【中考数学专题提优训练】12--关于pisa

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初中数学pisa测试题及答案

初中数学pisa测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2的平方根是2B. 圆的周长等于直径乘以πC. 直角三角形的内角和是180度D. 所有偶数都是质数答案：B2. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 无法确定答案：A3. 下列哪个等式是正确的？A. 3x + 2 = 5x - 4B. 2x - 3 = 2x + 3C. 4x = 8D. 5x + 3 = 5x - 3答案：C二、填空题4. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______或______。

答案：5或-55. 如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，且这两边的夹角为90度，那么这个三角形的周长是_______cm。

答案：8三、解答题6. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽增加2cm，长减少2cm，长方形的面积减少了32平方厘米。

求原长方形的长和宽。

答案：设原长方形的宽为x cm，则长为2x cm。

根据题意，有方程：x(2x) - (x+2)(2x-2) = 32。

解得x=8，所以原长方形的长为16cm，宽为8cm。

7. 一个工厂生产了100个零件，其中有10个是次品。

如果随机抽取一个零件，抽到次品的概率是多少？答案：抽到次品的概率为10/100，即1/10。

四、应用题8. 一个农场有鸡和兔子共50只，腿的总数是140条。

问农场里有多少只鸡和多少只兔子？答案：设鸡有x只，兔子有y只。

根据题意，有方程组：x + y = 50 和 2x + 4y = 140。

解得x=35，y=15。

所以农场里有35只鸡和15只兔子。

pisa数学试题及答案b卷

pisa数学试题及答案b卷PISA数学试题及答案B卷1. 题目：一个长方形的长是宽的两倍，如果宽增加10%，长不变，那么新的长方形面积比原来增加了多少？A. 10%B. 20%C. 21%D. 22%答案：C解析：设原长方形的宽为x，则长为2x。

原长方形面积为x*2x=2x^2。

宽增加10%后，新的宽为1.1x，面积为1.1x*2x=2.2x^2。

面积增加的比例为(2.2x^2-2x^2)/2x^2=0.1x^2/2x^2=0.05，即5%。

但因为长是宽的两倍，所以总面积增加的比例为5%*2=10%。

因此，正确答案为C。

2. 题目：一个圆的半径增加10%，那么它的面积增加了多少？A. 10%B. 21%C. 31%D. 41%答案：B解析：设原圆的半径为r，则原圆的面积为πr^2。

半径增加10%后，新的半径为1.1r，面积为π(1.1r)^2=1.21πr^2。

面积增加的比例为(1.21πr^2-πr^2)/πr^2=0.21，即21%。

因此，正确答案为B。

3. 题目：一个正三角形的边长增加10%，那么它的面积增加了多少？A. 10%B. 33.1%C. 33.3%D. 33.4%答案：B解析：设原正三角形的边长为a，则原三角形的面积为(√3/4)a^2。

边长增加10%后，新的边长为1.1a，面积为(√3/4)(1.1a)^2=1.331(√3/4)a^2。

面积增加的比例为(1.331(√3/4)a^2-(√3/4)a^2)/(√3/4)a^2=0.331，即33.1%。

因此，正确答案为B。

4. 题目：一个等腰梯形的上底和下底之和为10，高为4，那么它的面积是多少？A. 20B. 15C. 12D. 10答案：A解析：等腰梯形的面积公式为(上底+下底)*高/2。

根据题目，上底+下底=10，高=4，代入公式得面积=10*4/2=20。

因此，正确答案为A。

5. 题目：一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两直角边的平方和的平方根。

中考数学总复习专题提升十二关于pisa测试题的问题试题

专题提升十二关于pisa测试题的问题热点解读Pisa是国际学生评估项目的缩写，是一项由经济合作与发展组织统筹的学生能力测试项目，pisa类测试可强化对考生知识面，综合分析，创新素养等方面的考察，测试的重点是考生全面参与社会的知识与技能，发现和提出简单数学问题，初步懂得应用所学的数学知识、技能和基本思想进行独立思考．pisa测试题是中考命题的方向．母题呈现(2016·绍兴)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )A．84 B．336 C．510 D．1326对点训练1．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )第1题图A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长2．(2017·绍兴)一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( )第2题图3．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除④外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( ) A．14分钟 B．13分钟C．12分钟 D．11分钟4．△PQR是直角三角形，∠R是直角．RQ的长度比PR短，M是PQ的中点，N是QR的中点，S是三角形内部一点，MN的长度比MS长．则符合以上描述的三角形是( )5．(2015·台州)某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是( )A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对6．(2015·绍兴)挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走( )A．②号棒 B．⑦号棒C．⑧号棒 D．⑩号棒第6题图7．(2015·台湾)已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里．今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？( )第7题图A．309 B．316 C．336 D．3398．木匠制作一个如图的书架需要以下材料：4块长木板，6块短木板，12个短夹，2个长夹和14颗螺丝．现在木匠有26块长木板，33块短木板，200个短夹，20个长夹和510颗螺丝，则木匠可以做个书架．第8题图9．(2017·永嘉模拟)魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF＝2，CF＝4，则AE的长为__________________．第9题图10．(2016·温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm.第10题图11．(2017·温州)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为____________________cm.第11题图12．(2017·宁波模拟)某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：(1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？(2)一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？第12题图参考答案专题提升十二关于pisa测试题的问题【母题呈现】C【对点训练】1．D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D7.C8．59.61010.(322＋16) 11.(24－82)12．(1)第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是6＋4(n－1)＝(4n＋2)人．第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6＋2(n －1)＝(2n＋4)人．(2)打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．因为，当n＝25时，4×25＋2＝102人＞98人，当n＝25时，2×25＋4＝54人＜98人，所以，选用第一种摆放方式.。

PISA数学精彩试题

PISA数学精彩试题PISA试题(B)卷共25题考试时间100分钟学校-----------班级----------性别--------出生--------年------月1. 地衣全球性暖化会造成一部分冰川融化的结果。

约在冰川消失的十二年后，微小的植物—地衣，会开始在岩石间生长。

地衣生长的形式有如圆圈一般，圆圈的直径与地衣的年龄之间关系约可用下列公式来表示：，其中，d 表示圆圈直径(每毫米)，t 表示冰川消失后的年数。

问题1：利用公式，算出冰川消失后16年的地衣直径。

写出你的计算方法。

问题2：安安测量出某地区地衣的直径为35毫米。

请问在这地区的冰川是多少年前消失？写出你的计算方法。

2. 苹果农夫将苹果树种在正方形的果园。

为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树。

在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)，和苹果树数量及针叶树数量的规律：问题1：完成下表的空格n 苹果树数针叶树数1 1 82 4345问题2：你可以用以下的2个公式来计算上面提到的苹果树数量及针叶树数量的规律：苹果树的数量 = n2 针叶树的数量 = 8n n代表苹果树的列数当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量。

找出n值，并写出你的计算方法。

问题3：若农夫想要种更多列，做一个更大的果园，当农夫将果园扩大时，那一种树会增加得比较快？是苹果树的数量或是针叶树的数量？解释你的想法。

3. 骰子问题1：在这张相片中你可以看见六个骰子，分别被标记(a)到(f)。

所有骰子都有个规则：每两个相对的面之点数和都是七。

写下照片中盒子里的每个骰子底部的点数为何。

4. 成长青少年长得更高了下图显示1998年荷兰的年轻男性和女性的平均身高：问题1：自1980年以来20岁女性的平均身高增加了2.3 公分，变成170.6 公分。

则1980年20岁女性的平均身高是多少？答： ......................公分问题2：根据这张图，平均而言，哪一段时期的女孩身高会比同年龄的男孩高？问题3：依据上图说明为何女孩12岁以后身高的增加率会减小。

让学生脑洞大开的pisa数学全真题

目录PM00A：USB 随身碟 (2)PM00E：播放器故障率 (7)PM00F：购买公寓 (11)PM00L：冰淇淋店 (13)PM00R：漏油 (17)PM903：点滴速率 (19)PM904：MP3 播放器 (22)PM918：唱片排行榜 (25)PM921：企鹅 (28)PM922：风力发电 (33)PM923：航行 (37)PM924：调味酱 (41)PM934：摩天轮 (42)PM937：迭骰子 (44)PM942：攀登富士山 (46)PM957：小清骑单车 (49)PM962：渡假公寓 (53)PM977：DVD 出租 (56)PM978：有线电视 (59)PM985：哪一辆车 (62)PM991：车库 (65)PM994：卖报纸 (68)PM995：旋转门 (72)PISA 2012 Released Items版权说明***************************************************************** **********版权所有：经济合作暨发展组织OECD（Organisation For Economic Co-Operation And Development）中文翻译版权所有：国立台南大学如有任何疑问请与台湾PISA 国家研究中心联络***************************************************************** **********USB 随身碟USB 随身碟是一种体积小、携带方便的计算机储存装置。

冠达有一个容量为1 GB (1000 MB) 的USB 随身碟，存有音乐和照片。

下图为他的USB 随身碟目前的储存状态。

问题1：USB 随身碟PM00AQ01 – 0 1 9冠达想要把350 MB 的照片集转存到他的USB 随身碟中，但USB随身碟没有足够的可用空间。

他不想删除USB 随身碟里的任何照片，但他可以删除USB 随身碟中某两张音乐专辑。

PISA测试数学试题

PISA测试数学试题题目一：USB随身碟USB随身碟是一种体积小、携带方便的计算机储存装置。

冠达有一个容量为1GB(1000MB)的USB随身碟，存有音乐和照片。

他的USB随身碟目前的储存状态为：音乐（650MB），照片（198MB），可用空间（152MB）。

问题1：冠达想要把350MB的照片集转存到他的USB随身碟中，但USB随身碟没有足够的可用空间。

他不想删除USB随身碟里的任何照片，但他可以删除USB随身碟中某两张音乐专辑。

冠达的USB随身碟中存有下列不同大小的8张音乐专辑。

专辑1:100MB专辑2:75MB专辑3:80MB专辑4:55MB专辑5:60MB专辑6:80MB专辑7:75MB专辑8:125MB如果最多只删除两个音乐专辑，冠达的USB随身碟是否就有足够的空间可以储存新的照片集？请圈选「是」或「否」，并列出计算过程来支持你的答案。

题旨：题目描述：比较并计算数值以满足给定的条件内容领域：数量情境脉络：个人的数学历程：诠释满分答案：是，明确地表示或暗示，并列举任何一个例子，当中的2张专辑所使用的空间为198MB或更多。

他需要删除198MB(350-152)，因此他需要删掉任意两张加起来空间大于198MB的音乐专辑，例如专辑1和8。

是。

他可以删除专辑7和8，这样得到的可用空间有152+75+125=352MB。

题目二：冰淇淋店下图为雯雯冰淇淋店的平面图，她正在装修店铺。

服务区的周围是柜台。

问题1：雯雯想沿着柜台的外缘加装新的边饰，她一共需要多长的边饰？写出你的计算过程。

题旨：题目描述：利用勾股定理或使用正确的测量方法，找出直角三角形的斜边并进行比例尺的转换内容领域：空间与形状情境脉络：职业的数学历程：应用满分答案：介于4.5到4.55之间的答案（以公尺或米为单位，有、无写单位皆可。

）部分分数：答案中有部分的计算步骤是正确的（如使用勾股定理或使用比例尺），但有错误，如比例尺不正确或计算错误。

PISA数学试题

PISA试题(B)卷共25题考试时间100分钟学校-----------班级----------性别--------出生--------年------月1.地衣全球性暖化会造成一部分冰川融化的结果。

约在冰川消失的十二年后，微小的植物—地衣，会开始在岩石间生长。

地衣生长的形式有如圆圈一般，圆圈的直径与地衣的年龄之间关系约可用下列公式来表示：，其中， d 表示圆圈直径(每毫米)，t 表示冰川消失后的年数。

问题1：利用公式，算出冰川消失后16年的地衣直径。

写出你的计算方法。

问题2：安安测量出某地区地衣的直径为35毫米。

请问在这地区的冰川是多少年前消失？写出你的计算方法。

2.苹果农夫将苹果树种在正方形的果园。

为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树。

在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)，和苹果树数量及针叶树数量的规律：问题1：完成下表的空格n 1 2 345苹果树数14针叶树数8问题2：你可以用以下的2个公式来计算上面提到的苹果树数量及针叶树数量的规律：苹果树的数量 = n2 针叶树的数量 = 8n n代表苹果树的列数当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量。

找出n值，并写出你的计算方法。

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………问题3：若农夫想要种更多列，做一个更大的果园，当农夫将果园扩大时，那一种树会增加得比较快？是苹果树的数量或是针叶树的数量？解释你的想法。

………………………………………………………………………………………………3.骰子问题1：在这张相片中你可以看见六个骰子，分别被标记(a)到(f)。

所有骰子都有个规则：每两个相对的面之点数和都是七。

写下照片中盒子里的每个骰子底部的点数为何。

4.成长青少年长得更高了下图显示1998年荷兰的年轻男性和女性的平均身高：问题1：自1980年以来20岁女性的平均身高增加了 2.3 公分，变成170.6 公分。

【中考压轴题专题训练】PISA专题训练(解析版)

【中考压轴题专题训练】PISA 专题训练（解析版）选择题（本大题有30小题，每小题5分，共150分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，M 是边CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且AF ⊥ME ，垂足为点G.若EB =2，BF =1，则GE MG 的值为（）A ．13B ．310C ．25D ．12【答案】B【解析】过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示则∠MHE=∠ABF=90°∵ME ⊥AF∴∠FAE+∠GEA=90°又∠HME+∠GEA=90°∴∠FAE=∠HME∴△ABF ∽△MHE∴AB MH =BF EH =AF ME∵AB=2BC ，M 为CD 中点∴设BC=x ，则AB=2x ，CM=BH=AH=x ，MH=BC=x∴2x x =1EH =AF ME解得：EH=12∴BH=BE+EH=52，AE=3在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AF=√52+12=√26在Rt △MEH 中，由勾股定理得：ME=√(52)2+(12)2=√262由∠GAE=∠BAF ，∠AGE=∠ABF=90°得：△AEG ∽△AFB∴AE AF =EG BF =AG AB ∴3√26=EG1 解得：EG=3√2626∴MG=ME －EG=5√2613∴GE MG =3√26265√2613=310故答案为：B.2．如图，正方形ABCD 被分成五个面积相等的矩形，若FG=4，则正方形的面积为（）A ．64B ．2254C ．49D ．36【答案】B【解析】设KJ=LI=x ，∵正方形ABCD 被分成五个面积相等的矩形，∴IF=JG=KJ=LI=x ，∴EB=2x ，又∵FG=4，∴EB·EL=2x·EL=AE·EK=KJ·FG=4x ，∴EL=2，EK=2+4=6，∴AE=23x ，∴CD=AB=AE+BE=23x+2x=83x ， ∴4x=CG·CD=CG·83x ，∴CG=32，∴BC=EL+FG+GC=2+4+32=152，∴正方形ABCD 的面积=BC 2=（152）2=2254.故答案为：B.3．两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG如图放置，且FG恰好过点C. 过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N. 知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积()A．CF⋅CD B．CF⋅CN C．CF⋅CG D．CF⋅CB【答案】A【解析】如图，作CH⊥BE于点H.阴影部分面积= S矩形ABCD−S矩形BCNM=S矩形ABCD−2S△BCG=S矩形BEFG−S矩形BHCH=S矩形CHEF= CF·EF=CF·CD故答案为： A.4．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>a)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2.则S1−S2的值表示正确的是（）A．BE⋅FG B．MN⋅FG C．BE⋅GD D．MN⋅GD【答案】A【解析】∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），∴S1-S2=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）=（AB-a ）•a -（AB-a ）（AD-b ）=（AB-a ）•（a-AD+b ）=BE•FG故答案为：A.5．用面积为1，3，4，8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为( )A ．23B ．43C ．1112D ．116【答案】A 【解析】设面积为1的长方形长为a ，宽为b ，则ab=1，∴面积为3的长方形宽为a ，长为3a， ∵面积为4的长方形和面积为8的长方形的长相等，∴它们的宽之比为1：2，∴面积为4的长方形的宽=13×（b+3a ）=ab+33a =43a ，长=443a=3a ，两个阴影三角形的底=43a-b ， ∴整个阴影部分面积=两个阴影三角形的面积之和=12×（43a -b ）（3a+a ）=23ab=23. 故答案为：A.6．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示.作EM ∥NG ∥AD .若GF =2FM ，则MN ：FD 的值为（）A ．2√33B ．√52C ．54D ．1【答案】B【解析】连结CF ，设AF=a ，DF=b ，∵ME ∥AD ，∴△FME ∽△FAD ，∴FM FA =FE FD ，即FD FA =FE FM =2FM FM=2， ∴DF=2AF ，∴b=2a ，∵AF=DE=HC=BG=a ，∴FE=GF=GH=EH=AG-AF=2a-a=a ，∴点E 为DF 的中点，∵CE ⊥DF ，∴CF=CD ，∵四边形FGHE 为正方形，∴GF ∥EH ，即MG ∥NE ，又∵ME ∥GM ，∴四边形MGNE 为平行四边形，∴GM=EN ，∵GF=EH ，∴MF=HN=12FG =12a ， ∴NC=CH-HN=a −12a =12a ， ∴MF=CN ，且MF ∥CN ，∴四边形MFCN 为平行四边形，∴MN=FC=DC ，在Rt △AFD 中，AD=√AF 2+DF 2=√a 2+4a 2=√5a ，∴MN=CD=AD=√5a ，∴MN ：DF=√5a ：2a =√5：2=√52.7．如图，图中小正方形的组合图形是棱长为1的正方体一种表面展开图，过小正方形的顶点A ，B ，C ，D 的线段AB ，CD 与经过小正方形的顶点E ，F 的直线交于点M ，N ，则线段MN 的长为（）A ．2√2B ．1+√2C ．52D ．74√2 【答案】D 【解析】如图所示，以点A 为原点，AE 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点E 的坐标为（2，0），点D 的坐标为（1，2），点F 的坐标为（3，1），点B 的坐标为（3，-1），点C 的坐标为（4，1），设直线CD 的解析式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =1， ∴{k =−13b =73， ∴直线CD 的解析式为y =−13x +73，同理求出直线EF 的解析式为y =x −2，直线AB 的解析式为y =−13x ，联立{y =−13x y =x −2，解得{x =32y =−12， ∴点M 的坐标为(32，−12) ，联立{y =−13x +73y =x −2，解得{x =134y =54， ∴点N 的坐标为(134，54) ，∴MN =√(32−134)2+(−12−54)2=7√24.8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN，正方形BQPC，正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上.其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5=（）A．2B．2√3C．3D．3√52【答案】C【解析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W.∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠BQM＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共线，∵四边形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∴∠BTC＋∠CBT＝90°，∠BWM＋∠CBT＝90°，∴∠BWM＝∠BTC，∴△MGW≌△BCT（AAS），∴MW＝BT，∵MN＝BM，∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，∴S1＋S5＝S3＝1，∵∠F=∠ACB=90°，AF=AC，AN=AB，∴Rt△ANF≌Rt△ABC（HL），∴S2=S3=1，∵AC2＋BC2＝AB2，∴S1＋S2＋S左空＋S右空＋S5＝S3＋S4＋S左空＋S右空，∴S1＋S2＋S5＝S3＋S4，∴S2＝S4=1∴S1+S2+S4+S5=3，故答案为：C9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，AC，BC为边作三个等边三角形：△ABD，△ACE，△BCF，其中∠CAB=15°，AB=2+43√3，BD与CE交于点M，AC与BD交于点N，连结AM，则△AMN的面积为（）A．3+√33B．2+√32C．3+2√33D．√6+√32【答案】B【解析】连接ED，作DF∥BC交EC与F，在AM上截取AG=NG，∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=∠AEC=60°，∴∠CAB=∠EAD，∴△AED≌△ACB，∴ED=BC，∠AED=ACB=90°，∴∠DEF=30°，∵DF∥BC，∴∠DFC=FCB=150°，∴∠DEF=∠DFE=30°，∴ED=DF，∴BC=DF，∵∠DMF=∠BMC，∴△DFM≌△BCM，∴BM=DM，∴AM⊥DB，∠MAB=30°，∵AB=2+43√3，∴MB=12AB=1+23√3，MA=BM·tan60°=√3+2，∵∠CAB=15°，∴∠MAN=15°，∵AG=NG，∴∠GAN=∠GNA=15°∴∠MGN=∠GAN+∠GNA=30°设MN=x，则GN=AG=2x，MG=√3x，∴2x+√3x=2+√3，解得，x=1，△AMN的面积为12×(2+√3)×1=2+√3 2.故答案为：B.10．由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD，如图所示.连结CH，延长EF交CH于点G，作PG⊥CH交AB于点P，若AH=2DH，则APBP的值为（）A．97B．1611C．32D．2【答案】B【解析】如图，∵正方形ABCD中，∴∠D=90°，AD=CD，∵AH=2DH，∴可设小矩形的宽为3x，则长为6x，∵HM∥CR，∴△NMH∽△NRC，∴MNNR=HMRC=3x6x=12，∴MN=2NR=23MR=2x，∴QG=8x，∵FG∥MN，∴△HFG∽△HMN，∴HFHM=FGMN，∴12=FG2x，∴FG=x，∴QG=7x，∵PG⊥CH，∴∠PGQ+∠HGQ=90°，∵∠HFG=90°，∴∠MHN+∠HGQ=90°，∴∠MHN=∠PGQ，∵∠PQG=∠PGQ=90°，∴△NMH∽△PQG，∴MNHM=QPQG，即2x6x=QP7x，∴QP=73x，∴AP=3x+73x=163x，BP=6x−73x=113x，∴APBP=163x113x=1611.故答案为：B.11．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM=90°，则BE：EM的值为（）A．1：2B．3：4C．5：6D．5：12【答案】B【解析】∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得正方形ABCD与正方形EFGH，∴∠FEG=45°，∠EFG=∠HEF=90°，∵∠BEM=90°，∴∠BEF=45°，∴∠EBF=45°，∴BF=EF，连接DG，延长BG交CD于N，设EF=x，则BE=EG=√2x，∵DE⊥EF，BG⊥EF，∴DE∥BG，∵DE=BG，∴四边形BEDG是平行四边形，∴DG=BE=√2x，∠HGD=∠EDG=∠EBF=45°，∴∠DGM=90°，∵GN ∥ED ，∴△MNG ∽△MDE ，∴NG DE =GM EM， ∵∠CBG=∠NBC ，∠BGC=∠BCN=90°，∴△CBG ∽△NBC ，∴BC 2=BG ⋅BN ，∵BC =√CG 2+BG 2=√x 2+(2x)2=√5x ，∴BN =BC 2BG =5x 22x =52x ，NG =BN −BG =52x −2x =12x ， ∴12x 2x =GM GM+√2x，解得GM =√2x 3， ∴EM=EG+GM=√2x +√2x 3=4√2x 3， ∴BE EM =√2x 4√2x 3=34.故答案为：B.12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，以BC 为边向上作正方形BCDE ，以AC 为边作正方形ACFG ，点D 落在GF 上，连结AE ，EG ．若DG ＝2，BC ＝6，则△AEG 的面积为（）A ．4B ．6C ．5√2D ．8【答案】D 【解析】过点E 作EH ⊥AG 于点H ，过点E 作EH ⊥EK ，垂足为E ，交FG 的延长线于点K∴∠EHB=∠EHG=90°，∠KEH=90°在正方形BCDE中，BE=DE=BC=CD=6，∠EBC=∠BCD=∠EDC=90°正方形ACFG中，AC=FC=AG，∠ACF=∠CAG=∠AGF=∠F=90°∴∠KGH=180°−∠AGF=90°∴四边形EHGK是矩形在Rt△ABC和Rt△FDC中，∵BC=DC，AC=FC∴Rt△ABC≅Rt△FDC(HL)∴∠1=∠2∵∠2+∠3=180°−∠EDC=90°，∠1+∠4=∠EBC=90°∴∠3=∠4∵∠BAC+∠CAG=180°∴B、A、G三点同在一条直线上，∵四边形EHGK是矩形∴∠K=90°∴∠K=∠EHB△EKD与△EHB中∵∠K=∠EHB，∠3=∠4，DE=BE∴△EKD≅△EHB(AAS)∴EK=EH∴四边形EHGK是正方形设正方形EHGK的边长为x则EK=EH=KG=xRt△EKD，EK2+DK2=ED2∵DK=DG+KG=2+x∴x2+(2+x)2=36x1=√17−1，x2=−√17−1（舍去）∴DK=2+√17−1=√17+1，EH=√17−1∵∠2+∠5=90°，∠2+∠3=90°∴∠3=∠5△EKD与△DFC中∵∠K=∠F=90°，∠3=∠5，ED=DC∴△EKD≅△DFC(AAS)∴KD=FC∴AG=KD=√17+1∴S AEG=12AG⋅EH=12(√17+1)(√17−1)=12×(17−1)=8故答案为：D.13．在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连接，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案．若正方形的边长为2√5，则阴影部分面积之和为（）A．43B．2C．3√55D．2√105【答案】A【解析】如图，过点T作TL⊥AB，连接OH，则OH⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为各边中点，∴∠DAH=∠ABE=90°，DA=AB，AH=BE，∴△DAH≌△ABE，∴∠DHA=∠AEB，∠ADH=∠BAE，∴△A TH∽△ABE，∵AB=2√5，∴AH=BE=√5，∴AE=√AB2+BE2=5，∴AT AB=AHAE=THBE，∴AT=2，TH=1，∴TM=AE-AT-ME=AE-AT-TH=2，同理可得ST=NS=NM=2，∵∠ADH+∠DHA=90°，∴∠DHA+∠BAE=90°即∠STM=90°，∴四边形STMN是正方形，∴OT=√2，∵TL⊥AB，OH⊥AB，∴TL∥OH，∵TL∥AD，∴△DAH∽△TLH，∴TH DH=TL DA，∵TL∥OH，∴△TKL∽△OKH，∴TK OK=TL OH，TK TK+√2=2√55√5，∴TK=2√23，OK=2√23+√2=5√23，在Rt△OKH中，KH=√OK2−OH2=√53，∴S△TKH=12×KH×TL=13，∴四个阴影部分的面积为43．故答案为：A.14．将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN.若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（）A．20B．24C．30D．45【答案】C【解析】如图，由题意知AN =EF =3，BC =AD =MN =AN +AM =4∴MD =AD −AM =3∵∠BEH =90°∴∠PED +∠BEC =∠BEC +∠EBC =90°∴∠PED =∠EBC∵BC =DE =4∴△BCE ≌△EDP(AAS)∴PD =EC设HM =EC =PD =x ，MP =3−x ，∵∠HMP =∠EDP =90°，∠HPM =∠EPD∴△HPM ∽△EPD∴MP PD =MH DE 即3−x x =x 4解得x =2∴EC =2，DC =6∴S 矩形BEHN =S 矩形ABCD +S 矩形CEFG=BC ×DC +EC ×EF=4×6+2×3=30故答案为：C.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB ，AC 为边分别向外作正方形ABFG 和正方形ACDE ，CG 交AB 于点M ，BD 交AC 于点N.若GM CM =12，则AN CN=（）A．12B．34C．2√55D．1【答案】B【解析】如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长AC交DH延长线于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥FG，AB=BF，∴GMMC=FBBC=12，∴ABBC=12，设AB=x，则BC=2x，∵∠ABC=90°，∴AC=√5x，∵四边形ACDE是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∴∠1+∠ACB=∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，∵DH⊥BH，∴∠CHD=∠ABC=90°，∴△ABC≌△CHD，∴AB=CH=x，DH=BC=2x，∵∠ABC+∠CHD=180°，∴AB∥DQ，∴∠1=∠Q，∵∠ACB=∠QCH，∴△ABC∽△QHC，∴ABQH=BCCH=ACCQ=2，∴QH=12AB=12x，QC=12AC=√52x，∴AQ=AC+CQ=3√52x ，DQ=DH+HQ=52x，∵∠1=∠Q，∠ANB=∠QND，∴△ABN∽△QDN，∴ANNQ=ABDQ=x52x=25，设AN=2a，则NQ=5a，∴AQ=2a+5a=7a=3√52x，∴a=3√514x，∴AN=2a=3√57x，NQ=5a=15√514x，∵CQ=√52x，∴NC=NQ−CQ=4√57x，∴ANCN=34.故答案为：B.16．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交CD于点P.若AE=3EF=3，则DP的长为（）A．207B．209C．3D．157【答案】A【解析】依题意，可得AF=4，即ED=4，在Rt△ADE中，可得AD=√AE2+ED2=5，则正方形ABCD的边长为5，过P作PM⊥CG与M，∵△EGH为等腰直角三角形，∠EGH=45°，∴△GMP为等腰直角三角形，∠MGP=45°，设GM=x，PM=x，CM=3−x，又∠DHC=∠PMC=90°，∠HCD=∠MCP，∴△HCD∽△MCP，∴CH DH=CMPM，即43=3−xx，故x=9 7，故CM=3−97=127，在Rt△PCM中，PC=√PM2+CM2=157，∴DP=5−157=207，故答案为：A.17．如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且②与⑤的面积之差为8，将这5部分拼接成一个大正方形ABCD，连结AC交DF于点E，若DEEF=43，则大正方形ABCD的面积为（）A．18B．25C．32D．50【答案】D【解析】如图，图2中∵两个大小不等的正方形被切割成5部分，将这5部分拼接成一个大正方形ABCD，∴AD∥BC，AM⊥DF，CN⊥DF，∴△ADE∽△CFE，∴ADCF=DEEF=AMCN=43由④③可知CN=KJ，AM=GT=IH，∴GTKJ=43设GT=QT=HI=4x，KJ=QI=IJ=3x，∴HQ=HI-QI=4x-3x=x，图1中RQ∥JI，∴△HRQ∽△HJI，∴QRIJ=HQHI∴RQ3x=x4x解之：RQ=34x；S②=S梯形HQTG−S△HQR=12(HQ+GT)·TQ+12HQ·QR∴S②=12(x+4x)·4x+12x·34x=778x2；S⑤=12(RQ+IJ)·QI=12(34x+3x)·3x=458x2；∵②与⑤的面积之差为8，∴778x2−458x2=8∵x＞0∴x=√2.∴GT=4x=4√2，QI=3x=3√2，∴正方形ABCD 的面积=GT 2+QI 2=(4√2)2+(3√2)2=32+18=50. 故答案为：D.18．中国古代数学家张爽证明勾股定理的弦图如图所示，它由四个全等的直角三角形和．一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成大正方形ABCD ．作直线EG 分别交AD ，BC 于点M ， N ．若图中两个正方形的面积分别是13和1，则MN 的长为（）A ．3√2B ．14√25C ．13√25D ．12√25【答案】C【解析】如图，过点F 作FK ∥MN ，交BC 于点K ，根据题意知：∠AEB=90°，BF=AE=CG ，CF=BE=AH ，FG=EF=EH=1，AB=√13， ∴AE=CG ，EG=√2， ∵AE 2+BE 2=AB 2，∴BF 2+（BF+1）2=（√13）2， ∴BF=2或BF=-3（不符合题意）， ∴BF=AE=CG=2，CF=BE=3， ∵FK ∥MN ，∴△CGN ∽△CFK ，△BFK ∽△BEN ， ∴FK GN =CF CG =32，EN FK =BE BF =32， ∴FK=32GN ，∴EG+GN FK =√2+GN FK =32，∴√2+GN32GN =32， ∴GN=4√25，∵∠AME=∠CNG ，∠AEM=∠CGN=45°，AE=CG ， ∴△AEM ≌△CGN ，∴ME=GN=4√25，∴MN=4√25+4√25+√2=13√25.故答案为：C.19．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以AB 为边向上作正方形ABDE ，以AC 为边作正方形ACFG ，点E 落在GF 上，连结CD ，DF ．若要求出五边形ACDFE 的面积，则只要知道（）A ．AB 的长B ．AC 的长 C ．△ABC 的面积D ．△DEF 的面积【答案】B【解析】如图，过点D 作DH ⊥CF 于点H ，∴∠DHB=90°， ∵正方形ABDE ， ∴∠ABD=90°，DB=AB ，又∵∠ACB=90°， ∴∠DBH=∠BAC ，∴△ACB ≌△BHD （AAS ），同理可证：△ACB ≌△AGE ， ∴△ACB ≌△BHD ≌△AGE ， ∴S △ACB =S △BHD =S △AGE ，∴S 五边形ACDFE =S △DCF +S 梯形ACFE =S △AGE +S 梯形ACFE =S 正方形ACFG ， ∴当AC 已知时，可求得S 正方形ACFG ， ∴可求出五边形ACDFE 的面积.故答案为：B.20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连接DH，FH.记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB 的长为（）A．2√6B．3√2C．3√3D．4√2【答案】A【解析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，∵四边形ACDE，BCFG是正方形，∴AD⊥EC，BF⊥CG，AD=EC，BF=CG，DM=12AD，FN=12BF，设AC=a，BC=b，∵∠EAC=90°，AE=AC=a，∴EC=√AE2+AC2=√2a∴AD=√2a，∴DM=12AD=12×√2a=√22a，同理可证：CG=√2b，FN=√22b，∵EG=EC+CG，∴EG=√2(a+b)，∵H为EG的中点，∴HG=EH=12×√2(a+b)=√22(a+b)，∴CH=EH−EC=√22(b−a)，∵S1=SΔFG1H=12⋅HG⋅FN=ab+b24，S2=SΔ(DH=12CH·DM=ab−a24又∵S 1−S 2=6 ， ∴ab+b 24−ab−a 24=6 ，整理得， a 2+b 2=24 ， ∵∠ ACB =90° ，∴AB =√AC 2+BC 2=√24=2√6. 故答案为：A.21．如图，点 H ， F 分别在菱形 ABCD 的边 AD ， BC 上，点 E ， G 分别在 BA ， DC 的延长线上，且 AE =AH =CG =CF .连结 EH ， EF ， GF ， GH ，若菱形 ABCD 和四边形 EFGH 的面积相等，则 AH AD的值为（）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】D【解析】连接HC 、AF 、HF 、AC ，HF 交AC 于O ，连接EG.∵四边形ABCD 是菱形， ∠D=∠B ，AB=CD=AD=BC ， ∵AE=AH=CG=CF ， ∴DH=BF ，BE=DG ，在△DHG 和△BFE 中， {DH =BF ∠D =∠B BE =DG， ∴△DHG ≌△BFE ， ∴HG=EF ，∠DHG=∠BFE ， ∵BC ∥AD ，∴∠BFE=∠DKF，∴∠DHG=∠DKG，∴HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形.∵AH=CF，AH∥CF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AC与HF互相平分，∵四边形EFGH是平行四边形，∴HF与EG互相平分，∴HF、AC、EG互相平分，相交于点O，∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，∴∠EAH=∠D，∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，∴EH∥AC，∴S△AEH=S△EHO=S△AHO= 12S△AHC= 14S四边形EFGH= 14S四边形ABCD，∴S△AHC= 12S四边形ABCD=S△ADC，∴AD=AH，∴AH AD=1.故答案为：D.22．如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（）A．S1+S2=2S3B．S1+S4=S3C．S2+S4=2S3D．S1+S5=S3【答案】B【解析】如图，作正六边形ABCDEF的外接圆O，连接BE，DF，记DF与BE的交点为Q，PD，BE的交点为N，过O作OH⊥CD于H，∴∠COD=60°，设正六边形ABCDEF的边长为a，则CO=DO=CD=a，∴CH=DH=12a，OH=√32a，由正六边形的性质可得：∠DEF=120°，EF=DE，BE⊥DF，FQ=DQ，∴∠EFQ=30°，EQ=12a，FQ=√32a，∴DF⊥AF，DF=2OH=√3a，∴S3=12×a×√3a=√32a2，设PF=x，则AP=a−x，∴S1=12AP·FQ=12(a−x)×√32a=√34a2−√34ax，S4=S△PDF+S△DEF−S5=12x×√3a+12×√3a×12a−12x×√32a=√34a2+√34ax∴S1+S4=√34a2−√34ax+√34a2+√34ax=√32a2，S3=12a×√3a=√32a2，∴S1+S4=S3，故B符合题意；由S1+S4=S3，同理可得：S2+S5=S3，∴S1+S2+S4+S5=2S3，故S1+S2=2S3，S2+S4=2S3，S1+S5=S3都错误，故A，C，D都不符合题意；故答案为：B.23．将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形ABCD内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设右上角与左下角阴影部分的周长的差为l.若知道l的值，则不需测量就能知道周长的正方形的标号为（）A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d，由题意得,（a+d−b−c+b+a+d−b+b−c+c+c）−（a−d+a−d+d+d）=l，整理得，2d=l，则知道l的值，则不需测量就能知道正方形④的周长，故答案为：D.24．如图，以Rt △ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC=90∘，连接DG，点H为DG的中点，连接HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（）A．△ABC的面积B．正方形ADEB的面积C．正方形ACFG的面积D．正方形BNMC的面积【答案】B【解析】如图，延长HA交BC于点P，交MN于点O，连接CE、AN，由题意可得：AB=AD，∠DAG=∠BAC，AC=AG，∴△DAG≌△BAC（SAS），∴∠2=∠4，由题意可得：BE=AB，∠EBC=∠ABN=90°+∠ABC，BN =BC，∴△ABN≌△EBC（SAS），S△ABN=S△EBC，∵点H为DG的中点，∠DAG=90°，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠3+∠4=90°，∴HA⊥BC，∴BN∥HQ，∴S△HBN=S△ABN，又∵BE∥CD，∴S△EBC=S△EBA=12S正方形ABED，S△HBN=12S正方形ABED.故答案为：B.25．如图，等边△ABC和等边△DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H．要求出△ABC的面积，只需已知（）A．△BDG与△CDH的面积之和B．△BDG与△AGF的面积之和C．△BDG与△CDH的周长之和D．△BDG与△AGF的周长之和【答案】C【解析】如图，连接AD，由题意可知：AB=BC=AC=DF=EF=ED，∠B=∠C=∠E=∠F=60°，∴△ABD≌△DFA（SAS），∴BD=AF，∴△AGF≌△BGD（AAS），∴BG=AG=FG=GD，同理可证得：△ACD≌△DEA（SAS），∴AE=DC，∴△AEH≌△CDH（AAS），∴AH=HC=DH=HE，∴BD+BG+DG+CD+DH+CH=BD+CD+BG+AG+AH+CH=BC+AB+AC，∴△ABC的周长=BD+BG+DG+CD+DH+CH=△BGD周长+△CDH周长.故答案为：C.26．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP 的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（）A．10：7B．20：7C．49：10D．49：20【答案】D【解析】∵正方形ABCD，正方形FPQG，∴∠EAD=∠ADG=∠DQG=GCF=90°，AB=AD，QG=GF，∴∠GDQ=∠DEA，∠QGD=∠GFC，∴△ADE∽△DQG，△QGD∽△GFC，∴AE：AD=QD：QG=GC：CF，∵E 为AB 的中点， ∴AD=AB=2AE ，∴QD ：QG=GC ：CF=1：2，设QD=x ，则QG=GF=2x ，GC=y ，则CF=2y ， ∴S 2=QG 2=4x 2，在Rt △DQG 中，由勾股定理得：DG=√x 2+4x 2=√5x ， ∴DC=DG+GC=√5x+y ，在Rt △GCF 中，由勾股定理得：GC 2+CF 2=GF 2， ∴y 2+4y 2=4x 2，∴√5y=2x ，整理得：y=2√55x ，∴DC=7√55x ，∴S 1=DC 2=495x 2，∴S 1：S 2=495x 2：4x 2∴S 1：S 2=49：20. 故答案：D.27．如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（）A ．⑤和③的面积差B ．③和②的面积差C ．④和②的面积差D ．⑤和②的面积差【答案】C【解析】设7个等边三角形的边长依次为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，∴S 阴影=12（c-b ）·√32c=√34c·（c-b ），S ④-S ②=12d·√32d-12b·√32b=√34（d 2-b 2）=√34（d+b ）（d-b ），∵a+b=c ，a+c=d ， ∴d+b=2c ，d-b=2a∴S ④-S ②=√34×2c·2a=√3c·a ，又∵a=c-b ，∴S ④-S ②=√3c·（c-b ），∴S ④-S ②=4S 阴影，∴只要知道④和②的面积之差就能求出阴影部分的面积.故答案为：C.28．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC 分别交AG ，HG 于点M ，N ，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG 的面积为S ，△GDF 的面积为9S ，则阴影部分的面积为（）A ．20SB ．21SC ．22SD ．24S【答案】B 【解析】设直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，斜边长为c ，∵△MNG 的面积为S ，△GDF 的面积为9S ， ∴12ab=9s ，正方形MNHA 的面积为8S ，S △MNG S △AGH =19=(MG AG )2， ∴MG AM =12， ∴△AMC 的面积为4S ，∴正方形ACNH 的面积为a 2=12S ，∴b 2=(18s a )2=27s ， ∴c 2=a 2+b 2=39s ，∴阴影部分的面积=39s-9s-9s=21s.故答案为：B.29．如图，在正△ABC 中， D 、E 分别为边AB 、AC 上的点， BD =2CE ，过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连结DF ，若想求△ABC 的周长，则只需知道下列哪个三角形的周长? 该三角形是( )A ．△CEFB ．△BDFC ．△DEFD ．△ADE【答案】B【解析】过点A 作AO ⊥AB ，过点C 作CO ⊥BC 于点C ，连接BO ，延长BC ，使CG=AD ，连接OG ，OE ，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ACB=60°，∴∠OCE=90°-60°=30°，在Rt △BAO 和Rt △BCO 中，{BA =BC BO =BO∴Rt △BAO ≌Rt △BCO （HL ），∴OA=OC ，∠ABO=∠CBO=30°，∴OB=2OC∵BD=2CE ，∴BD CE =BO CE=2 ∵∠OCE=∠OBD=30°，∴△OBD ∽△OCE ，∴∠DOB=∠EOC ，OD OE =BO CO=2， ∴∠DEO=90°，∵∠DEF=90°，∴点O ，E ，F 三点在同一直线上，在△OAD 和△OCG 中{OA =OC ∠BAO =∠BCO AD =CG∴△OAD ≌△OCG （SAS ），∴OD=OG ，∠AOD=∠COG ，∴∠DOG=∠DOC+∠COG=∠DOC+∠AOD=∠AOC=120°，∴∠FOG=∠DOG-∠DOF=120°-60°=60°，在△ODF 和△OGF 中{OD=OG ∠DOF=∠GOF OF=OF∴△ODF≌△OGF（SAS），∴DF=FG∴△BDF的周长为：BD+DF+BF=BD+FG+BF=BD+BC+CG=BC+BD+AD=BC+AB=2AB，∴要想求出△ABC的周长，只需知道△BDF的周长.故答案为：B.法二：过点E作EG∥BC，交AB于G，交DF于H，如图：由题意可知：三角形AGE是正三角形；G是BD中点、H是DF中点；EH是DF一半（斜边中线），GH是BF一半△BDF的周长=2（a+b+c）,AG=EG=b+c；AB=AG+BG=a+b+c，∴要想求出△ABC的周长，只需知道△BDF的周长.30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90°，以其三边为边向外作正方形．P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若PCCQ=34，则CKKG的值为（）A．1225B．34C．1325D．45【答案】A【解析】如图，过点C，作CN⊥FG，分别交AB于点M，交FG于点N，∵Rt△ABC中，∠ACB= 90°，以其三边为边向外作正方形，∴△ CAP=∠CIQ=90°，IC=BC ，AB ∥FG ，BG ⊥FG ，BG= AB ， ∵∠ACP=∠ICQ ，∴△ ACP ∽△ICQ ，∴IC AC =PC CQ =34，设AC= 3p ，则BC=IC=4p ，在Rt △ ABC 中，∴AB=√AC 2+BC 2=5p ，∴AB ∥FG. CN ⊥FG ，∴CM ⊥AB ，∴CM=AC×BC AB =12P 5， ∵CN ⊥FG ，BG ⊥FG ，∴MN ∥BG ，∴AB ∥FG ，CN ⊥FG ，∴四边形MNGB 为矩形，∴MN=BG=5p ，∴CN=CM+MN=37p 5， ∵∠MCK=∠NCG ，CN ⊥FG ，CM ⊥AB ，∴△MCK ∽△NCG ，∴CK CG =CM CN =1237， ∴CK CK+KG =1237， ∴CK KG =1225. 故答案为：A.。

PISA部分测评试题及评分

PISA部分测评试题及评分PISA要求参加四项测评的中学生不仅掌握学科知识、更重视学生的能力和态度。

每个学科的评价重点包括三部分内容：过程和方法的掌握、概念的理解和在不同环境下运用知识的能力。

因此，所有的试题都是围绕这三个中心内容来展开。

而在解决问题能力测评中，学生不仅要能分析一个既定情况及作出决定，还要能考虑多方面因素，作出最佳决定。

数学：匹萨饼一家匹萨饼店提供厚度相同、直径不同的两款匹萨，直径30厘米的匹萨要30元钱，而直径40厘米的匹萨40元钱。

问：买哪种匹萨更划算？说明理由。

满分：根据匹萨面积增幅大于钱的增幅，推断出买大的匹萨比较划算。

理由：匹萨的直径与价钱相等，但是匹萨的面积是直径的平方除以4，肯定大于10，因此匹萨增幅大于价钱的增幅，所以买大的比较划算。

部分得分：通过面积公式计算出每花一元钱能买到多少面积的匹萨。

（1/4*π*40*40）/40＝31.4＞（1/4*π*30*30）/30＝23.6，因此买大的划算。

但这种方法并不适合在日常生活中使用，因此酌情减分。

不得分：其他任何答案及没有给出答案。

科学：减肥计划一个女孩宣布减肥新计划：一周中有5天正常进食，其余两天只吃巧克力。

根据成分分析显示，她所吃的巧克力中不含维生素C。

如果要保持营养均衡，她在5天的正餐中应该吃什么补充维生素C？A鱼B水果C饭D蔬菜满分：B和D不得分：任何其他答案。

解决问题：1.“三个人看电影”给出三个人可以外出看电影的时间表、爱好的影片类型及某电影院电影排片表。

然后请学生根据具体情况选出适合三个人同时观看的电影及场次。

测评目的：特定条件下作出最佳决定点评：学生要根据三人不同的条件选出时间交集，并再将时间交集与电影排片表相交，得出决定。

但在作出最后决定时，学生必须考虑到三个人各自的爱好选出最佳方案才能获得满分。

2.“野营”8名老师（男女各4名）带领26个女生和20个男生外出野营，营地共有大小不等的卧室7间。

同性别的人才能合住一间，每间卧室必须有一个老师入住。

PISA数学试题(DOC)

PISA试题(B)卷共25题考试时间100分钟学校-----------班级----------性别--------出生--------年------月1. 地衣全球性暖化会造成一部分冰川融化的结果。

约在冰川消失的十二年后，微小的植物—地衣，会开始在岩石间生长。

地衣生长的形式有如圆圈一般，圆圈的直径与地衣的年龄之间关系约可用下列公式来表示：，其中，d 表示圆圈直径(每毫米)，t 表示冰川消失后的年数。

问题1：利用公式，算出冰川消失后16年的地衣直径。

写出你的计算方法。

问题2：安安测量出某地区地衣的直径为35毫米。

请问在这地区的冰川是多少年前消失？写出你的计算方法。

2. 苹果农夫将苹果树种在正方形的果园。

为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树。

在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)，和苹果树数量及针叶树数量的规律：问题1：完成下表的空格n 苹果树数针叶树数1 1 82 4345问题2：你可以用以下的2个公式来计算上面提到的苹果树数量及针叶树数量的规律：苹果树的数量= n2 针叶树的数量= 8n n代表苹果树的列数当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量。

找出n值，并写出你的计算方法。

3. 骰子问题1：在这张相片中你可以看见六个骰子，分别被标记(a)到(f)。

所有骰子都有个规则：每两个相对的面之点数和都是七。

写下照片中盒子里的每个骰子底部的点数为何。

4. 成长青少年长得更高了下图显示1998年荷兰的年轻男性和女性的平均身高：问题1：自1980年以来20岁女性的平均身高增加了2.3 公分，变成170.6 公分。

则1980年20岁女性的平均身高是多少？答：......................公分问题2：根据这张图，平均而言，哪一段时期的女孩身高会比同年龄的男孩高？问题3：依据上图说明为何女孩12岁以后身高的增加率会减小。

PISA类解直角三角形问题中考题型训练(解析版)

PISA类解直角三角形问题中考题型训练真题过关1.(2022•宁夏)2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE=46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE 约为1614米(精确到1米)．(参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04)【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE=CE=xm，则AF=(50+x)m，DF=(x-14)m，利用tan46°12′=AFDF=50+xx-14=1.04，即可解决问题．【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理得，OB=AB2-OA2=502-142=48(m)，∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE，∵∠CDE=45°，∠DEC=90°，∴DE=CE，设DE=CE=xm，则AF=(50+x)m，DF=(x-14)m，∵∠ADE=46°12′．∴tan46°12′=AFDF =50+xx-14=1.04，解得x≈1614，∴CE=1614米，故答案为：1614．2.(2022•衢州)希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得PNAN =QMBM=k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．(1)CD-EF-GJ= 1.8km．(2)k=　913　．【分析】(1)根据图中三条线段所标数据即可解答；(2)连接AB ，过点A 作AZ ⊥CB ，交CB 的延长线于点Z ．易得AZ =1.8，BZ =4=2.6，证明△BMQ ∽△BZA ，即可解答．【解答】解：(1)CD -EF -GJ =5.5-1-2.7=1.8(km )；(2)连接AB ，过点A 作AZ ⊥CB ，交CB 的延长线于点Z ．由矩形性质得：AZ =CD -EF -GJ =1.8，BZ =DE +FG -CB -AJ =4.9+3.1-3-2.4=2.6，∵点P ，A ，B ，Q 共线，∴∠MBQ =∠ZBA ，又∵∠BMQ =∠BZA =90°，∴△BMQ ∽△BZA ，∴QM BM =k =AZ BZ =1.82.6=913．故答案为：1.8；913．3.(2022•金华)图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF 为吸热塔，在地平线EG 上的点B ，B ′处各安装定日镜(介绍见图3)．绕各中心点(A ，A ')旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F 处．已知AB =A 'B '=1m ，EB =8m ，EB '=83m ，在点A 观测点F 的仰角为45°．(1)点F 的高度EF 为9m ．(2)设∠DAB =α，∠D 'A 'B '=β，则α与β的数量关系是α-β=7.5°．【分析】(1)连接A ′A 并延长交EF 于点H ，易证四边形HEB ′A ′，HEBA ，ABB ′A ′均为矩形，可得HE =AB =1m ，HD =EB =8m ，再根据在点A 观测点F 的仰角为45°，可得HF =HD =8m ，即可求出FE 的长；(2)作DC 的法线AK ，D ′C ′的法线A ′R ，根据入射角等于反射角，可得∠FAM =2∠FAK ，∠FA ′N =2∠FA ′R ，根据HF =8m ，HA ′=83m ，解直角三角形可得∠HFA ′=60°，从而可得∠AFA ′的度数，根据三角形外角的性质可得∠FA ′R =7.5°+∠FAK ，再根据平行线的性质可表示∠DAB 和∠D ′A ′B ′，从而可得α与β的数量关系．【解答】解：(1)连接A ′A 并延长交EF 于点H ，如图，则四边形HEB ′A ′，HEBA ，ABB ′A ′均为矩形，∴HE =AB =A ′B ′=1m ，HD =EB =8m ，HA ′=EB ′=83m ，∵在点A 观测点F 的仰角为45°，∴∠HAF =45°，∴∠HFA =45°，∴HF =HD =8，∴EF =8+1=9(m )，故答案为：9；(2)作DC 的法线AK ，D ′C ′的法线A ′R ，如图所示：则∠FAM =2∠FAK ，∠FA ′N =2∠FA ′R ，∵HF =8m ，HA ′=83m ，∴tan ∠HFA ′=3，∴∠HFA ′=60°，∴∠AFA ′=60°-45°=15°，∵太阳光线是平行光线，∴A ′N ∥AM ，∴∠NA ′M =∠AMA ′，∵∠AMA ′=∠AFM +∠FAM ，∴∠NA ′M =∠AFM +∠FAM ，∴2∠FA ′R =15°+2∠FAK ，∴∠FA ′R =7.5°+∠FAK ，∵AB ∥EF ，A ′B ′∥EF ，∴∠BAF =180°-45°=135°，∠B ′A ′F =180°-60°=120°，∴∠DAB =∠BAF +∠FAK -∠DAK =135°+∠FAK -90°=45°+∠FAK ，同理，∠D ′A ′B ′=120°+∠FA ′R -90°=30°+∠FA ′R =30°+7.5°+∠FAK =37.5+FAK ，∴∠DAB -∠D ′A ′B ′=45°-37.5°=7.5°，故答案为：α-β=7.5°．4.(2022•镇江)如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm ，高为42.9cm ．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB 、CD 以及AC 、BD 组成的轴对称图形，直线l 为对称轴，点M 、N 分别是AC 、BD的中点，如图2，他又画出了AC 所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC =66°，发现并证明了点E 在MN 上．请你继续完成MN 长的计算．参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin33°≈1120，cos33°≈1113，tan33°≈1320．【分析】连接AC ，交MN 于点H ，设直线l 交MN 于点Q ，利用三角函数求出MH ，再根据对称性求出MN 即可．【解答】解：连接AC ，交MN 于点H ，设直线l 交MN 于点Q ，∵M 是AC的中点，点E 在MN 上，∴∠AEM =∠CEM =12∠AEC =33°，在△AEC 中，EA =EC ，∠AEH =∠CEH ，∴EH ⊥AC ，AH =CH ，∵直线l 是对称轴，∴AB ⊥l ，CD ⊥l ，MN ⊥l ，∴AB ∥CD ∥MN ，∴AC ⊥AB ，∴AC =42.9cm ，AH =CH =42920cm ，在Rt △AEH 中，sin ∠AEH AH AE =，即1120=42920AE，则AE =39，tan ∠AEH =AH HE，即1320=42920EH，则EH =33，∴MH =6cm ，∵该图形为轴对称图形，∴MQ =MH +HQ =6+15=21(cm )，∴MN =42(cm )，即MN 的长为42cm ．5.(2022•东营)胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB 垂直于桥面BC 于点B ，其中两条斜拉索AD 、AC 与桥面BC 的夹角分别为60°和45°，两固定点D 、C 之间的距离约为33m ，求主塔AB 的高度(结果保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【分析】根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB=60°，tan∠ADB=AB BD，∴BD=AB60otan =AB3，在Rt△ABC中，∠C=45°，tan∠C=AB BC，∴BC=AB45otan=AB，∵BC-BD=CD=33m，∴AB-AB3=33，∴AB=99+3332≈78(m)．答：主塔AB的高约为78m．6.(2022•六盘水)“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC=AD=2m，BF=3m．(1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳宽度CD(结果精确到0.1m)；(2)下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度(结果精确到0.1m)．(参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，2≈1.41)【分析】(1)根据对称性得出AD=2m，再根据锐角三角函数求出OD，即可求出答案；(2)过点E作EH⊥AB于H，得出EH=BF=3m，再分别求出∠α=65°和45°时，AH的值，即可求出答案．【解答】解：(1)由对称知，CD=2OD，AD=AC=2m，∠AOD=90°，在Rt△AOD中，∠OAD=α=65°，∴sinα=ODAD，∴OD=AD•sinα=2×sin65°≈2×0.90=1.80m，∴CD=2OD=3.6m，答：遮阳宽度CD约为3.6米；(2)如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE=90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF=∠EFB=90°，∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°，∴EH=BF=3m，在Rt△AHE中，tan a=EH AH，∴AH=EHαtan，当∠α=65°时，AH=365otan≈32.14≈1.40m，当∠α=45°时，AH=345otan=3，∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3-1.40=1.6m．7.(2022•青海)随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC=8，CD=2，∠D=135°，∠C=60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)【分析】通过作垂线，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，可求出BE、CE、DF、AF，进而求出AB，利用梯形面积的计算公式进行计算即可．【解答】解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形AECF是矩形，∵∠BCD=60°，∴∠BCE =90°-60°=30°，在Rt △BCE 中，∠BCE =30°，BC =8，∴BE =12BC =4，CE =32BC =43，∵∠ADC =135°，∴∠ADF =180°-135°=45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴DF =AF =CE =43，由于FC =AE ，即43+2=AB +4，∴AB =43-2，∴S 梯形ABCD =12(2+43-2)×43=24，答：垂尾模型ABCD 的面积为24．8.(2022•潍坊)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A 处，水沿射线AD 方向泻至水渠DE ，水渠DE 所在直线与水面PQ 平行．设筒车为⊙O ，⊙O 与直线PQ 交于P ，Q 两点，与直线DE 交于B ，C 两点，恰有AD 2=BD •CD ，连接AB ，AC ．(1)求证：AD 为⊙O 的切线；(2)筒车的半径为3m ，AC =BC ，∠C =30°．当水面上升，A ，O ，Q 三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度(精确到0.1m ，参考值：2≈1.4，3≈1.7)．【分析】(1)连接AO ，并延长交⊙O 于G ，连接BG ，利用直径所对的圆周角为直角得∠BAG +∠AGB =90°，再说明△DAB ∽△DCA ，得∠DAB =∠ACB ，从而证明结论；(2)当水面到GH 时，作OM ⊥GH 于M ，通过导角得出∠AGM =45°，则OM =22OG =322，从而解决问题．【解答】(1)证明：连接AO ，并延长交⊙O 于G ，连接BG ，∴∠ACB =∠AGB ，∵AG 是直径，∴∠ABG =90°，∴∠BAG +∠AGB =90°，∵AD 2=BD •CD ，∴ADCD =BD AD，∵∠ADB =∠CDA ，∴△DAB ∽△DCA ，∴∠DAB =∠ACB ，∴∠DAB =∠AGB ，∴∠DAB +∠BAG =90°，∴AD ⊥AO ，∵OA 是半径，∴AD 为⊙O 的切线；(2)解：当水面到GH 时，作OM ⊥GH 于M ，∵CA =CB ，∠C =30°，∴∠ABC =75°，∵AG 是直径，∴∠ABG =90°，∴∠CBG =15°，∵BC ∥GH ，∴∠BGH =∠CBG =15°，∴∠AGM =45°，∴OM =22OG =322，∴筒车在水面下的最大深度为3-322≈0.9(m )．9.(2022•吉林)动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD 为主车架，AB 为调节管，点A ，B ，C 在同一直线上．已知BC 长为70cm ，∠BCD 的度数为58°．当AB 长度调至34cm 时，求点A 到CD 的距离AE 的长度(结果精确到1cm )．(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)【分析】由AB ，BC 的长度求出AC 长度，然后根据sin ∠BCD =AE AC求解．【解答】解：∵AB =34cm ，BC =70cm ，∴AC =AB +BC =104cm ，在Rt △ACE 中，sin ∠BCD =AE AC，∴AE =AC •sin ∠BCD ≈104×0.85≈88cm ．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．10.(2022•常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图1)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数)．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)【分析】过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB=AH-EM+EN，分别在Rt△AHF中，Rt△FEM和Rt△EMG中，解直角三角形即可得出结论．【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB=AH-EM+EN．根据题意可知，∠AHF=∠EMF=∠EMG=90°，EN=40(米)，∵HG∥BC，∴∠EGM=∠ECB=36°，在Rt△AHF中，∠AFH=40°，AF=50，∴AH=AF•sin∠AFH≈50×0.64=32(米)，在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG=m米，则FM=(7-m)米，∴EM=MG•tan∠EGM=MG•tan36°≈0.73m，EM=FM•tan∠EFM=FM•tan25°≈0.47(7-m)，∴0.73m=0.47(7-m)，解得m≈2.7(米)，∴EM≈0.47(7-m)=2.021(米)，∴AB=AH-EM+EN≈32-2.021+40≈70(米)．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．11.(2022•娄底)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ=3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC=120°，求BC的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x-x0．【分析】由题意可以先求出k的值，然后即可求出PC的长，再根据勾股定理即可得到PA和AB的长，由图可知：BC=AC-AB，代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，x0=3cm，100=k(4-3)，解得k=100，∴F=100Δx，当F=300时，300=100×(PC-3)，解得PC=6cm，由图可得，∠PAB=90°，∠PBC=120°，∴∠APB=30°，∵PB=4cm，∴AB=2cm，PA=PB2-AB2=23(cm)，∵PC=6cm，∴AC=PC2-PA2=26(cm)，∴BC=AC-AB=(26-2)cm，即BC的长是(26-2)cm．12.(2022•江西)图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC=∠A=72.9°，AD=1.6m，EF=6.2m．(结果保留小数点后一位)(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离)．(参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25)【分析】(1)根据平行四边形的定义可得结论；(2)过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用∠A的正弦可得结论．【解答】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠CDG=∠A，∵∠FEC=∠A，∴∠FEC=∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四边形DEFG为平行四边形；(2)解：如图，过点G作GP⊥AB于P，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=6.2，∵AD=1.6，∴AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8，Rt△APG中，sin A=PGAG，=0.96，∴PG7.8∴PG=7.8×0.96=7.488≈7.5．答：雕塑的高为7.5m．13.(2022•宁波)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF 的距离BD为9m．(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【分析】(1)在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；(2)根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．【解答】解：(1)在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，∴AB=BD53ocos ≈90.6=15(m)，∴此时云梯AB的长为15m；(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE=BC=2m，∵AE=19m，∴AD=AE-DE=19-2=17(m)，在Rt△ABD中，BD=9m，∴AB=AD2+BD2=172+92=370(m)，∵370m<20m，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．14.(2022•绍兴)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为37°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为4米．(1)求∠BAD的度数．(2)求表AC的长(最后结果精确到0.1米)．(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，tan84°≈192)【分析】(1)根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；(2)分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可．【解答】解：(1)∵∠ADC=84°，∠ABC=37°，∴∠BAD=∠ADC-∠ABC=47°，答：∠BAD的度数是47°．(2)在Rt△ABC中，37otan=ACBC，∴BC=AC37otan．在Rt△ADC中，DC=AC84o tan，∵BD=4，∴BC-DC=AC37otan -AC84otan=BD=4，∴4 3AC-219AC≈4，∴AC≈3.3(米)，答：表AC的长是3.3米．15.(2022•成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．(结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)【分析】利用平角定义先求出∠AOC=30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO 的长，从而求出A′O的长，再利用平角定义求出∠A′OD的度数，最后在Rt△A′DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠AOB=150°，∴∠AOC=180°-∠AOB=30°，在Rt△ACO中，AC=10cm，∴AO=2AC=20(cm)，由题意得：AO =A ′O =20cm ，∵∠A ′OB =108°，∴∠A ′OD =180°-∠A ′OB =72°，在Rt △A ′DO 中，A ′D =A ′O •sin72°≈20×0.95=19(cm )，∴此时顶部边缘A '处离桌面的高度A 'D 的长约为19cm ．16.(2022•盐城)2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，OA =1m ，AB =5m ，BC =2m ，∠ABC =143°．机械臂端点C 到工作台的距离CD =6m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．(结果精确到0.1m ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24)【分析】(1)过点A 作AE ⊥CB ，垂足为E ，在Rt △ABE 中，由AB =5m ，∠ABE =37°，可求AE 和BE ，即可得出AC 的长；(2)过点A 作AF ⊥CD ，垂足为F ，在Rt △ACF 中，由勾股定理可求出AF ，即OD 的长．【解答】解：(1)如图，过点A 作AE ⊥CB ，垂足为E ，在Rt △ABE 中，AB =5m ，∠ABE =37°，∵sin ∠ABE =AE AB ，cos ∠ABE =BE AB ，∴AE 5=0.60，BE 5=0.80，∴AE =3m ，BE =4m ，∴CE =6m ，在Rt △ACE 中，由勾股定理AC =32+62=35≈6.7m ．(2)过点A 作AF ⊥CD ，垂足为F ，∴FD =AO =1m ，∴CF =5m ，在Rt △ACF 中，由勾股定理AF =45-25=25m ．∴OD =25≈4.5m ．模拟检测1.(2022•鹿城区二模)消防云梯如图所示，AB ⊥BC 于B ，当C 点刚好在A 点的正上方时，DF 的长是()A.a cosθ+b sinθB.a cosθ+b tanθC.acosθ+b sinθ D.acosθ+bsinθ【分析】连接AC，根据题意可得AC=EF，∠CAB+θ=90°，再利用垂直定义可得∠ABC=90°，从而可得∠BAC+∠BCA=90°，进而可得∠BCA=θ，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出EF的长，最后在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：连接AC，则AC=EF，∠CAB+θ=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∴∠BCA=θ，在Rt△ABC中，BC=a，∴AC=BCcosθ=a cosθ，∴EF=AC=acosθ，在Rt△CDE中，∠DCE=θ，CD=b，∴DE=CD•sinθ=b sinθ，∴DF=DE+EF=b sinθ+acosθ，故选：C．2.(2023•桥西区模拟)如图是某型号机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°，机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)∠ABC的补角度数是37°；(2)点A到直线BC的距离约是 3.0m；(3)OD的长约是 4.5m．(结果精确到0.1m)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24)【分析】(1)根据补角的定义即可求出答案．(2)过点A作AE⊥BC于点E，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．(3)连接AC，过点A作AF⊥CD于F，所以四边形AFDO是矩形，然后根据勾股定理可分别求出BE、AE、AC、AF的长度，从而可求出OD的长度．【解答】解：(1)∵∠ABC=143°，∴∠ABC的补角是：180°-143°=37°，(2)过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∴sin∠ABE=AEAB，(3)连接AC，过点A作AF⊥CD于F，∴四边形AFDO是矩形，∴AF=DO，DF=OA=1(m)，∴CF=5(m)，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：BE=52-32=4(m)，∴CE=CB+BE=6(m)，在Rt△CEA中，由勾股定理可知：AC2=32+62=45，在Rt△ACF中，由勾股定理可知：AF2=45-25=20，∴AF=25≈4.5(m)，即OD≈4.5(m)故答案为：(1)37．(2)3.0(3)4.5．3.(2023•金华模拟)如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知BD=3a米，QD=3a米，则tan∠AQB=　17　；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.5a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离　3710a　米时，刚好能成功防守．【分析】如图，过点B 作BH ⊥AQ 于H ，计算BH 和HQ 的长，根据三角函数定理可得tan ∠AQB =17；延长MN 交AD 于E ，取MN 的中点O ，过点N 作JK ⊥AD 于K ，过点O 作OJ ⊥JK 于J ，根据三角函数定义列比例式计算JN 和NK 的长，可得结论．【解答】解：如图，过点B 作BH ⊥AQ 于H ，Rt △ADQ 中，AD =a +3a =4a ，DQ =3a ，∴AQ =5a ，Rt △ABH 中，sin A =BH AB =DQ AQ ，∴BH a =3a 5a =35，∴BH =35a ，∴AH =45a ，∴HQ =5a -45a =215a ，∴tan ∠AQB =BH QH =35a 215a =17；延长MN 交AD 于E ，取MN 的中点O ，过点N 作JK ⊥AD 于K ，过点O 作OJ ⊥JK 于J ，Rt △MNQ 中，MN =0.5a =12a ，∴tan ∠MQN =MN MQ=17，∴MQ =72a ，∴NQ =12a 2+72a 2=522a ，∵BQ =32a ，∴BN =BQ -NQ =32a -522a =22a ，∵∠DBQ =45°，∴BK =NK =72a ，∵BH ∥EM ，∴∠ABH =∠AEM ，∵∠AHB =∠EKN =90°，∴∠A =∠ENK =∠ONJ ，∵cos ∠ONJ =NJ ON=cos A =45，∵O 是MN 的中点，∴ON =14a ，∴NJ =15a ，∴JK =JN +NK =15a +72a =3710a ，即MN 中点与AB 距离3710a 米时，刚好能成功防守．故答案为：17，3710a ．4.(2023•金华模拟)如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH ，由支撑杆CD 垂直固定于底座AB 上，且可以绕点D 旋转．压杆MN 与伸缩片PG 连接，点M 在HG 上，MN 可绕点M 旋转，PG ⊥BC ，DF =8厘米，不使用时，EF ∥AB ，G 是PF 中点，tan ∠PMG =34，且点D 在NM 的延长线上，则GF 的长为3厘米；使用时如图3，按压MN 使得MN ∥AB ，此时点F 落在AB 上，若CD =2厘米，则压杆MN 到底座AB 的距离为　(1+3415)　厘米．【分析】延长NM ，则NM 过点D ，根据tan ∠PMG =34和DF =8可得GF 的长；过点P 作PK ⊥AB 于K ，可得∠PFK =∠CDF =∠MPF ，利用勾股定理可得CF 的长，最后利用三角函数可得答案．【解答】解：如图2，延长NM ，则NM 过点D ，∵四边形EFGH 是矩形，HG ∥EF ，∴∠PMG =∠PDF ，∴tan ∠PDF =tan ∠PMG =PF DF=34，即PF 8=34，PF =6，∵PF =6，∴GF =12PF =3(厘米)．如图3，过点P 作PK ⊥AB 于K ，∵MN ∥AB ，∴PK ⊥MN ，∠MPF =∠PFK ，∵∠DFP =∠DCF =90°，∴∠CDF +∠DFC =∠PFK +∠DFC =90°，∴∠PFK =∠CDF =∠MPF ，由图2可得，PG =3，tan ∠PMG =34，∴MG =4，Rt △DCF 中，CF =82-22=215，∴tan ∠CDF =tan ∠MPF =2152=4PG ，∴PG =415，PF =415+3，∵sin ∠CDF =sin ∠PFK =2158=PK 415+3，∴PK =(1+3415)厘米．故答案为：3；(1+3415)．5.(2022•婺城区模拟)长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l 是水平桌面，测得壶身AD =BC =3AE =24cm ，AB =30cm ，CD =22cm ，且CD ∥AB ．壶嘴EF =80cm ，∠FED =70°．(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.6；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)(1)FE 与水平桌面l 的夹角为30°．(2)如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A 转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF ∥l ，此时点F 下落的高度为40.3cm ．(结果保留一位小数)．【分析】(1)延长FE 交l 于点O ，分别过点D 作DM ⊥l ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥l ，垂足为N ，可得四边形DMNC 是平行四边形，从而可得MN =CD ，进而可求出AM 的长度，然后在Rt △ADM 中，利用锐角三角函数的定义求出∠DAO ，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；(2)利用图②，过点F 作FH ⊥l ，垂足为H ，过点E 作EG ⊥l ，垂足为G ，过点E 作EP ⊥FH ，垂足为P，可得四边形PHGE是矩形，从而可得EP∥GH，PH=EG，进而可得∠FEP=∠AOE=30°，然后在Rt△FPE中求出FP，再在Rt△AEG中，求出EG，即可求出FH，利用图③，过点E作EQ⊥l，垂足为Q，在Rt△EQA中，求出EQ，最后利用FH减去EQ进行计算即可解答．【解答】解：(1)延长FE交l于点O，分别过点D作DM⊥l，垂足为M，过点C作CN⊥l，垂足为N，∴∠AEO=∠FED=70°，∠AMD=∠BNC=90°，DM∥CN，∵CD∥AB，∴四边形DMNC是平行四边形，∴DM=CN，MN=DC=22cm，∵AD=BC，∴Rt△ADM≌Rt△BCN(HL)，∴AM=BN=AB-MN2=30-222=4cm，在Rt△ADM中，cos∠DAM=AMAD=424≈0.17，∴∠DAM=80°，∴∠AOE=180°-∠AEO-∠DAM=30°，∴FE与水平桌面l的夹角为30°；故答案为：30°；(2)过点F作FH⊥l，垂足为H，过点E作EG⊥l，垂足为G，过点E作EP⊥FH，垂足为P，∴∠EGH=∠FHG=∠EPH=90，∴四边形PHGE是矩形，∴EP∥GH，PH=EG∴∠FEP=∠AOE=30°，在Rt△FPE中，EF=80cm，∴FP=12EF=40cm，∵AD=3AE，∴AE=8cm，在Rt△AEG中，∠DAO=80°，∴EG=AE sin80°≈8×0.98=7.84cm，∴PH=EG=7.84(cm)，∴FH=FP+PH=47.84(cm)，过点E作EQ⊥l，垂足为Q，∵EF∥l，∴∠FED=∠QAE=70°，在Rt△EQA中，AE=8cm，∴EQ=AE sin70°≈8×0.94=7.52cm，∴FH-EQ=47.84-7.52=40.32≈40.3(cm)，∴点F下落的高度约为40.3cm．故答案为：40.3．6.(2023•鄞州区校级一模)某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．(1)如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；(2)在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．(结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)【分析】(1)过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，从而可求出CG的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．(2)过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，从而可知四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，利用锐角三角函数的定义可求出CN，CH，CM，MH的长度即可求出答案．【解答】解：(1)过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，∴四边形GDFA是矩形，∴GA=DF=100(cm)，∵CA=CB+BA，∴CA=50+70=120(cm)，∴CG=CA-DF=120-100=20(cm)，∵∠BCD=60°，∴∠CDG=30°，∴CD=2CG=40(cm)，答：CD的长为40cm．(2)过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，∴四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，由题意可知：∠BCN=20°，∠BCD=60°，∴∠MCD=60°-20°=40°，在Rt△BCN中，cos∠BCN=cos20°=CNBC，∴CN=BC cos20°≈50×0.94≈47(cm)，∴CH=CN+NH=CN+AB=47+70=117(cm)，在Rt△CDM中，∴cos∠MCD=cos40°=CMCD，∴CM=CD cos40°≈40×0.77≈31(cm)，∴MH=CH-CM=117-31=86(cm)，答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为86cm．7.(2023•泽州县一模)便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案．项目主题桥梁模型的承重试验活动目标经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题驱动问题当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度方案设计工具桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等实物图展示示意图状态一(空水桶)状态二(水桶内加一定量的水)说明：C为AB的中点⋯⋯请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是A．A.三角形具有稳定性B.两点确定一条直线C.两点之间线段最短(2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD =30cm ，∠C 'AC =12°，∠C 'AD =45°，请计算此时水桶下降的高度CC '．(参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2)【分析】(1)根据三角形的稳定性解答即可；(2)设AC '=C 'D =xcm ，在Rt △ACC '中，tan ∠C 'AC =CC AC，代入数据可解得答案．【解答】解：(1)选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：A ；(2)如图：根据题意知，∠AC 'D =90°，C '是AB 的中点，∵∠C 'AD =45°，∴∠C 'AD =∠C 'DA =45°，∴AC '=C 'D ，设AC '=C 'D =xcm ，则CC '=C 'D -CD =(x -30)cm ，在Rt △ACC '中，tan ∠C 'AC =CC AC，∴tan12°=x -30x ，即0.2=x -30x，解得x =37.5，∴x -30=37.5-30=7.5，∴此时水桶下降的高度CC '为7.5cm ．8.(2023•沛县模拟)为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF 是水平地面，其中EF 是测温区域，测温仪安装在校门AB 上的点A 处，已知∠DAG =60°，∠DAC =30°．(1)∠ACG =60度，∠ADG =30度．(2)学生DF 身高1.5米，当摄像头安装高度BA =3.5米时，求出图中BF 的长度；(结果保留根号)(3)为了达到良好的检测效果，测温区EF 的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA 是多少？(结果保留1位小数，参考数据：3≈1.73)【分析】(1)根据题意得出∠CAG =∠DAG -∠DAC =30°，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；(2)根据题意，先求得AG =2，解Rt △ADG 即可求解；(3)根据题意得出AC=CD=3，解Rt△AGC，得出AG=233，然后根据AB=AG+GB，即可求解．【解答】解：(1)依题意，DG⊥AG，∵∠DAG=60°，∠DAC=30°．∴∠CAG=∠DAG-∠DAC=30°，∴∠ACG=90°-∠CAG=60°；∠ADG=90°-∠DAG=30°，故答案为：60；30；(2)∵AB=3.5，DF=1.5，∴AG=AB-BG=3.5-1.5=2，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴GD=AG∠ADGtan =233=23(米)，∵BF=GD，∴图中BF的长度为23米；(3)∵∠DAC=30°，∠ADG=30°，∴AC=CD=3，∴AG=AC⋅∠CAGcos=3×32=323(米)，∴BA=AG+GB=332+1.5≈4.1(米)，∴设备的最低安装高度BA是4.1米．9.(2023春•金水区校级月考)某校安装了红外线体温检测仪(如图1)，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节(如图2)，探测最大角(∠OBC)为58°，探测最小角(∠OAC)为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．(结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)【分析】首先根据题意表示出AC，然后利用三角函数表示出BC和OC，然后列方程求解即可．【解答】解：根据题意可知，AC=AB+BC=2.53+BC(米)．在Rt △OBC 中，BC =OC ∠OBCtan ≈OC 1.60，∴OC =1.60BC ．在Rt △OAC 中，OC =AC •tan ∠OAC =(2.53+BC )×0.5，∴1.60BC =(2.53+BC )×0.5，∴BC =1.15(米)，∴OC =1.84(米)．答：该设备的安装高度OC 约为1.84米．10.(2023•南昌模拟)图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图(MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ 是伸展臂，EM ∥QN )．已知基座高度MN 为1m ，主臂MP 长为5m ，测得主臂伸展角．∠PME =37°．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43)(1)求点P 到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点Q 到点N 的距离为7m ，求∠QPM 的度数．【分析】(1)过点P 作PG ⊥QN ，垂足为G ，延长ME 交PG 于点F ，根据题意可得：MF ⊥PG ，MF =GN ，FG =MN =1m ，然后在Rt △PFM 中，利用锐角三角函数的定义求出PF 的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答；(2)由题意得：QN =7m ，在Rt △△PFM 中，利用锐角三角函数的定义求出FM 的长，再利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠MPF =53°，然后利用线段的和差关系求出QG =3m ，从而在Rt △PQG 中，利用锐角三角函数的定义可求出tan ∠QPG 的值，进而求出∠QPG 的度数，最后利用角的和差关系，进行计算即可解答．【解答】解：(1)过点P 作PG ⊥QN ，垂足为G ，延长ME 交PG 于点F ，由题意得：MF ⊥PG ，MF =GN ，FG =MN =1m ，在Rt △PFM 中，∠PMF =37°，PM =5m ，∴PF =PM •sin37°≈5×35=3(m )，∴PG =PF +FG =3+1=4(m )，∴点P 到地面的高度约为4m ；(2)由题意得：QN =7m ，在Rt △△PFM 中，∠PMF =37°，PF =3m ，∴∠MPF =90°-∠PMF =53°，FM =PF 37otan ≈334=4(m )，。