α⊂，假设b a //，那么b α//B.,c b c αβαβ⊥⋂=⊥，，那么b β⊥C.,a b b c ⊥⊥，那么a c //D.,,,,a b A a b a b ααββ⋂=⊂⊂////，那么αβ// 【答案】D 【解析】A 选项直线b 有可能在平面内；B 选项需要直线b 在平面α内才成立；C 选项两条直线可能异面、平行或者相交.D 选项符合面面平行的断定定理，故正确.210x y +-=的直线方程为〔〕A.20x y +=B.220x y +-=C.20x y +=或者220x y +-=D.20x y +=或者220x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】此题考察平行直线间的间隔公式。
高二数学上学期开学考试题含解析 试题(共10页)
高新部高二开学(kāi xué)考试数学试题一、选择题(一共12小题，每一小题5分,一共60分)1. 函数在，)上的大致图象依次是以下图中的( )A. ①②③④B. ②①③④C. ①②④③D. ②①④③【答案】C【解析】对应的图象为①，对应的图象为②，对应的图象为④，对应的图象为③.应选C.2. 在同一坐标系中，曲线与的图象的交点是( )A. B.C. D. (kπ，0)k∈Z【答案】B【解析】在同一坐标系中，画出曲线与的图象，观察图形可知选项B正确，应选B.3. 关于函数，以下说法正确的选项是( )A. 是周期函数(zhōu qī hán shù)，周期为πB. 关于直线对称C. 在上的最大值为D. 在上是单调递增的【答案】D【解析】.4. 函数x的最小值、最大值分别是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故函数的最小值为，最大值为 .应选A.5. 函数的最小值和最大值分别为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】2. ∴当时，，当时，，应选C.6. 的值是( )A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析】 .应选B.7. 使函数为奇函数，且在区间上为减函数的的一个值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】为奇函数，所以＝，所以，排除A和D；因为在区间]上为减函数，又，所以为奇数，应选C.【点睛】此题的关键步骤有：利用辅助角公式化简表达式；根据奇函数的特征求得＝.8. 假设α是锐角，且)＝，那么的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】是锐角，∴，又)，∴sin(x＋)，∴sinα＝sin[(α＋)－])).应选A.9. 的大小关系是( )A. cos 1＞cos 2＞cos 3B. cos 1＞cos 3＞cos 2C. cos 3＞cos 2＞cos 1D. cos 2＞cos 1＞cos 3【答案(dá àn)】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，应选A.10. 角的终边上一点)，那么等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】角的终边上一点)，那么，那么.应选A.11. 化简式子＋＋的结果为( )A. 2(1＋cos 1－sin 1)B. 2(1＋sin 1－cos 1)C. 2D. 2(sin 1＋cos 1－1)【答案】C【解析】＋＋＝＋＋.【点睛】解决此类问题的要拥有：被开方式化简成完全平方；纯熟运用公式；结合三角函数值断定的符号，再去绝对值.12. 如图是函数)的图象，那么( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案(dá àn)】C【解析】由点在图象上，，，此时.又点在的图象上，且该点是“五点〞中的第五个点，，∴2π，∴，综上，有，应选C.【点睛】解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法〔即按顺序求解〕.2、排除法〔抓住局部特征进展排除〕.分卷II二、填空题(一共4小题,每一小题5.0分,一共20分)13. ________.【答案】－【解析】∵，∴原式.故答案为14. ________.【答案】1－【解析】原式··.故答案为1－15. ________.【答案(dá àn)】【解析】∵,∴，∴原式.故答案为16. 化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】此题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.三、解答题(一共6小题,17.10分。
高二数学开学考(含答案)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高二开学考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案：B2．已知f(α)＝sin π－α·cos 2π－αcos －π－α·tan π－α，则f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－25π3的值为( )A.12 B ．－12C ．32D ．－32答案：A3．函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案：B5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327答案：D6.已知函数f(x)＝1＋cos 2x 4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x ＋asin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15 D ．±10答案：C7．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m n 的值为( )A ．2B ．12C ．3D ．13答案：B 8．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x －3，y －1，若a 与b 共线，则y ＝f(x)的最小值是( )A ．－92B ．－4C ．－72D ．－3答案：C9.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD→|＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案：D10．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36 答案：B11.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B ．18C.14D ．12答案：B12．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B ．1235C ．1735D ．1答案：C二、填空题（每小题5分，共20分）13．(2015·辽宁五校二联)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2mm ＋5，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，2π，则tan x ＝________.答案：－3414．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 答案：－5π615．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2→＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|.→|＝________.则|AM答案：216．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：球与性别有关．(请用百分数表示)附表：答案：三、解答题17（本小题10分）．已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α.(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)解法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 解法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 18（本小题12分）．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π2－α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.19（本小题12分）．设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知，f(x)＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f(x)的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤πx 3－π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x≤6k＋52，k ∈Z ，所以y ＝f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g(x)的最大值即为x ∈[3,4]时y ＝f(x)的最大值．当x ∈[3,4]时， π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，32， f(x)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g(x)的最大值为12.20（本小题12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)∵m ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m⊥n ， ∴ m·n ＝22sin x －22cos x ＝0，即sin x ＝cos x ，∴ tan x ＝sin xcos x＝1.(2)由题意知，|m|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝1， |n|＝sin 2x ＋cos 2x ＝1，m·n ＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4. 而m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝cos π3＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，x －π4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，∴ x ＝5π12.21（本小题12分）.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如图①：②已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2.(1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图②)； (2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人进行访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取24 24＋16×5＝3(人)，记为a，b，c，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2(人)，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况．设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，∴P(M)＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.22（本小题12分）．一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字，现随机抛掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解：(1)因为随机抛掷两次，所以基本事件(b ，c)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．当z ＝4时，(b ，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2个． 所以P(z ＝4)＝216＝18.(2)∵Δ＝b 2＋4c>0恒成立， ∴方程必有两根．∴①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0， 即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0， 即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0， 即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。
高二数学上学期开学考试试题含解析
卜人入州八九几市潮王学校双十二零二零—二零二壹高二数学上学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，5,4a c ==3cos 5B =，b 边的长是()A.3B.6C.7【答案】D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理得到答案. 【详解】根据余弦定理： 故答案选D【点睛】此题考察了余弦定理，属于根底题型. A.假设a b >，c d >，那么a c b d ->- B.假设a b >，c d >，那么ac bd > C.假设ac bc >，那么a b > D.假设22a b c c<，那么a b < 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进展判断，即可得出结论．【详解】对于A ，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确； 对于B ，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确；对于C ，c 的符号不定，故不正确； 对于D ，20c >，故正确． 应选：D ．【点睛】此题考察不等式的性质，考察学生分析解决问题的才能，比较根底．()521y x x x =+≥+获得最小值时的值是x ()1 B.21【答案】B 【解析】 【分析】将函数边形为()51121y x x x =++-≥+利用双勾函数得到答案. 【详解】()5511211y x x x x x =+=++-≥++ 设1(3)x t t +=≥5()1f t t t=+-根据双勾函数性质在)+∞上单调递增.当3t =即2x =时取最小值. 故答案选B【点睛】此题考察了双勾函数性质，属于常考题型.4.()()()2f x x m x n =--+，并且,αβ是方程()0f x =的两根，那么实数,,,m n αβ的大小关系可能是〔〕 A.a m n β<<< B.m n αβ<<< C.m n αβ<<<D.m n αβ<<<【答案】B 【解析】根据题设可知,m n 是方程()()0x m x n --=的两根；由于函数()()()2f x x m x n =--+是函数()()()h x x m x n =--向上平移2个单位所得，因此方程()0f x =的两根,αβ应该满足m n αβ<<<，故应选答案B.{}n a 的各项均为正数，11111,n n n n a a a a a ++=+=-那么数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前15项和为A.3B.4C.127D.128【答案】A 【解析】 【分析】由题得{}2n a 是一个等差数列，求出n a，再求出11n na a +==+利用裂项相消法求和.【详解】由题得{}22211,n n na a a +-=∴是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，所以()2111,n n a n n a =+-⋅=∴=所以11n na a +==+所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前15116413-+-=-=.故答案为：A【点睛】此题主要考察数列通项的求法，考察等差数列的通项和裂项相消法求和，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.6.如图，一栋建筑物AB 的高为(30-m ，在该建筑物的正向有一个通信塔CD ，在它们之间的地面点M 〔,,B M D 三点一共线〕处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，那么通信塔CD 的高为〔〕A.30mB.60mC. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合直角三角形的性质和正弦定理求解塔的高度即可. 【详解】作AE ⊥CD ，垂足为E ，那么：在△AMC 中，AM =sin15AB︒，∠AMC =105°，∠ACM =30°，∴sin105AC =︒，∴AC∴CD AC sin30︒=60m . 此题选择B 选项.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或者余弦定理求解．(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7.数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，ABC ∆的顶点(20)(04)A B ，，，,假设其欧拉线方程为20x y -+=,那么顶点C 的坐标为(〕A.04-（，）B.4,0-（）C.4,0（）或者4,0-（）D.4,0（）【答案】B 【解析】【分析】设C 坐标，根据重心公式得重心坐标，代入欧拉线方程，得顶点C 的坐标满足条件，判断选择.【详解】设C坐标x,y （），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y +-+=∴-+=，从而顶点C 的坐标可以为4,0-（），选B.【点睛】此题考察重心坐标公式，考察根本求解才能.22:4210C x y x y +--+=的圆心在直线l ：()10x ay a R +-=∈上，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，那么AB =A.2B.C.6D.【答案】C 【解析】分析：求出圆的HY 方程可得圆心和半径，由直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心〔2，1〕，求得a 的值，可得点A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值． 详解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即〔x ﹣2〕2+〔y ﹣1〕2=4， 表示以C 〔2，1〕为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心〔2，1〕， 故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A 〔﹣4，﹣1〕．，CB=R=2，∴切线的长． 应选：C ．点睛：此题主要考察圆的切线长的求法，解题时要注意圆的HY 方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于根底题．二、多项选择题：此题一共2小题，每一小题5分，一共10分.在每一小题给出的四个选项里面，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCDA.A D BC '⊥B.三棱锥A BCD '-C.CD ⊥平面A BD 'D.平面A BC '⊥平面A DC '【答案】CD 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】如下列图：E 为BD 中点，连接'A E//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥得到45DBC ADB ∠=∠=︒又45BCD ∠=︒故BCD ∆为等腰直角三角形平面A BD '⊥平面BCD ，CD BD ⊥，所以CD ⊥平面A BD '，所以C 正确E 为BD 中点，'A E BD ⊥那么'A E ⊥平面BCD 所以A E BC '⊥假设A D BC '⊥，那么可得到BC ⊥平面A BD '，故BC BD ⊥与矛盾.故A 错误三棱锥A BCD '-的体积为1132S =⨯=.故B 错误在直角三角形'A CD 中，222'''A C CD A D A C =+∴=在三角形'A BC 中，'1,2,'A B BC A C ===222''''BC A B A C BA CA =+∴⊥ 又''BA DA ⊥所以'BA ⊥平面A DC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '，故D 正确综上所述：答案为CD【点睛】此题考察了立体几何线线垂直，线面垂直，体积，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=.假设直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线互相垂直，那么实数k 的取可以是() A.1 B.2 C.3 D.4【答案】AB 【解析】 【分析】先得到P 的轨迹方程为圆，与直线()1y k x =+有交点，得到k 的范围，得到答案. 【详解】222240(2)4x y x x y +-=∴-+=P 所作的圆的两条切线互相垂直，所以P ，圆点C ，两切点构成正方形=PC 22(2)8x y -+=P 在直线()1y k x =+上，圆心距d =≤计算得到k -≤≤故答案选AB【点睛】此题考察了圆的切线问题，通过切线垂直得到P 的轨迹方程是解题的关键. 三、填空题〔此题一共6小题，每一小题5分，一共30分〕()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直，那么实数a 的值是__________．【答案】16【解析】 【分析】直接利用垂直关系公式得到答案.【详解】直线()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直 所以3(12)20a --=即16a = 故答案为16【点睛】此题考察了直线的垂直关系，属于根底题型.{}n a ，满足()1221n n a a n N *+=-∈，11a =，14737S a a a a =+++⋅⋅⋅+，那么S =__________．【答案】104- 【解析】 【分析】先判断{}n a 是等差数列，计算通项公式，得到37a ，计算得到答案. 【详解】()1112212n n n na a n Naa *++=-∈∴-=-，11a = 1322n a n =-+，3717a =-根据等差数列性质：71437,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列 故答案为104-【点睛】此题考察了数列通项公式的计算，前N 项和计算，利用等差数列性质判断71437,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列是解题的关键.13.()21,23,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，假设()0f x a -=有三个不同的实数解，那么a 的取值范围为_______________ 【答案】()0,1 【解析】【分析】作出函数()f x 图象，结合图象确定结果.【详解】函数()f x 图象如图，所以假设()0f x a -=有三个不同的实数解，那么a 的取值范围为()0,1.【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.14.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，且1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，1AA ⊥平面ABCD ，假设1DE A E =，试求异面直线AE 与1A D 所成角的余弦值_________．【解析】 【分析】取BB 1的中点F ，连接EF 、AF ，那么异面直线AE 与1A D 所成角为∠AEF 〔或者其补角〕，在三角形△AEF 中根据边角关系得到答案.【详解】取BB 1的中点F ，连接EF 、AF ，连接B 1C ， ∵△BB 1C 中，EF 是中位线，∴EF ∥B 1C ∵A 1B 1∥AB ∥CD ，A 1B 1＝AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，可得B 1C ∥A 1D ∴EF ∥A 1D ，可得∠AEF 〔或者其补角〕是异面直线AE 与A 1D 所成的角．∵△CDE 中，120ECD ∠=︒，∴DE ===A 1E =又AE ＝AB ＝1，∴A 1A =BF 2=，AF ＝EF ==， ∴cos∠AEF 2222AE EF AF AE EF +-==⨯⨯，即异面直线AE 与A 1D【点睛】此题考察了异面直线夹角的定义及作法，意在考察学生的计算才能和空间想象才能.214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．【答案】53,124【解析】 【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过()2,4；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围. 【详解】214y x ()()22141x y y ⇒+-=≥()24y k x =-+为恒过()2,4的直线那么曲线图象如以下列图所示：由图象可知，当直线斜率(]12,k k k ∈时，曲线与直线有两个相异交点()124y k x =-+与半圆()()22141x y y +-=≥2=解得：1512k = 又()2413224k -==--53,124k ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦此题正确结果：53,124【点睛】此题考察利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是可以通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线y 的范围，误认为曲线为圆.16.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马〔底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥〕和一个鳖臑〔四个面均为直角三角形的四面体〕．在如下列图的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，那么阳马111C ABB A -的外接球的外表积是_________________【答案】50S π=【解析】【分析】根据堑堵定义以及长方体性质可得阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，再根据球的外表积公式求结果.【详解】由于1CB,,BA BB 两两互相垂直，所以阳马111C ABB A -的外接球的直径为1A C ，即2R ==2450R ππ=.【点睛】假设球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形〞成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．四、解答题〔一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos 0a B B C +=，a =．()1求A ；()2假设2b =，求ABC 的面积． 【答案】〔1〕3A π=〔2【解析】【分析】 〔1〕利用正弦定理以及三角形的内角和，结合特殊角的三角函数求解即可．〔2〕利用余弦定理求出c ，然后求解三角形的面积即可．【详解】()()1sin cos 0a B B C +=，可得sin sin cos 0A B B A =，sin A A ∴=，tan A ∴=3A π∴=()2因为3A π=，a =，2b =，所以2141924c c+-=，5c ∴= 【点睛】此题考察正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考察计算才能，属于根底题.18.n S 为数列{}n a 的前n 项和.0n a >，2364n n n a a S +=+. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】〔1〕31n a n =+〔2〕11434n -+. 【解析】 〔1〕当1n =时，有2111364a a a +=+，即()()11410a a -+=.因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即1a =4由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+.两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--.即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=，即()()1130n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=.所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列.所以()43131n a n n =+-=+.〔2〕由〔1〕知()()31131343134n b n n n n ==-++++. 所以11111111114771032313134434n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19.如图,直三棱柱111ABC A B C -中,1,1,2,2,,AB AC AB AC AA D E ⊥===分别为11,BC A C 的中点.(1)证明:1//C D 平面ABE ;(2)求1CC 与平面ABE 所成角的正弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2 【解析】【分析】(1)法一：要证1C D ∥平面ABE ，只需证明1DC HE ∥即可，通过构造平行四边形可证之；法二：可先证平面1C KD ∥平面ABE ，利用面面平行的性质即可得到1C D ∥平面ABE ; 〔2〕法一：由于111,CC AA A AE ∠∥即为1CC 与平面ABE 所成的角，利用数据求之；法二：〔等积法〕利用等积法计算出1A 到平面ABE 的间隔，从而要求之答案为：1sin dAA θ=即可.【详解】〔1〕法一：取AB 中点H ，连接,EH HD ，在直三棱柱111ABC A B C -中，112EC AC ∥. ∵D 为BC 中点，H 为AB 中点，∴11,2HD AC HD EC ∥∥，∴四边形1DHEC 为平行四边形，∴1DC HE ∥.∵EH ⊂平面ABE ，1C D平面ABE ， ∴1C D ∥平面ABE .法二：取AC 中点K ，连结1,C K KD ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC ∥. ∵E 为11A C 中点，K 为AC 中点，∴1EC AK ∥，∴四边形1AKC E 为平行四边形，∴1AE C K ∥.又1C K ⊂/平面ABE ，AE ⊂平面ABE ，∴1C K ∥平面ABE .∵,K D 分别为,AC BC 中点，∴12DK AB ∥.又DK ⊂/平面ABE ，AB 平面ABE ，∴DK ∥平面ABE . 1,C K DK K =∴平面1C KD ∥平面ABE .1C D ⊂平面11,C KD C D ∴∥平面ABE . 〔2〕法一：直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥.又∵AB AC ⊥，且1AC AA A =∩，∴AB ⊥平面11ACC A .过1A 作1A F AE ⊥于F .∵1A F ⊂平面11ACC A ，∴1AB A F ⊥.又1,AB AE A A F =∴⊥∩平面ABE .又111,CC AA A AE ∴∠∥即为1CC 与平面ABE 所成的角.1112,1,sin 5AA A E AE A AE ==∴=∴∠==. 法二：〔等积法〕1111,CC AA AA CC ∴、∥与平面ABE 所成的角相等.连结1A B ，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥.又1,,AB AC AC AA A AB ⊥⋂=∴⊥平面11ACC A .1111111213323B A AE A AE V S AB -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，AE ===设1A 到平面ABE 的间隔为d，11111332A ABE ABE V S d d -=⨯⨯=⨯⨯=△.∵111,3A ABE B A AE V V --=∴=，即d =设1CC 与平面ABE 所成的角为θ，1sin 5d AA θ∴==. 【点睛】此题主要考察线面平行，线面角所成正弦值的相关计算，意在考察学生的空间想象才能，分析才能，转化才能，计算才能.()f x =2(,2x x b a b a++为常数),且()()11,003f f ==. (1)判断函数()f x 在定义域上的奇偶性,并证明;(2)对于任意的[]()()0,2,214x x x f x m ∈+<⋅恒成立,务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕1,4∞⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】【分析】 〔1〕代入求出a ，b 值，根据奇偶性定义判断即可；〔2〕变量别离构造函数g 〔x 〕，把恒成立问题转化为最值问题解决即可．【详解】(1)由可得()1f =()21,023b f a +=+=101b a+=+, 解得1,1,a b ==-所以()2121x x f x -=+,函数()f x 为奇函数. 证明如下:()f x 的定义域为R ,()f x -=21122112x x x x ----=++=()f x -,∴函数()f x 为奇函数,()()2f x =21,21421x x x x m -∴-<⋅+, 214x x m -∴>=1124x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=(),g x 故对于任意的[]()()0,2,214x x x f x m ∈+<⋅恒成立等价于()max ,m g x > 令t =1,2xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭则=21,(1),4t t t -≤≤ 那么当12t =时,2max 111,224y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故1,4m > 即m 的取值范围为1,.4∞⎛⎫+⎪⎝⎭ 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数别离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意别离参数法不是万能的，假设别离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用别离参数法.21.某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的消费和生活用水，该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W (吨)与时间是t (小时，且规定早上6时t ＝0)的函数关系为：W ＝．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每进步一级，每小时进水量就增加10吨．假设某塔原有水100吨，在开场供水的同时翻开进水管．〔1〕假设进水量选择为2级，试问：水塔中水的剩余量何时开场低于10吨？ 〔2〕如何选择进水量，既能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出【答案】〔1〕从7时起，水塔中水的剩余量何时开场低于10吨．〔2〕进水量应选为第4级【解析】【分析】⑴由条件计算当进水量选择为2级时，水塔中水的剩余量化简为90t -<，然后计算出结果⑵结合题意得010********xt t <+--≤，分别计算出结果【详解】〔1〕当2x =时，由10y <得90t -<，且016t ≤≤所以19<<，181t <<．所以从7时起，水塔中水的剩余量何时开场低于10吨．〔2〕根据题意0300y <≤，进水x 级，所以010********xt t <+--≤． 由左边得2111110?11024x t ⎫⎫>+-=+-+⎪⎪⎭⎭〔－〕， 当4t =时，21111024⎫+-+⎪⎭〔－〕有最大值3.5．所以 3.5x >． 由右边得20xt≤＋1， 当16t =时，20t ＋1有最小值4.75， 所以 4.75x ≤综合上述，进水量应选为第4级【点睛】此题以函数在实际生活中的应用为例，考察了着重考察了数学建模的根本应用，然后转化为函数来求解，需要审准题意，构建函数表达式来求解。
高二数学上学期开学考试试题PDF
一中2021―2021学年度高二年级第一学期开学考试数学参考答案 第I 卷 选择题 一共60分一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的．1．【解析】由题知{}|12M x x =-≤≤，那么M N ={}|12x x <≤，应选C .2．【解析】由(,)2παπ∈， 3sin 5α=，那么34sin()cos 25παα--===-， 应选A.3．【解析】由12l l ⊥，那么320m -=，解得32m =，应选C. 4．【解析】由3330log 1log 2.8log 31=<<=，103221>=，1122log 3log 10<=，那么b ac >>，应选D.5．【解析】由ab c b a =-+222，那么222c a b ab =+-，又由余弦定理得2222222()1cos 222a b c a b a b ab C ab ab +-+-+-===，由(0,180)C ∈，那么C =60︒，应选B.6．【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a =，52a =，156a a ∴+=，数列的前5项和为155553152a a S =⨯=⨯=+．即金锤一共重15斤，应选A ．7．【解析】由题知，几何体的体积为1222ABC V S AD ∆=⋅==，应选C. 8．【解析】由cos5sin(5)sin[5()]210y x x x ππ==+=+，sin(5)sin[5()]420y x x ππ=-=-设平移ϕ个单位长度，那么1020ππϕ+=-，解得320πϕ=-，那么只需将函数cos5y x =的图像向 右平移320π个单位长度可得到函数sin(5)4y x π=-的图像.应选B. 9．【解析】由题知221:(1)(2)1O x y ++-=，222:(5)(4)4O x y -++=，那么两圆心的间隔 为=M 为圆1O 上一点， N 为圆2O 上一点，那么，1212max 3MN OO r r =++=应选A.10．【解析】取BC 中点为M ，连接,OM EM ,在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点,易知：1//AD EM ,异面直线1D A 与EO 所成角为OEM ∠设正方体边长为2，在EMO ∆中：1,OM EM OE ===in s OEM ∠=故答案选C.11．【解析】由0MA MB MC ++=可知M 为ABC ∆的重心，取BC 的中点N ，那么有23AM AN =，所以23AB AC AM AN λλ+==，那么3λ=，应选D. 12．【解析】由(1)(1)f x f x -=+那么(11)(11)f x f x -+=++，即()(2)f x f x =+，那么的()f x 周期2T =， 又[0,1]x ∈时，2()f x x =，且()f x那么可做出()f x 与1()()10x g x =在10[0,]3如下图，那么关于x 的方程1()()10xf x =在10[0,]3上跟的个数为3个，应选B.第II 卷 非选择题 一共90分二、填空题：本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分．13．【答案】36【解析】()(2,4)(0,9)204936a a b⋅+=⋅=⨯+⨯=14．【答案】12【解析】不等式组对应的平面区域如下图，2yzx=+的几何意义是可行域的点(,)P x y与点(2,0)M-1010(2)2BMk-==--，结合图形可得12z≥，故的最小值为1215．【答案】9π【解析】如图由PB⊥平面,ABC AB AC⊥，那么可在四面体的根底上构造长方体，可知长方体的外接球与四面体的外接球一样长方体的体对角线为外接球的直径23R==，所以32R=，那么49S Rππ==球16．【答案】①②【解析】①假设222a b+=，那么a b+的最大值为2，2222222()242a b ab a b a b ab a b+=≥⇒+=++≤⇒+≤，正确②当0,0a b>>时，114a b++≥114a b+++≥，1a b==时等号成立，正确Oyx12-2-121CBAM221CB AP③41y x x =+-的最小值为5，取0,4x y ==- 错误 ④只有,a b 都为正数时，2a b b a+≥才成立，,a b 均为负数时也成立.故答案为①②三、解答题：一共70分，解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤． 17．〔本小题满分是10分〕【解析】〔I 〕由()cos 2cos c B a b C =-，那么由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos C B A B C A C B C =-=-， 所以()sin cos sin cos sin sin 2sin cos C B B C B C A A C +=+== 又sin 0A ≠，所以1cos 2C = 因为()0,C π∈，解得3C π=．…………………………………………………………………5分〔II 〕由1,b c ==sin sin b c B C=，即1sin sin 3B π=那么1sin 2B =，由c b >，那么C B >，那么(0,)3B π∈ 所以6B π=，那么2A π=所以12ABC S bc ∆==………………………………………………………………………10分18. 〔本小题满分是12分〕【解析】〔I 〕证明：因为G 为CD 的中点，那么2,////AB CD EF AB EF CD ==， 所以//,EF DG EF DG =.那么四边形DEFG 为平行四边形， 所以//FG ED .又由FG ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以//FG 平面ADE ………………………………………………………………………6分 〔II 〕因为平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABF ，又AD ⊂平面ADF ，所以平面ADF ⊥平面ABF . ············ 12分 19. 〔本小题满分是12分〕【解析】〔I 〕设公差为d ，又因为4a ，64a +，14a 等比数列.()()()213113154d d d ∴++=++，解得：3d =或者47d =-〔舍去〕()11332n a n n ∴=+-⋅=- ······················· 6分 〔II 〕由〔I 〕可知()213231222n n n S n n+-⨯==-()2331112231211222n S n n n n n n n n ⎛⎫∴==⋅=⋅- ⎪+++⎝⎭-+()111111112212233411n nT n N n n n +⎛⎫∴=⋅-+-+-++-=∈ ⎪++⎝⎭ ······ 12分 20.〔本小题满分是12分〕【解析】证明：〔Ⅰ〕 由题知在直角梯形ABCE 中，CD AE ⊥，,CD AD CD DE '∴⊥⊥，又ADDE D '=所以CD ⊥平面ADE '又AE ⊂平面ADE '，AE CD '∴⊥ ··················· 6分(Ⅱ) 〔文〕作AD 的中点O ，连接OE '由60ADE '∠=，224AE AB BC ===，那么OE AD '⊥ 又〔Ⅰ〕知CD ⊥平面ADE 'OE CD '∴⊥由CDAD D =所以OE '⊥平面ABCD由60ADE '∠=，224AE AB BC ===，那么OE '= 那么13B ACE E ABC ABC V V S OE ''--∆'==⋅1122323=⨯⨯⨯=……………………………..12 (Ⅱ) 〔理〕作AD 的中点O ，连接OE '由60ADE '∠=，224AE AB BC ===，那么OE AD '⊥ 又〔Ⅰ〕知CD ⊥平面ADE '，OE CD '∴⊥由CDAD D =，所以OE '⊥平面ABCD那么可过点O 作平行于AB 的直线建立空间直角坐标系O xyz -， 由60ADE '∠=，224AE AB BC ===，那么OE 那么(2,1,0),(2,1,0),B C E '-， 那么(0,2,0),(BC BE '==- 设平面BCE '的一个法向量为(,,)n x y z =那么00BC n BE n ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩即020y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3z =，那么12x =，那么1(,0,)23n = 易知(0,0,1)m =为平面ABCD 的一个法向量， 设平面BCE '与平面ABCD 所成的角为θ，那么33cos 1n m n mθ⋅===+ (12)21．〔本小题满分是12分〕．【解析】〔I 〕由题意知，汽车从A 地匀速到B 地所用时间是为120v， 全程本钱为2120()120(),(0,120]ay bv a bv v v v=+⋅=+∈ ·········· 6分〔II 〕当150,200a b ==时， 150120()120200y v v =+≥= 当且仅当100v =时取等号所以汽车应以100/km h 的速度行驶，才能使得全程运输本钱最小 ······ 12分 22．〔本小题满分是12分〕【解析】〔I 〕由于直线4x =与圆1C 不相交，所以直线l 的斜率存在， 设直线l 方程为(4)y k x =-，圆1C 的圆心到直线l 的间隔 为d ， 因为直线l 被圆1C 截得的弦长为，所以1d == ，又d =，从而(24 7)0k k +=即0k =或者724k =-所以直线的方程为0y =或者724280x y +-= .··································· 6分 (II) 设点(, )P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 和2l 的斜率均存在且不为0， 不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，那么直线2l 方程为1()y b x a k-=-- ，因为1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 所以圆1C 的圆心到直线1l 的间隔 和圆2C 的圆心到直线2l 的间隔 相等，=整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+-- 即13(54)k ak b k a bk ++-=±+--(2)3a b k b a +-=-+或者(8)5a b k a b -+=+-因为k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩ 或者8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或者32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点151,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭或者点2313,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ .··································· 12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学上学期开学考试理试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校一中二零二零—二零二壹高二数学上学期开学考试理试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.设集合S={x|〔x-2〕〔x-3〕≥0}，T={x|x＞0}，那么S∩T=〔〕A. B.C. D.2.与函数y=x有一样图象的一个函数是〔〕A. B.C. D.3.函数f〔x〕为奇函数，且当x＞0时，f〔x〕=x2-，那么f〔-2〕=〔〕A. B. C. D.4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球面的外表积为〔〕A. B. C. D.5.经过空间不一共线的四点，可确定的平面个数是〔〕A.1B.4C.1或者4D.1或者36.为理解城居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进展调查，其中老年人抽取了3名，那么n=〔〕A.13B.12C.10D.97.A〔1，4〕，B〔8，3〕，点P在x轴上，那么使|AP|+|BP|获得最小值的点P的坐标是〔〕A. B. C. D.8.，，且，那么与的夹角为〔〕A. B. C. D.9.设，，那么〔〕A. B. C. D.10.直线x+y-a=0与圆C：〔x-a〕2+〔y+a〕2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，那么实数a的取值为〔〕A.或者B.1或者C.2或者D.111.方程sin x=的根的个数为〔〕A.7B.8C.9D.1012.在Rt△ABC中，∠ABC=，AB=8，BC=6，D为AC中点，那么∠ADB的余弦值等于〔〕A. B. C.0 D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.cos75°=______．14.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，那么选中的2人都是女同学的概率为______．15.偶函数f〔x〕在[0，+∞〕单调递减，f〔2〕=0，假设f〔x-1〕＞0，那么x的取值范围是______．16.把函数y=f〔x〕的图象向右平移个单位，恰与函数y=sin2x的图象重合，假设对任意的，恒有，那么k的取值范围是______．三、解答题〔本大题一一共6小题〕17.A〔x，0〕，B〔2x，1〕，C〔2，x〕，D〔6，2x〕．〔1〕假设向量与向量一共线，务实数x的值；〔2〕假设A，B，C，D四点在一条直线上，务实数x的值．18.的一个零点是〔1〕求f〔x〕的最小正周期〔2〕当时，求函数的最大值以及最小值19.某制造商3月消费了一批乒乓球，随机抽取100个进展检查，测得每个球的直径〔单位：mm〕，将数据进展分组，得到如下频率分布表：〔Ⅰ〕补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；〔Ⅱ〕统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值〔例如区间[3，40.1〕的中点值是40.0〕作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值〔准确到0.1〕．20.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，F为B1C1的中点．〔1〕证明A，C，F，E四点一共面，并求四边形ACFE的面积；〔2〕过A，C，F，E四点的平面把正方体截成两局部几何体，求两局部几何体体积之比〔小比大〕．21.圆C：〔x-1〕2+〔y-2〕2=25及直线l：〔2m+1〕x+〔m+1〕y=7m+4〔m∈R〕〔Ⅰ〕证明：不管m取什么实数，直线l与圆C恒相交；〔Ⅱ〕求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．22.函数f〔x〕=ax2-2x+1+b〔a≠0〕在x=1处获得最小值0．〔1〕求a，b的值；〔2〕，求函数的最小值与最大值及获得最小值与最大值时对应的x值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键,属于根底题.求出S中不等式的解集，确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或者x≥3，即S=〔-∞，2]∪[3，+∞〕，∵T=〔0，+∞〕，∴S∩T=〔0，2]∪[3，+∞〕，应选D.2.【答案】D【解析】解：由题意知所求函数与y=x表示同一个函数，故定义域、值域、对应法那么都一样又原函数y=x的定义域为R、值域为R对于A：函数y==|x|的值域为[0，+∞〕，解析式及值域均与原函数的不同，故不正确；对于B：=x，其定义域为[0，+∞〕，值域为[0，+∞〕，与原函数的不同，故不正确对于C：函数=x，其定义域，值域均为〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕，与原函数的不同，故不正确对于D：函数=x，与原函数的定义域、值域、对应法那么都一样，故正确应选D如两个函数有一样的图象，那么这两个函数表示同一个函数，需满足定义域、值域、对应法那么都一样，分别验证即可得答案．此题考察两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素〔定义域、值域、对应法那么〕都一样．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题3.【答案】C【解析】解：根据题意，当x＞0时，f〔x〕=x2-，那么f〔2〕=4-=，又由函数f〔x〕为奇函数，那么f〔2〕=-f〔-2〕=-；应选：C．根据题意，由函数的解析式可得f〔2〕的值，结合函数的奇偶性可得f〔2〕=-f〔-2〕，即可得答案．此题考察函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质进展分析．4.【答案】A【解析】【分析】此题考察学生的空间想象才能，体积与面积的计算才能，先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的外表积，是根底题．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=，即为球的直径，所以半径为，所以球的外表积为=12π．应选A．5.【答案】C【解析】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．应选：C．分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．借助几何模型三棱锥分析．6.【答案】A【解析】解：由分层抽样得=，解得n=13，应选：A．根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此题的关键．比较根底．此题主要考察分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此题的关键．比较根底．7.【答案】B【解析】解：由题意，点A〔1，4〕关于x轴的对称点为A′〔1，-4〕，连接A′B，交x轴于点P，此时|AP|+|BP|获得最小值，如下列图；设点P〔x，0〕，那么=〔x-1，4〕，=〔8-x，3〕，与一共线，那么3〔x-1〕-4〔8-x〕=0，解得x=5，所以点P的坐标是〔5，0〕．应选：B．求出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，利用向量一共线求出点P 的坐标即可．此题考察了直线方程的应用问题，是根底题．8.【答案】B【解析】解：∵；∵=；∴；又；∴与的夹角为．应选：B．根据即可得出，进展数量积的运算即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考察向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的范围．9.【答案】B【解析】【分析】此题考察了对数值大小的比较，考察了对数的运算性质，是中档题．直接利用对数的运算性质化简即可得答案．【解答】解：∵a=log0.3=，b=log20.3=，∴=，ab==∵，，∴ab＜a+b＜0．应选：B．10.【答案】B【解析】解：根据题意，圆C：〔x-a〕2+〔y+a〕2=1的圆心为〔a，a〕，半径r=1，假设△ABC为等腰直角三角形，那么圆心C到直线AB的间隔d=r=，又由AB的方程为x+y-a=0，那么有d===，解可得：a=1或者-1；应选：B．根据题意，分析圆的圆心与半径，结合等腰直角三角形的性质分析可得圆心C到直线AB的间隔d=r=，又由点到直线的间隔公式可得d===，解可得a的值，即可得答案．此题考察直角与圆的位置关系，涉及点到直线的间隔公式和圆的HY方程，纯熟掌握公式及性质是解此题的关键．11.【答案】A【解析】解：方程sin x=的根的个数即为函数y=sin x与直线y= 的交点的个数，直线y= 过原点，在〔0，10〕上和函数y=sin x有3个交点，在〔-10，0〕上也有3个交点，在原点和函数y=sin x有一个交点，在其它的区间上，这两个函数没有交点，故这两个函数的交点个数为7，即方程sin x=的根的个数为7，应选：A．方程sin x=的根的个数即为函数y=sin x与直线y= 的交点的个数，在〔0，10〕上有3个交点，在〔-10，0〕上也有3个交点，在原点有一个交点．此题考察方程的根与两个函数的交点的关系，表达了转化的数学思想．12.【答案】A【解析】解：Rt△ABC中，∠ABC=，AB=8，BC=6，D为AC中点，所以，BD=AD=DC=5．在△ABD中，利用余弦定理=应选：A．直接利用勾股定理和余弦定理的应用求出结果．此题考察的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．13.【答案】【解析】解：cos75°=cos〔45°+30°〕=cos45°cos30°-sin45°sin30°=×-×=．故答案为：将所求式子中的角75°变形为45°+30°，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．此题考察了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，纯熟掌握公式是解此题的关键．14.【答案】0.3【解析】解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，根本领件总数n=，选中的2人都是女同学包含的根本领件个数m=，那么选中的2人都是女同学的概率为p=．故答案为：0.3．根本领件总数n=，选中的2人都是女同学包含的根本领件个数m=，由此能求出选中的2人都是女同学的概率．此题考察概率的求法，考察古典概型概率计算公式等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．15.【答案】〔-1，3〕【解析】解：∵偶函数f〔x〕在[0，+∞〕单调递减，f〔2〕=0，∴不等式f〔x-1〕＞0等价为f〔x-1〕＞f〔2〕，即f〔|x-1|〕＞f〔2〕，∴|x-1|＜2，解得-1＜x＜3，故答案为：〔-1，3〕根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f〔|x-1|〕＞f〔2〕，即可得到结论．此题主要考察函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f〔|x-1|〕＞f〔2〕是解决此题的关键．16.【答案】〔，]【解析】解：∵把函数y=f〔x〕的图象向右平移个单位，恰与函数y=sin2x的图象重合，那么把函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得f〔x〕=sin〔2x+〕=cos2x的图象．假设对任意的，恒有，且f〔〕=cos=-=cos，那么＜k≤，故答案为：〔，]．由题意利用函数y=A sin〔ωx+φ〕的图象变换规律，结合余弦函数的图象，可得k的范围．此题主要考察函数y=A sin〔ωx+φ〕的图象变换规律，函数的恒成立问题，余弦函数的图象，属于中档题．17.【答案】解：〔1〕，∵，∴x2-4=0，解得x=±2；〔2〕∵A，B，C，D四点在一条直线上，∴，且，且，∴x〔x-1〕-〔2-2x〕=0，解得x=-2或者1；由〔1〕知，假设那么x=±2，∴假设A，B，C，D四点在一条直线上，那么x=-2．【解析】〔1〕可求出，根据即可得出x2-4=0，从而求出x=±2；〔2〕假设A，B，C，D四点在一条直线上，那么可得出且，根据〔1〕由得出x=±2，同样的方法，由可求出x=-2或者1，从而得出x的值．考察根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量一共线的定义，以及一共线向量的坐标关系，“四点A，B，C，D在一条直线上“等价于“，且〞．18.【答案】解：〔1〕f〔x〕=sin〔2x-φ〕-1的最小正周期为=π．∵f〔x〕的一个零点是，∴sin〔2•+φ〕-1=0，求得cosφ=，∴φ=，∴f〔x〕=sin〔2x-〕-1，〔2〕当时，2x-∈[-，]，故当2x-=时，函数f〔x〕获得最大值为-1，当2x-=-时，函数f〔x〕获得最小值--1．【解析】〔1〕根据函数的解析式，求出f〔x〕的最小正周期．〔2〕利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，函数的最大值以及最小值．此题主要考察正弦函数的周期性和零点，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：〔1〕频率分布表和频率分布直方图如下：…〔6分〕〔2〕这批乒乓球直径的平均值约为：3×0.10+3×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=36≈40.00〔mm〕．…〔12分〕【解析】〔1〕由条件能求出频率分布表和频率分布直方图．〔2〕利用频率分布直方图能求出这批乒乓球直径的平均值．此题考察频率分布表和频率分布直方图的作法，考察这批乒乓球直径的平均值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．20.【答案】〔1〕证明：连接A1C1，∵E为A1B1的中点，F为B1C1的中点，∴EF∥A1C1，∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，那么A1C1∥AC，∴EF∥AC，那么A，C，F，E四点一共面．在平面四边形ACFE中，EF∥AC，由题意可得AE=CF，那么四边形ACFE为等腰梯形，EF=，AC=2，CF=，那么F到AC的间隔为．∴四边形ACFE的面积S=；〔2〕解：正方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=2×2×2=8．棱台ABC-EB1F的体积=，那么剩余局部多面体的体积．∴两局部几何体体积之比〔小比大〕为．【解析】〔1〕由三角形中位线定理证明EF∥A1C1，再由平行公理证明EF∥AC，那么A，C，F，E四点一共面，由梯形面积公式求四边形ACFE的面积；〔2〕求出正方体与棱台ABC-EB1F的体积，作差求出剩余多面体的体积，那么答案可求．此题考察空间中点、线、面间的位置关系，训练了多面体体积的求法，是中档题．21.【答案】解：〔Ⅰ〕由直线l：〔2m+1〕x+〔m+1〕y=7m+4〔m∈R〕有：m〔2x+y-7〕+〔x+y-4〕=0；得即即直线l恒过定点〔3，1〕；又〔3-1〕2+〔1-2〕2=5＜25，即点〔3，1〕在圆C内部；故不管m取什么实数，直线l与圆C恒相交；〔Ⅱ〕圆C的圆心为C〔1，2〕；设直线l恒过定点P〔3，1〕；当直线l与直线CP垂直时，圆心到直线的间隔最长，此时弦长最短；此时，弦长最短为2；直线l的斜率为2，那么直线l的方程为：y=2x-5；故直线l与圆C所截得的弦长的最短长度为，此时直线l的方程y=2x-5；【解析】〔Ⅰ〕直线〔2m+1〕x+〔m+1〕y=7m+4〔m∈R〕恒过定点〔3，1〕，且该点在圆内；〔Ⅱ〕当直线截圆的弦以定点〔3，1〕为中点时，弦长最短；含有参数的直线要求出其所过定点，直线与圆中的问题要注意数形结合利用垂径定理．属于中档题．22.【答案】解：〔1〕f〔x〕=ax2-2x+1+b〔a≠0〕在x=1处获得最小值0，即=1，f〔1〕=a+b-1=0，解得a=1，b=0；〔2〕由〔1〕知f〔x〕=〔x-1〕2，g〔x〕==x+-2，g〔|2x-1|〕=|2x-1|+-2，令t=|2x-1|，∵x∈[，2]，那么t∈[-1，3]，g〔t〕=t+-2≥0，当且仅当t=，即t=1时等号成立，即|2x-1|=1，解得x=1；g′〔t〕=，t∈[-1，1]时g′〔t〕＜0，g〔t〕单调递减；t∈[1，3]时，g′〔t〕0，g〔t〕单调递增；∵g〔〕=2〔-1〕，g〔3〕=，∴g〔3〕＞g〔〕，|2x-1|=3，解得x=2，∴x=2时，g〔|2x-1|〕max=，x=1时，g〔|2x-1|〕min=0；【解析】〔1〕f〔x〕=ax2-2x+1+b〔a≠0〕在x=1处获得最小值0，知对称轴=1，f〔1〕=a+b-1=0，进而求解；〔2〕令t=|2x-1|，∵x∈[，2]，那么t∈[-1，3]，g〔t〕=t+-2，进而求解；〔1〕考察二次函数在对称轴处取最值，二次函数解析式的求法；〔2〕考察复合函数的最值问题，取最值是的x值，转化思想，函数求导，根据导函数确定单调区间；。
山西高二高中数学开学考试带答案解析
山西高二高中数学开学考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．2.已知向量，若，则实数（）A．B．C．D．3.已知平面向量满足，且，则向量与夹角的正切值为（）A．B．C．D．4.实数满足不等式组，则的最大值为（）A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.在中，，则的面积为（）A．B．或C．或D．7.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数.下列判断正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于对称D．函数在上单调递增8.使函数是奇函数,且在上是减函数的的一个值是（）A．B．C．D．9.等比数列中,对任意,则（）A．B．C．D．10.设锐角的三内角、、所对边的边分别为、、,且,则的取值范围（）A．B．C．D．11.设为实数,若,则的最大值是（）A．B．C．D．12.已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题1.中,角、、成等差数列,则．2.正项等比数列中,, 若存在两项使得,则的最小值是．3.设为锐角,若,则的值为．4.在四边形中,,且,则四边形的面积为．三、解答题1.已知函数,且.（1）求的值；（2）求函数在上的值域.2.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为,已知此生产线年产量最大为吨.（1）求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；（2）若毎吨产品平均出厂价为万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？3.已知数列的前项和为,且.（1）证明：数列是等差数列,并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和为.4.等差数列的前项和为,等比数列的公比为,满足.（1）求数列,通项；（2）求数列的前项和.5.在中,角、、的对边分别为、、,已知.（1）求；（2）若,求的取值范围.6.已知数列的前项和为,且满足.（1）求数列通项公式；（2）求证：.山西高二高中数学开学考试答案及解析一、选择题1.的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】三角恒等变换.【易错点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．2.已知向量，若，则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】向量运算.3.已知平面向量满足，且，则向量与夹角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】向量运算.4.实数满足不等式组，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点取得最大值为.【考点】线性规划.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】三角恒等变换.6.在中，，则的面积为（）A．B．或C．或D．【答案】B【解析】，当时，三角形为直角三角形，面积为.当时，，三角形为等腰三角形，面积为.【考点】解三角形.7.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数.下列判断正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于对称D．函数在上单调递增【答案】D【解析】依题意，，，其增区间为，故D选项正确.【考点】三角函数图象变换.8.使函数是奇函数,且在上是减函数的的一个值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当时，在上是减函数.【考点】三角函数单调区间.9.等比数列中,对任意,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故，是首项为，公比为的等比数列，故.【考点】数列.10.设锐角的三内角、、所对边的边分别为、、,且,则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由正弦定理得，因为,又因为，故，.【考点】解三角形.11.设为实数,若,则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，故.【考点】基本不等式.【思路点晴】在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．12.已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，最大值为，其中为向量与的夹角.【考点】向量运算.【思路点晴】涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形如：三角函数最值，但一定要关注自变量的范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如：，这一点很重要.涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题.二、填空题1.中,角、、成等差数列,则．【答案】【解析】依题意，由正弦定理得.【考点】解三角形.2.正项等比数列中,, 若存在两项使得,则的最小值是．【答案】【解析】，，所以.【考点】基本不等式.3.设为锐角,若,则的值为．【答案】【解析】，，故.【考点】三角恒等变换.【思路点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．4.在四边形中,,且,则四边形的面积为．【答案】【解析】因为，所以四面形为平行四边形，即以，为邻边的菱形的对角线，对角线长为，说明为等边三角形，故四边形的面积为.【考点】向量运算.【思路点晴】本题主要考查的是向量运算的几何意义，条件，说明四面形为平行四边形，也就是方向上的单位向量，长度为，就是这两个方向上的单位向量的和，它的几何意义就是以，为邻边的菱形的对角线，根据题意，也就是对角线长为，也就是长度等于，这说明为等边三角形，而边长，由此求得面积.三、解答题1.已知函数,且.（1）求的值；（2）求函数在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用二倍角公式和降次公式化简得，代入，列方程组求得；（2）由（1），所以.试题解析：（1）,.（2）.【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数最值.2.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为,已知此生产线年产量最大为吨.（1）求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；（2）若毎吨产品平均出厂价为万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）当时每吨平均成本最低,且最低成本为万元；（2）产量为吨时,最大年利润万元.【解析】（1）平均成本即，化简后用基本不等式求得最低成本；（2）设年利润为（万元）,则，这是一个二次函数，利用配方法可求得最大值.试题解析：（1）设每吨的平均成本为（万元/）,则,当时每吨平均成本最低,且最低成本为万元.（2）设年利润为（万元）,则,所以当年产量为吨时,最大年利润万元.【考点】应用题.3.已知数列的前项和为,且.（1）证明：数列是等差数列,并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和为.【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】（1）利用公式可求得为等差数列；（2）利用裂项求和法求.试题解析：（1）当时,；当时,.当时,也符合上式,故.因为,故数列是以为首项,为公差的等差数列. （2）因为,故.【考点】裂项求和法.4.等差数列的前项和为,等比数列的公比为,满足.（1）求数列,通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用基本元的思想将已知条件化为，列方程组求得，所以；（2）是一个等差数列乘以一个等比数列，利用错位相减法求和得.试题解析：（1）设的公差为,所以：,解得：.（2）由（1）知, ①①得, ②① - ②得.【考点】错位相减法.5.在中,角、、的对边分别为、、,已知.（1）求；（2）若,求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理知：,将转化为，化简可得，由此求得；（2）利用正弦定理将转化为角的关系，即，而，由此求得范围是.试题解析：（1）由正弦定理知：,代入上式得：即.（2）由（1）得：,其中, .【考点】1.解三角形；2.正余弦定理.【方法点晴】本题主要考查的是解三角形、正弦定理、三角形内角和公式.一开始，我们就可以利用正弦定理将已知条件中的边转化为角，这里一共有三个角，那么我们下一步就将转化为，这样就可以进一步化简了，从而求得角的值.第二问要求边的和的取值范围，那么我们就考虑用正弦定理将边转化为角，也就是，再化为角的关系式，就可以求出取值范围了.6.已知数列的前项和为,且满足.（1）求数列通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用公式可求得，利用配凑法可求得；（2）化简，由此考虑用裂项求和法求不等式左边的和，为.试题解析：（1）,令,得,两式相减,得,数列是首项为,公比为的等比数列,.（2）【考点】裂项求和法.【方法点晴】利用公式是一个通解通法，在具体应用的过程中，可以考虑将转化为，也可以考虑反过来，将转化为.在完成第一步后，要注意验证当时是否成立.遇到形如的递推公式求通项的问题，可以采用配凑法，配凑成等比数列来求通项公式.最后一个考点就是裂项求和法.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宣城二中2019届高二年级第一学期开学考
数学试题
命题人：侯必胜
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1.集合，集合则P与Q的关系是( )
A.P=Q
B.P⊋Q
C.P⊊Q
D.P∩Q=ϕ
2.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f （）的x取值范围是（）
A.（，）
B.[，）
C.（，）
D.[，）
3.若cos （-α）=，则sin2α=（）
A. B. C.- D.-
4.若将函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）
A. B. C. D.
5.设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A.m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B.m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C.m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D.m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
6.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三
角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是
（）
A.cm2
B.cm2
C.8cm2
D.14cm2
7.过点P（2，4）作圆C：（x-1）2+（y-2）2=5的切线，则切线方程为（）
A.x-y=0
B.2x-y=0
C.x+2y-10=0
D.x-2y-8=0
8.过点P(0，-2)的直线L与以A(1，1)、B(-2，3)为端点的线段有公共点，
则直线L的斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a7=14，则S11=（）
A.140
B.70
C.154
D.77
10.若f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上递减，则a的取值范围为（）
A.[1，2）
B.[1，2]
C.[1，+∞）
D.[2，+∞）
11.等差数列{a n}的前n项之和为S n，已知a1＞0，S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，S4，…，S11，S12中最大的是（）
A.S12
B.S7
C.S6
D.S1
12.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）
A.[2，+∞）
B.（-∞，-6]
C.[-6，2]
D.（-∞，-6]∪[2，+∞）
第II卷（非选择题）
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0
)
(
<
x
x
f
的解集为 ______ ．
14.若实数x，y满足
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
-
-
≤
-
+
1
1
4
2
x
y
x
y
x
，则x+y的取值范围是 ______ ．
15.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，
OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为 ______ ．
16.已知向量a=（3，-2），b=（x，y-1），且a∥b，若x，y均为正数，则
y
x
2
3
+
的最小值是 ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin B=3bcos C，a2-c2=2b2（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为213，求b的值．
19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC
（Ⅱ）设AP=1，AD=3，∠CBA=60°，求A到平面PBC的距离．
20.已知圆C和x轴相切，圆心在第三象限并在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长为7
2（1）求圆C的方程．
（2）已知直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，求a的取值范围．21.已知函数f（x）=
2
1
)
12
2
cos(
)
12
2
sin(
3
)
12
2
(
sin2-
+
+
+
+
π
π
πx
x
x
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的图象与直线y =交点的横坐标由小到大依次是x1，x2…，x n，求数列{x n}的前2n项的和．
22.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）
（1）求证：数列{a n-1}是等比数列；
（2）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N*，都有2
4
1
t
t
b
n
≤
+，求实数t的取值范围．
宣城二中2019届高二年级第一学期开学考
数学试题答案和解析
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.C
7.C
8.B
9.D 10.A 11.C 12.D
13.（-1，0）∪（0，1） 14.[1，3] 15. 16.8
17. （本小题满分10分）解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．
由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，
即a2x+ab+b=4x-3，所以，，解得：或，
因为a＞0，所以a=2，b=-1．所以f（x）=2x-1；
（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．
不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，
即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，
因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．
所以m＞3．所以，实数m的取值范围（3，+∞）．
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C，
∵sin B≠0，∴tan C=，∴C=．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，cos C==，∴a2+b2-c2=ab，又∵a2-c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC =absin C=b2=21，
∴b2=28，可得：b =2．…（12分）
19. （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=，∠CBA=60°，
∴AC=，，
∵PC=PB=，∴=，
设A到平面PBC的距离为h，∵V A-PBC=V P-ABC，∴，解得h =．∴A到平面PBC 的距离为．
20. （本小题满分12分）解：（1）设圆心为（a，b），（a＜0，b＜0），半径为r，
则b=3a，r=-3a，
圆心到直线的距离d ==-，
∵圆被直线x-y=0截得的弦长为2，
∴（-）2+（）2=（-3a）2，即a2=1，解得a=-1，
则圆心为（-1，-3），半径为3，则圆C的标准方程（x+1）2+（y+3）2=9．
（2）∵直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，
∴圆心C（-1，-3）到直线l的距离d大于半径r，
即d =＞3，由-．∴a的取值范围是（-，0）．
21. （本小题满分12分）解：
（Ⅰ）
==sinx
所以f（x）的值域为[-1，1]
（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知
，，
∴x1+x2+…+x2n-1+x2n=π+5π+…（4n-3）π =（2n2-n）π
22. （本小题满分12分）解：（I）由题可知：a1+a2+a3++a n-1+a n=n-a n①a1+a2+a3++a n+a n+1=n+1-a n+1②
②-①可得2a n+1-a n=1..（5分）
即：，又..（7分）
所以数列{a n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）
（II）由（I ）可得，（9分）
（7分）
由可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3（11
分）
所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞＞b n＞
故{b n}有最大值
所以，对任意n∈N*，有（10分）
如果对任意n∈N*，都有，即成立，
则，故有：，（11分）
解得或
所以，实数t的取值范围是（12分）。