第3章正弦交流电路
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《电路基础》教材第3章 单相正弦交流电路
第 3 章单相正弦交流电路正弦交流电是日常生活和科技领域中最常见、应用最广泛的一种电的形式。
正弦交流电路的理论在电路基础课程中占有极其重要的位置，学习和掌握好正弦交流电路的基本概念和基本分析方法，是本课程中的一个重要环节，应给予足够的重视。
本章将在分析直流电阻性电路的基础上，探讨正弦交流电路的分析方法。
学习的主要内容有：正弦交流电路的基本概念，正弦量的三要素和正弦量的有效值，正弦交流参量的基本运算，电抗元件在交流电路中的基本性质及电阻元件、电感元件、电容元件上的电压、电流关系及功率关系。
本章教学要求深入了解正弦交流电的诸多基本概念，重点理解正弦交流电的三要素和正弦交流电有效值的概念；熟悉和掌握正弦交流电的解析式表示法和波形图表示法；深刻理解和牢固掌握单一电阻元件参数电路、单一电感元件参数电路、单一电容元件参数电路的电压、电流关系及其功率情况，在此基础上，掌握多参数组合的简单正弦交流电路的分析与计算方法。
掌握正弦交流电路中电路参数的测量方法，学会交流电压表、交流电流表、单相功率表的正确使用方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念学习目标：深刻理解正弦交流电的三要素，熟悉相位、相位差及同频率正弦量之间超前、滞后的概念；掌握正弦交流电有效值的概念及有效值与最大值之间的数量关系；理解和掌握频率、周期、角频率的概念及其三者之间的数量关系。
1820年奥斯特发现了电能生磁的现象后，又经过十多年，英国学徒出身的物理学家法拉第在1831年通过大量实验证实了磁能生电的现象，向人们揭示了电和磁之间的联系。
从此，开创了普遍利用交流电的新时代。
电磁感应现象奠定了交流发电机的理论基础。
现代发电厂（站）的交流发电机都是基于电磁感应的原理工作的：发电机的原动机（汽轮机或水轮机等）带动磁极转动，与固定不动的发电机定子绕组相切割从而在定子绕组中感应电动势，与外电路接通后即可供出交流电。
3.1.1 正弦量的三要素1.正弦交流电的周期、频率和角频率发电厂的发电机产生的交流电，其大小和方向均随时间按正弦规律变化。
电工电子学第三章
负半周
3
设正弦交流电流： 设正弦交流电流：
Im
Ψ
i
O π T 2π π
ωt
i = I m sin (ω t + ψ )
初相角：决定正弦量起始位置 初相角： 角频率：决定正弦量变化快慢 角频率： 幅值：决定正弦量的大小 幅值：
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。 幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
5
3.1.2 幅值与有效值 幅值： 幅值：Im、Um、Em
幅值必须大写, 幅值必须大写, 下标加 m。
有效值： 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的 有效值。 有效值。
∫0
T
2 i 2R dt = I RT
交流
直流
则有
I =
1 T
∫
T
0
i 2dt
Im 1 T 2 2 有效值必 = ∫0 Imsin ωt dt = 2 须大写 T U Em 同理： 同理： U = m E= 2 2
12
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 实质： 复数表示形式 为复数: 设A为复数 为复数 (1) 代数式 A =a + jb 式中: a = r cos ψ 式中
+j
b
A
r ψ
0
2 2
a
+1
b = r sin ψ
(2) 三角式 由欧拉公式: 由欧拉公式
r = a + b 复数的模 b ψ = arctan 复数的辐角 a
16
⑥“j”的数学意义和物理意义 因子： 旋转 90o因子：e± j90o
± j90o
e
= cos 90° ± jsin90° = ±j
徐淑华电工电子技术ppt第三章
u
Um
wt
u U m sin( w t )
有效值:
与交流热效应相等的直流 定义为交流电的有效值
10
热效应相当
有 效 值 概 念
T 0
i R dt I RT
2
2
交流
直流
I
1 T
T
i dt
2
（方均根值）
0
当 i I m sin
w
t 时， 可得,
I
Im 2
11
w t
i
相量图 相量式
.
I
I
I I
瞬时值 -- 小写 u, i, e； 最大值 --大写+下标m；
有效值 – 大写 U, I, E； 复数、相量 --- 大写 + ―.‖
34
例6
判断下列各式的正误：
u 100 sin w t 10000
瞬时值 复数
U 50 e
复数
j15 °
2. 正弦波的相量表示方法
1) 正弦量的相量表示
在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路中所有 的电压电流为同频率正弦量，此时，w 可不考虑，主要 研究正弦量的幅度与初相位的变化 可用一个有向线段（矢量）表示正弦量： 其长度表示正弦量的有效值； 其与横轴的夹角表示正弦量的初相位。
描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )：
3.2 单一参数的正弦交流电路
3.2.1. 电阻元件的正弦交流电路
u iR
设
u
i
R
i 2 I sinw t Im sinw t
R R u i · = 2I · sinw t
第三章 正弦交流电路的稳态分析
A | A | e j | A |
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a 复数运算
Im b
A |A|
直角坐标表示 极坐标表示
0
a Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
1 i dt 则有： I T
2
T
0
i dt
2
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 与最大值的关系 设 i(t)=Imcos( t+ )
U
def
1 T
T
0
u ( t )dt
2
1 I T
T
0
I cos ( t Ψ ) dt
2 m 2
T 0
T
0
cos ( t Ψ ) dt
u,i
0
t
3. 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。 目前世界上电力工业中绝大多数都采用正弦量。
正弦交流电路：
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
+
u
-
i
i
R
t
用小写字母表示交流瞬时值
正弦交流电的正方向：
必须 小写
瞬时值表达式 i
相量
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)
第三章 正弦交流电路
Um R
m
式中，Ｉｍ正弦交流电流的幅值。说明正弦交流电压和 电流的幅值之间满足欧姆定律。
（二）电压、电流的有效值关系
据电压、电流幅值之间的关系，把等式两边同 时除以 2 即得到有效值关系，即 或 U IR 这说明，正弦交流电压和电流的有效值之间 也满足欧姆定律。
I U R
（三）相位关系
（黄色）
电动势、电压和电流的大小和方向随时间按正弦规 律性变化。叫做正弦交流电流、电压、电动势。在任一 时刻可用三角函数表示。
e Em sin(t e ) u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
第四章
交流电路
第一节 交流电的基本概念
三、描述正弦交流电特征的物理量
（三）相位、初相位与相位差
1、相位（或相角）：
t i I m sin(t )
i
O
反映正弦量变化的进程。 2、初相位： 表示正弦量在t =0时的初相位。
——
如:
给出了观察正弦波 的起点或参考点。
ωt
e1 Em sin(t 1 ) e2 Em sin(t 2 )
X L 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4Ω
U 10 I 318m A XL 31.4
(2)当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
U 10 I 3.18m A XL 3140
4
可知
（1）最大值
（2）有效值 （3）角频率 （4）频率 （5）周期
m 30 2 42.6
m 30 2
100s 1 314rad / s
m
式中，Ｉｍ正弦交流电流的幅值。说明正弦交流电压和 电流的幅值之间满足欧姆定律。
（二）电压、电流的有效值关系
据电压、电流幅值之间的关系，把等式两边同 时除以 2 即得到有效值关系，即 或 U IR 这说明，正弦交流电压和电流的有效值之间 也满足欧姆定律。
I U R
（三）相位关系
（黄色）
电动势、电压和电流的大小和方向随时间按正弦规 律性变化。叫做正弦交流电流、电压、电动势。在任一 时刻可用三角函数表示。
e Em sin(t e ) u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
第四章
交流电路
第一节 交流电的基本概念
三、描述正弦交流电特征的物理量
（三）相位、初相位与相位差
1、相位（或相角）：
t i I m sin(t )
i
O
反映正弦量变化的进程。 2、初相位： 表示正弦量在t =0时的初相位。
——
如:
给出了观察正弦波 的起点或参考点。
ωt
e1 Em sin(t 1 ) e2 Em sin(t 2 )
X L 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4Ω
U 10 I 318m A XL 31.4
(2)当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140 Ω
U 10 I 3.18m A XL 3140
4
可知
（1）最大值
（2）有效值 （3）角频率 （4）频率 （5）周期
m 30 2 42.6
m 30 2
100s 1 314rad / s
第3章_单相正弦电路的基础知识
dt
L
dt
电感元件上电压、电流的有效值关系为： UL XL I XL=2πf L=ωL，虽然式中感抗和电阻类似，等于元 件上电压与电流的比值，但它与电阻有所不同，电 阻反映了元件上耗能的电特性，而感抗则是表征了 电感元件对正弦交流电流的阻碍作用，这种阻碍作 用不消耗电能，只能推迟正弦交流电流通过电感元 件的时间。
eL N dt L dt
2. 电感元件上的电压、电流关系 di 由于L上u、i 为动态关 u L u L eL L dt 系，所以L 是动态元件 设通过L中的电流为： i 2 I sin t d ( I m sint ) di 则L两端的电压为：
uL L
i
由式可推出L上电压 I mL cost 电流之间的相位上存 U Lm sin( t 90) 在90°的正交关系， 且电压超前电流。 电压电流之间的数量关系： ULm=Imωt =ImXL 其中XL是电感对正弦交流电流所呈现的电抗，简称 感抗，单位和电阻一样，也是欧姆。
第3章 单相正弦交流电路的基本知识
3.1 正弦 交流电路的 基本概念
3.2 正弦量 的有效值
3.3 交流 电路中的 常用元件
本章学习目的及要求
正弦交流电路的基本理论和基本分析 方法是学习电路分析的重要内容之一，应 很好掌握。通过本章的学习，要求理解正 弦交流电的基本概念；熟悉正弦交流电的 表示方法；深刻理解相量的概念，牢固掌 握单一参数及非单一参数的一般正弦交流 电路的分析与计算方法。
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
uip
则
p u i U m sint I m sint UI UI cos 2t
中南大学电路与模拟电子技术(计算机类专用) 第3章 正弦交流电路PPT课件
5.2 正弦量2 (ti)为正弦量随时间变化的核心部分，它反映了正弦量的
变化进程，称为正弦量的相角或相位。
( )就是相角随时间变化的频率，即
d (t
dt
i
)
单位：rad/s，它是反映正弦量变化快慢的要素。
、T和f三者之间的关系:
T2
2f
频率f的单位为赫芝（HZ）
1KH 1Z30HZ 1MH 1Z 60 HZ
在工程实际中，往往以频率的大小作为区分电路的标志，如高频
电路，低频电路。
5
<三> 初相角Yi
i= Imcos( t+i)
5.2 正弦量3 它是正弦量在t=0时刻的相角，即 (ti)/t 0i
单位：弧度或度 ( 0 ) 。
i 主值范围内取值
iImcost(76)Imcost(56)
Yi的大小与计时起点的选择有关。
正弦交流电路 章3第
第5章 正弦交流电路相量法
掌握相量与正弦量的关系；电阻、电容和电感元件电压和电 流的相量关系。掌握用相量法分析正弦稳态电路的方法（包 括结点法、网孔法、叠加定理和戴维宁定理），掌握正弦电 路功率计算问题。 注意：直流电路的一般分析方法和电路定理同样可用于分析
正弦稳态电路。 相量是正弦量的一种表示方法，它们之间是一一对应 关系， 而相量不等于正弦量。
A B B A e ejj B a B Aej(a b)B A(ab)
几何意义： j
B A/B
A
1
16
3.2.3 相量法的基础
一、正弦量5的.相3量相量法的基础1
欧拉公式： co sjsin ej
i 2Icost (i)Re2[Iej(ti)] Re2[Iejiejt]
变化进程，称为正弦量的相角或相位。
( )就是相角随时间变化的频率，即
d (t
dt
i
)
单位：rad/s，它是反映正弦量变化快慢的要素。
、T和f三者之间的关系:
T2
2f
频率f的单位为赫芝（HZ）
1KH 1Z30HZ 1MH 1Z 60 HZ
在工程实际中，往往以频率的大小作为区分电路的标志，如高频
电路，低频电路。
5
<三> 初相角Yi
i= Imcos( t+i)
5.2 正弦量3 它是正弦量在t=0时刻的相角，即 (ti)/t 0i
单位：弧度或度 ( 0 ) 。
i 主值范围内取值
iImcost(76)Imcost(56)
Yi的大小与计时起点的选择有关。
正弦交流电路 章3第
第5章 正弦交流电路相量法
掌握相量与正弦量的关系；电阻、电容和电感元件电压和电 流的相量关系。掌握用相量法分析正弦稳态电路的方法（包 括结点法、网孔法、叠加定理和戴维宁定理），掌握正弦电 路功率计算问题。 注意：直流电路的一般分析方法和电路定理同样可用于分析
正弦稳态电路。 相量是正弦量的一种表示方法，它们之间是一一对应 关系， 而相量不等于正弦量。
A B B A e ejj B a B Aej(a b)B A(ab)
几何意义： j
B A/B
A
1
16
3.2.3 相量法的基础
一、正弦量5的.相3量相量法的基础1
欧拉公式： co sjsin ej
i 2Icost (i)Re2[Iej(ti)] Re2[Iejiejt]
三相正弦交流电路
第3章 三相正弦交流电路
3.1 3.2 3.3 3.4
3.1 对称三相正弦量
目前电能的生产、输送和分配，一般都采 用对称三相制。
三相交流电路的应用最为广泛，世界各国 的电力系统普遍采用三相制。
对称三相制就是由三个频率相同、振幅值 相等、相位互差120°电角度的正弦电动 势所组成的电源系统。
3.2 三相电源和负载的连接
线电压为380V，相电压为220V，常写 作“电源电压380/220V” 。
电路中的线电流与对应的电源相电流相等。
3.2 三相电源和负载的连接
如图3.5所示，将三相电源的相头和相尾 依次联接，即U相的相尾与V相的相头联 接，V相的相尾与W相的相头联接，W相 的相尾与U相的相头联接，组成一个三角 形，从三角形的3个顶点引出3根线作为 输电线，这种联接方式称为三角状连接。
1.三相电源的星形连接 如图3.3所示，把三相电源的负极性端即
末端接在一起成为一个公共点，叫做中性 点，用N表示，由始端U1、V1、W1引 出3根线作为输电线，这种联接方式称为 星形连接。 由始端U1、V1、W1引出的3根线叫做 端线,从中性点引出的线叫做中性线。
3.2 三相电源和负载的连接
图3.3 三相电源的星形连接
3.2 三相电源和负载的连接
相电压和线电压的相量图如图3.4所示，根 据平行四边形法则或三角形法则作图求线 电压。
当3个相电压对称时，3个线电压也是对称 的，线电压的有效值是相电压有效值的 3 倍。线电压超前对应的相电压30°。
3.2 三相电源和负载的连接
图3.4 三相电源的三角形联结
3.2 三相电源和负载的连接
3.2 三相电源和负载的连接
图3.5 三相电源的三角形连接
3.2 三相电源和负载的连接
3.1 3.2 3.3 3.4
3.1 对称三相正弦量
目前电能的生产、输送和分配，一般都采 用对称三相制。
三相交流电路的应用最为广泛，世界各国 的电力系统普遍采用三相制。
对称三相制就是由三个频率相同、振幅值 相等、相位互差120°电角度的正弦电动 势所组成的电源系统。
3.2 三相电源和负载的连接
线电压为380V，相电压为220V，常写 作“电源电压380/220V” 。
电路中的线电流与对应的电源相电流相等。
3.2 三相电源和负载的连接
如图3.5所示，将三相电源的相头和相尾 依次联接，即U相的相尾与V相的相头联 接，V相的相尾与W相的相头联接，W相 的相尾与U相的相头联接，组成一个三角 形，从三角形的3个顶点引出3根线作为 输电线，这种联接方式称为三角状连接。
1.三相电源的星形连接 如图3.3所示，把三相电源的负极性端即
末端接在一起成为一个公共点，叫做中性 点，用N表示，由始端U1、V1、W1引 出3根线作为输电线，这种联接方式称为 星形连接。 由始端U1、V1、W1引出的3根线叫做 端线,从中性点引出的线叫做中性线。
3.2 三相电源和负载的连接
图3.3 三相电源的星形连接
3.2 三相电源和负载的连接
相电压和线电压的相量图如图3.4所示，根 据平行四边形法则或三角形法则作图求线 电压。
当3个相电压对称时，3个线电压也是对称 的，线电压的有效值是相电压有效值的 3 倍。线电压超前对应的相电压30°。
3.2 三相电源和负载的连接
图3.4 三相电源的三角形联结
3.2 三相电源和负载的连接
3.2 三相电源和负载的连接
图3.5 三相电源的三角形连接
3.2 三相电源和负载的连接
第三章正弦交流电路
1 = U 2
cm m
I sin2 ωi = U Isin2 t
第四节电容和纯电容交流电路
纯电容电路瞬时功率波形图
第三章 正弦交流电路
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返 回
结 束
第四节电容和纯电容交流电路
二、纯电容正弦交流电路
• 2.电路的功率 （2）平均功率（有功功率） 瞬时功率在一个周期内的平均功率等于零，即：
2
2 C
第三章 正弦交流电路
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结 束
第四节电容和纯电容交流电路
二、纯电容正弦交流电路
例题
0
把一个C 80μ F的电容器接在 u 220 2sin(314t 30 ) 的电源上。试求：(1 ) 电流相量并写出其解析 式; (2) 无功功率 (3)画出电压和电流 的相量图.
• 若万用表的指针向小电阻方向摆动，不 能回摆至“∞”，而停在某一位置上，说 明电容器有漏电现象。
第三章 正弦交流电路
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返 回
结 束
第四节电容和纯电容交流电路
u C
5.技能训练：用万用表检测电容器
• 若万用表的指针立即指到“0”位置上不 回摆，说明电容器内部已短路 。
第三章 正弦交流电路
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结 束
最大值
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返 回
结 束
(3)有效值
正弦量的有效值是根据电流的热效应来规 定的。如图3-5所示，在相同的时间里， 直流电和交流电在相同的负载上产生相 同的热量，就把该直流电的值叫做该交 流电的有效值
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结 束
I
Im 2
《电工基础与测量》第3章-正弦交流电路- 正弦交流电路的功率要点
4
1 T 1 T P pdt UI (1 cos 2t )dt T 0 T 0 2 U UI RI 2 R
（3.47）
平均功率P反映了外施电源对电路作功的平均值，也是电阻元件消耗的功 率，所以也称为有功功率。电器设备上标注的功率都是指平均功率，如电视机 的功率为200W、日光灯的功率为30W等 2. 电感元件上的功率 图3.27所示电感元件正弦交流电路，设i = Imsinwt，则 关联参考方向下有u = Umsin(wt + 90°)，电感元件中的瞬 时功率为
u
t
6
在第一个和第三个 4 周期内， p为正，电感元件从电源吸收电能，转变为 1 磁场能量储存起来；在第二个和第四个 4 周期内， p 为负，电感元件将储存 的磁场能量全部退还给电源。所以，电感元件不消耗电能，是储能元件。 在电感元件的正弦交流电路中，平均功率
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1 T 1 T P pdt UI sin 2tdt 0 T 0 T 0
从图3.28（a）的功率波形也容易看出，p的平均值为零，即平均功率为零。 从上述可知，在电感元件的正弦交流电路中，没有能量消耗，只有电源与 电感元件间的能量交换。且不同的电感元件与电源交换能量的规模不同。这种 能量交换的规模，工程上用无功功率来衡量。无功功率是指元件 L （或元 件 C ）与外界交换能量的最大瞬时值，用 Q表示，即
第3章
正弦交流电路
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
1
第 3章
正弦交流电路
正弦交流电路是指电路中所含电源（激励）与产生 的各部分电压和电流（稳态响应）都是按同一频率正弦 规律变化的线性电路。正弦交流电动势是由交流发电机 所产生的。由于正弦交流电容易产生、传输经济、便于 使用，因此在工农业生产以及日常生活中得到了最为广 泛的应用，是目前供电和用电的主要形式。 正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。本章 所讨论的一些基本概念、基本理论和基本分析方法是后 面学习交流电机、电器及电子技术的理论基础。
1 T 1 T P pdt UI (1 cos 2t )dt T 0 T 0 2 U UI RI 2 R
（3.47）
平均功率P反映了外施电源对电路作功的平均值，也是电阻元件消耗的功 率，所以也称为有功功率。电器设备上标注的功率都是指平均功率，如电视机 的功率为200W、日光灯的功率为30W等 2. 电感元件上的功率 图3.27所示电感元件正弦交流电路，设i = Imsinwt，则 关联参考方向下有u = Umsin(wt + 90°)，电感元件中的瞬 时功率为
u
t
6
在第一个和第三个 4 周期内， p为正，电感元件从电源吸收电能，转变为 1 磁场能量储存起来；在第二个和第四个 4 周期内， p 为负，电感元件将储存 的磁场能量全部退还给电源。所以，电感元件不消耗电能，是储能元件。 在电感元件的正弦交流电路中，平均功率
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1 T 1 T P pdt UI sin 2tdt 0 T 0 T 0
从图3.28（a）的功率波形也容易看出，p的平均值为零，即平均功率为零。 从上述可知，在电感元件的正弦交流电路中，没有能量消耗，只有电源与 电感元件间的能量交换。且不同的电感元件与电源交换能量的规模不同。这种 能量交换的规模，工程上用无功功率来衡量。无功功率是指元件 L （或元 件 C ）与外界交换能量的最大瞬时值，用 Q表示，即
第3章
正弦交流电路
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
1
第 3章
正弦交流电路
正弦交流电路是指电路中所含电源（激励）与产生 的各部分电压和电流（稳态响应）都是按同一频率正弦 规律变化的线性电路。正弦交流电动势是由交流发电机 所产生的。由于正弦交流电容易产生、传输经济、便于 使用，因此在工农业生产以及日常生活中得到了最为广 泛的应用，是目前供电和用电的主要形式。 正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。本章 所讨论的一些基本概念、基本理论和基本分析方法是后 面学习交流电机、电器及电子技术的理论基础。
电工技术第三章 正弦交流电路1
相量表示:
U Ue
jψ
U ψ
相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
或：
Um Ume Um ψ
jψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的幅值相量
2、复数表示注意事项： ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i I msin(ω t ψ ) = I m e jψ I m ψ
u
一、正弦量的表示方法
1、波形图
O
ωt
2、瞬时值（三角函数）表达式
u U msin( t )
3、相量
U Uψ
二、正弦量用旋转有向线段表示
正弦量的瞬时值 旋转向量在纵轴 上的投影高度。 ω
+j
u U m sin t
Um
+1
0
t
对于每一个正弦量都可以找到与其对应的旋转向量。
在弱电方面也常用正弦信号作为信号源。
二、正弦量的参考方向 正弦量的正方向是指正半周时的方向。
i
用波形图表示：
实际方向和假 设方向一致
i
R
0
t
实际方向和假设 方向相反
三、 正弦量的三要素
i
i I m sin t
Im
0
t
三个特征量 又称三要素
幅值（最大值）Im
角频率（弧度/秒）ω
t
三角函数式
u U m sin t
相量 图 相量式
反映正 弦量的 全貌包 括三个 要素
反映正 弦量两 个要素
I
j
U
相量 表达 式
第3章 正弦交流电路的稳态分析
第3章正弦交流电路的稳态分析本章的主要任务是学习正弦量、正弦交流电路和相量法的基本概念、正弦交流电路的稳态分析与计算、正弦交流电路功率的概念和计算。
在此基础上理解和掌握功率因数提高的意义，和谐振的概念。
本章基本要求(1) 正确理解正弦量和正弦交流电路概念；(2) 正确理解相量法引入的意义；(3) 正确理解有功功率和功率因数的概念；(4) 掌握相量法；(5) 掌握电路定律的相量形式和元件约束方程的相量形式；(6) 分析计算正弦稳态电路；(7) 了解功率因数提高的意义；(8) 了解谐振的概念。
本章习题解析3-1 已知正弦电压和电流的三角函数式，试用有效值相量表示它们，并画出它们的相量图。
（1）A，V（2）A，V（3）A，V解 (1)A，V，相量图如图3-1（a）所示。
(2)A，V，相量图如图3-1（b）所示(3)A，V，相量图如图3-1（c）所示3-2 已知电压、电流的相量表示式，试分别用三角函数式、波形图及相量图表示它们。
（1） V， A（2） V ， A（3），解 (1)=，V=，A波形图相量图如图3-2（a）所示。
(2)=，V=，A波形图相量图如图3-2（b）所示。
(3)=，V=，A波形图相量图如图3-2（c）所示。
3-3 已知电感元件的电压，电感mH，电源频率Hz。
求电流的瞬时表达式，并画出电压和电流的相量图。
解电流相量A瞬时值A相量图如图3-3所示。
3-4 已知电容元件的电容，当电容两端加上频率为电压时，产生的电流。
求电容电压的瞬时值表达式并画出电压和电流的相量图。
解角频率rads-1电容电压V相量图如图3-4所示。
3-5 电路如图3-5所示，，且已知电源电压和两端电压的波形如图所示，并设电源电压。
试求该无源网络在此特定频率的等效阻抗。
解设和的相位差rad==若电源电压相量V，无源网络的等效阻抗。
则V而，所以整个电路的电流mA则Ω∴ Ω3-6 图3-6为测量感性负载功率的电路。
已知，，，。
第3章正弦稳态交流电路
ψi ψu
p 2
UC IC
图3－8c
图3－9c
3.电容 方 程
正弦量
duC iC = C dt
相 量
IC = jwCU C
电路模型
图3－9a
相量图：如图3-9c
图3－9b
p wCU C ? (y u ) = IC y i 2 ì 1 ï ï UC = IC ï wC í ï ïy i = y u+ p ï 2 ï î
= 0.707 I m 9
通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。 譬如民用交流电压220V、工业用电电压380V等，交流测 量仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效 值。但是，各种器件和电气设备的耐压值应按最大值考 虑。
3.2 正弦量的相量表示及相量图
前面学的正弦量的两种表示方法，即 三角函数：反映正弦量的三要素 波形图：反映正弦量随时间变化的规律 但这两种方法不便于正弦量的计算，因此引入正弦量的 第三种表示方法——相量表示法（用复数表示正弦量）
i
& I = Ie jy i = I j
16
二、正弦量的相量运算 同频正弦量进行加、减、微分、积分运算,运算结果 仍为同频率的正弦量，所对应的相量运算如何？ 1. 同频率正弦量的代数和
证明： = i1 + i2 + 鬃 i
17
2.正弦量的微分 i = 2 I sin(w t + j i ) 故：
θ
b F 辐角： arg tan( ) (a,b) a
a | F | cos , b | F | sin
2 2
b
θLeabharlann | F |b a b , arg tan( ) a
p 2
UC IC
图3－8c
图3－9c
3.电容 方 程
正弦量
duC iC = C dt
相 量
IC = jwCU C
电路模型
图3－9a
相量图：如图3-9c
图3－9b
p wCU C ? (y u ) = IC y i 2 ì 1 ï ï UC = IC ï wC í ï ïy i = y u+ p ï 2 ï î
= 0.707 I m 9
通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。 譬如民用交流电压220V、工业用电电压380V等，交流测 量仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效 值。但是，各种器件和电气设备的耐压值应按最大值考 虑。
3.2 正弦量的相量表示及相量图
前面学的正弦量的两种表示方法，即 三角函数：反映正弦量的三要素 波形图：反映正弦量随时间变化的规律 但这两种方法不便于正弦量的计算，因此引入正弦量的 第三种表示方法——相量表示法（用复数表示正弦量）
i
& I = Ie jy i = I j
16
二、正弦量的相量运算 同频正弦量进行加、减、微分、积分运算,运算结果 仍为同频率的正弦量，所对应的相量运算如何？ 1. 同频率正弦量的代数和
证明： = i1 + i2 + 鬃 i
17
2.正弦量的微分 i = 2 I sin(w t + j i ) 故：
θ
b F 辐角： arg tan( ) (a,b) a
a | F | cos , b | F | sin
2 2
b
θLeabharlann | F |b a b , arg tan( ) a
正弦交流电路 必看!
3.1. 5 相位差
u u
0
i
i
2
i1 i2
t
u= Umsin( t+1) i = Imsin( t+2) 两个同频率正弦量的相位角 之差或是初相角之差，称为 相位差，用表示。 u和i的相位差 = ( t+1)–( t+2)= 1 –2 图中1 >2
1
i
u超前i 角
电路图上所标的方向均为电压、电流 的参考方向,即代表正半周时的方向。
3.1.1 正弦量的三要素
i I m sin t
Im
i
t
Im
正弦量的三要素
最大值 角频率 初相位
3.1. 2 频率与周期
周期T：正弦量变化
一周所需要的时间
i
1 t 频率 f = 2 0 T 每秒变化的次数 T 2 = 2 f 每秒变化的弧度 角频率 = T 例：我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz， 试求其周期和角频率。 1 T = =0.02S = 2 f =314rad/s 解： f
电阻的瞬时功率波形图
p= u i = 2UIsin2 t = UI(1– cos2 t)
i u ωt
结论：
1.
p
随时间变化
p
2.
p 0 （耗能元件）
ωt
2. ）平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
P=UI U=IR
u
i
2 2 =I R=U i /R 2 I sin t
R
u
2 U sin t
T/2
T t
小常识 * 电网频率：中国50 Hz；美国、日本60 Hz * 有线通讯频率：300 - 5000 Hz * 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 mHz
电路基础(第4版_王慧玲)教学资源 4第3章 正弦交流电路
3-1-2 正弦量的相量表示法
▪ 解析式 i Im sint i
i
▪ 波形图
t
▪ 相量
重点
因前两种不便于运算，所以引出相量表示法。
准备 知识
复数及其运算
1.复数的四种表示形式 实部
概念复习
虚部
▪ 代数形式 A a jb
▪ 三角形式A r cos jr sin
▪ 指数形式 A re j
T0
T0
平均功率计算式 P UI RI 2 U 2
R
附加题 一个标称值为“220V,75W”的电烙铁， 它的电压为 ，试求它的电流和功率，并计算它 使用20小时所耗电能的度数。
解: 电流的有效值为
I P 75 0.34A U 220
因所加电压即为额定电压，功率为75W，
所以 20小时所耗电能为
3.初相位与相位差
t
▪相位：正弦波的相位（t ）
▪初相位：t = 0 时的相位，称为初相位
▪相位差 ：两个同频率 正弦量间的初相位之差。
说明：Im反映了正弦量变化的幅度，ω反映了正弦 量变化的快慢,ψ反映了正弦量在t =0时的状态，要
完整的确定一个正弦量，必须知道它的Im 、ω、ψ
，称这三个量为正弦量的三要素。
W=75×20=1500W=1.5KWh=1.5 度
3-2-2 纯电感电路
1.电感的概念
磁链
定义: L N L
ii 根据电磁感应定律
磁链单位为韦伯（Wb） 电流单位为安培（A） 电感单位为亨利（H）
u L di dt
电感两端的电压与通过该电 感中电流的变化率成正比。
uN +
i
ψL=N
L
2.纯电感电路的电压、电流关系
第3章 正弦交流电路
( R j( X L X C )) I
Z φ 电抗
2
( R jபைடு நூலகம் ) I ZI
Z
XL-XC
R
阻抗
Z R (XL XC)
XL XC arctan R
阻抗角
2
阻抗三角形
阻抗模
相量图
UL UC
U UL＋ UC UR I
电压三角形
2 U UR (U L U C ) 2 I R 2 ( X L X C ) 2
2.RL串联电路
u uR uL
I R U R
jX I U L L
U U U R L
i
R
u
L
Z R jX L
Z R X
2 2 L
XL arctan R
例
在RLC串联电路中，
R 30 Ω X L 40Ω X C 80Ω
若电源电压
平均功率
P0
无功功率 能量互换的规模 ，瞬时功率的最大值为无功功率。
QC UI I X C
2
U
2
XC
把电容量为40µ F的电容器接到交流电源上，通过电 容器的电流为
i 2.75 2 sin(314t 30 )A
o
试求电容器两端的电压瞬时值表达式。
解
o I 2.7530 A
u U m sin(t )
有效值相量
U m U m U U
i I m sin(t )
正弦量的相量表示:
I m I m I I
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
Z φ 电抗
2
( R jபைடு நூலகம் ) I ZI
Z
XL-XC
R
阻抗
Z R (XL XC)
XL XC arctan R
阻抗角
2
阻抗三角形
阻抗模
相量图
UL UC
U UL＋ UC UR I
电压三角形
2 U UR (U L U C ) 2 I R 2 ( X L X C ) 2
2.RL串联电路
u uR uL
I R U R
jX I U L L
U U U R L
i
R
u
L
Z R jX L
Z R X
2 2 L
XL arctan R
例
在RLC串联电路中，
R 30 Ω X L 40Ω X C 80Ω
若电源电压
平均功率
P0
无功功率 能量互换的规模 ，瞬时功率的最大值为无功功率。
QC UI I X C
2
U
2
XC
把电容量为40µ F的电容器接到交流电源上，通过电 容器的电流为
i 2.75 2 sin(314t 30 )A
o
试求电容器两端的电压瞬时值表达式。
解
o I 2.7530 A
u U m sin(t )
有效值相量
U m U m U U
i I m sin(t )
正弦量的相量表示:
I m I m I I
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
第三章-正弦交流电路试题及答案
第三章 正弦交流电路一、填空题1．交流电流是指电流的大小和____ 都随时间作周期变化，且在一个周期内其平均值为零的电流。
2．正弦交流电路是指电路中的电压、电流均随时间按____ 规律变化的电路。
3．正弦交流电的瞬时表达式为e =____________、i =____________。
4．角频率是指交流电在________时间内变化的电角度。
5．正弦交流电的三个基本要素是_____、_____和_____。
6．我国工业及生活中使用的交流电频率____，周期为____。
7． 已知V t t u )270100sin(4)(︒+-=，m U = V ，ω= rad/s ，ψ = rad ，T= s ，f= Hz ，Tt=12时，u(t)= 。
8．已知两个正弦交流电流A )90314sin(310A,)30314sin(100201+=-=t i t i ，则21i i 和的相位差为_____，___超前___。
9．有一正弦交流电流，有效值为20A ，其最大值为____，平均值为____。
10．已知正弦交流电压V )30314sin(100+=t u ，该电压有效值U=_____。
11．已知正弦交流电流A )60314sin(250-=t i ，该电流有效值I=_____。
12．已知正弦交流电压()V 60314sin 22200+=t u ，它的最大值为___，有效值为____，角频率为____，相位为____，初相位为____。
13．正弦交流电的四种表示方法是相量图、曲线图、_____ 和_____ 。
14．正弦量的相量表示法，就是用复数的模数表示正弦量的_____，用复数的辐角表示正弦量的_______。
15．已知某正弦交流电压V t U u u m )sin(ψω-=，则其相量形式•U =______V 。
16．已知某正弦交流电流相量形式为0i120e50=•I A ，则其瞬时表达式i =__________A 。
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t
0
t
u超前i 角
第13页
u滞后i 角
第3 章
正弦交流电路
如果: 1 2 0
u i u i
称u与i同相位，简称同相。
其特点是：两正弦量同时 达到正最大值，或同时过 零点。 如果: 1 2
0
t
2பைடு நூலகம்
u
同相
u i i
称u与i正交。 其特点是：当一正弦量的 值达到最大时，另一正弦 量的值刚好是零。
I 0
正弦电流用相量表示后，KCL仍然适用。
第28页
第3 章
正弦交流电路
3.3.2 KVL的相量形式
时域内的KVL为:
u 0
在正弦交流电路中，上式各项电压均为同频 率的正弦量。
因此，相量形式的KVL为: 对任一闭合回路满足
U
0
正弦电压用相量表示后，KVL仍然适用。
3.3.3 电阻元件电压电流关系的相量形式
m I m I
初相角 幅值
第3 章
正弦交流电路
正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。 例如： 正弦电流 i I m sin( t )
有效值相量为：
j I I (cos jsin ) Ie I
幅值相量为：
j I (cos jsin I ) I e I m m m m
第7页
第3 章
正弦交流电路
以电流为例：设两个相同电阻R，分别通入 周期电流i和直流电流I。 i R 同一时间T 内消耗的 能量 I R
0 pdt =
=R
T
T
0
i 2 Rdt
消耗能量相同
PT
= I 2 RT
T
0
i dt
2
2
即：I RT R
T
0
1 i dt 则有： I T
2
第8页
T
0
3.3.2 KVL的相量形式
3.3.3电阻元件电压电流关系的相量形式 3.3.4电感元件电压电流关系的相量形式 3.3.5电容元件电压电流关系的相量形式
第27页
第3 章
正弦交流电路
第3节 电路基本定律的相量形式
3.3.1 KCL的相量形式
时域内KCL为
i 0
在正弦交流电路中，上式各项电流均为同频 率的正弦量。 因此，相量形式的KCL为: 对任一节点满足
故一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量
来确定。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。
第21页
第3 章
正弦交流电路
设有正弦电流
i I m sint
据欧拉公式，一个复数函数
I me
j( t ψ )
I m cos(t ) jI m sin(t )
ImI m e jψ e jt m e jt ImI
e 1 （模为1，辐角为 的复数）
e
j
即：A A A A
第20页
第3 章
正弦交流电路
（二）、正弦量的相量表示
一个复数由模和幅角两个特征量确定。
一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。
在分析计算线性电路时，电路中各部分电压 和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率 是已知的，可不必考虑。
相量运算 （复数运算)
m I 1m I 2m 100e I
j45
60e
- j30
j18 20
(70.7 j70.7) (52 j30) 129e 于是得
第24页
A
i 129.29sin( t 18 20)A
第3 章
正弦交流电路
（三）、相量图 按照正弦量的大小和相位关系画出的若干 相量的图形，称为相量图。 [例] 若 i1= I1 msin( t+ i1) i2= I2 msin( t+ i2)， 画出相量图 分析：根据i1、i2的 振幅、初相，可直接画 出其相量图。
j
I2m
i2
0
•
i1
I1 m
•
相 量 图
1
第25页
第3 章
正弦交流电路
注意： 只有正弦周期量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电 是时间的函数，二者之间并不相等。
第26页
第3 章
正弦交流电路
3.3.1 KCL的相量形式
3.3 正弦量的相量表 示
t
t
0
0
t和( t+)称为正弦量的相位角或相位。
它表明正弦量的进程。
第10页
第3 章
正弦交流电路
（2）初相位 t=0 时的相位角称为初相位角或初相位，即： 用 1800 的角度表示。 若计时时刻不同，则正弦量初相位不同。
N
t
A X
t＋
e
Em
0
t
S
(a )
第19页
第3 章
正弦交流电路
则
j
A1 A1 1 2 A2 A2
3、旋转因子：
一个复数乘以 e j 等于把其逆时针旋转 度 +j j jA e 2 j A jA 相当于把A +1 逆时针旋转90度 -jA 4、共轭复数 其共轭复数为 A a jb 设复数A = a + jb，
0
T
2 t T/2 Ｔ t
(3)角频率(ω):每秒钟变化的弧度 数，单位(rad/s)。 三者间的关系 示为： f =1/ T
ω =2 /T=2 f
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业 标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
第6页
第3 章
正弦交流电路
［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz， 试求其周期和角频率。 ［解］ T
第2页
第3 章
正弦交流电路
3.1 正弦量
3.1.1正弦量
在电工技术中常见到随时间变化的电压和电流。 如下图(a)、(b)所示： u,i o
(a)
u,i t
0
t
(b)
时变电压及电流的波形
第3页
第3 章
正弦交流电路
1. 周期电压和电流：随时间作周期性变化的 电压和电流。以电流为例，周期电流可表示为：
第29页
第3 章
正弦交流电路
设在电阻元件的交流电路中， 电压、电流参考方向如图示。 1.电压电流的数值关系
0 I I 0 瞬时值 设：i I m sin t m m 则 u Ri RIm sin t Um sin t U 00 最大值、有效值 U U m m U m Um RIm 或 I I R
3.2 正弦量的相量表 示
3.2.1 函数式表示 3.2.2 波形表示 3.2.3 相量表示
第16页
第3 章
正弦交流电路
3.2 正弦量的相量表示
正弦量的表示方法
基本要求：正弦量的三要素要表示清楚。
3.2.1函数式表示 i I m sint i 3.2.2波形表示
t u u Um sin
第12页
第3 章
正弦交流电路
u和i 的相位差为 ( t 1 ) ( t 2 ) 1 2
规定： 的取值范围是 如果： 1 2 0 称u超前角度。 如果: 1 2 0 称u滞后角度。
u i u 0 u i i i u
a A cos b A sin
A a b
2 2
A
b tan a
a
+1
0
幅角
第18页
第3 章
正弦交流电路
复数的其它形式：
A Ae
j
（指数式）
A A cos j A sin （三角式） （极坐标式） A A
2、复数运算 熟记公式：
加减运算： 设 A1 a1 jb1 A2 a2 jb2 则 A1 A2 a1 a2 jb1 b2 乘法运算： 设 A1 A1 1 A2 A2 2 则 A1 A2 A1 A2 1 2 除法运算： 设 A1 A1 1 A2 A2 2
注意： 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。
第23页
第3 章
正弦交流电路
[例] 已知 i1=100sin( t+ 45)A i2= 60 sin( t30)A，求 i =i1 + i2。 [解] 正弦电量的运算可按下列步骤进行:
正弦电量 （时间函数） 相 所求 反变换 量 正弦量 结 果 变换 相量 （复数）
a
i
R
b
振幅
角频 初相 率 角 正弦量的三要素
i
振幅 Im
正半周：电流实际方向与 参考方向相同。 负半周：电流实际方向与 参考方向相反。
第5页
+
i
0
t
第3 章
正弦交流电路
1、描述变化快慢的参数
(1) 周期(T):变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
i
(2)频率( f ):单位时间内 的周期数，单位(Hz)。
第9页
第3 章
正弦交流电路
3、相位、初相位、相位差。 （1）相位 正弦量所取计时起点不同，其初始值(t=0)时的 值及到达幅值或某一特定时刻的值就不同。 i I m sin( t ) 例如: i Im sin t i0 0 i0 I m sin 不等于零 t =0时， i i