微分方程的积分因子求解法

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全微分方程与积分因子法

已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内任意取
得．很多情况下都选（0，0）为（x0，y0），只有当点（0，0）不在上述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p －坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程（1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解：将（8）式改写成［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公式法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因

一阶线性微分方程的积分因子解法

一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪;赵临龙【摘要】对于一阶线性常微分方程P(x+y)dx+Q(x,y)dy=0,给出2种只依赖和xayb和(xa+yb)形式的积分因子存在的充分必要条件,有助于积分因子的求解.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】3页(P53-54,65)【关键词】常微分方程;积分因子;通解【作者】刘海浪;赵临龙【作者单位】安康学院,数学系,陕西,安康725000;安康学院,数学系,陕西,安康725000【正文语种】中文【中图分类】教科文艺第30 卷2010 年第 2 期3 月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30No.2Mar.2010文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03一阶线性微分方程的积分因子解法刘海浪，赵临龙（安康学院数学系，陕西安康 725000 ）摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6 ，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．关键词：常微分方程；积分因子；通解中图分类号： 0175.1文献标识码： A doi:10.3969/j.issn.1007-9831.2010.02.015 1引言及预备知识对于一阶微分方程P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x，y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ，恰当微分方程，即存在函数 v(x， y) ，使 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)且称不取零值 u(x， )， ) 为方程 (1) 的积分因子． (1)则称方程 (1) 为一阶 (2)一旦找到方程 (1) 的积分因子，就很容易求得式 (2) 的原函数 v （五） ' ），从而 v （工，），） =c 是方程 (1)的通解，引理‘ 11 设 P(x ，珐 Q( 工， y)， u(x， y) 在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，则函数 u(x， y) 为 (1) 的积分因子的充分必要条件是a “c3PaQ “ (3) Q尝一 P 考匆舐式(3)是一个以 u(x， )，）为未知数函数的一阶线性偏微分函数，通常情况下，要想通过具体求解方程 (3)而求得积分因子 u(x， y) 是比较困难的，但某些特殊情况下，不难求得 (3) 的一个特解 u(x， )， ) ，而作为积分因子，文献[1] 给出了结论：方程 (1) 有只与工有关的积分因子“（工）： e 』妒(J)出的充分必要条件是（茜一号） Q-1=cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子u(y)=ei(p(y)dy 的充分必要条件是号一罢 ] （一P ）一 = 妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，当微分方程不存在只与工或 y 有关的积分因子，用此方法无法求解．本文给出 2 种只依赖 xoy6 和 xa+y6形式的积分因子存在的充分必要条件，这有助于积分因子的求解．收稿日期： 2009-10-11基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03; 2009AKXYDXS06)；安康学院重点扶持学科《基础数学》建设项目（ AZX20107 ）；安康学院重点项目( 2(X)8akxy029)作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail: 通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@第30卷 2010年第2期 3月高师理科学刊JournalofScienceof TeachersrCollegeandUniversity Vol.30 No.2 Mar.文章编号： 1007-9831(2010)02-0053-03摘要：对于一阶线性常微分方程 P(x ，y)dx+Q(x ， y)dy=0 ，给出 2 种只依赖 Xayb 和（工o+ ），6，）形式的积分因子存在的充分必要条件，有助于积分因子的求解．引言及预备知识对于一阶微分方程 P(x ，y)dx+ Q(x ，y)dy=0若存在连续可微的函数u(x,y) ≠ 0 ，使得 u(x， y)P(x, y)dx+u(x ， y)Q(x ， y)dy=0 ， u(x, y)P(x, y)dx+u(x,y)Q(x,y)dy=dv(x,y)的通解，引理‘11设P(x ，珐Q( 工，y)，u(x，y)在单连通区域 G 内连续且有连续一阶偏导数，且 u(x，y) ≠ 0 ，a“ c3PaQ Q尝一P考匆舐式茜号Q-1= cp(x) ，这里 cp(x) 仅为 x 的函数．方程 c ．，有只与 y 有关的积分因子 u(y)=ei(p(y)dy 的充分罢]一P=妒(y) ，这里 cp(y)仅为 y 的函数，基金项目：安康学院大学生科技创新项 H(2008akxycLxs03;作者简介：刘海浪（ 1989- ），男，陕西榆林人，安康学院数学系 2(X)7 级本科学生． E-rrlail:通讯作者：赵临龙（ 1960- ），男，陕西西安人，教授，从事微分方程研究． F-mail:aktczU@高师理科学刊第30 卷2主要结果及证明定理 1方程 (1) 有一个只依赖 xoy6 形式的积分因子的充分必要条件是若 _ （茜一 oaQ]（等一等 ] 。

微分方程的积分因子

在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。

积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。

积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。

2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。

3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。

4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。

5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。

6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。

7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。

通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。

积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。

需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。

在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。

微分方程的求解方法与应用案例分享

微分方程的求解方法与应用案例分享微分方程是数学中重要的一门分支，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。

微分方程的求解方法多种多样，本文将介绍常见的几种求解方法，并结合实际应用案例进行分享。

一、常微分方程的求解方法1. 可分离变量法可分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法。

首先将方程中的变量分离，然后进行积分得到结果。

例如，对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以将其化简为dy/g(y)=f(x)dx，再对两边同时进行积分即可得到解析解。

2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的方程。

通过令v=y/x，将方程转化为dv/dx=F(v)-v/x，再进行变量分离和积分即可求解。

3. 线性方程法线性方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程。

通过乘以一个积分因子，可以将方程化为d(μy)/dx=μq(x)，再对两边同时积分得到解析解。

4. 变量替换法变量替换法是一种常用的求解微分方程的方法。

通过引入新的变量替换原方程中的变量，可以将方程化为更简单的形式。

例如，对于形如dy/dx=f(ax+by+c)的方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来进行变量替换，从而简化求解过程。

二、微分方程的应用案例分享1. 放射性衰变问题放射性衰变是微分方程在物理学中的一个重要应用。

以放射性核素的衰变为例，其衰变速率与核素的数量成正比，可以用微分方程dy/dt=-ky来描述，其中y表示核素的数量，t表示时间，k为比例常数。

通过求解这个微分方程，可以得到核素的衰变规律，进而预测未来的衰变情况。

2. 振动问题微分方程在工程学中的应用也非常广泛，例如振动问题。

以简谐振动为例，可以通过微分方程m(d²x/dt²)+kx=0来描述，其中m为质量，k为弹性系数。

通过求解这个微分方程，可以得到振动的解析解，进而研究振动的频率、幅度等特性。

3. 生物种群模型微分方程在生态学中的应用也非常重要，例如生物种群模型。

2.2-线性微分方程(积分因子法)

s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)

常微分方程积分因子法的求解

用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程2(),2d y dy b cy f t dt dt++= （1.1） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭++= （1.2）就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3）这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4）则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),u x y c = （1.5）这里c 是任意常数.定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).M x y N x y x y∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式方法2 不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=由此，函数(,)u x y 应适合方程组(,),(,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂对(,)u M x y x∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y xϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程'()(,)N dx y N x y xϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.方法3 公式法：方程的通解为000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 其中c 是任意常数[3].例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解解这里2,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N yx∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法）现在求u ，使它同时满足如下两个方程：2u x y x∂=+∂，（1）2u x y y ∂=-∂. （2）由（1）对x 积分，得到31()3u x xy y ϕ=++，（3）将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得()2ud y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，于是()2,d y y dy ϕ=-积分后得2(),y y ϕ=-将()y ϕ代入（3），得到321.3u x xy y =+-因此，方程的通解为321,3x xy y c +-=这里c 是任意常数.方法2 （公式法）取00(,)(0,0)x y =因此00(,)(,)(,)xy u x y M x y dx N x y dy=+⎰⎰200()(2)x yx y dx x y dy =++-⎰⎰321()003x y x xy y =+- 3213x xy y =+- 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.方法3（凑微分法）将方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即32103d x dxy dy +-= 或者写成321()03d x xy y +-= 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。

一类典型微分方程积分因子的求法

）Ｐ＋ｘＱ— Ｃ，＂ｆ）一２Ｃ
例求方程
２Ｐ一，（，＝２ｚ再由ｘＰ＋ＹＱ＝，）Ｚ’ ）ｚｘＰ，＇（两边关于戈求导可得Ｐ＝厂（一ｍＰ — ｘ）ｘ
ＹＱ， “ 于是
积分因子，并求其通解．
ＰｌｎｍｉｓｗｔｐｉａｏｓｔｏｙｏａｈＡｐｌｔｎｏＮｕｍｅｃｌＡｎｙｉ．ＪＩｓ．ｌｉｃｉｉｒａａ８８．ｎｔｌ
［］ＪＣｕｈｒＴｅＮｍｒａＡａｓｆｒｉｒＤｆｒｎａ１．．Ｂｔｅ，ｈｕｅｃｎｌｉｏＯｄａｉｅｔｌｃｉｌｙｓｎｙｅｉ
文章编号：０８—１０（０１０１０４２２１）２—０７ｏ２４一２
一
类典型微分方程积分因子的求法①
沈浮，王金山，王鹏
（放军炮兵学院数学教研室。安徽合肥２０３）解３０１
摘
一
要：讨论了一阶微分方程有形如＝（
＝ｙ
若方程Ｐ＋ｄｘ２Ｃ；ｙ＝ｏ）一 ’ 一 … ｙｙ — Ｊ—ｕ）Ｐ）＝（
满足ｙＰ一Ｑ＝，）和（
＝
＋ｙ的函数．定理２若方程（）满足条件：Ｐ＋ｒＱ＝１ｎ
推论２若方程（）满足条件＂＋ｙＱ：１－ＰＸ｜ｋ非零常数）和（ｊ为｝（ｋ＋ｃＰ）＝Ｃ＋则方程（）Ｑ，１有积分因子
，一ｙＶ一

微分方程的积分因子求解法

微分方程的积分因子求解法常微分方程的积分因子求解法内容摘要:本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词：全微分方程，积分因子。

—、基本知识定义1、1对于形如M(x. y)dx + N(x. y)dy = 0 (l x 1)的微分方程，如果方程的左端恰就是X , y的一个可微函数(7(x,y)的全微分，即d U(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 1 s 1)为全微分方程、易知上述全微分方程的通解为U^y) = C, (C为任意常数).定理k 1 (全微分方程的判别法)设M(x,y),N(x,y)在x*平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则(1、1)就是全微分方程的充要条件为OM (x, y) = 6N(x, y) (1 2) dy dx证明见参考文献［1］、定义1、2对于微分方程(1、1),如果存在可微函数“(a),使得方程“(x, y) M (x, y)clx + “(x, y)N(x, y)dy = 0 (1、3)就是全微分方翟则称“(x, y)为微分方程(1、1)的积分因子、定理1、2 可微函数“(x,y)为微分方程(1.1)的积分因子的充要条件为Ng y ）別】"（"）_ M （X y ） 6 In “g ）二 6M （x, y ） _ 4V （x,y ）dx ， dy dy dx证明:由定理1.1得/心y ）为微分方程（1、1）的积分因子的充要条件为0（“ （俎刃N （x 』））ax展开即得:上证毕Ng 严小-M （3）沁也」竺』一空y （料）.dxdy I dy dx 丿式整理即得（1.4）注1、1 若“（3）工0,则（1、3）与（1、1）同解。

所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1. 3 ）的通解即可，而（1、3 ）就是全微分方程，故关键在于求积分因子“（X, y ）。

为了求解积分因子A （x,y ）z 必须求解方程（1、4）。

常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。

简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。

接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。

一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。

齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。

一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。

2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。

当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。

常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。

二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。

对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。

例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。

2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。

原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。

一阶常微分方程若干求解技巧

一阶常微分方程若干求解技巧1. 可分离变量法：如果方程可以写成dy/dx=g(x)h(y)，则可以将方程分离为两个变量的方程，然后进行分别积分得到解。

2. 齐次方程法：如果方程dy/dx=f(x,y)可以写成dy/dx=g(x,y)，其中g(x,y)是齐次函数，则可以进行变量代换y=ux，将方程转化为关于u和x的可分离变量方程。

3. 全微分法：如果方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，其中M(x,y)和N(x,y)是关于x和y的已知函数，则可以判断M(x,y)和N(x,y)的一阶偏导数是否相等，如果相等，则方程为全微分方程，可以求出方程的解。

4. 高阶可降阶方程法：对于方程dy/dx=f(x,y)，可以进行变量代换u=y'，将方程转化为关于u和x的高阶方程，然后再进行求解。

5.变量替换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程，然后进行求解。

6. 恰当方程法：如果方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0满足∂M/∂y=∂N/∂x，则称该方程为恰当方程，可以使用求解恰当方程的方法求解。

7. 积分因子法：对于形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的方程，可以通过乘以适当的积分因子来使方程变为恰当方程，然后再进行求解。

8. 线性方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的线性方程，可以通过求解其特征方程来得到通解。

9. 变系数线性方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的非齐次线性方程，可以通过利用常数变易法来求解。

10.积分组合法：对于一些特殊形式的方程，可以通过将方程进行适当的积分组合，从而得到解的形式。

以上是一些常见的一阶常微分方程的解法技巧，不同的方程形式可能需要使用不同的解法。

熟练掌握这些技巧可以帮助我们更好地求解一阶常微分方程，解决实际问题。

一阶常微分方程积分因子解法

井冈山大学学报(自然科学版) 6 文章编号：1674-8085(2019)06-0006-05一阶常微分方程积分因子解法胡彦霞（华北电力大学数理学院,北京 102206）摘要：利用积分因子求解常微分方程是解方程常用的有效方法，在理论和实践中有着重要地位。

惯常的积分因子解法主要讨论两种特殊情况，一种是求只显含自变量的积分因子，另一种是求只显含未知变量的积分因子。

本文在未限定变量的条件下，探讨并总结了常微分方程积分因子解法，文中结果拓展总结了求常微分方程积分因子的相关结论与方法。

关键词：一阶常微分方程；积分因子；微分算子；一阶拟齐次方程中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2019.06.002FURTHER DISCUSSION ON THE METHODS FOR OBTAINING INTEGRATING FACTORS OF THE FIRST ORDER ORDINARYDIFFERENTIAL EQUATIONSHU Yan-xia(School of Mathematics and Physics ，North China Electric Power University ，Beijing 102206, China)Abstract: Using integrating factors to solve ordinary differential equations is an effective method used to solve equations, which plays an important role in theory and practice. Usually, there are two cases of considering to obtain integrating factors of ordinary differential equations. In one case, integrating factors with the independent variable are considered. In the other case, integrating factors with the dependent variable are considered. In the paper, the method to obtain integrating factors of the first order ordinary differential equations is considered in the case of unqualified variables. The sufficient conditions of the existence of integrating factors of the equations are shown, and the methods for obtaining the integrating factors are given. The results in this paper extend and summarize the relevant conclusions and methods of obtaining integrating factors of ordinary differential equations.Key words: first order ordinary differential equation; integrating factor; differential operator; first order quasi-homogeneous equation0 引言在求解一阶常微分方程时，积分因子方法是一种常用的有效方法，思路简单且计算量较小。

积分因子的分组求法

积分因子的分组求法
积分因子是解决常微分方程中非齐次线性方程的有力工具，但对于一些复杂的方程，求解积分因子可能会较为困难。

此时，我们可以尝试使用分组求法来求解积分因子。

具体来说，我们可以将方程中的项分为多个组，每个组中包含同一种类型的项。

然后，我们可以分别对每个组求积分因子，最后将所有的积分因子乘起来得到整个方程的积分因子。

例如，对于如下的非齐次线性方程：
$$y'' + 2xy' - 3y = 2x^2 e^x$$
我们可以将方程中的项分为两组：
$$y'' - 3y = 0$$
和
$$2xy' = 2x^2 e^x$$
对于第一组，我们可以直接使用常数变易法求出其积分因子为$e^{-sqrt{3}x}$。

对于第二组，我们可以使用变量分离法求出其积分因子为 $x^2$。

因此，整个方程的积分因子为：
$$e^{-sqrt{3}x} cdot x^2 = x^2 e^{-sqrt{3}x}$$ 通过分组求法，我们成功地求解了该方程的积分因子。

- 1 -。

微分方程积分因子法及其应用

Ｏ）ｃ＋（￣ＮＮ
）ｌ（－ｆ＿ｘ
注此类型中ｃ１的确定亩用待定法。，３，丁
以上所讨论的微分方程具有特殊因子，而有些方程具有特殊结构，我们可根据其结构求出其积分因子，得到以下结论：结论ｌ方程Ｍ（Ｎ（ｄ＋（Ｑ（ｄｘｙｘＰｘｙｙ０有积分因子：））））显然，
类型４方程Ｍｄ＋ｙ０具有特殊积分因子＝ｘ± 的充要条件：ｘＮｄ＝（。为：
定义若微分方程Ｍｄ＋ｙ０（）Ｎｄ＝１不满足
＝
≠
条件，能找而
（一）Ｍ）２宴（Ｓｙ：ｘＮ一＋
类型５方程Ｍｄ＋ｄ＝ｘＮｙ０具有形状：ｘ的积分因子的充要条（
科技信息
高校理科研究
微分方程积分因子法及其应用
黑河学院数学系邵丽梅
［摘要］文研究如何直接地、效地求出其积分因子的方法，本有并且给出与求解积分因子有关的几个结论，而扩大了利用解恰当从方程的方法求解常微分方程的解的范围。文章给出了几种特殊类型的积分因子的求法及其在微分方程中的应用，提供了一种新的解决中学数学问题的途径。［键词］分因子的求法全微分方程积分因子关积微分方程作为数学的重要组成部分，的应用已日益渗透到许多领它为：
ｖ）１（１为上式的积分因子。ｌ

关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

微积分中的微分方程与积分方程

微积分中的微分方程与积分方程微积分作为数学的一个重要分支，研究的是函数的变化和积分运算。

微分方程与积分方程是微积分的两个重要内容，它们在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍微积分中的微分方程与积分方程的基本概念、求解方法以及应用案例。

首先，我们来了解一下微分方程。

微分方程是含有未知函数及其导数的方程，它描述了函数变化的规律。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程中的未知函数是一个自变量的函数，而偏微分方程中的未知函数是多个自变量的函数。

我们以常微分方程为例进行讲解。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中 y 是未知函数，f(x, y) 是已知函数。

高阶常微分方程可以通过多次求导的方式转化为一阶常微分方程来解决。

常微分方程的求解方法有多种，其中常见的有变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。

变量分离法是指将方程中的未知函数和自变量分别放在等式的两边，然后进行分离变量、分别积分的操作。

齐次方程法是将方程中的未知函数和自变量进行恰当的替换，使得方程变为可分离变量的形式。

一阶线性微分方程法则是将方程化为一阶线性微分方程，然后利用积分因子求解。

接下来我们来了解一下积分方程。

积分方程是含有未知函数和积分项的方程，它的求解与微分方程有所不同。

积分方程可以分为定积分方程和无界积分方程两类。

定积分方程中的积分上下限是常数，而无界积分方程的上下限是无穷。

积分方程的求解方法较为复杂，有待更深入的研究。

微分方程与积分方程在许多学科中都有重要的应用。

在物理学中，微分方程可以描述物理量随时间的变化规律，如牛顿定律、热传导方程等。

在工程学中，微分方程可以用于描述电路的电压、电流之间的关系，以及控制系统的响应特性等。

在经济学中，微分方程可以用于描述经济增长、资源分配等问题。

举个具体的例子，假设一个湖泊中的鱼的数量随时间的变化满足微分方程dy/dt = ky(1-y/N)，其中y表示鱼的数量，t表示时间，k和N是已知的常数。

线性微分方程求解公式

线性微分方程求解公式
线性微分方程（LDE）是数学中一类非常重要的概念，它可以用来描述物理系统中动态变化的过程。

它是一种把时间变量和函数变量之间的关系表达为一个微分方程的方法。

线性微分方程（LDE）可以用来解释许多实际应用中的问题，如机械系统的动力学分析、气体流动的传热分析、电磁学分析和电路分析等，并且它们在理论物理学、数学物理学和其他重要的科学领域中也有着重要的应用。

线性微分方程的求解公式是：先把线性微分方程化为一阶线性微分方程，然后将其标准化，即解出其一阶线性微分方程的积分因子。

其求解公式可以表示为：设y=f(x)是方程
dy/dx+Py=Q的一般解，则f(x)的一般解为：f(x)=e^（∫Pdx）∫Qe^(-∫Pdx)dx+C其中C为任意的常数，而∫Pdx表示P的积分因子。

由此可以看出，线性微分方程的求解公式是由一阶线性微分方程的积分因子得出的，而积分因子又是由方程参数（P、Q）得出的。

因此，线性微分方程的求解公式需要先求解出一阶线性微分方程的积分因子，然后再将其带入上面的求解公式中即可得出方程的解。

线性微分方程（LDE）的求解公式是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解复杂的物理系统，从而更好地进行分析和设计。

它的应用非常广泛，在医学、经济学、工
程学等领域都有重要的作用，因此，理解并熟练掌握这一求解公式对于我们来说非常重要。

微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。

因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。

但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。

但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。

通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。

所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。

如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。

如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。

同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】微分方程，积分因子，求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言：微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。

微分方程的积分因子法

微分方程是数学中重要的研究对象，它通过描述变量之间的关系，可以用来解释许多自然现象和物理规律。

微分方程的求解是数学分析的重要方法之一，其中积分因子法是一种常用且有效的求解微分方程的方法。

首先，我们来了解什么是微分方程。

微分方程是包含未知函数及其导数的方程，一般形式为dy/dx = f(x,y)，其中y是未知函数，f(x,y)是已知的函数。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程中只包含一个自变量，而偏微分方程中包含多个自变量。

解微分方程要找出满足方程的函数形式，而积分因子法是一种特殊的方法用来解决一类形式为M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的一阶常微分方程。

积分因子法的思想是通过引入一个适当的积分因子来改变微分方程的形式，从而使其变得可积。

具体步骤如下：1.将方程化为其标准形式：M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0，其中M(x,y)和N(x,y)为已知函数。

2.判断方程是否是恰当微分方程。

若满足∂M/∂y = ∂N/∂x，则该方程为恰当微分方程，直接求解即可；若不满足，则进行下一步。

3.求取积分因子。

积分因子可以通过通解公式I(x) = e^(∫P(x)dx)，其中P(x)为方程的系数。

4.将积分因子乘到方程上，得到恰当微分方程：I(x)M(x,y)dx +I(x)N(x,y)dy = 0。

5.求解恰当微分方程。

由于恰当微分方程是可积的，可以直接求出其解。

通过这样的步骤，利用积分因子法可以将一些常见的非恰当微分方程转化为恰当微分方程，从而能够更方便地求解微分方程。

需要指出的是，积分因子法并不适用于所有的微分方程，只适用于一些具有特定形式的微分方程。

对于其他形式的微分方程，可能需要使用其他的求解方法。

总结来说，积分因子法是一种求解常微分方程的有效方法，它通过引入适当的积分因子，将非恰当微分方程转化为恰当微分方程，从而更容易求解。

使用积分因子法需要熟悉方程的形式及其特点，才能正确选择和应用积分因子。

微分方程解法总结

微分方程解法总结微分方程是数学中重要的一个分支，它描述了自然界中很多变化的规律和现象。

微分方程的解法有很多种，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等等。

本文将对这些常见的微分方程解法进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶微分方程中最常见的一种方法。

当方程可以化为dy/dx=f(x)g(y)的形式时，我们可以通过将其变形为g(y)dy=f(x)dx的形式，再对方程两边同时进行积分，从而求出y的表达式。

例如，对于dy/dx=2x，我们可以将其变形为dy=2xdx，并对两边同时进行积分得到y=x^2+C，其中C为常数。

二、齐次方程法齐次方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程。

当方程满足一定的条件时，可以通过变量代换和分离变量的相结合的方法，将齐次方程转化为分离变量的形式，进而求出解。

例如，对于xy'-(x^2+y^2)=0，我们可以将y=ux进行变量代换，得到x(ux)'-(x^2+u^2x^2)=0。

进一步化简得到xu'+u=0，然后可以使用分离变量法求解得到u=(c-x^2)/x，再将y=ux代入，得到y=(c-x^2)/x^2。

三、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。

通过使用积分因子的方法，我们可以将一阶线性微分方程化为更容易求解的形式。

例如，对于dy/dx+2xy=4x，我们可以将其乘以e^(∫2xdx)作为积分因子，得到e^(x^2)y'+(2xe^(x^2))y=4xe^(x^2)。

然后我们可以写成(d(e^(x^2)y))/dx=4xe^(x^2)，再对其两边同时积分，得到e^(x^2)y=x^2+2C，进一步化简得到y=(x^2+2C)e^(-x^2)。

四、二阶线性齐次微分方程法二阶线性齐次微分方程是指形如d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的微分方程。

（整理）几种特殊类型积分因子的求法

（整理）⼏种特殊类型积分因⼦的求法运⽤积分因⼦⽅法求解⼏种特殊类型微分⽅程⽅⼩，数学与计算机科学学院摘要:针对满⾜某些条件的微分⽅程,着重研究如何直接地、有效地求出其积分因⼦的⽅法,从⽽⽅便快捷地求出其通解.引⾔：⽅程取形式0y ),(),(=+d y x N dx y x M 时的求解问题教材中主要介绍了五种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分⽅程，其他类型均可借助积分因⼦化为这种类型，掌握⼀些特殊类型的积分因⼦求法及部分特殊结构微分⽅程的积分因⼦的求法，从⽽⼤提⾼解微分⽅程的效率和可操作性.⼀.⼏种特殊类型结构的微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法1．常见⼀阶微分⽅程⼏种运⽤积分因⼦转化成恰当微分⽅程 1.1可分离变量⽅程)()(y x f dxdyφ=很容易求得积分因⼦为)(1y ?µ=例求0)1()(=--++-dy y x xy dx x xy 的积分因⼦解：变形为0)1)(1()1(=+-+-dy y x dx y x积分因⼦为)1)(1(1)()(1),(12--==y x y q x p y x µ⽅程两边乘以上积分因⼦得：0111=-++-dy y y dx x x 两边积分得原⽅程的通解为C y x y x =--++2)1)(1ln(1．2 线性微分⽅程设),(y x f 及yf连续，试证⽅程0),(=-dx y x f dy 为线性微分⽅程它有仅依赖于x 的积分因⼦.证明：设⽅程0),(=-dx y x f dy 是线性微分⽅程.即存在)(),(x h x g 使得)()(),(x h x yg y x f +=)(,1),()(),(M x g x g N x Ny M N x h x yg y x f -=-=??-=--=-= 所以，⽅程具有积分因⼦=-dxx g e )(µ这即证明了⽅程有仅依赖于x 的积分因⼦.例2 :解⽅程: 0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x y x y 解: ∵x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-= y M yMx N =??-??于是积分因⼦为:y ydy e e u =?=∴通解为:C x x y x x e y =-+)sin sin cos (.1.3 伯努利微分⽅程⽅程的积分因⼦是))((y ?=---dx x p n neµ证明：设伯努利⽅程为n y x q y x p dx dy)()(+=，)1,0(≠n改写为,0)()(=--dx y x q ydx x p dy n乘以得ny - 0)()(y 1=----dx x q dx y x p dy n n即,0)()1()()1()(11=------dx x q n dx y x p n y d n n再乘以?)()1(得--dxx p n e )()1(,0)()1(])()1()([)()1(11=-?-------dx x q n edx y x p n y d dxx p n n n即.0])()1([][)()1()(1(1=?--??-----dx e x q n d ey d dx x p n dx s p nn这是全微分⽅程，因此所求积分因⼦是))((y ?=---dx x p n n eµ例求2y sinx)(cosx -=+y dxdy的积分因⼦及通解解：积分因⼦x dxx p n e y e y y x ---=?=2)(),(µ原⽅程两边同乘以xey --2，并化为对称式为dx e x x dx e y dy e y x x x -----=+)sin (cos 12凑微分为：)sin ()(1x e d y e d x x ---=-两边同时求积分得：C y e x e x x =+---1sin证明由于,),(),(,),(),(yN xM y x N y x N yN xM y x M y x M +=+=µµ则有2)()()()(yN xM yN y N y N x M yN xM y M y M +++??-+??=??µ2)(yN xM y NyM MN y M yN +--=,同理，2)()(yN xM x MxN MN x N xM xN +--=??µ，由于⽅程是齐次的，我们不妨设),(),(y x N y x M 和是m 次齐次函数，则有N m y y Nx x M m y y M x x M ?=+?=+N 与由上⾯两个式⼦可推出xMxN x xM y N yM y M yN -=+N ，从⽽得到xN y M ??=??)例 02)3(22=+-x y d xdy x y解此为齐次⽅程，故有积分因⼦)(1)32(1)(123232y x y y x y y x Qy Px -=-+=+=µ乘以积分因⼦，原⽅程化为0)]()3[()](2[232222=--+-dy y x y x y dx x y x这是⼀个全微分⽅程，它的通解为C dx y y dx x y xy xln 00213222=--+-??C y x y y =+--ln )ln(ln 222其中C 为常数2、具有特殊结构的⼀阶微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法 2.1⽅程0)()()()(=+y Q x P dx y N x M 有积分因⼦:)()(1x P y N =µ显然,直接验证可得µ=)()(1x P y N为上式的积分因⼦.若)()()()())(y P x Qf x Q y P ?-=??-??，则?=+dyy dx x f e )()(?µ是⽅程的积分因⼦)(3()1)(6(222yxy y x xy x -+--+-==)2()1(yP x Q --- 故有积分因⼦2211xy edyy dx x ==---µ 于是原⽅程化为0)6)()13(2=+-+dy y x dx y x即0])()1[(6)3(2=-+-dy y x dx y dy dx x这是⼀个全微分⽅程，积分得出通解为C y x y x =+-6ln 3或cy x y x y =+-26ln 32.2 设函数)(),(u g u f 连续、可微且,则⽅程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因⼦: )]()([1xy g xy f xy -证明:令µ=xy ,则原⽅程可化为0)()]()([=+-µµµd g dx xg u f u (1)(1)式两边同乘以)]()([1()([)(=--du g f g x dx µµµµ 显然(2) 为恰当⽅程,故(1) 有积分因⼦)]()([1µµµg f -,,因⽽原⽅程有积分因⼦)]()([(1xy g xy f xy -,但对于⼀个较复杂的⽅程,往往不容易直接求得它的积分因⼦.例 0)(12332=-+-dy y x y x dx y x 解原⽅程化为0)1()1(2222=-++dy y x x dx y x y因为 02)1()1(2222≠=--+y x y x ,故有积分因⼦xyy x y x xy 21)]}1()1[({12222=--+=µ乘上xy21=µ得 021********=-++dy x ydy x dx x dx xy 即0)(2)(222=-++ydyx dx ydy x dx xy ⼆．针对满⾜某些条件的微分⽅程，运⽤积分因⼦⽅法求出通解.但是如果把它的左端分成⼏组,⽐如分成两组:0)()(2211=+++dy N dx M dy N dx M (3)后,可分别求得各组的积分因⼦21µµ和,也就是如果有21,µµ 使+11M µ111µµd dy N = +22M µ222µµd dy N =于是借助于21,µµ常可求得0=+NdY Mdx 的积分因⼦.为了说明这⼀点,先注意下⼀事实.如果µ是0=+NdY Mdx 的⼀个积分因⼦,且+M µµµd Ndy =,则)(µµφ也是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.此处)(µφ是µ的任⼀连续函数. 事实上µµ?µµµφµµφµµφd Ndy Mdx Ndy dx )())(()(M=+=+）（其中Ф表⽰φ的⼀个原函数.据此知,对于任意的函数)(µφ及)(11µφµ、)(22µ?µ 都分别是(3) 的第⼀组和第⼆组的积分因⼦.函数?φ,有着⼴泛选择的可能性.是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.例:解⽅程: 0)1()3(32=+++dy yx dx x x y解:原⽅程改写为0)3()(32=+++dy yx x dy dx x y 显然y x y xy x 32211,,,====µµµµ为使),()(3y x y xy x ?φ=只须取2)(µµφ=,µµ?=)( 于是求得原⽅程的⼀个积分因⼦: 233)()(y x y x y xy x ===?φµ⽽以之乘⽅程的两端,便得0)()36232522=+++dy y x y x dx y x y x于是dx y x y x y x x)3(),(25032+=?µ=)0(2)(3)(233=+c y x xy 取∴通解为:c 2)(3)(233=+y x xy结论1：设),(y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦，从⽽求得可微⽅程),(y x U 使)(Ndy Mdx dU +=µ时)(),(1U y x µ?µ=.),(1y x µ也是⽅程的积分因⼦，其中）（t ?是t 的可微函数.结论2：设),(1y x u ，),(2y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的两个积分因⼦，且≠211=µµ（任意常数）是⽅程的通解. 结论3：假设当⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 为齐次⽅程时，且为恰当⽅程，则它的通解可表⽰为c d y x yN dx y x xM =+y ),(),(（c 为任意常数）. 参考⽂献（顶格、宋体、⼩四号加粗）：[1] 刘⼴珠.⾼中⽣考试焦虑成因分析[J].陕西师⼤学报（哲社版），1995，24（1）：161-164.（参考⽂献序号在⽂中采⽤右上标注的⽅式，⽤数字加⽅括号表⽰，如[1]，[2]，…，序号应连续。