“绳牵连物”连接体模型

处有一小定滑轮，一轻绳两端系着质量分别为
m1 与 m2 的物体，挂在定滑轮两边，且 m1＞
m2，开始时 m1、m2 均静止， m1、 m2 可视为质点，不计一切摩擦。 求：
⑴ m1 释放后经过圆弧最低点 A 时的速度；
C O
m1
⑵ 若 m1 到最低点时绳突然断开， 求 m1落地点离 A 点水平距离； A
的细杆上，定滑轮与细杆相距 0.3m，如图所示，将环拉至与定滑轮在同一水平高度上，再
将环由静止释放，圆环沿杆向下滑动的最大位移为
0.4m，若不计一切摩擦阻力，求：
⑴物体与圆环的质量之比；
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⑵圆环下落 0.3m 时的速度大小。（ g 取 10m/s2）
解析 ： ⑴ 系统机械能守恒 圆环下滑最低点时，圆环、物体速度都为零 mgh=MgH h=0.4m
向的分速度， 即 v B＝ vAcosθ，故 B 正确； 根据能量守恒可知， 小球 B 减小的势能等于物块 A
增加的机械能和小球 B 增加的动能之和， C 错；当物块 A 上升到与滑轮等高时， v A 沿绳方
向分速度为 0，即 vB＝ 0，小球 B 运动到最低点，减少的重力势能全部转化为
A 的机械能，
B. v2>v1 D. v2=0
解析 :环上升过程其速度 v1可分解为两个分速度 v∥ 和 v⊥,如图所示 ,其中 v∥为沿绳方向的速度 ,
其大小等于重物 B 的速度 v 2;v⊥为绕定滑轮转动的线速度。关系式为
v2=v1cos θ,θ为 v1与 v∥
间的夹角。当 A 上升至与定滑轮的连线处于水平的位置时 ,θ=90°,cos θ=0, 即此时 v2=0,D 正确。
运动的速度大小为 vB，轻绳与杆的夹角为 θ，则 ( )
A ． vA＝ vBcosθ
B．v B＝ vAcosθ
C．小球 B 减小的势能等于物块 A 增加的动能
D．当物块 A 上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
[ 解析 ] v A 可分解为沿绳方向和垂直绳方向的分速度 ，如图所示 . 而小球 B 的速度等于绳方
E 1．由机械能守恒定律得：
；
（ 2）当 小物块的速度为零时 （临界条件 2） ， 小物块能下滑到最低点，设小物块能下 滑的最大距离为 sm，由机 械能守恒定律有：
mAgsm sin mB ghB增
（ 2 分）
而 hB增
( sm L cos )2 (L sin )2 L
（ 2 分）
代入解得 sm 4 (1 3L)
D．拉力先大于 A 的重力，后小于重力
解析： 把小车的速度为合速度进行分解， 即根据运动效果向沿绳的方向和与绳垂直的方 向进行正交分解，分别是 v 2、 v 1。如图 1所示，题中物体 A 的运动方向与连结处绳子的方向
相同，不必分解。 A 的速度等于 v 2，
，小车向右运动时， 逐渐变小， 可知
逐渐变大， 故 A 向上做加速运动， 处于超重状态， 绳子对 A 的拉力大于重力， 故选项 A 正确。
故此时 A 的机械能最大， D 正确．
[答案 ] BD
例 4、如图 3所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮
O1、O2和质量 mB m 的小球
连接，另一端与套在光滑直杆上质量 mA m 的小物块连接，已知直杆两端固定， 与两定滑
轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角 θ =60°，直杆上 C点与两定滑轮均在同一高度， C 点到定滑轮 O1的距离为 L，重力加速度为 g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物 体相碰。现将小物块从 C点由静止释放，试求：
解析： 设 M滑至容器底部时速度为 方向和垂直于绳的方向分解，则有：
，m的速度为 。根据运动效果，将
沿绳的
，对 M、m系统在 M从容器上口边缘滑
至碗底的过程， 由机械能守恒定律有：
，联立两式解得：
，方向水平向左；
方向竖直向上。
点评： 作为连接两个物体的介质绳， 能实现力和能量的传递， 这也就使两个物体的运动 状态彼此都会发生影响， 这就使物体的速度上存在一定的矢量关联， 分解或者求解速度之间 的约束关系就成为解决这类问题的关键。
B
⑶ 为使 m1 能到达 A 点， m1 与 m2 之间必须满足什么关系 ?
2R
m2
地面
解：⑴设 m1 运动到最低点时速度为 v 1，此时 m2 的速度为 v2，速度分解 v2=v1sin45 （°2 分）
如图，得：
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由 m1 与 m2 组成系统，机械能守恒，有
m1 gR m 2 g 2R
“绳牵连物 ”连接体模型问题归纳
两个物体通过轻绳或者滑轮这介质为媒介连接在一起，
物理学中称为连接体， 连结体问
题是物体运动过程较复杂问题， 连接体问题涉及多个物体， 具有较强的综合性， 是力学中能
考查的重要内容。 从连接体的运动特征来看， 通过某种相互作用来实现连接的物体， 如物体
的叠合， 连接体常会处于某种相同的运动状态， 如处于平衡态或以相同的加速度运动。 从能
，如图 5所示，整条铁链的动能可看作是由原
部分移至
位置，
其重力势能的减少转变而来的，而
之外的其余部分可认为对整条铁链动能的变化无贡
献。设单位长度铁链的质量为 m，则对铁链，根据机械能守恒定律有：
，
得铁链的速度
，因
，故滑轮在此时刻的角速度，
达式
，以上解法不仅巧用等效研究对象，而且运用机械能守恒定律的另一种表 ，避开了参考平面的选择，简化了解题过程。
1 m1
2 1
1 m2
2
2 （ 2 分）
2
2
由上述两式求得
1 2 (m1 2m2) gR （ 2 分） 2m1 m2
⑵ 断绳后 m1 做平抛运动 t1
2h
R
2 （ 2 分）
g
g
O
R
C
v
v v
s = v1t（ 1 分） 由③④得
s=4 R (m1 2m2 ) （ 2 分） 2m1 m2
⑶ m1 能到达 A 点满足条件 v1≥０（2 分）
点评： 此类问题通常是通过定滑轮造成绳子两端的连接体运动方向不一致，
导致主动运
动物体和被动运动物体的加速、 减速的不一致性。 解答时必须运用两物体的速度在各自连接
处绳子方向投影相同的规律。
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练习： 如图所示 , 物体 A 和 B 质量均为 m, 且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮 , B 放在 水平面上 , A 与悬绳竖直。 用力 F 拉 B 沿水平面向左匀速运动过程中 , 绳对 A 的拉力的大小是 ()
又 1 2 ( m1 2 m2) gR 2m1 m2
解得： m1 2m2（ 2 分）
2、不 涉及到速度分解的连接体问题 例 5、如图所示，质量分别为 M和 m（ M>m）的小物体用轻绳连接；跨放在半径为 R的光 滑半圆柱体和光滑定滑轮 B 上， m位于半圆柱体底端 C点，半圆柱体顶端 A 点与滑轮 B的连 线水平。整个系统从静止开始运动。设 m能到达圆柱体的顶端，试求： （1） m到达圆柱体的顶端 A 点时， m和 M的速度。 （2） m到达 A 点时，对圆柱体的压力。
（ 1）小球下降到最低点时，小物块的机械能（取
C点所在的水平面为参考平面）；
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（ 2）小物块能下滑的最大距离；
（ 3）小物块在下滑距离为 L 时的速度大小．
解析： （1） 小物块的速度 可分解为沿绳方向和垂直绳方向的分速度，当绳与杆垂直时
（临界条件 1） 小球下降到最低点。设此时小物块的机械能为
三、考查机械能守恒定律应用
1、涉及到速度分解的连接体问题 例 3．(2011 ·山东省莱州一中第二次月考 ) 如图所示， 一轻绳通过无摩擦的小定滑轮
O与
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小球 B 连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块
A 连接，杆两端固定且足够长，物块 A
由静止从图示位置释放后， 先沿杆向上运动 . 设某时刻物块 A 运动的速度大小为 v A，小球 B
；
（ 1 分）
（ 3）设小物块下滑距离为 L 时的速度大小为 v，此时小球的速度大小为 vB，则
vB v cos mAgL sin
1
mBv
2 B
1 mAv 2
2
2
（2 分）
（ 2 分）
解得 v
2 0 3gL 5
（ 1 分）
【答案】（ 1）
（2）
（ 3）
例 5、轻绳一端挂一质量为 M 的物体，另一端系在质量为 m 的圆环上，圆环套在竖直固定
恰能做平抛
运动，求 应为 的多少倍？
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解析： 系统运动过程中只有系统的重力做功，机械能守恒，设球
上升到圆柱体最高
点的时候速度为 ，在该过程中绳长保持不变，在任意时刻两球具有相同的速率。由题意
【答案】 （ 1） （2）
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【解析】 （ 1） （2）
例6、如图 4所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角 θ =30°，另一边与地面垂直，顶上有
一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块
A 和 B 连接， A 的质量为 4m， B 的质
量为 m，开始时将 B 按在地面上不动，然后放开手，让 A 沿斜面下滑而 B 上升，物体 A 与斜
归纳要点： 1.首先要分清合运动与分运动 ,物体的实际运动是合运动。 2.由于中学阶段研究的绳都是不可伸长的 ,杆都是不可伸长和压缩的 ,即绳或杆的长度不会改 变,所以解题原则是 :把物体的实际速度分解为垂直于绳 ( 杆)和平行于绳 (杆) 两个分量 ,根据沿 绳( 杆)方向的分速度大小相同来求解。
H=
Leabharlann Baidu
－ 0.3=0.2 m
M ： m=2 ： 1
⑵ 系统机械能守恒
1 mv2 + 1 MV 2 + MgH 1=mgh 1
2
2
h1=0.3m
H1=
－ 0.3=0.3 （ － 1） m
2
V= v
2
v=
m/s
=0.72 m/s
例 6、 如图， 半径为 R 的 1/4 圆弧支架竖直放置， 支架底 AB 离地的距离为 2R，圆弧边缘 C
mv2=mgh②，物块 B 上升的最大高度
点评：应用机械能守恒定律求解多个物体组成的系统问题是近几年物理高考的热点，
系统应
用机械能守恒必须注意外力只有重力 （或弹力）做功，内力做功但代数和必须为零，解题的
关键是正确分析问题所涉及的物理过程。
四、考查研究对象的选取
例 7、如图 5所示，半径为 R 的定滑轮不计质量，不计轮轴的摩擦，滑轮上挂一条长为
点评： 本题解决的关键是要选取研究对象， 的合成与分解有一定的掌握。
还注意运动过程的分析， 同时也要求对运动
五、考查功能关系
例 8、 如图 6所示，光滑的圆柱被固定在水平台上，用轻绳跨过圆柱体与质量分别为
的两小球相连，开始时让
方在平台上，两边绳绷直，两球从静止开始运动，其
中 上升， 下降，当 上升到圆柱体的最高点时，绳子突然崩裂，发现
L
的铁链（ L>10R），两边垂下相等的长度，由于轻微的干扰，使滑轮转动，且铁链与滑轮无
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相对滑动，当滑轮转过 90°时，其角速度多大？
解析： 滑轮转动而带动铁链，滑轮边缘的线速度等于铁链移动的瞬时速度。对于铁链， 只有重力做功，符合机械能守恒定律。此过程中铁链随滑轮转过的长度：
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练习： 如图所示 ,套在竖直细杆上的环 A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物 B 相连。 由 于 B 的质量较大 ,故在释放 B 后 ,A 将沿杆上升 ,当 A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时 , 其上升速度 v1≠0,若这时 B 的速度为 v2,则 ( )。
A. v2=v1 C.v2≠ 0 答案： D
A. 一定大于 mg C.一定小于 mg 答案： A
B. 总等于 mg
D.
以上三项都不正确
二、求解连接体速度
例 2质量为 M和 m的两个小球由一细线连接（
），将 M置于半径为 R的光滑半球
形容器上口边缘，从静止释放，如图 2所示。求当 M滑至容器底部时两球的速度。两球在运
动过程中细线始终处于绷紧状态。
面间无摩擦，设当 A 沿斜面下滑 s 距离后，细线突然断了，求物块 B 上升的最大高度 H．
解析： 设物块沿斜面下滑 s 距离时的速度为 v，由机械能守恒得 （4m+m） v2=4mgssin30° - mgs①，细线突然断开的瞬间，物块 B 竖直上升的速度为 v ，此后 B 做竖直
上抛运动，设继续上升的距离为 h，由机械能守恒得 H=h+s③，由①②③解得 H=1．2s 。
量的转换角度来说，有动能和势能的相互转化等等，下面本文结合例题归纳有关“绳牵连
物”连接体模型的几种类型。
一、判断物体运动情况
例 1如图 1所示，在不计滑轮摩擦和绳质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体
A
的受力情况是（
）
A．绳的拉力大于 A 的重力
B．绳的拉力等于 A 的重力
C．绳的拉力小于 A 的重力