高中数学 两点式和截距式方程
两点式_截距式方程
9 3 ( , ) 定点__________ 5 5
变式2：已知3m-n=1,则直线mx+ny=2所经过的
(6,2) 定点__________
变式3：已知m+n=k(k≠0),则直线mx+ny=2所经过
2 2 ( , ) 的定点__________ k k
.
C
变式1:BC边上中线的方程? 变式2:BC边上高所在直线的方程?
变式3:BC边上垂直平分线的方程? 3x-5y-7=0
例1、 三角形的顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3) 求三边所在的直线的方程
变式1、求BC边上的高所在的直线的方程 变式2、求BC边上的中线所在的直线的方程
变式3、求BC边的垂直平分线的方程
0
1
3 4
x
-1
-2
变式3、求过点P(2,1) 与两坐标轴所围成的 三角形的面积为3的直线有几条？
例5、求过点P(2,1) 与两坐标轴正半轴所围成 的三角形的面积为4时的直线方程 y
2
P(2,1)
0
1
3 4
x
-1
-2
变式4、求过点P(2,1) 与两坐标轴所围成的三 角形的面积为5的直线有几条？
例6、求过点P(2,1) 与两坐标轴正半轴所围成 的三角形的面积为4时的直线方程 y
两点式方程
l y
P2(x2,y2) P1(x1,y2)
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
O
x
注意：既不垂直x轴，也不垂直y轴! 1.左边全为y，右边全为x 2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同
新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习
直线的两点式方程与截距式方程一、知识梳理知识点一：直线方程的两点式思考1：已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案：y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.思考2：过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． 结论梳理：思考1：过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案：能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2：已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案：由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，即x a ＋yb ＝1.结论梳理： 类型一：直线的两点式方程1、过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为x-y ＋3=02、经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为y ＝23、已知点A (3,2)，B (－1,4)，则过点C (2,5)且过线段AB 的中点的直线方程为2x －y ＋1＝04、过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是－325、已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN所在直线方程为2x ＋y －8＝06、已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝__327、若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝－2 8、在△ABC 中，已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 答案：(1) 2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)．(2) 10x ＋11y ＋8＝0. 类型二：直线方程的截距式1、直线x －2＋y－3＝1在x 轴，y 轴上的截距分别为－2，－32、直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是－b 23、过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是x 2＋y3＝14、直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为－15、过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x －y ＋1＝0或3x －2y ＝06、已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l 的方程为 答案：0632022=-+=-+y x y x 或7、过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是___ 答案：x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝08、过(3,0)点且与x 轴垂直的直线方程为x ＝3，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为___答案：y ＝－29、已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为x －3y ＋24＝010、已知直线l 的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l 的方程为___答案： 6x －y ＋12＝0 类型三：直线图像识别1、如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb ＝1，则有 ( B )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <02、两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( A )3、两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个 ( B )4、已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则( D )A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0C ．若c ＜0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b ＞0 5、直线x a ＋yb＝1过第一、二、三象限，则( C )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0 类型四：判断直线的条数1、过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条，方程为：023=-y x 、05-=+y x2、过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有2条方程为：043=+y x 、01-=+y x3、过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有3条，方程为：03=+y x 、02-=+y x 、04--=y x 、4、经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为 答案：x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 类型五：与三角形有关的直线方程1、已知直线x a ＋y6＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a 的值为±22、过点P (1,3)且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是3x ＋y －6＝03、斜率与直线4x ＋3y ＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是3或－34、直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( D )A ．12abB ．12|ab |C ．12abD ．12|ab |5、求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程． 答案： 8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 类型六：直线方程的简单应用1、平面直角坐标系中，直线x ＋3y ＋2＝032、已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 答案：点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)， 截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4， 一般式方程：3x －y －4＝0.3、若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( A )A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜0 4、直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是15x －3y －7＝0 5、光线从A (－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点 C (1，6)，则BC 所在直线的方程为5x －2y ＋7＝0 6、求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 答案：（1）y ＝43x ±3；（2）当m ≠1时，直线l 的方程是y ＝1m －1(x －1)；当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.(3) x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .7、设直线l 的方程为y ＝(－a －1)x ＋a －2. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 答案：(1) 3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)由l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1，故所求的a 的取值范围为(－∞，－1]．8、(选做题)如图所示，已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积最小时l 的方程． 解：设A (a ，0)，B (0，b )，显然a >3，b >2， 则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，因为P (3，2)在直线l 上，所以3a ＋2b ＝1，于是b ＝2aa －3，所以S △AOB ＝12ab ＝a 2a －3，整理得a 2－S △AOB ·a ＋3S △AOB ＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S 2△AOB －12S △AOB ≥0，又因为S △AOB >0，所以S △AOB ≥12，S △AOB 最小值＝12．将S △AOB ＝12代入(*)式，得a 2－12a ＋36＝0，解得a ＝6，b ＝4． 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0．。
点斜式,斜截式,两点式,截距式之间的联系 -回复
点斜式,斜截式,两点式,截距式之间的联系-回复点斜式、斜截式、两点式和截距式是四种不同的方程形式，它们都可以表示一条直线。
每种形式都有其特点和适用场景，但它们之间也存在着密切的联系。
下面将从定义、方程形式和适用场景等方面进行详细阐述。
一、点斜式点斜式方程表示一条通过某一点且斜率为k的直线。
其方程形式为：y-y1=k(x-x1)。
其中，(x1，y1)为直线通过的点，k为直线的斜率。
二、斜截式斜截式方程表示一条与y轴交于b点的直线，且该直线的斜率为k。
其方程形式为：y=kx+b。
其中，k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐标。
三、两点式两点式方程表示一条通过两点(x1，y1)和(x2，y2)的直线。
其方程形式为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
其中，(x1，y1)和(x2，y2)为直线通过的两点坐标。
四、截距式截距式方程表示一条与x轴交于a点，与y轴交于b点的直线。
其方程形式为：x/a+y/b=1。
其中，a为直线与x轴的交点坐标，b为直线与y轴的交点坐标。
五、联系斜截式与截距式：斜截式方程y=kx+b可以转化为截距式方程x/a+y/b=1。
当b≠0时，将y=kx+b两边同时除以b，即可得到截距式方程；当b=0时，截距式方程不适用。
两点式与斜截式：通过两点式方程(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，可以推导出斜截式方程y=kx+b。
将两点式方程中的x用(x-x1)替换，同时令y=0得到截距式方程，再通过斜率k和截距b还原为斜截式方程。
两点式与截距式：通过两点式方程可以推导出截距式方程。
在两点式方程中令x=0或y=0，即可得到截距式方程。
点斜式与斜截式：点斜式方程y-y1=k(x-x1)可以转化为斜截式方程y=kx+b。
将点斜式方程两边同时减去y1，再乘以1/k得到斜截式方程。
六、总结点斜式、斜截式、两点式和截距式四种方程形式之间可以通过一定的转化得到相互联系。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的两点式方程、直线的一般式方程》预习导航
预习导航请沿着以下脉络学习：1．两点式方程与截距式方程的概念(1)已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其方程为112121y y x x y y x x --=--(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．(2)若直线过点A (a,0)，B (0，b )，其中a 叫做直线在x 轴上的截距(也叫横截距)，b 叫做直线在y 轴上的截距(也叫纵截距)，则直线的方程为1x y a b +=(a ≠0，b ≠0)．称为截距式方程．2．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 3．一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是A B -，在y 轴上的截距是C B-.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率． 4．二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．1．过两点(5,0)，(2，－5)的直线的方程是( )．A ．5x ＋3y －25＝0B ．5x －3y －25＝0C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0答案：B解析：过两点(5,0)，(2，－5)的直线的方程是055025y x --=---，整理得5x －3y －25＝0. 2．直线123x y +=-，化成一般式方程为( )． A ．y ＝32x ＋3 B ．3x －2y ＋6＝0 C ．y －3＝32x D ．3x ＋2y －6＝0答案：B 解析：一般式指的是形如Ax ＋By ＋C ＝0的形式．3．直线221x y a b -=在y 轴上的截距是__________． 答案：－b 2解析：令x ＝0，得y ＝－b 2.4．若直线x ＋ay ＋2＝0和2x ＋3y ＋1＝0互相垂直，则a ＝__________. 答案：23- 解析：由题意，得12()13a -⨯-=-， 解得23a =-. 5．已知两点A (1,3)、B (5,7)，直线AB 过点C (m,12)，求直线AB 的方程和m 的值． 解：由两点式317351y x --=--得AB 的方程为x －y ＋2＝0，把C (m,12)代入得m ＝10.。
高中数学 2.3.2.2直线的两点式和截距式方程教案数学教案
课题：2.3.2.2直线的两点式和截距式方程
课型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法
让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；
（2）培养学生用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程两点式。
教学难点：两点式推导过程的理解
1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题
课后记:。
福建省福清元载中学高中数学必修二第三章 3.2.2 直线的两点式与截距式方程
注意：①不能表示与 轴和 轴垂直的直程可以适应在于任何一条直线.
（2）截距式：若已知直线在 轴， 轴上的截距分别是 ， （ ）则直线方程： ；
注意：不能表示与 轴垂直的直线，也不能表示与 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线，要谨慎使用.
[教学反思]
5.（选做）某房地产公司要在荒地ABCDE（如下图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1 m2）
【课堂检测】
1．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是（）
A. ；B. ；
C. ；D. (
2.过点A 和B 的直线两点式方程是；
(A) ; (B) 或
(C) ；(D) 或
2.已知 三个顶点是 ， ， ,求BC边中线AD所在直线方程为
________________.
3.过点A（1，4）且纵、横截距的绝对值相等的直线共有条.
4.过两点 和 的直线在 轴上的截距为（）.
A. B. C. D. 2
【小结与反馈】
(1)两点式：若已知直线经过 和 两点，且（ ），
2.截距式：直线 在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.
3.两点式不能表示;截距式不能表示.
4.线段 中点坐标公式
即学即练：
1．过两点 和 的直线的方程为（）.
A. B. C. D.
2.直线 在x轴和y轴上的截距分别为________、________.
3.求过点 ，并且与两轴围成等腰三角形的直线方程..
【课外拓展】
1.已知△ 顶点为 ，求过点 且将△ 面积平分的直线方程.
2.已知直线 过点 ，且在两条坐标轴上的截距和为0，求直线 的方程．
人教版数学必修二3.《直线的两点式与截距式方程》上课PPT课件
人教版数学必修二3.《直线的两点式 与截距 式方程 》上课P PT课件
题型二：利用截距式求直线方程
例4：求过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距 互为相反数的直线方程.
分类讨论的思想
分析：1、当直线过原点时，设方程为y=kx
2、当直线不过原点，设方程为
x a
y a
1
y 5 x或x y 8 0 3
题型二：利用截距式求直线方程 人教版数学必修二3.《直线的两点式与截距式方程》上课PPT课件
你有几种方法？
例3、完成下列问题：
（1）已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的
截距分别是－3和4，则m＝_4__，n＝__3_.
法1：将直线方程化为截距式.
x 12
y 12
1
m
n
法2：由已知可知直线截距式方程为
已知直线经过两点 P1(1,2), P2 (3,5)，则直线的斜率
3
k= 2 ；直线的方程为 3x 2y 1 0 。
讨？
一、直线的两点式方程
已知直线经过两点 ， P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 , y1 y2 )
y (1) 4 (1)
x2 32
化简为： x y 1 0
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将 P(3, m) 代入方程得m=-2
题型一：利用两点式求直线方程 人教版数学必修二3.《直线的两点式与截距式方程》上课PPT课件
例2、已知三角形的三个顶点分别为A(6，－7)，
题型二：利用截距式求直线方程
题后反思： 1、熟练掌握两点式与截距式方程，谨防用错 2、注意一题多解. 3、选择合适的形式设直线方程. 4、注意分类讨论的数学思想.
高二数学直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内：已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点：会求直线的方程：给出直线的点斜式方程：能观察直线的斜率和直线经过的定点：能化直线方程成截距式：并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡：训练学生由一般到特殊的处理问题方法：通过直线的方程特征观察直线的位置特征：培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况：截距式方程是两点式方程的特殊情况：教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后：说明得到的就是直线的方程：即直线上每个点的坐标都是方程的解：反过来：以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程：但化为y-y1=k(x-x1)后：点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k：并且经过点P1(x1：y1)：直线是确定的：也就是可求的：怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x：y)是直线l上不同于P1的任意一点：根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)：因此：点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上：方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程：可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解：对上面的过程逆推：可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上：所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的：叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)：k=0：直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)：直线的斜率不存在：它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1：所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b：斜率为b：求直线的方程．这个问题：相当于给出了直线上一点(0：b)及直线的斜率k：求直线的方程：是点斜式方程的特殊情况：代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时：斜截式方程就是直线的表示形式：这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1：y1)、P2(x2：y2)：(x1≠x2)：直线的位置是确定的：也就是直线的方程是可求的：请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时：为了便于记忆：我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的：叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线：当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时：可直接写出方程：(2)要记住两点式方程：只要记住左边就行了：右边可由左边见y就用x代换得到：足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0：b≠0)：求直线l的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题：由学生自己完成．解：因为直线l过A(a：0)和B(0：b)两点：将这两点的坐标代入两点式：得就是学生也可能用先求斜率：然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的：叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距：可以直接代入截距式求直线的方程：(2)将直线的方程化为截距式后：可以观察出直线在x轴和y轴上的截距：这一点常被用来作图：(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5：0)、B(3：-3)、C(0：2)(图1-27)：求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到：为简化计算：我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的：要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．练习第1题)写出下列直线的点斜式方程：并画出图形：(1)经过点A(2：5)：斜率是4：(4)经过点D(0：3)：倾斜角是0°：(5)经过点E(4：-2)：倾斜角是120°．解：2．练习第2题)已知下列直线的点斜方程：试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1：2)：k=1：α=45°：(3)(1：-3)：k=-1：α=135°：3．练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°：y轴上的截距是3．4．练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程：再化成截距式方程：并根据截距式方程作图．(1)P1(2：1)、P2(0：-3)：(2)A(0：5)、B(5：0)：(3)C(-4：-3)、D(-2：-1)．解：(图略)六、板书设计。
直线方程的两点式、截距式
例:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边 所在直线的方程.
记忆特点：
左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同
两点式方程的适应范围
是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式 y y x x 写出直线方程呢？
1 1
y2 y1
1
x2 x1ຫໍສະໝຸດ 不是!当x＝x2或y1= y2时，直线P1 P2 没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时， 两点式的分母为零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线．
三、直线的截距式方程
y0 xa , b0 0a
即
x y 1. a b
x y 1. a b
截距式直线方程:
x y 1. a b
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
7.5.2 两点式、截距式
一、复习、引入
复 习
1). 直线的点斜式方程：
y- y1 =k(x- x1 ) k为斜率， P1(x1 ,y1)为经过直线的点
巩 固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
二、直线方程的两点式
代入点斜式得：
定义
方程可写为： 两点式：由直线上两点确定的直线方程叫做直线方程的两点式.
直线的两点式与截距式方程
吕梁贺昌中学 数学组
王晓彦
直线的截距式方程 例2:已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,且 线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学 数学组
王晓彦
忽视截距为0的情形 例3：已知直线l过点P(2,-1),且在两个坐标轴 上的截距相等,求直线l的方程.
直线的一般式方程 【例1】根据下列条件分别写出直线的方程, 并化为一般式方程. (1)斜率是 3,且经过点 A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
判断下列说法是否正确,正确的在 后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”.
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学 数学组
王晓彦
问题 2：求经过两点 P ( a, 0), Q (0, b) 的直线 l 的过两点 P ( a, 0), Q (0, b) ， 所以直线的两点式方程为
y0 xa b0 0a
直线的方程 —— 两点式与截距式 吕梁贺昌中学 数学组 王晓彦
截距式方程
x y 整理得 1 a b
直线的方程 —— 两点式与截距式 吕梁贺昌中学 数学组 王晓彦
x y 整理得 1 a b
注意：
（１） 其中 a 为直线在 x 轴上的截距， b 为直 线在 y 轴上的截距；
（２）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．
直线的方程 —— 两点式与截距式 吕梁贺昌中学 数学组 王晓彦
那么经过两个定点的直线的方
程能否用“公式”直接写出来呢？
直线的方程 —— 两点式与截距式
吕梁贺昌中学 数学组
【教案】2.2.2直线的两点式方程 教学设计高中数学人教版(2019)选择性必修一
2.2.2直线的两点式方程一、内容和内容解析1.内容直线的两点式方程、截距式方程.2.内容解析两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，变化的依据是两点确定一条直线可以转化为一点和斜率唯一确定一条直线，而斜率可以由过这两个已知点的坐标求得.转化的关键是处理直线上任意一点的坐标（x ，y ）与两个已知点P 1，P 2的坐标之间的关系，从而建立直线的两点式方程.在两点式方程中，截距式方程是其特例，其特别之处在于这两点是直线与两条坐标轴的交点，它在具体问题中应用广泛.结合以上分析，确定本节课的教学重点：直线的两点式方程.二、目标和目标解析1.目标（1）能根据两定点的坐标，由点斜式方程推导建立直线的两点式方程；能由一般到特殊，由两点式方程推导出截距式方程.（2）能从代数方程的角度认识直线方程四种不同形式本质上的共性.2.目标解析（1）学生经历由直线的点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程、截距式方程的过程，知道两点式方程是直线点斜式方程的一种变式表达；知道截距式方程是两点式方程的特例；会根据两点坐标写出直线的两点式方程.（2）学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程中相关要素的几何意义，知道点斜式方程是其它所有形式方程的基础，能进行不同形式方程的转化.三、教学问题诊断分析通过前一小节的学习，学生能体会到斜率在建立直线方程的过程中居于核心地位.在本小节中，斜率是搭建点斜式方程和两点式方程之间的桥梁.教学时，要引导学生分析两点确定一条直线，与一点和斜率确定一条直线之间的联系，把两点确定一条直线转化为一点和斜率确定一条直线.直线的两点式方程形式很美，但是不太好记忆.教学时不要求学生死记两点式方程的形式，而是加强理解，在理解的基础上记忆.上一小节，已经介绍直线与y 轴交点的纵坐标称为直线在y 轴上的截距.本小节，通过例3建立了两点式方程的一个特例：截距式方程.特殊在这两点是直线与两条坐标轴的交点（a ，0），（0，b ），把a 称为直线在x 轴上的截距，由两个截距a ，b 确定的方程1x y a b+=称为直线的截距式方程，教学时要注意强调a ，b 都不能为0，方程的右边是1，不是0.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率.这些直线的方程，虽然形式不同，但是本质一致，它们都是对直线的代数刻画.在解决具体问题的时候，学生要根据题目条件及个人偏好灵活选择.四、教学过程设计（一）复习引入1.已知点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），x 1≠x 2，如何求直线AB 的斜率？师生活动：2121y y k x x -=-.直线的点斜式方程是经过两点的斜率公式的一种变式表达. 2.经过点P 0（x 0，y 0），且斜率为k 的直线l 的方程是什么？师生活动：()00.y y k x x -=-直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.3.什么叫直线在y 轴上的截距？师生活动：直线l 与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.设计意图：为本小节的学习做好准备.（二）探究新知思考：已知直线l 经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 1≠x 2，y 1≠y 2），因为两点确定一条直线，所以直线l 是唯一确定的.也就是说，对于直线l 上的任意一点P （x ，y ），它的坐标与点P 1，P 2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？师生活动：当x 1≠x 2时，经过两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）的直线的斜率2121.y y k x x -=- 任取P 1，P 2中的一点，例如取点P 1（x 1，y 1），由直线的点斜式方程，得()211121y y y y x x x x --=--. 当y 1≠y 2时，上式可写为112121y y x x y y x x --=--.称为直线的两点式方程，简称两点式. 追问1：不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗？师生活动：直线l 上的任意一点P （x ，y ），112PP PP k k =，即121121y y y y x x x x --=--，可以变形为112121y y x x y y x x --=--.设计意图：进一步体会斜率在求直线的方程中的核心地位.追问2： 在P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）中，如果x 1=x 2或y 1=y 2，直线的方程是什么？师生活动：如果x 1=x 2或y 1=y 2，直线没有两点式方程.当x 1=x 2时，直线P 1P 2垂直于x 轴，直线方程为10x x -=，即1x x =.当y 1=y 2时，直线P 1P 2垂直于y 轴，直线方程为10y y -=，即1y y =.练习1 求经过两点 P 1（2，1），P 2（0，3）的直线的两点式方程.师生活动：将两点P 1（2，1），P 2（0，3）的坐标代入两点式，得123102y x --=--. 例3 如图，已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的交点B （0，b ），其中a ≠0，b ≠0.求直线l 的方程.师生活动：将两点A（a，0），B（0，b）的坐标代入两点式，得00y x ab a--=--，即1xya b+=.直线l与x轴的交点（a，0）的横坐标a叫做直线在x轴上截距.直线l在y轴上的截距为b，由a，b确定的方程1x ya b+=称为直线的截距式方程.练习2直线在x轴、y轴上的截距分别是－5，6，求直线的截距式方程，并画出图形.师生活动：将a=－5，b=6代入截距式，得156x y+=-.设计意图：巩固所学的截距式方程，并体会截距式方程在画直线时的几何意义.例4已知△ABC的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程.师生活动：过B（3，－3），C（0，2）的两点式方程为203230y x--=---，整理得5360x y+-=.就是边BC所在直线的方程.如图，边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段，由中点坐标公式，可得点M的坐标为3032,22+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即31,22⎛⎫-⎪⎝⎭.过点A（－5，0），M31,22⎛⎫-⎪⎝⎭两点的直线方程为()()5130522xy---=----，整理得1350x y++=.这就是边BC上中线AM所在直线的方程.请同学们写出直线方程的四种形式，它们之间有什么联系？师生活动：当已知直线的斜率k 和直线上一点（x 0，y 0）时，得到直线的点斜式方程()00y y k x x -=-， 当点（x 0，y 0）特殊为（0，b ）时，我们得到斜截式方程y kx b =+，已知条件为直线过两点（x 1，y 1），（x 2，y 2）时，我们可以先确定斜率，再写出点斜式方程，适当变形后我们得到了直线的两点式方程112121y y x x y y x x --=--，当这两个点特殊为直线与两坐标轴的交点时，得到直线的截距式方程1x y a b +=. 设计意图：帮助学生梳理直线方程学习的基本过程与思路：根据确定直线位置的几何要素，从给定一点与方向到两个点，分别建立直线的点斜式方程和两点式方程，并给出了它们的特殊形式.明确直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程以及截距式方程的不同特点，使学生在问题解决中能灵活应用.并为下一小节从方程的一般特点入手得到直线的一般式方程做好铺垫.（三）巩固提升1．求经过点（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.设直线在两坐标轴上的截距均为a .当a ≠0时，将点（2，3）的坐标代入截距式1x y a a+=，解得a =5，直线方程化简为50x y +-=. 当a =0时，将点（0，0）和（2，3）的坐标代入两点式，得003020y x --=--，即320x y -=. 设计意图：注意截距式的适用条件，全面理解直线在两坐标轴上的截距相等的含义.2．一条光线从点P （6，4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0），经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．将点P （6，4），Q （2，0）的坐标代入两点式，得024062y x --=--，化简为20x y --=.这就是入射光线所在直线的方程.如图，由于入射角等于反射角，反射光线所在直线的倾斜角与入射光线所在直线的倾斜角互补，它们的斜率互为相反数.反射光线所在直线的方程为()02y x -=--.化简为20x y +-=.（四）课堂小结，布置作业教师引导学生回顾本小节学习内容，并回答下列问题：（1）我们学到了直线方程的哪些不同形式？产生不同形式的原因是什么？（2）在直角坐标系中直线如何用方程表示？代数表示的意义是什么（3）运用直线的点斜式方程、两点式方程时要注意什么适用条件？作业：教科书64页练习第3题.67页，习题2.2 第4题，第6题.。
两点式截距式方程
（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标
(Ⅲ)两点式方程
思考：已知两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), (其中x1≠x2,y1≠y2),
如何求出通过这两个点的直线方程呢？
l
y
P2(x2,y2)
P1(x1,y2)
O
x
注意：既不垂直x轴 ，也不垂直y轴!
中点
第三步：点斜式求方程
y 3 2(x 3)
y 2x 3
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截 距的两倍，求直线l的方程.
▪ 解法1：设直线l的方程为y+1=k(x+4), ▪ 令x=0,得y=4k-1;令y=0,得x=(1/k)-4. ▪ 由(1/k)-4=2(4k-1),得8k2+2k-1=0. ▪ 可解得k=-1/2,k=1/4. ▪ 所求直线方程为：x+2y+6=0或x-4y=0.
例3 如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的 交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程. y B(0，b)
l
A(a，0)
O
x
注意：既不垂直x轴
纵截距
横截距
，也不垂直y轴,且 不过原点!
a叫做直线在x轴上的截距；
b叫做直线在y轴上的截距.
截距式
P96例4
y
C(0,2)
A(-5,0)
▪ 作业
▪ B：P100 A1 (4)(6)， A3， A4, A9.
▪ 例6 直线l过点P(- 4,-1)，且横截距是纵截距的 两倍，求直线l的方程.
我们发现少了一条直 线！怎样发生的？
是由截距式方程形式限制 了直线不能过原点！
高中数学直线和圆的方程2.2.2直线的两点式方程学案含解析
2.2.2 直线的两点式方程必备知识·自主学习1.直线的两点式、截距式方程名称两点式截距式条件两点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点A (a ，0)，B (0，b )，ab ≠0 方程112121y y x x y y x x --=--x y 1a b+=(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴． (2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行或重合及过原点的直线． 2．线段的中点坐标公式点P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x ＝12x x 2+，y ＝12y y 2+．如果已知点P (a ，b )是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，那么点P 2的坐标是什么？提示：设点P 2(x 2，y 2)，由中点坐标公式：a ＝x 1＋x 22 ，b ＝y 1＋y 22 ，所以x 2＝2a －x 1，y 2＝2b －y 1，则点P 2(2a －x 1，2b －y 1).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程 (y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )(4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．( ) 提示：(1)×.若直线垂直于坐标轴，此时a 或b 不存在，不能用x a ＋yb ＝1表示．(2)√.方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示包含点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)在内的直线上所有点．(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．(4)√.直线不与坐标轴平行或重合，说明直线有斜率，有截距，所以方程可以写成两点式或斜截式．2．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是( ) A ．x 3 ＋y －2 ＝1 B ．x 2 ＋y－3 ＝1C ．x －2 ＋y3 ＝1D ．x －3 ＋y2＝1【解析】x －2＋y3 ＝1.3．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a >0，b <0.4．(教材二次开发：例题改编)已知点A (3，2)，B (－1，4)，则经过点C (2，5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________.【解析】AB 的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得y －35－3 ＝x －12－1 ，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝0关键能力·合作学习类型一 直线的两点式方程(数学运算)1．过()1，2 ，()5，3 的直线方程是( ) A ．y －25－1 ＝x －13－1 B ．y －23－2 ＝x －15－1C ．y －15－1 ＝x －35－3D ．x －25－2 ＝y －32－3【解析】()1，2 ，()5，3 ，将两点坐标代入两点式 ，得y －23－2 ＝x －15－1.2．已知三角形三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在直线方程是( ) A ．x －13y ＋5＝0 B ．x －13y －5＝0 C ．x ＋13y ＋5＝0 D ．x ＋13y ＝0【解析】B ()3，－3 ，C ()0，2 ，所以BC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋32，2－32 ，即⎝⎛⎭⎫32，－12 . 则BC 边上的中线应过A ()－5，0 ，⎝⎛⎭⎫32，－12 两点，由两点式得：y －0－12－0 ＝x ＋532＋5，整理得x ＋13y ＋5＝0.3．已知点A ()1，2 ，B ()－1，－2 ，则直线AB 的方程是________.【解析】因为直线的两点式方程为x －x 1x 2－x 1 ＝y －y 1y 2－y 1，将点A ()1，2 ，B ()－1，－2 代入，得x －1－1－1 ＝y －2－2－2 ，整理得直线AB 的方程是2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝0由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程． 【补偿训练】已知直线l 的两点式方程为y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5），则l 的斜率为( ) A ．－38 B ．38 C ．－32 D ．32【解析】y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5） ，知直线l 过点(－5，0)，(3，－3)，所以l 的斜率为0－（－3）－5－3＝－38.类型二 直线的截距式方程(数学运算)【典例】已知直线l 过点()1，2 ，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0【思路导引】直线l 在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点()1，2 求得直线方程． 【解析】选D.根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1，2 ，所以所求直线方程为y ＝2x ，整理，得2x －y ＝0，②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a ＝1，代入点()1，2 的坐标得1a ＋22a＝1，解得a ＝2，此时直线l 的方程为x 2 ＋y4 ＝1，整理为2x ＋yl 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．过点()1，2 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数．当直线过原点时直线方程为y ＝2x ；当直线不过原点时设直线方程为x a ＋yb＝1，又因为截距互为相反数，则b ＝－a ，将点()1，2 代入有1a ＋2－a＝1，解得a ＝－1，此时直线方程为：x －y ＋1＝0.综上，满足过点()1，2 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条．类型三 直线方程的应用(数学运算)【角度1】对称问题【典例】已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A (1，2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程． 【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的．【解析】作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2).设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4， 即A 1点坐标为(－1，4).由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，所以由直线的两点式方程，得y －4－2－4 ＝x ＋11＋1，即3x ＋y －1＝0.故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.【角度2】最值问题【典例】如图，已知直线l过点P(2，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________.【思路导引】利用直线l过点P(2，1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得解．【解析】设直线l为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l过点P(2，1)，则有2a＋1b＝1，三角形OAB的面积为S＝12ab.对2a＋1b＝1，利用均值不等式得1＝2a＋1b≥22a·1b＝22ab，即ab≥8.于是，三角形OAB的面积为S＝12ab≥4.当且仅当a＝4，b＝2时等号成立．答案：41．解决对称问题的方法两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．2．计算最值问题的方法对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件．1．入射光线从P(2，1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________.【解析】利用反射定理可得，点Q (4，3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线所在直线上，故入射光线所在的直线PQ ′的方程为y －1－3－1 ＝x －24－2 ，化简得2x ＋y －5＝0. 答案：2x ＋y －5＝02．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________. 【解析】直线AB 的方程为x 3 ＋y 4 ＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，所以xy ＝3y －34 y 2＝34 (－y 2＋4y )＝34 [－(y －2)2P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2 时，xy 取得最大值3. 答案：3课堂检测·素养达标1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2【解析】选A.由两点式方程可得，y －14－1 ＝x ＋21＋2 ，即y ＝x ＋3.2．直线x a 2 －yb 2 ＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 【解析】x ＝0，得y ＝－b 2.3．直线x 3 －y4 ＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7【解析】x 3 －y 4 ＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线x 3 －y4 ＝1在两坐标轴上的截距之和为－1.4．经过两点M (4，3)，N (1，5)的直线交x 轴于点P ，则点P 的坐标是________. 【解析】由直线的两点式方程，得MN 所在直线的方程为y －35－3 ＝x －41－4 ，即2x ＋3y －17＝0.令y ＝0，得x ＝172 ，故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫172，0 . 答案：⎝⎛⎭⎫172，05．(教材二次开发：练习改编)直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－2)，则直线l 的方程为________.【解析】设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为a －1，由截距式可得：x a ＋y a －1＝1，将()6，－2 代入直线方程，解得：a ＝2或3，所以代入直线方程化简可得，x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0。
高中数学必修2直线与圆常考题型：直线的两点式方程、直线的一般式方程
直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
直线的方程----2两点式、截距式)
小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b
点斜式 斜截式
两点式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
x y 则直线方程为 1 a b 4 1 直线l过点P(4,1) 1 a b
4 1 4b a a b (a b)( ) 5 a b a b
B
P(4,1)
A
0
x
) 5 2 4 9 (当a 2b 2时取等号
(a b) min
7.2
直线的方程（2）
——两点式、截距式
1.点斜式方程
y y0 k ( x x0 )
复习
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
•A
•B x
O
直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在 x 轴的截距(横截 距)，此时直线在y轴的截距(纵截距)是b; 这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定, 所以叫做直线的截距 式方程; 横、纵截距都存在且都不为 0 . 截距式适用于的___________________________ 直线
0 x 30.
0 x 30.
例5、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴相交于 A、B两点， （ 1 ）求SOAB 最小值及相应的直线 l方程； （2）l在两坐标轴上截距之和 的最小值及相应 l方程 y 解（ 1 ）由题意知直线 l斜率存在
直线的两点式、截距式、一般式
由点斜式得y 2 5 3 ( x 0).
3
பைடு நூலகம்
B
直线AC过A（ 5， 0），C（0， 2）两点，由截距式得
x 5 y 2 1整理得
2 x 5 y 10 0这就是直线AC的方程。
例2:三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求这个三角形三边所在的直线方程. 变1:求三角形边AB的中线所在的直线方 程. 变式2:过C点的直线将△ABC面积两等 分,求该直线所在的直线方程. 变3：过P（3,0）作直线l，使它被两条 直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段 AB恰好被P点平分，求直线l的方程
综合应用
已知直线l： 5ax 5 y a 3 0 1、求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限 2、为使直线不经过第二象限，求a的取值范围
变：已知（k 1) x-（k-1)y-2k=0为直线l的方程， 定点坐标
求证：不论k为何实数，直线l必过定点，并求出
例5、求过点A（4,2），且在两坐标 轴上的截距相等的直线l的方程
Y 0 3 0
X ( 5 ) 3 ( 5 )
, 整理得
2 C
3 x 8 y 15 0, 就是直线AB的方程。 直线BC过C（0， 2）， 斜率是k 整理得 5 x 3 y 6 0这就是直线BC的方程。
2 ( 2 ) 0 3
A -5 3 X
,
变1：
1、已知直线l1 : 2 x (m 1) y 4 0与直线 l2 : mx 3 y 2 0平行，求m的值 2、当a为何值时，直线l1 : (a 2) x (1 a) y 1 0 与直线l2： (a 1) x (2a 3) y 2 0互相垂直
高一数学复习考点知识专题讲解4--- 直线的两点式方程
高一数学复习考点知识专题讲解直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0)示意图方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点思考1过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？答案没有．其方程为y＝y0.思考2方程x2－y3＝1是直线的截距式方程吗？答案不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.1．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示．(×)2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ ) 3．直线y ＝x 在x 轴和y 轴上的截距均为0.( √ )4．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )一、直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边所在的直线方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3，又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 延伸探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程． 解k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思感悟 利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．跟踪训练1 (1)过点A (－2,1)，B (3，－3)的直线方程为________． 答案 4x ＋5y ＋3＝0解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以y －1－3－1＝x －(－2)3－(－2)，所以y －1－4＝x ＋25，化简得4x ＋5y ＋3＝0.(2)已知直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，求这条直线的方程．解 由直线经过点A (1,0)，B (m ，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当直线斜率不存在，即m ＝1时，直线方程为x ＝1；(2)当直线斜率存在，即m ≠1时，利用两点式，可得直线方程为y －01－0＝x －1m －1，即x －(m －1)y －1＝0.综上可得，当m ＝1时，直线方程为x ＝1； 当m ≠1时，直线方程为x －(m －1)y －1＝0. 二、直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.延伸探究 (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0，符合题意．(2)当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为x 2a ＋ya ＝1，又l 过点(5,2)，∴52a ＋2a ＝1，解得a ＝92.∴l 的方程为x ＋2y －9＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. 反思感悟 截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用．跟踪训练2 (多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A ．y ＝32x B ．x ＋y ＝5C ．y ＝－32x D ．x ＋y ＋5＝0答案 AB解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a ，b . 当a ＝b ≠0时，直线方程为x a ＋ya ＝1，∴2a ＋3a＝1，∴a ＝5，∴x ＋y ＝5，当a ＝b ＝0时，k ＝32，∴y ＝32x ，综上所述，y ＝32x 和x ＋y ＝5.直线方程的灵活应用典例 已知△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x . (1)求直线BC 的方程； (2)求直线AB 的方程． 解 如图．(1)因为∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ， 所以AB 与BC 关于x ＝0对称，AC 与BC 关于y ＝x 对称． A (3，－1)关于x ＝0的对称点A ′(－3，－1)在直线BC 上， A 关于y ＝x 的对称点A ″(－1,3)也在直线BC 上． 由两点式求得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5. (2)因为直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称， 所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数， 由(1)知直线BC 的斜率为2， 所以直线AB 的斜率为－2， 又因为点A 的坐标为(3，－1)，所以直线AB 的方程为y －(－1)＝－2(x －3)， 即2x ＋y －5＝0.[素养提升](1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．(2)画出图形，借助图形分析A 关于直线x ＝0的对称点A ′在BC 上，A 关于y ＝x 的对称点A ″也在BC 上，体现了直观想象的数学核心素养．(3)分别求出A ′，A ″两点的坐标，再根据两点式求出BC 边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．1．在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y 4＝1 B.x 3＋y－4＝1C.x －3－y 4＝1D.x 4＋y－3＝1答案 A2．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3．过坐标平面内两点P 1(2,0)，P 2(0,3)的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝1 B.x 2＋y3＝0 C.x 2＋y 3＝1 D.x 2－y 3＝1 答案 C4．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1，得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.5．已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________． 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.1．知识清单： (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程．2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．1．(多选)下列说法中不正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D ．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 答案 ABC2．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0答案 D解析 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.3．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b |B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0，得y ＝－b 2.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23 C.25 D ．2答案 A解析 由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，即为在x 轴上的截距．5．若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 010，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 021 B ．2 020 C ．2 019 D ．2 018 答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为 y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 010，则有b ＝2×1 010＋1，即b ＝2 021.6．过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________． 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，y －03－0＝x －21－2，整理得3x ＋y －6＝0.7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是________________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m ，0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y6＝1.8．若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.9．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程． 解 (1)设C (x 0，y 0)， 则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y－52＝1.11．直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 答案 B12．若直线l 在x 轴上的截距与在y 轴上的截距都是负数，则( ) A ．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限 B ．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限 C ．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限 D ．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限答案 B解析依题意知，直线l的截距式方程为x－a＋y－b＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.13．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案 A解析两条直线化为截距式分别为xa＋y－b＝1，xb＋y－a＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．14．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为()A.x4＋y3＝1 B.x4－y3＝1C.x3＋y4＝1 D.x3－y6＝1答案 B解析A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为xa＋y－3＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为x4－y3＝1.15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， 设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3.16．若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l 的方程． 解 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a (a ≠0)，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a (a ≠0)，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.。
直线的两点式和截距式方程
直线的两点式和截距式方程（导学案）知识目标：1•能根据点斜式方程推导两点式方程、根据两点式方程推导截距式方程2.掌握直线的两点式方程和截距式方程，会应用两点式方程和截距式方程解决相关问题（重点）3.能已知条件的特点，恰当选取方程的形式来求方程探究1写出下列经过A、B两点的直线的方程：(1) A (8，- -1)， B (-2, 4)解:(2) A (6，- -4)， B (-1, 2)解:y) B (X2, y2),其中X1M x2 , y M y(3) A （X1，解：思考1：上面问题的求解过程可以简化吗？已知两点Pg , y i） , P2 （ X2 , y2）,其中x i丰X2 , y i丰目2，则经过这两点的直线方程为思考2：若P1 , P2中有x1 = x2或y1 = y2，此时过这两点的直线方程是什么？综上所述，在运用两点式公式时应注意什么？探究2 已知直线I与x轴的交点为A （a，0），与y轴的交点为B （0，b），其中aM 0， bM 0，求直线I的方程。
思考3:应用截距式公式时应注意什么问题?y — y 0 = k(x-x 0)适用于不垂直于x 轴的任意直线;②斜截式y= kx + b 适用于不垂直x 轴的任意直线;x-計1适用于不垂直x轴的任意直线. 伊严 例4已知三角形的三个顶点A (— 5, 0), B (3,— 3), C (0 , 2), 求BC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程。
例2根据下列条件，写出直线的方程(1) 倾斜角为30°,经过A (8,— 2);(2) 经过点B ( — 2, 0),且与x 轴垂直；(3) 斜率为一4,在y 轴上的截距为7;(4) 经过点 A (— 1, 8), B (4,— 2);(5) 在y 轴上的截距是2,且与x 轴平行；(6) 在x 轴，y 轴上的截距分别是4,— 3;例5经过点A (1, 2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 几条？请求出这些直线方程。
截距式斜截式两点式一般式
截距式斜截式两点式一般式平面直线表达式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)适用于所有直线，A1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A，纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)适用于不垂直于x轴的直线，表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b适用于不垂直于x轴的直线，表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) (x1≠x2，y1≠y2)适用于不垂直于x轴、y轴的直线，表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线这些都是平面几何中直线的表达式，从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
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y y1 x x1 y 2 y1 x2 x1
思考：若P1,P2中有x1＝x2或y1＝y2，此时过这两点的直线方程是什么
？
两点式公式在运用时应注意什么？
y y1 x x1 y 2 y1 x2 x1
使用两点式公式的时候，必须注意使分母不为零。 也就是说两点式不能表示垂直于坐标轴的直线。
y l1 A
l3 l2
见《赢在课堂》触类 旁通的几个变式 o
x
（1）倾斜角为30°，经过A（8，－2）； （2）经过点B（－2，0），且与x轴垂直； （3）斜率为－4，在y轴上的截距为7； （4）经过点A（－1，8），B（4，－2）； （5）在y轴上的截距是2，且与x轴平行； （6）在x轴，y轴上的截距分别是4，－3；
例3 经过点A（1，2）并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几 条？请求出这些直线方程。
两点式和截距式方程
Hale Waihona Puke 写出下列各直线的方程：（1）A（8，－1），B（－2，4） （2） A（6，－4），B（－1，2）
（3） A（x1，y1），B（x2，y2）
其中x1≠y1 ，x2≠y2
可以简化这个求解过程吗？
已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1≠x2， y1≠y2，则通过这两 点的直线方程为
②斜截式y＝kx＋b适用于不垂直x轴的任意直线；
③两点式 ④截距式 正确 适用于不垂直于x轴的任意直线； 适用于不垂直x轴的任意直线. 正确
y y1 x x1 y 2 y1 x2 x1
错误
x y 1 a b
错误
研究课本例4
完成练习1，2，3
灵活选取方程的形式来求方程
例2 根据下列条件，写出直线的方程
已知直线l与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），其中a≠0， b≠0，求直线l的方程。
y B
o
A
x
x y 1 a b
截距式
思考：这个截距式在使用时应注意什么问题？
结论：截距式不能表示垂直于坐标轴以及过 原点的直线。
下列说法中不正确的命题有（ ）个 ①点斜式y－y1＝k（x－x1）适用于不垂直于x轴的任意直线；