定积分应用经典例题
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3
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 4? a3 .
3
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例4. 求曲线 y ? 3 ? x2 ? 1 与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积 .
解: 利用对称性 , 在第一象限
y
?
???
x2 ? 2, 4 ? x2 ,
0? x?1 1? x ? 2
L2 s2
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待求直线的方向向量
i jk
s ? s1 ? n ? 3 2 1 ? 3(3 i ? 2 j ? 5 k) 3 ?3 3
故所求直线方程为 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 1 3 ?2 ?5
方法2 利用所求直线与 L2 的交点 .
设所求直线与 L2的交点为 B(x0 , y0 , z0 ),
? AB ? ( 9 , ? 6 , ? 15 ) ? 3 (3, ? 2 , ? 5)
77 7 7
由点法式得所求直线方程
A(1,2,1)
x?1 ? y?2 ? z?1
3
?2 ?5
L2 B(x0 , y0 , z0 )
z
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例6. 设平面图形 A 由 x2 ? y2 ? 2x 与 y ? x 所确定 , 求
图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 .
提示：选 x 为积分变量 .
y
旋转体的体积为
1
y
? V ? 2?
1
(2 ? x)(
2x ? x2 ? x)dx
0
? 1? 2 ? 2?
因为2? y dx 不是薄片侧面积△ S 的
的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程
y y ? f (x)
oa x b x
ds dx
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为
?
S ? ?? 2?? (t) ? ?2 (t) ? ? ?2 (t) d t
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例5. 计算圆
y2 dx
0
? ?
2?
b2 a2
a
(a
2
?
x2 ) dx
0
(利用对称性)
? 2?
b2 a2
???a
2
x
?
1 3
x3
? ??
a 0
?
4? ab2
3
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方法2 利用椭圆参数方程
则
V
?
a
2?0?
y2 dx
?
2?
?
ab2 sin3t d t
? 2? ab2 ?2 ?1
3
? 4? ab2
则有
x0 2
?
y0
?
z0 ?1
即
x0 ? 2 y0 , z0 ? ? y0
A(1,2,1) L2
B(x0, y0, z0 )
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而 AB ? (x0 ? 1, y0 ? 2, z0 ? 1) ? L1
? 3(x0 ? 1) ? 2( y0 ? 2) ? (z0 ? 1) ? 0 将 x0 ? 2 y0 , z0 ? ? y0 代入上式 , 得
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
y
解: 对曲线弧
应用公式得
x1 o x2 R x
? S ? 2?
x2 x1
R2 ? x2 ? 1 ? ???
? R2
x ?
x
2
??2 ?
dx
y
? ? 2?
x2 x1
R dx ?
2?
R(x2
?
x1 )
o
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
x
S ? 4? R2
yB
3 A
故旋转体体积为
? V
??
?32 ?4? 2
1
?
[3
?
(x2
?
2)]2
d
x
0
C
o 1 2x
? ? 2
2
?
[3
?
(4
?
x2 )]2
d
x
1
? ? ? 36? ? 2?
21
(1x
?2
?x12)22 d
x
?
244?8?2 (x2
?
1)2
d
x
00
15 1
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旋转体的侧面积
23
o x 1 2x
若选 y 为积分变量 , 则
V
?
?
1
?0
?2
?
(1 ?
? 1 ? y2 ) ?2d y ? ?
1
(2 ?
y)2
dy
0
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向量代数及解析几何
数量积，向量积，混合积， 平面，直线，曲线曲面，二次曲面
例1. 已知向量 a , b 的夹角 ? ? 3? ,且 | a | ? 2, | b | ? 3,
设平面光滑曲线
求
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素 :
d S ? 2? y d s
y ? f (x)
yy
积分后得旋转体的侧面积
oo aa x
b
S ? 2? ?a f (x)
1?
f ?2 (x) dx
bb xx
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注意: 侧面积元素
d S ? 2? y ds ? 2? y dx
y 2
?
z ? 1, 1
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积.
设直线 L i 的方向向量为 si (i ? 1, 2),过 A 点及 L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s ? s1 ? n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
ห้องสมุดไป่ตู้
i jk
n ? s2 ? OA ? 2 1 ? 1 ? 3 i ? 3 j ? 3k O 121
2
? ? 8a2 ? sin 4 u d u 0
?
? ? 16 a2 2 sin 4 u d u 0
o
(令 u ? t ) 2
? 3? a2
2? a x
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例2. 求连续曲线段
解: ?
cos x ? 0, ?
?
? 2
?
x?
? 2
?
? s ?
2
?
? 2
1 ? y?2 dx
?
? ? 2 2 1 ? ( cos x)2 dx 0
??
?2 2
2 cos x dx
0
2
??
?2
2
2
sin
x 2
?2
0
?4
的弧长 .
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例3. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积 . 解: 方法1 利用直角坐标方程
y
b
o x ax
? 则
V
?
2
a
?
定积分应用
面积，弧长， 旋转体体积， 旋转曲面表面积
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2?
Ad?A??0 a (1 ? cos t) ?a (1 ? cos t) d t
? ? a2 2? (1 ? cos t)2 d t 0
y
? ? 4a2 2? sin 4 t d t
0
4
解：
?
( a ? b ) ?( a ? b )
? a ?a
? b ?b
? a 2 ? 2 a ? b cos? ? b 2
? ( 2)2 ? 2 2 ?3?cos 3? ? 32
4 ? 17
a ? b ? 17
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例2
一直线过点
又和直线
且垂直于直线
L1
:
x
? 3
1
?
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 4? a3 .
3
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例4. 求曲线 y ? 3 ? x2 ? 1 与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积 .
解: 利用对称性 , 在第一象限
y
?
???
x2 ? 2, 4 ? x2 ,
0? x?1 1? x ? 2
L2 s2
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待求直线的方向向量
i jk
s ? s1 ? n ? 3 2 1 ? 3(3 i ? 2 j ? 5 k) 3 ?3 3
故所求直线方程为 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 1 3 ?2 ?5
方法2 利用所求直线与 L2 的交点 .
设所求直线与 L2的交点为 B(x0 , y0 , z0 ),
? AB ? ( 9 , ? 6 , ? 15 ) ? 3 (3, ? 2 , ? 5)
77 7 7
由点法式得所求直线方程
A(1,2,1)
x?1 ? y?2 ? z?1
3
?2 ?5
L2 B(x0 , y0 , z0 )
z
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例6. 设平面图形 A 由 x2 ? y2 ? 2x 与 y ? x 所确定 , 求
图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 .
提示：选 x 为积分变量 .
y
旋转体的体积为
1
y
? V ? 2?
1
(2 ? x)(
2x ? x2 ? x)dx
0
? 1? 2 ? 2?
因为2? y dx 不是薄片侧面积△ S 的
的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程
y y ? f (x)
oa x b x
ds dx
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为
?
S ? ?? 2?? (t) ? ?2 (t) ? ? ?2 (t) d t
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例5. 计算圆
y2 dx
0
? ?
2?
b2 a2
a
(a
2
?
x2 ) dx
0
(利用对称性)
? 2?
b2 a2
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2
x
?
1 3
x3
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a 0
?
4? ab2
3
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方法2 利用椭圆参数方程
则
V
?
a
2?0?
y2 dx
?
2?
?
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? 2? ab2 ?2 ?1
3
? 4? ab2
则有
x0 2
?
y0
?
z0 ?1
即
x0 ? 2 y0 , z0 ? ? y0
A(1,2,1) L2
B(x0, y0, z0 )
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而 AB ? (x0 ? 1, y0 ? 2, z0 ? 1) ? L1
? 3(x0 ? 1) ? 2( y0 ? 2) ? (z0 ? 1) ? 0 将 x0 ? 2 y0 , z0 ? ? y0 代入上式 , 得
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
y
解: 对曲线弧
应用公式得
x1 o x2 R x
? S ? 2?
x2 x1
R2 ? x2 ? 1 ? ???
? R2
x ?
x
2
??2 ?
dx
y
? ? 2?
x2 x1
R dx ?
2?
R(x2
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x1 )
o
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
x
S ? 4? R2
yB
3 A
故旋转体体积为
? V
??
?32 ?4? 2
1
?
[3
?
(x2
?
2)]2
d
x
0
C
o 1 2x
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2
?
[3
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(4
?
x2 )]2
d
x
1
? ? ? 36? ? 2?
21
(1x
?2
?x12)22 d
x
?
244?8?2 (x2
?
1)2
d
x
00
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旋转体的侧面积
23
o x 1 2x
若选 y 为积分变量 , 则
V
?
?
1
?0
?2
?
(1 ?
? 1 ? y2 ) ?2d y ? ?
1
(2 ?
y)2
dy
0
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向量代数及解析几何
数量积，向量积，混合积， 平面，直线，曲线曲面，二次曲面
例1. 已知向量 a , b 的夹角 ? ? 3? ,且 | a | ? 2, | b | ? 3,
设平面光滑曲线
求
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素 :
d S ? 2? y d s
y ? f (x)
yy
积分后得旋转体的侧面积
oo aa x
b
S ? 2? ?a f (x)
1?
f ?2 (x) dx
bb xx
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注意: 侧面积元素
d S ? 2? y ds ? 2? y dx
y 2
?
z ? 1, 1
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积.
设直线 L i 的方向向量为 si (i ? 1, 2),过 A 点及 L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s ? s1 ? n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
ห้องสมุดไป่ตู้
i jk
n ? s2 ? OA ? 2 1 ? 1 ? 3 i ? 3 j ? 3k O 121
2
? ? 8a2 ? sin 4 u d u 0
?
? ? 16 a2 2 sin 4 u d u 0
o
(令 u ? t ) 2
? 3? a2
2? a x
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例2. 求连续曲线段
解: ?
cos x ? 0, ?
?
? 2
?
x?
? 2
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? s ?
2
?
? 2
1 ? y?2 dx
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? ? 2 2 1 ? ( cos x)2 dx 0
??
?2 2
2 cos x dx
0
2
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2
2
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x 2
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0
?4
的弧长 .
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例3. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积 . 解: 方法1 利用直角坐标方程
y
b
o x ax
? 则
V
?
2
a
?
定积分应用
面积，弧长， 旋转体体积， 旋转曲面表面积
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2?
Ad?A??0 a (1 ? cos t) ?a (1 ? cos t) d t
? ? a2 2? (1 ? cos t)2 d t 0
y
? ? 4a2 2? sin 4 t d t
0
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解：
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( a ? b ) ?( a ? b )
? a ?a
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? a 2 ? 2 a ? b cos? ? b 2
? ( 2)2 ? 2 2 ?3?cos 3? ? 32
4 ? 17
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例2
一直线过点
又和直线
且垂直于直线
L1
:
x
? 3
1
?