重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

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复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末试题(A )答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题(A )一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是(Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ);2.)1(i Ln +-的主值是(i 432ln 21π+ );3. 211)(z z f +=,=)0()5(f( 0 );4.0=z 是 4sin z z z -的(一级)极点;5. z z f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1); 二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( B );(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=⎰Cz z f .(A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,则级数在( C )(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z+=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( B )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析, 则0)(=⎰Cdz z f(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( D ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞ (B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)(1)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a(2).计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ; (3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,请指出它的级. 四、(本题14分)将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<-<z ,(2)10<<z ,(3)∞<<z 1五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、(本题6分)求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

【复变函数与积分变换期末复习题】含大题答案

复习题2一.单项选择题1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是()(A)),(y x u 在),(00y x 处连续(B)),(y x v 在),(00y x 处连续(C)),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D)),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续2.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为()(A)3-(B)2-(C)1-(D)13.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件4.下列命题中,正确的是()(A)设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x (B)若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C)若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析(D)若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析5.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz z zc c c 212sin ()(A)iπ2-(B)0(C)iπ2(D)iπ46.设c 为正向圆周2=z ,则=-⎰dz z zc2)1(cos ()(A)1sin -(B)1sin (C)1sin 2i π-(D)1sin 2i π7.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i6561+8.复变函数1)(-=z e z f 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)仅在零点不解析(D)处处解析9.使得22z z =成立的复数z 是()(A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数(D)实数10.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是()(A)i +-43(B)i +43(C)i -43(D)i --4311.ii 的主值为()(A)0(B)1(C)2πe(D)2eπ-12.ze 在复平面上()(A)无可导点(B)有可导点,但不解析(C)有可导点,且在可导点集上解析(D)处处解析13.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是()(A))(z f 在复平面上处处解析(B))(z f 以π2为周期(C)2)(iziz e e z f --=(D))(z f 是无界的14.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+⎰cdz iy x )(2()(A)i 6561-(B)i 6561+-(C)i 6561--(D)i 6561+15.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为()(A)2iπ(B)2i π-(C)0(D)(A)(B)(C)都有可能16.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=⎰+=dz zzc c c 212sin ()(B)i π2-(B)0(C)iπ2(D)iπ417.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()0sin F f t t ω=⎡⎤⎣⎦().A .()()00j2F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦B.()()00j2F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦C.()()0012F F ωωωω+--⎡⎤⎣⎦D.()()0012F F ωωωω++-⎡⎤⎣⎦18.设()()F f t F ω=⎡⎤⎣⎦则()()1F t f t -=⎡⎤⎣⎦().A .()()F F ωω'- B.()()F F ωω'--C.()()j F F ωω'- D.()()j F F ωω'--19.积分=-⎰=231091z dz z z ()(A)0(B)i π2(C)10(D)5i π20.积分21sin z z zdz ==⎰()(A)0(B)61-(C)3i π-(D)iπ-21.复数ii+=1z 位于复平面第()象限.A .一B .二C .三D .四22.下列等式成立的是().A .Lnz Lnz 77=;B .)1arg()1(r =g A ;C .112=i;D .)z z Re(z z =。

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1. z0 为函数 f z 的 m 阶零点;
2. z0 为函数 f z 的 m 阶极点;

Res
z
f f
z z
,
z0

ez2
六.(15 分)写出函数
的幂级数展开式至含项为止,并指出其收敛范围。
cos z
七.(10 分)求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题(15 分,每空 3 分)
1. ln 2 i 。2. i 。3. 2 z 3 3 。4. 半平面 Re w 1 R。5.0。
4
2
三.(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件,先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷(B)
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式:闭卷
专业年级:电子科学与技术 总分 100 分,占总评成绩 70 %
注:此页不作答题纸,请将答案写在答题纸上
三、单项选择题(15 分,每小题 3 分)
1.A。2. B 。3. A。4. C。5.C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz

复变函数与积分变换期末考试试题

复变函数与积分变换期末考试试题

复变函数与积分变换期末考试试题一、填空题(满分30分)(1)方程的全部解为。

(2)平面上的直线(为实常数)在映射下的原像为。

(3)设在右半平面是解析函数,则常数。

(4)设是从点到原点的有向直线段,则积分。

(5)设,其中为的正向,则,则= 。

(6)设的泰勒级数为,则其收敛半径为。

(7)函数在处的Taylor级数为。

(8)设,则Res。

(9)设为单位阶跃函数,则。

(10)设,则= 。

二、(本题满分10分)已知调和函数,试求其共轭调和函数,使得为解析函数。

三、(本题满分12分)将函数分别在下列圆环域:(1);(2)内展开成罗朗级数。

四、(本题满分18分)计算下列积分(1),其中为的正向;(2),其中;(3),其中为的正向。

五、(本题满分10分)求将上半平面映射成圆,且满足的分式线性映射。

六、(本题满分10分)(1)计算;(2)若,为非零常数,证明:。

七、(本题满分10分)用积分变换求方程满足初始条件的解。

参考答案一、(1);(2);(3);(4);(5)当时,;当时,;(6)1;(7);(8);(9);(10).二、,由方程,.所以,又,所以,三、(1)在内,(2)在内四、是在内部的一级极点,是在内部的二级极点.ResRes原积分(2)是在内部的一级极点.Res(3)在上半平面内有一级极点,故有Res=,因此。

五、由条件知所求映射将上半平面内的点映射成圆的圆心,所以因为,所以,得.所求映射为.六、(1)已知由位移性质,由象函数的积分性质,由积分性质,(2)。

当时,当时,所以结论成立。

七、令.方程两边取Laplace变换,即解得。

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换五套试题及答案

复变函数与积分变换试题(一)一、填空(3分×10)1.的模 ,幅角 。

)31ln(i --2.-8i 的三个单根分别为: ,,。

3.Ln z 在 的区域内连续。

4.的解极域为:。

z z f =)(5.的导数。

xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6.。

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7.指数函数的映照特点是:。

8.幂函数的映照特点是:。

9.若=F [f (t )],则= F 。

)(ωF )(t f )][(1ω-f 10.若f (t )满足拉氏积分存在条件,则L [f (t )]=。

二、(10分)已知,求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数,且f (0)=0。

三、(10分)应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分(5分×2)1.⎰=-2||)1(z z z dz2. C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

⎰-c i z z3)(cos 五、(10分)求函数在以下各圆环内的罗朗展式。

)(1)(i z z z f -=1.1||0<-<i z 2.+∞<-<||1i z 六、证明以下命题:(5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

)(0t t -δo iwt e -(2))(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、(10分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1., 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6.07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解:∵∴(5分)yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0(3分)∴(2分)222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解:原式=(2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z (2分)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分)z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分)(∴原式=(2分) =23126⨯⨯i πi 63π-四、1.解:原式(3分)z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0(2分)]11[2+-=i π2.解:原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=)(cos i i cos π-=1ich π-五、1.解:ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分)(分)(分)((2分)11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2.解:⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分)(分)((1分)(2分)nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1.解:∵(3分)∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰(2)解:∵(2分)1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴(2分))(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解:∵(3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S (2)-(1):∴(3分)⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解:①定义;②C-R 充要条件Th ;③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的()条件。

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(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A)1.1 -i⼀.填空题(每⼩题3 分,共计15 分)的幅⾓是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1);3.f (z) =1 +z 2,z - sin z f (5)(0) =();f (z) =1,4.z = 0 是z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();⼆.选择题(每⼩题3 分,共计15 分)1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;(C) f '(z) =ux+ivy ;(D) f '(z) =u y +iv x.2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 .3;(B)3(z -1);(C)3(z -1);(D)3.n=1(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点⼀定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点⼀定解析;得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ?C f (z )dz = 0(C )如果 ?C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析;(D )函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是().(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共计 40 分)(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .z(2).计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;得分zd z (3)计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数;(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞五.(本题 10 分)⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、(本题 6 分)求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换,并由此证明:costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准⼀.填空题(每⼩题 3 分,共计 15 分)得分3 的幅⾓是( 2k Ln (-1 + i ) ee 1. 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.的主值是( 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 , f(5)(0) = ( 0),4. z = 0 是1 z4的(⼀级)极点;5. f (z ) = z, R e s [ f (z ),∞] =(-1);⼆.选择题(每题 3 分,共 15 分)1----5B DC B D三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共 40 分)(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, , a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。

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«复变函数与积分变换»期末试题(A)一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i-的幅角是();2。

)1(iLn+-的主值是( );3. 211)(zzf+=,=)0()5(f();4.0=z是4sinzzz-的( )极点;5.zzf1)(=,=∞]),([Re zfs( );二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为();(A) yxiuuzf+=')(; (B)yxiuuzf-=')(;(C)yxivuzf+=')(;(D)xyivuzf+=')(.2.C是正向圆周3=z,如果函数=)(zf(),则0d)(=⎰C zzf.(A)23-z;(B)2)1(3--zz; (C)2)2()1(3--zz;(D)2)2(3-z.3.如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛,则级数在(A)2-=z点条件收敛; (B)iz2=点绝对收敛;(C)iz+=1点绝对收敛; (D)iz21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数)(zf在z点可导,则)(zf在0z点一定解析;(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析,则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf(D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A ) 的可去奇点;为z1sin ∞(B ) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)(1)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a(2).计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ;(3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题14分)将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<-<z ,(2)10<<z ,(3)∞<<z 1五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、(本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换,并由此证明:ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A )答案及评分标准一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ); 2.)1(i Ln +-的主值是( i 432ln 21π+ ); 3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ), 4.0=z 是 4sin zzz -的( 一级 )极点; 5.zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为(B ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=⎰Cz z f . (A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(C )(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( B )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰Cdz z f(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( D ).的可去奇点;为、z A 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、(本题6分)求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

(2).计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。

(3).⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解:设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在:3<z 内,由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----(5分) ]1)1([Re 22z z f s i π= ----(8分)234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------(10分)(4)函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级. 解:∞±±±==-+-=,的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π(1)的三级零点,)为(032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,(2)的可去奇点,是的二级极点,为,)()(,z f z z f z z 210-=±== (3)的一级极点,为)(3z f z =(4)的三级极点;,为)(4,3,2z f z±-=(5)的非孤立奇点。

复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

复变函数与积分变换期末考试试卷(A 卷)一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列复数中,位于第四象限的复数是( )A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2.下列等式中,不成立的等式是( ) A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=-.rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3.不等式 ||3z > 所表示的区域为( ) A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4.积分||322z dz z =-⎰Ñ的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ).z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .Re()sin D z z +6.在复平面上,下列命题中,错误..的是( )A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7.在下列复数中,使得ze =成立的是( ).ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.ln 42D z i π=+8.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dz z ⎰Ñ等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π 9.设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰Ñ等于( )A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11.已知31z i =+,则下列正确的是( )12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12.下列关于幂级数的叙述,不正确 的是( )A.在收敛圆内,幂级数绝对收敛B.在收敛圆外,幂级数发散C.在收敛圆周上,可能收敛,也可能发散D.在收敛圆周上,条件收敛13.0=z 是函数sin ze z z的( )A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14.cos z zz π-在点 z π= 处的留数为( ) A. π-.B πC.1D. -115.关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是( )A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到2+3i 的直线段,计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题(共4小题,每题8分,共32分)25.已知22(,)2u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)2f i =。

复变函数与积分变换期末试题附有答案

复变函数与积分变换期末试题附有答案

复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -2.)1(i Ln +-的主值是();3. 211)(z z f +=,=)0()5(f( 0 ),4.0=z 是4sin z z z -的( 一级 )极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰Cz z f .(A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ;3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z+=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本

复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-高起本

《复变函数与积分变换》复习题一、判断题1、cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )2、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )3、若函数()f z 在0z 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )4、若()f z 在区域D 内解析,且'()0f z ,则()f z C (常数).( )5、若()f z 在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C ()0Cf z dz .( )6、若()f z 在0z 的某个邻域内可导,则函数()f z 在0z 解析. ( )7、若{}n z 收敛,则{Re }n z 与{Im }n z 都收敛. ( )8、若()f z 在区域D 内解析,且'()0f z ,则()f z C (常数).( )9、若0z 是()f z 的m 阶零点,则0z 是1/()f z 的m 阶极点. ( )10、若0lim ()zz f z 存在且有限,则0z 是函数()f z 的可去奇点.( )二、选择题 1.arg13i ( )A.-3π B.3πC.32πD.3n 2π+2 2.2z 在0z 复平面上( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z xyi ,则下列函数为解析函数的是( )A.22()2f z x y xyB.()f z x iyC. ()2f z x i yD.()2f z xiy7.0z 是3sin zz 的极点,其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.410.整数0k 则Res[cot ,]z =( )A.1kB.0C.1kD.k11、设复数1cossin33z i ,则arg z ( )A.-3B.6C.3D.2312、2w z 将z 平面上的实轴映射为w 平面的( )A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴13、下列说法正确的是( )。

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一.填空题(每小题
1. 的幅角是( );2. 的主值是( );3. , ( );
4. 是 的( )极点;5. , ( );
二.选择题(每小题
1.解析函数 的导函数为( );
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2.C是正向圆周 ,如果函数 ( ),则 .
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程
因为函数 在复平面内只有两个奇点 ,分别以 为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于c内
(3).计算 ,其中C是正向圆周 ;
解:设 在有限复平面内所有奇点均在: 内,由留数定理
-----(5分)
(4)函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.
-----(5分)
----(8分)
--------(10分)
(4)函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.
解 : (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
备注:给出全部奇点给5分 ,其他酌情给分。
四、(本题14分)将函数 在以下区域内展开成罗朗级数;
(1) ,(2) ,(3)
解:(1)当
四、(本题12分)将函数 在以下区域内展开成罗朗级数;
(1) ,(2) ,(3)
六、(本题8分)求 的傅立叶变换,并由此证明:
1
二.选择题(每小题
1-------5 A A C C C
(1)求 使 是解析函数,
解:因为 解析,由C-R条件

给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
(2). .其中C是正向圆周 ;

-------6分
(2)当
=
-------10分
(3)当
------14分
每步可以酌情给分。
五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题:
解:对 的Laplace变换记做 ,依据Laplace变换性质有
…(5分)
整理得
…(7分)
…(10分)
六、(6分)求 的傅立叶变换,并由此证明:
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
四、(本题14分)将函数 在以下区域内展开成罗朗级数;
(1) ,(2) ,(3)
(1) ,(2) ,(3)
解:(1)当

--------6分
(2)当
=
-----10分
(3)当
--------14分
解:对 的Laplace变换记做 ,依据Laplace变换性质有
…(5分)
(2).计算 其中C是正向圆周:
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程
因为函数 在复平面内只有两个奇点 ,分别以 为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于c内
无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。
(3).
解:设 在有限复平面内所有奇点均在: 内,由留数定理
3.如果级数 在 点收敛,则级数在
(A) 点条件收敛 ; (B) 点绝对收敛;
(C) 点绝对收敛; (D) 点一定发散.
4.下列结论正确的是( )
(A)如果函数 Βιβλιοθήκη 点可导,则 在 点一定解析;(B)如果 在C所围成的区域内解析,则
(C)如果 ,则函数 在C所围成的区域内一定解析;
(D)函数 在区域内解析的充分必要条件是 、 在该区域内均为调和函数.
5.下列结论不正确的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
(1)设 是解析函数,求
(2).计算 其中C是正向圆周: ;
(3)计算
(4)函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.
四、(本题14分)将函数 在以下区域内展开成罗朗级数;
(1) ,(2) ,(3)
六、(本题6分)求 的傅立叶变换,并由此证明:
5.下列结论不正确的是( ).
(A)、 是复平面上的多值函数; 是无界函数;
是复平面上的有界函数;(D)、 是周期函数.
(1)设 是解析函数,且 ,求 .
(2).计算 .其中C是正向圆周 ;
(3).计算 ,其中C是正向圆周 ;
(4).利用留数计算 .其中C是正向圆周 ;
(5)函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.
整理得
…(7分)
…(10分)
六、(本题6分)求 的傅立叶变换,并由此证明:
解:
-------2分
----- 4分
----------- 5分
= --------------6分
解: --------3分
------4分
- -------5分
, -------6分
«
一.
二.
1.解析函数 的导函数为( );
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2.C是正向圆周 ,如果函数 ( ),则 .
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
3.如果级数 在 点收敛,则级数在
(A) 点条件收敛 ; (B) 点绝对收敛;
«
一.填空题(每小题3分,共计15分)
1. 的幅角是( );2. 的主值是( );3. , ( 0 ),4. 是 的(一级)极点;5. , (-1 );
二.选择题(每题
1----5 B D C B D
三.按要求完成下列各题(每小题
(1).设 是解析函数,求
解:因为 解析,由C-R条件

给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。
(C) 点绝对收敛; (D) 点一定发散.
4.下列结论正确的是( )
(A)如果函数 在 点可导,则 在 点一定解析;
(B)如果 ,其中C复平面内正向封闭曲线,则 在C所围成的区域内一定解析;
(C)函数 在 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为 的幂级数,而且展开式是唯一的;
(D)函数 在区域内解析的充分必要条件是 、 在该区域内均为调和函数.
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