全国初中数学竞赛二次函数历届考题

全国初中数学竞赛》二次函数历届考题

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11(2008)、已知一次函数y1 2x ，二次函数y2 x2 1 ，是否存在二次函数y3 ax2bx

c ，其图象经过点(－5,2)，且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1, y2，y3 ，都有y1 y2 y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存

在，请说明理由。

解：存在满足条件的二次函数。

因为y1 y2 2x (x2 1) x2 2x 1 (x 1)2 0 ，所以，当自变量x 取任意实数时，y1 y2 均成立。

由已知，二次函数y3 ax2bx c 的图象经过点(－5,2)，得

25 a 5b c 2 ①

当x 1 时，有y1 y2 2 ，y3 a b c

由于对于自变量x取任实数时，y1 y3 y2均成立，所以有2≤ a b c ≤2，

故 a b c 2 ②

由①，②，得 b 4a ，c 2 5a，所以y3 ax2 4ax (2 5a). ⋯⋯5 分

当y1 y3 时，有2x ax2 4ax (2 5a) ，即ax2 (4 a 2) x (2 5a) 0

所以，二次函数y ax2 (4a 2) x (2 5a)对于一切实数x，函数值大于或

等于零，故

a0

即(3a 1)20, 所以a 3

2

(4a 2)24a(2 5a) 0

当y3 y2时，有ax2 4ax (2 5a) x2 1，即(1 a)x2 4ax (5a 1) 0，

所以，二次函数y (1 a) x2 4ax (5a 1)对于一切实数x，函数值大于或

等于零，故

1( 4a a)20,4(1 a)(5a 1) 0, 即a 1,2 所以a1

(3a 1)20, 3

综上， a 13,b 4a 43,c 2 5a 13

20分

1 4 1

所以，存在二次函数 y 3 13x 2 34x 31，在实数范围内，对于 x 的同一个值，

都有 y 1 y 3 y 2 成立。 ⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分

11（2009）．函数 y x 2 （2k 1）x k 2的图象与 x 轴的两个交点是否都在直线 x 1

的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 x 1 的右 侧时 k 的取值范围．

解：不一定，例如，当 k ＝0时，函数的图象与 x 轴的交点为（ 0，0）和 （1，0），不都在直线 x 1的右侧．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分

设函数与 x 轴的两交点的横坐标为 x 1 ,x 2，则x 1 x 2

（2k 1）, xx 12 k 2，当

且仅当满足如下条件

≥0,

( x 1 1) ( x 2 1) 0, ( x 1 1)( x 2 1) 0

10分

时，抛物线与 x 轴的两交点都在直线 x 1的右侧．

22

(2k 1)2 4k 2≥0, 2k 1 0,

2

k 2 2k 0,

解之，得

k ≤14,

1 k 1 ,

2 k 2或 k 0 .

15分

所以当 k 2时，抛物线与 x 轴的两交点在直线 x 1 的右侧．

O 为坐标原点）

的坐标为（ 1， 4），点 B 在第三象限内，且△ AOB 的面积为

2

12（ 2010）．如图，抛物线 y ax bx （a 0）与双曲线

（1）求实数 a ，b ，k 的值；

2）过抛物线上点 A 作直线 AC ∥ x 轴，交抛物线于

另

k

y 相交于点 A ， B. 已知点 A

所以 AC= 3a 2， AD=2 3b .

于是，直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 0, 4（t 1）

，故

t

S AOB

1 （4 t 1）

1 t 3，整理得 2t

2 3t 2 0 ， 1

解得 t 2 ，或 t ＝ （舍去）．所以点 B 的坐标为（ 2 ， 2 ）．

2

因为点 A ，B 都在抛物线 y ax 2 bx （a 0）上，所以

a b 4， a 1，

解得 ⋯⋯⋯⋯（ 10 分）

4a 2b 2， b 3.

（2）如图，因为 AC ∥x 轴，所以 C （ 4，4），于是 CO

CO

＝4 2 . 又 BO=2 2 ，所以 CO 2.

BO

设抛物线 y ax 2 bx （a 0）与 x 轴负半轴相交于点 D ， 则点

D 的坐标为（ 3， 0）.

因为∠ COD ＝∠ BOD ＝ 45 ，所以∠ COB= 90 .

i ）将△ BOA 绕点 O 顺时针旋转 90 ，得到△ B OA 1.这时，点 B （ 2 ，2）是 CO 的

中点，点 A 1 的坐标为（ 4， 1）

延长 OA 1到点 E 1，使得 OE 1 = 2OA 1 ，这时点 E 1 （8， 2）是符合条件的点 . （ii ）作△ BOA 关于 x 轴的对称图形△ B OA 2 ，得到点 A 2（1， 4）；延长OA 2到点 E 2，

点C ，求所有满足△ EOC ∽△ AOB 的点 E 的坐标. k

解：（ 1）因为点 A （1， 4）在双曲线 y 上， x

4 所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为 y .

x

4

设点 B （t ， ）， t 0 ，AB 所在直线的函数表达式为

t

第 12 题）

y mx n ，则有

4 m n ， 4

， mt n ， t

解得 m 4，n 4(t 1)

tt