高中信息学奥林匹克竞赛各种问题求解试题及参考答案集锦

高中信息学竞赛各种问题求解试题及

答案

第1题(5分)，将n个不同颜色的球放人k个无标号的盒子中( n>=k，且盒子不允许为空)的方案数

为S(n，k)，例如：n=4，k=3时，S(n，k)=6。当n=6，k=3时，S(n，k)=________。

答案：0 k < n

S(n,k)= 1 k = 1

S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) n >= k >= 2

第2题(5分)，有5本不同的数学书分给5个男同学，有4本不同的英语书分给4个女同学，将全部书

收回来后再从新发给他们，与原方案都不相同的方案有________种。

答案：

5!*4!+D(5)*D(4)=1140480

其中：D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) (n > 2)

D(1)=0 D(2)=1

第3题(6分)，把三角形各边分成n等分，过每一分点分别做各边的平行线，得到一些由三角形的边

和这些平行线所组成的平行四边形。n为已知整数，能组成_______个平行四边形。

答案：

3*C(n+2,4)

第4题(6分)，由a，b，c3个不同的数字组成一个N 位数，要求不出现两个a相邻，也不出现两个b

相邻，这样的N位数的个数为AN，用AN-1和AN-2表示AN的关系式为：AN＝_______________。

答案：

AN= 2*AN-1+AN-2

第5题(6分)，在m*n的棋盘上，每个方格(单位正方形，即边长为1的正方形)的顶点称为格点。以格点

为顶点的多边形称为格点多边形。若设格点凸N边形面积的最小值为gn，格点凸N边形内部(非顶点的)格点的个数的最小值为fn，则gn和fn的关系式为：

gn=___________。

答案：

Gn= fn+N/2-1 ( N >= 3 )

第6题(4分)，编号为1到13的纸牌顺时针排成一

圈，有人从编号为1的牌从数字1开始顺时针数下去，

1、2、3、…、20、21、…，一圈又一圈。问：当数到数字N

时，所在纸牌的编号为多少?

答案：

1+(N-1) mod 13

第7题(8分)，有位小同学喜欢在方阵中填数字，规则

是按下图示例从右上角开始，按斜线填数字，

碰到边界就重新。显然，数字1在坐标(1，5)位置，数字

25在坐标(5，1)位置。后来这位小朋友想知道，

对于N阶的方阵，随机取一个位置(x，y)，并规定x≤y，问

这个位置上应该填的数字是多少?5阶方阵的

示例图如下：

11 7 4 2 1

16 12 8 5 3

20 17 13 9 6

23 21 18 14 10

25 24 22 19 15

答案：

(N-y+x)*(N-y+x-1)/2+x

第8题(5分)，设有质量为1、3、9、27、81、…3n g...

的砝码各一枚，如果砝码允许放在天平的两边，

则用它们来称物体的质量，最多可称出1g到3n+3n/2g之间

的所有质量，如n=4时，可称出18到121g之间的

所有质量；当物体质量为M=14时，有14+9+3+1=27，即天

平一端放M=14g的物体和9g、3g、1g的砝码，另一

端放27g的砝码，即可称出M的质量。当M=518g时，请

你写出称出该物体的质量的方法，并用上述所示的

等式来表示。

答案：

518+243+3+1= 729+27+9

第9题(7分)，在圆周上有N个点(N>=6)，在任意两个

点之间连一条弦，假设任何3条弦在圆的内部

都没有公共点，问这些弦彼此相交能在圆内构成多少个三

角形(只要求写出三角形总数的表示式而无需化

简)?

提示：下图是N=6的情况，图中所示的4个三角形从

某种意义上说具有一定的代表性。

答案：

C(N,3)+4*C(N,4)+5*C(N,5)+6*C(N,6)

第10题(6分)，用1个或多个互不相同的正整数之和

表示1～511之间的所有整数

①至少要多少个不同的正整数_________________;

②这些正整数是_______________

答案：

①9

②1,2,4,6,16,32,64,128,256

第11题(7分)，在有m行n列格子的棋盘内，一枚棋

子从棋盘的左上角格子沿上、下、左、右方向行走，

最后走到棋盘的右下角格子。该棋子走过的格子数为奇数

的充分必要条件是________________

答案：m+n为偶数

完善程序试题及其答案

第1题(14分)以下程序是将一组整数按从小到大的顺

序排列。排序的方法是将长度为n的数a分为两个长度分

别为(n div 2)与(n-n div 2)的子数组a1，a2。然后递归调用排

序过程，将a1，a2分别排序，最后将a1，a2归并成数组

a。例如a=(3，1，2，4)，那么a1=(3，1)，a2=(2，4)。调用

排序过程将a1，a2排序，得到a1=(1，3)，a2=(2，4)，然

后进行合并排序。

从键盘输入数的长度n以及n个整数，存在数组a中，调

用子过程sort进行排序，最后输

出排序结果。

program wsh；

const maxn=100；．