上海市2020高考数学二模试卷及答案
上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析
某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷
高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A. B. C. D.3.将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A. t=，s的最小值为B. t=，s的最小值为C. t=，s的最小值为D. t=，s的最小值为4.已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A. 4-B. 4-C.D. +二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={x||x-1|＞3}，U=R，则∁U A=______．6.已知复数z=（i是虚数单位），则Imz=______．7.计算=______．8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k=______．9.502019+1被7除后的余数为______．10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______11.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，则tan2β=______．12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．13.如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．14.若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则实数m的取值范围是______．15.已知=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），且||=3，||=4，=12，则=______16.已知函数f（x）=，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1-FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知函数f（x）=ax2-2ax+2（a＞0）在区间[-1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19.如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB=α，将y表示成α的函数；（i）设OA=m，OB=m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20.已知动直线l与椭圆C：=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ=，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1=S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=．∴O1为△ABC的中心．∴O1A=．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．故选：B．先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离．本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．2.【答案】D【解析】【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=AB sin60°=，BE=AB cos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1-V2=，故选：D．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：将x=代入得：t=sin=，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=±+2kπ，k∈Z，则s=±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：C．将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．4.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=-1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=-1，即sin（α+θ）=-，∵存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立，∴|-|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4-，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，求解x cosθ+y sinθ+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．5.【答案】[-2，4]【解析】解：A={x||x-1|＞3}={x|x-1＞3或x-1＜-3}={x|x＞4或x＜-2}，则∁U A={x|-2≤x≤4}，故答案为：[-2，4]．求出A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．6.【答案】-1【解析】解：∵z==，∴Imz=-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．利用极限的运算法则即可得出．本题考查了极限的运算法则，属于基础题．8.【答案】-14【解析】解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9.【答案】2【解析】解：502019+1=（1+7）2019+1=1++•72+……++1=7（+•7+……+）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．利用二项式定理展开即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】4π【解析】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．故答案为：4π．观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．11.【答案】【解析】解：由tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，得tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]===．故答案为：-．由已知结合tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．12.【答案】【解析】解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P==．故答案为：．基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，又由的展开式中中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．则展开式中的所有项系数和是（）6=；故答案为．先用赋值法，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，进而根据题意，其展开式中中只有第四项的二项式系数最大，可得n的值为6，代入（）n中，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式所有项系数和的一般方法是令x=1，再计算二项式的值．14.【答案】（-∞，-1）∪（-1，+∞）【解析】解：关于x，y的二元一次方程组=，即二元一次方程组，若直线mx+y-（m+1）=0与直线x+my-2m=0平行，则，解得m=-1．∴若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则m≠-1，即m∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）．故答案为：（-∞，-1）∪（-1，+∞）．先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后求出两直线平行的m的范围，取补集得答案．本题考查了二元一次方程组的解的个数，考查矩阵的乘法运算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由||=3，||=4，得=||×||×cosθ=3×4×cosθ=12，∴cosθ=1；又θ∈[0，π]，∴θ=0；∴=λ，且λ＞0；则||=λ||，∴λ==，∴===λ=，∴=λ=．故答案为：．由平面向量的数量积求得、的夹角θ=0，得出=λ，计算λ的值，即可求得====λ．本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．16.【答案】[0，3]∪[4，15]【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，注意分析函数f（x）的图象，属于中档题．根据题意，由函数f（x）的解析式作出f（x）的函数图象，得出f（x）的单调性，对x 的符号进行讨论，根据不等式只有1整数解得出a的范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，其图象如图：分2种情况讨论：①当x＞0时，f（x）≤f（1）=4，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＞0有唯一的整数解，又f（2）=0，则此时有0≤a＜4．②当x＜0时，则f（x）≥f（0）=0，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＜0有唯一的整数解，又由f（-1）=3，f（-2）=15，则此时有3＜a≤15，因为①②不能同时满足，否则不符合题意，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．17.【答案】解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1-FB1E的体积====．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），=（0，2，4），=（-4，0，4），=（-4，-2，4），设平面B1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ===，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．【解析】（1）三棱锥A1-FB1E的体积==，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面B1EF所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）f′（x）=2ax-2a=2a（x-1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[-1，1）递减，在（1，4]递增，∵1-（-1）＜4-1，故f（x）max=f（4）=16a-8a+2=8a+2=10，解得：a=1，故f（x）=x2-2x+2；（2）由（1）g（x）=x+-2，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+-2-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（-∞，1]．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的值，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．19.【答案】解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，且即AH=10cotα即∴==（ii）由等面积原理得，即（2）选择方案一：当时，此时，而所以．选择方案二：因为，由余弦定理得=∴即（当且仅当时取等号）【解析】（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可（ii）由等面积原理得，可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值选择方案二：由余弦定理得=，结合基本不等式可求AB的最小值本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题20.【答案】解：（1）设直线方程为x=my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d==，解得m=±1时，此时直线方程为x±y-1=0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=-y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+y12=1 ①又∵S△OPQ=，∴|x1||y1|=②由①②得|x1|=1，|y1|=．此时x12+x22=2，y12+y22=1；2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入+y2=1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，△=16k2m2-8（2k2+1）（m2-1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2=-，x1•x2=，∴|PQ|=•=，∵点O到直线l的距离为d=，∴S△OPQ=|PQ|•d=••=••|m|又S△OPQ=，即••|m|=整理得2k2+1=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2×=2，y12+y22=（1-x12）+（1-x22）=2-（x12+x22）=1；综上所述x12+x22=2，y12+y22=1．结论成立．（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=，证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1解得u2=x12=x22=1；v2=y12=y22=．因此u，x1，x2只能从±1中选取，v，y1，y2只能从±中选取，因此点D，E，G，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．【解析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出．（2）分情况讨论，根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22（3）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题．21.【答案】解：（1）令n=1时，a1a2=S1，由于：无穷数列{a n}的各项都不为零，所以：a2=1，由：a n•a n+1=S n，所以：a n+1•a n+2=S n+1，两式相减得：a n+2-a n=1，所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．则：．（2）由（1）知，数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等差数列．故：a n=，所以：．①当n为奇数时，，即：，即：对任意的正奇数n都恒成立，所以：，即：0＜a1＜2．②当n为偶数时，，即：，即：对任意的正偶数恒成立，所以：，即：，综合①②得：．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等得知：数列的各项都为正值．设b n=b m b k则：•取k=n+2，则：a k-a n=1，故：a m=a n（a n+2+t），．当n为偶数时，方程b n=b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n=b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【解析】（1）直接利用赋值法求出结果．（2）利用分类讨论法确定数列的首项的范围．（3）利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用．。
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知函数是R上的增函数，则对任意，，“”是“”的条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要2.已知，，，则z对应的点在A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上3.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，则点集所表示的区域的面积是A. B. C. D.4.已知，，，2，3，，为，，，中不同数字的种类，如1，2，，2，2，，求所有的256个的排列所得的的平均值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算矩阵的乘积：______．6.______．7.已知，则的值等于______ ．8.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为______．9.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第______项．10.如图，二面角的大小是，线段，，AB与l所成的角为，则AB与平面所成的角是______用反三角函数表示．11.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为______．12.已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数的反函数是______．13.已知是定义在R上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______．14.设0．是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则A中所有元素的和为______15.已知数列满足，是一个已知的正整数，若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则______16.若实数x，y满足，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．求该圆锥的表面积S和体积V；求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．18.已知函数的图象如图所示．求出函数的解析式；若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，求出函数的单调递增区间及对称中心．19.若函数满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立”，则称该函数为“依附函数”．分别判断函数，是否为“依附函数”，并说明理由；若函数的值域为，求证：“是依附函数”的充要条件是“”．20.如图，已知点P是x轴下方不含x轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A、B满足，，其中为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．若P点坐标为，时，求弦AB所在的直线方程；在的条件下，如果过A点的直线与抛物线C只有一个交点，过B点的直线与抛物线C也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点N在直线PM上；若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21.设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足．求数列、的通项公式；在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入n个数，，，，使，，，，成等差数列．求；是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数是R上的增函数，则对任意，，“”“”，故选：C．利用增函数的定义即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为，所以，则，复数z在复平面内所对应的点为，设，则，消去b得：．故z对应的点在抛物线上，故选：B．由已知求得，代入z化简得到，设，则，消去b即可得到点P的轨迹．本题点的轨迹方程，考查复数代数形式的乘除运算，考查曲线的参数方程，是中档题．3.答案：D解析：解：由两定点A，B满足，，则，则，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设，再设．由，得：．所以，解得由．所以等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．由两定点A，B满足，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．4.答案：D解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，是新定义的题型，关键是理解题目中“不同数字的种类”的定义，属于一般题．根据题意，依次分析、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，的排列共有种，其中当时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有种情况，若有2个数字相同，有种情况，此时有种情况，当时，即排列中有3个不同的数字，有种情况，当时，即排列有4个不同的数字，有种情况，则的平均值为．故选：D．5.答案：解析：解：，，．故答案为：．利用矩阵的乘积运算法则即可得出．本题考查了矩阵的乘积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查了二项式展开式定理的逆用问题，是基础题．【解答】解：．故答案为：．7.答案：解析：解：把两边平方得：，即，．故答案为：把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.答案：解析：解：双曲线的焦距为6，可得，解得．所以双曲线的虚轴长为：．故答案为：．通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．9.答案：5解析：解：可得，等比数列的通项公式，则数列单调递减，，，故当时，数列的项与1最接近．故答案为：5．由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．10.答案：解析：解：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为，又由已知，，连接CB，则为AB与平面所成的角．设，则，，．直线AB与平面所成的角的正弦值，即AB与平面所成的角是．故答案为：．过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得为二面角的平面角，连接CB，则为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．本题考查平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．11.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知可得结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：因为：所以由正弦定理得所以：，面积，而当且仅当时取等号，所以：，即面积的最大值为．故答案为．12.答案：解析：解：当时，，，由单调性可知，又，所求反函数是，．故答案为：，．结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．13.答案：解析：解：设，则，函数满足，函数关于直线对称，方程的所有实数根也是关于在数轴上对称分布，一旦在的左侧取到实数根，一定也能在的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，方程恰好有7个解，即方程恰好有7个解，有一个根为，左右各对应3个根，这7个解的和为，故答案为：．构造函数，则函数满足，即函数关于直线对称，所以方程的7个解有一个根为，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．本题主要考查了函数的对称性，是中档题．14.答案：143解析：解：由题意可知0．，又和b分别为10以内的非负整数，且，，当时，，3，9，此时n依次等于99，33，11；当时，n均不存在．综合知：11，，故A中所有元素的和为．故答案为：143．先由题意得到0．，再利用列举法求出满足题意的n即可．本题主要考查两位的循环纯小数的形式及用列举法求集合中的元素，属于基础题．15.答案：解析：解：若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则，，，解得．故答案为：．推导出，，，由此能求出p．本题考查常数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，故，由基本不等式可得，或，，由三角函数的有界性可得，故，即，此时，即，，故，解得，故，当时，xy的最小值，故答案为：配方可得，由基本不等式可得，或，进而可得，，由此可得xy的表达式，取可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出是解决问题的关键，属中档题．17.答案：解：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，且，解得：厘米，表面积平方厘米，圆锥的高厘米，体积立方厘米．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，最高点到底面的距离为等边三角形的高，厘米．故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米．解析：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．本题考查圆锥表面积与体积的求法，考查圆锥侧面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.答案：解：由函数的图象可得，解得：．又由得：，．而得：，，，，综上：．显然，由，，得的单调递增区间为，，由，得：对称中心是，．解析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，可得函数的解析式．由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数的单调递增区间及对称中心．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．19.答案：解：可取，则对任意，存在，使得成立，分说明：可取任意正数，则分是“依附函数”，分对于任意正数，取，则，分此时关于的方程无解，不是“依附函数”分证明：必要性：反证法假设，的值域为，存在定义域内的，使得，分对任意正数，关于的方程无解，即不是依附函数，矛盾，分充分性：假设，取，分则对定义域内的每一个值，由，可得，而的值域为，存在定义域内的，使得，即成立，是“依附函数”分解析：根据“依附函数”的定义直接判断即可；从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．本题以新定义为载体，旨在考查学生的逻辑推理能力，以及接受新知识运用新知识的能力，考查创新意识及应用意识，属于中档题．20.答案：解：设，，由，，可得，，由D点在C上可得：，化简得：，同理可得：，、B两点不同，不妨设，，弦AB所在的直线方程为．证明：由可知，，，设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，：，：，解方程组得：交点，而直线PM的方程为，得证．证明：设，，，由，得，代入，化简得：，同理可得：，显然，、是方程的两个不同的根，，，，即直线PM的方程为，，，，，线段PQ与QM的比为定值．解析：设，，求出D、E坐标，设，，然后判断求解弦AB所在的直线方程．设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，求出交点坐标，然后推出直线PM的方程即可．设，设出A、B坐标，由，求出，代入，说明、是方程的两个不同的根，利用韦达定理，求出P、Q坐标，然后求解线段比例即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是难题．21.答案：解：设数列的公差为d，，则由，得，，，，将代入上式，得，，，，．由，当时，，，得，，，又，，是首项为，公比为的等比数列，，在和之间插入n个数，，，，，，，，成等差数列，设公差为，，则，，，则，，得，．，当时，，当时，，当时，，下证，当时，有，即证，设，，则，在上单调递增，故时，，，时，m不是整数，所有的正整数对为及．解析：设数列的公差为d，，利用等差数列的通项公式求出，从而再由，当时，，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出．在和之间插入n个数，，，，推导出，从而，进而，由此利用错位相沽法能求出．，当时，，当时，，当时，，再证明当时，，由此能求出所有的正整数对．本题考查数列的通项公式、前n项和、整数对的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020年上海市虹口区高中数学高考二模试卷含详解
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.函数()3cos21f x x =+的最小值为.2.函数()f x =的定义域为.3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A =.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为.5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =.6.设复数cos sin i ziαα=+（i为虚数单位），若z =，则tan 2α=.7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为.8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若8,30b c A ︒===，则sin C =.9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅ 的最大值为.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为.12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
13.已知抛物线24y x =上的点M 到它焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A.2B.4C.5D.614.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm ）为（）A.32B.36C.40D.4815.已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）14141010()2,()2,(),4(),63333A B C D ⎛⎤⎡⎫⎡⎫⎛⎤⎪⎪⎥⎢⎢⎥⎝⎦⎣⎭⎣⎭⎝⎦16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,m n N ∈，若存在正整数,(1)i j i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为（）A.16B.12C.8D.6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设三个内角A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：奖金（单位：元）80005000400020001000800700600500员工（单位：人）12461282052根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最小值为（）A. B. C. D. π二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______7.函数的定义域为______8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中心，且其方向向量，则直线l的方程为______9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|=______10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为______11.设x、y均为非负实数，且满足，则6x+8y的最大值为______12.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______13.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，a lg a•b lg b•c lg c≥10，则a+b+c=______14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底面ABCD的距离为______15.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图，若四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，则AD与平面ABC所成角大小为______（结果用反三角函数值表示）16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P-AB-O的大小（结果用反三角函数值表示）．18.设函数．（1）当x∈R时，求函数f（x）的最小正周期；（2）设，求函数f（x）的值域及零点．19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积．20.设数列{a n}满足：a1=2，2a n+1=t•a n+1（其中t为非零实常数）．（1）设t=2，求证：数列{a n}是等差数列，并求出通项公式；（2）设t=3，记b n=|a n+1-a n|，求使得不等式成立的最小正整数k；（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有a n＜a n+1，当a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，求t、p、q的值．21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意一点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（-4，2），求△DAB的面积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；（3）设点M满足，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准方程为：．故选：D．设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵a2+b2=c2+ab，∴cos C==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成立的必要非充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的大小，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.答案：C解析：解：将员工的奖金的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.答案：B解析：解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，故选：B．由三角函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三角函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，得解．本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．5.答案：{1，2}解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的一个顶点坐标（4，0），其一条渐近线方程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：[0，1）解析：解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.答案：y=x解析：解：由曲线C的参数方程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中心即圆心为（1，1），因为直线l的方向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l的方程为：y-1=x-1，即y=x，故答案为：y=x．将曲线C的参数方程消去参数θ可得曲线C的普通方程，是一个圆，可得中心为圆心（1，1），根据直线l的方向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直角坐标方程．本题考查了圆的参数方程，属中档题．9.答案：解析：解：∵z=1+i是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：3π解析：解：由题意可知几何体是放倒的圆柱，底面半径为1，左视图的面积为6，可得正视图是矩形，圆柱的高为3，所以圆柱的体积为：12•π•3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的高，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解几何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.答案：40解析：解：画出可行域又z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最大值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可行域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中一条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．12.答案：0.3解析：解：甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、乙和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利用互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：12解析：解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1．∴lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，又a lg a•b lg b•c lg c≥10⇔lg（a lg a•b lg b•c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，∴lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1，得到lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，由a lg a•b lg b•c lg c≥10⇔lg（a lg a•b lg b•c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，从而得到lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．14.答案：2解析：解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底面ABCD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底面ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底面ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底面ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底面ABCD的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：arcsin解析：解：∵四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平面ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平面ABC所成角为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平面ABC所成角大小为arcsin．故答案为：arcsin．推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面ABC所成角大小．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：（-∞，-4）∪（0，+∞）解析：解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），又由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜-4或x＞0，即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进而分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．17.答案：解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．∴圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，OP==2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（0，2，-2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，1），平面ABO的法向量=（0，0，1），设二面角P-AB-O的大小为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴二面角P-AB-O的大小为arccos．解析：（1）圆锥的表面积S=πr2+πrl，由此能求出结果．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-O的大小．本题考查圆锥的表面积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（1）函数=sin x cosx+cos2x-cos2x+=sin2x-•+=sin（2x-），故它的周期为T=π．（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，故函数的值域．令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．19.答案：解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x=0，得，则k=2400，∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：y=15×=+，x≥0；（2）+=+≥2=57.5，当且仅当，即x=55时取等号．∴当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，是中档题．（1）由，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．20.答案：解：（1）求证：t=2时，2a n+1=2a n+1，∴a n+1-a n=，∴{a n}是等差数列，首项为2，公差为，∴a n=2+（n-1）×=．（2）t=3时，2a n+1=3a n+1，a n+1=a n+，∴a n+1-1=（a n-1），又a1-1=1，∴数列{a n-1}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n-1=（）n-1，∴a n=（）n-1-1，b n=|a n+1-a n|=×（）n-1，b1+b2+b3+…+b k==1-（）k，∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，k的最小正整数值为10．（3）t≠2时，由2a n+1=ta n+1得a n+1=a n+，得a n+1-=（a n-）a n-=（2-）•n-1，∴a n=+（2-）•n-1，∵a n＜a n+1，∴{a n}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，又因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列①若公比≠1，不妨设a p+1＜a t+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，a p+1=2，a t+1=a2=5，，q不是整数，不成立．②若公比为1，则a p+1=a t+1=a q+1，∴p=t=q=1，综上，p=t=q=1．解析：（1）t=2时易证数列{a n}满足等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n的数列为等比数列，即可求出a n的通项公式，进而得到b n的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k的最小正整数值．（3）构造含有a n的数列为等比数列，即可求出a n的通项公式，再根据a n＜a n+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，分类讨论得到p，q的值．本题考查了等比数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线方程为y2=4x，即y=±2，y′=±．设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，故切线DA的方程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，切线DB的方程为：y2y=2x+2x2，∵D（-4，2）在两切线上，∴，故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，∴直线AB的方程为x-y-4=0，联立方程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，∴|AB|==4．又D到直线AB的距离为d==5，∴S△DAB==．（2）证明：如下图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的方程为y1y=p（x+x1），即，同理可得直线BD的方程为，联立直线AD和BD的方程，解得，由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得M（x1+x2，y1+y2），则MN的中点Q坐标为（，），k AB===，设直线AB的方程为y-y1=（x-x1），由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，代入得y3=x3．若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，因此y3=0或y3=2y0．即N（0，0）或N（，2y0）．①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），k MN==，又k AB===，由MN⊥AB，所以k AB•k MN=•=-1，即y12+y22=-4p2，矛盾．对于N（，2y0）．因为M（，2y0），此时直线MN平行于y轴，又k AB=，所以直线AB与直线MN不垂直，与题设矛盾，所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．综上所述，仅存在一点D（-2p，0）适合题意．解析：（1）求得抛物线方程，求得导数和切线斜率，可得切线方程，求得AB的方程和距离，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）求得AD，BD的方程和交点，即可得证；（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表示和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线方程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表示，考查分类讨论思想和化简整理的运算能力，属于难题．。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷（含答案解析）
故直线的倾斜角为一 故答案为：7. 把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线过曲线的中心，求得直线斜率士的值，可得直
a 线的倾斜角 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的倾斜角和斜率，属于基础
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题.
9 .答案：5
解析：解：由z = 1 + 43 得5= l-4i. 则 2z +，= 2 X (1 + 4i) + 1 — 4i = 3 + 4t,
21 .如图所示，抛物线C必=22%3>0)的焦点为e 过点F且斜率存在的直线/交抛物线C于
A，B两点、,已知当直线/的斜率为1时，\AB\ = 8.
(I)求抛物线。的方程； (11)过点人作抛物线。的切线交直线％ =；于点0,试问：是否存在定点M在以为直径的圆 上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由
6 .答案：V2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：解：设。>0,则双曲线卷一r=1的一个顶点为(。,0),
一条渐近线方程为y = a
即为2x-ay = 0,
由一个顶点到一条渐近线的距离为四，
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可得高=低 解得a = 2, 即有C = 2同 e = - = y]2. 故答案为：V2. 求得双曲线的顶点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得a = b = 2,进而得到双曲线 的离心率. 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题.
径为1的圆，那么这个圆柱的体积为
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故答案为：g. 利用已知条件，直接求解几何体的体积即可.
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本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能 力.
2020年上海市宝山区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n <F (n )”时，由n =k 不等式成立，证明n =k +1时，左边应增加的项数是( )A. 2k−1B. 2k −1C. 2kD. 2k +12. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，记a ⃗ 与b ⃗ 所成的角为θ，下列四个条件中，使a⃗ |a⃗ |=b⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ //b ⃗B. θ=0C. θ=π2D. θ=π3. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√3xC. y =±√55xD. y =±√5x4. 已知向量a ⃗ =(1,−2,m2−2)，b ⃗ =(m,3，−m2−2)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则m 的值为( )A. 0B. −2C. 2D. ±2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A 中的元素满足x ≥2，若a ∉A ，则实数a 的取值范围是________．6. 圆x 2+y 2−4x =0的圆心坐标是______；半径为______．7. 过点(2,−2)的抛物线的标准方程是______ ．8. i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为______．9. 已知(ax −√x2)9的展开式中x 3的系数为94，常数a 的值为______ ． 10. 设关于x 、y 的不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0表示的平面区域为D ，已知点O(0,0)、A(1,0)，点M 是D 上的动点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则λ的取值范围是______． 11. 若两球体积之比为1:2，则其表面积之比是__________． 12. 方程∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32，x ∈(3,4)实数解x 为______ ． 13. 如图点O 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 中线AD 上一点，且|AO|=2|OD|，过O 的直线交边AB 于M ，交边AC 于N ，记∠AOM =θ， (1)则θ的取值范围为______ (2)1|OM|2+1|ON|2的最小值为______．14.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为________．15.在无穷等比数列{a n}中，a1=√3，a2=1，则limn→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)=______ ．16.点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线x−y−4=0的距离的最小值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.三棱锥P−ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．(1)求证AC⊥PD；(2)求三棱锥P−CDE的体积．(3)(理)求点P到面CDE的距离．18.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，设函数f(x)=12cos2x−√32sinxcosx+34.若△ABC满足：f(A)=12．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，c=1，求△ABC面积S的大小．19.某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年总收入前n年的总支出−投资额72万元)(1)该厂从第几年开始盈利？(2)写出年平均纯利润的表达式．20.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．21.已知函数g(x)=1x⋅sinθ+lnx在[1,+∞)上为增函数．且θ∈(0,π)，f(x)=mx−m−1x−lnx (m∈R)(1)求θ的值；(2)若f(x)−g(x)在[1,+∞)函数是单调函数，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数学归纳法，属于基础题．由数学归纳法直接求解即可．【解答】解：由n=k不等式成立，即1+12+13+......+12k<F(k)，由n=k(k>1)不等式成立，等式左边有2k项，因此推证n=k+1时，左边应有2k+1项，因此应该增加的项数是2k，故选C．2.答案：B解析：解：若a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立，则表示a⃗与b⃗ 同向共线，即θ=0，故选：B．根据单位向量的定义以及向量相等的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量相等的等价条件是解决本题的关键．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．直接利用已知条件求出双曲线的a、b、c，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，∴c=4，b=2，∴a2=c2−b2=16−4=12，∴a=2√3，双曲线的方程为：x212−y24=1，所求的双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量的坐标计算公式．根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0，解可得m的值，即可得答案．解析：解：根据题意，a⃗+b⃗ =(1+m,1,−4)，a⃗−b⃗ =(1−m,−5,m)，所以由(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，则有(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0所以m=−2；故选：B．5.答案：a<2解析：【分析】本题主要考查的知识点是元素与集合的概念，以及元素与集合的关系．根据集合A中的元素满足x≥2，a∉A，即可得到a的取值范围．【解答】解：由题意a不满足不等式x≥2，即a<2．6.答案：(2,0)；2解析：【分析】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标(2,0)和半径为2．【解答】解：圆x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，它的圆心坐标是(2,0)，半径等于2，故答案为：(2,0)；2．7.答案：y2=2x或x2=−2y解析：解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点(2,−2)代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点(2,−2)代入可得b=−2故抛物线的标准方程为x2=−2y故答案为：y2=2x或x2=−2y分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．8.答案：√13解析：【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数四则运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：5−i 1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i1−i2=2−3i，∴|5−i1+i|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13．故答案为√13．9.答案：4解析：解：(ax −√x2)9的展开式的通项为T r+1=C9r(ax)9−r(−√x2)r=(−√22)r a9−r C9r x3r2−9令3r2−9=3解得r=8∴展开式中x3的系数为916a∵展开式中x3的系数为94∴916a =94解得a=4故答案为4利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．10.答案：(√1010,1]解析： 【分析】考查不等式组表示平面区域的概念，能根据不等式组找出不等式组所表示的平面区域，数量积的计算公式，以及余弦函数的单调性，向量夹角的定义，数形结合解题的方法，属于中档题． 先画出不等式组所表示的平面区域D ，而由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |便可得到，λ=cos∠MOA ，所以求cos∠MOA 的取值范围即可，通过图形找出∠MOA 的变化过程，从而便可求得cos∠MOA 的变化范围． 【解答】解：由不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0得：{x ≥43,y ≥1,y ≤−3x +6,或{x ≥43,y ≤1,y ≥−3x +6. ∴平面区域D 如下图阴影部分所示：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得，λ=cos∠MOA ； 如图所示，若设直线x =43和y =−3x +6的交点为B ，则B 点坐标为(43,2)，所以|OB|=2√133，当M 点从B 点开始向x 轴靠近的过程中，∠MOA 不断减小，并减小到0，当∠MOA =0°时对应的λ的值达到最大值，而当M 从x 轴并在阴影部分远离x 轴时，∠MOA 又逐渐增大，可知∠MOA 的最大值(极限值)一定在直线y =−3x +6上取得，比较此极限值和M 在B 点对应的λ值即可求出λ的最小值． 当M 点在B 点时，cos∠MOA =432√133=2√1313； 当M 点在第四象限且在直线上时，设M(x,−3x +6)， 则cos∠MOA =√x 2+(−3x+6)2=√110+(36x 2−36x)，当x 趋近于正无穷时，cos∠MOA 趋近于√1010，∵2√1313>√1010， ∴λ的取值范围是(√1010,1]．故答案为：(√1010,1]．11.答案：1:√43解析：∵球的体积公式是V =43πR 3，两球体积之比是1:2，∴半径R 之比是1:√23，球的表面积公式是S =4πR 2，∴表面积之比是1:√43．12.答案：7π6解析：解：因为∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32， 所以√3cosxcosx −sinxcosx =√32，即√3×1 +cos2x2−12sin2x =√32， ∴tan2x =√3，∵x ∈(3,4) ∴2x =7π3，∴x =7π6故答案为：7π6．通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x =√3，再结合x 的范围，求出结果即可．本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．13.答案：[π3,2π3]；12解析：解：(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，MN 与AB 垂直，M 为AB 的中点，OM 取得最小值， 此时，θ最小，由cosθ=MO AO=12，可得θ=π3．当M 与B 重合时，此时，MN 垂直于AC ，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO =12，可得θ=2π3．综上可得，θ的取值范围为[π3,2π3].(2)由题意可得，AO =23AD =23×√32=√33；设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α．△ANO 中，由正弦定理可得ONsin30∘=AOsinα，解得ON =√36sinα．同理求得OM =√36Sin(2π3−α)．∴1|OM|2+1|ON|2=36sin 2(2π3−α)3+36sin 2α3=12×1−cos(4π3−2α)2+12×1−cos2α2=12−6[cos(4π3−2α)+cos2α]=12−6(12cos2α−√32sin2α)=12−6cos(2α+π3).由(1)可得π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，可得π6≤2α≤π2， ∴π2≤2α+π3≤π+5π6，−√32≤cos(2α+π3)≤0，故当2α+π3=π2时，cos(2α+π3)取得最大值为0，12−6cos(2α+π3)取得最小值为12−0=12，故答案为：12．(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，θ最小，由cosθ=MO AO，可得θ的值．当M 与B 重合时，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO ，可得θ的值，从而求得θ的取值范围．(2)先求得AO =23AD 的值，设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α.△ANO 中，由正弦定理求得ON =√36sinα，同理求得OM =√36Sin(2π3−α)，计算1|OM|2+1|ON|2=12−6cos(2α+π3).由π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，求得α的范围，利用余弦函数的定义域和值域求得12+6cos(2α+π3)的最小值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，余弦函数的定义域和值域，属于难题．14.答案：12解析： 【分析】本题考查古典概率的计算，属基础题．P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)，由此利用古典概型概率计算公式能求出结果． 【解答】解：从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球， 用X 表示摸出的黑球个数， 则P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=C 32C 31C 63+C 33C 63=12．故答案为12．15.答案：3√32解析：解：公比q =√3，q 2=13．∴则lim n→∞(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1)=a 11−q 2=√31−13=3√32．故答案为：3√32． 利用无穷等比数列的求和公式即可得出．本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2√2解析：因为点P 是曲线y =x 2−lnx 上任意一点，则点P 到直线x −y −4=0的距离的最小值是在点P 的切线与该直线平行的时候，由y′=2x −1x =1⇒x =1(负值x =−12舍去)，所以点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线x −y −4=0的距离为d =1−1−4√12+12=4√2=2√2．17.答案：(1)证明：取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，又面PAC ⊥面ABC ，∴PO ⊥面ABC ，连OD ，则OD//BC ，则DO ⊥AC ， ∴AC ⊥面POD ，∴AC ⊥PD.(2)解：V P−CDE =V D−PCE ，∵E 为PB 中点，∴S △PCE =12S △PBC ，V D−PCE =12V D−PBC =12V P−DBC =14V P−ABC ，即V P−CDEVP−ABC=14．易求得V P−ABC =16√33，故V P−CDE =4√33． (3)解：(理)∵面PAC ⊥面ABC ，且AC ⊥BC ， ∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，又E 为PB 中点，∴CE =12PB =12√PB 2+BC 2=2√2，同理得CD =2√2，又DE =12PA =2，∴S △CDE =√7 ∵V P−CDE =13S △CDE ⋅ℎ，∴ℎ=4√217所以，点P 到面CDE 的距离为4√217解析：(1)取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，证明AC ⊥面POD ，然后说明AC ⊥PD ． (2)通过V P−CDE =V D−PCE ，求出S △PCE =12S △PBC ，利用V P−CDEVP−ABC=14.求解几何体的体积即可．(3)证明BC ⊥面PAC ，求出CE ，CD ，通过几何体的体积求解点P 到面CDE 的距离． 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，考查计算能力．18.答案：解：(1)化简得，由f(A)=12，可得，则又A∈(0,π )，所以．(2)在△ABC中，由余弦定理可知，求得b=3，则．解析：此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求出的值，结合∠A的范围，即可确定出A的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，把a，c，cos A的值代入求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积S．19.答案：解：(1)依题意，根据f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元，可得f(n)=50n−[12n+n(n−1)2×4]−72=−2n2+40n−72，由f(n)>0，即−2n2+40n−72>0，解得：2<n<18，由于n为整数，故该厂从第3年开始盈利；(2)年平均纯利润f(n)n =−2n+40−72n=40−2(n+36n).解析：(1)通过f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元即可列出表达式，进而解不等式f(n)>0即得结论；(2)通过年平均纯利润为f(n)n，直接列式即可．本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．20.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b2+2a2=1，解得{a=2b=√2 c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+m x22+y24=1，整理，得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由△=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+2|x1−x2|=√62√8−m2，设d为点A到直线BC的距离，则d=√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|，∴S△ABC=12|BC|⋅d=√24√m2(8−m2)．∵√m2(8−m2)≤m2+8−m22=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABC的面积的最大值．21.答案：解：(1)求导得到g′(x)=−1sinθx2+1x≥0在x≥1时成立∴1x ≥1sinθx2∴1≥1sinθ⋅x∵θ∈(0,π)∴sinθ>0∴sinθx≥1∴sinθ=1θ=π2(2)(f(x)−g(x))′=m+m−1x2−1x+1x2−1x=m+mx2−2x使其为单调∴ℎ(x)=m+mx2−2x=mx2−2x+mx2，在x≥1时m=0时ℎ(x)<0恒成立．m≠0时对于ℎ(x)=mx2−2x+mx2，令K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解因为[1,+∞)上函数为增函数，所以m>0时对称轴x=1m所以使K(1)≥0则成立所以m−2+m≥0所以m≥1m<0时使K(1)≤0所以m≤1综上所述m≥1或m≤0解析：(1)先对函数g(x)进行求导，根据g′(x)≥0在x≥1时成立可得1x ≥1sinθx2，根据θ∈(0,π)可知sinθ>0，所以sinθ=1求得θ的值．(2)对函数f(x)−g(x)进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0 成立m不等于0时对于ℎ(x)可变为K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K(1)≥0则成立的条件求得m的范围．m<0时，使K(1)≤0，所以m≤−1.综合可得答案．本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷（有答案解析）
2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷（有答案解析）2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷⼀、选择题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准⽅程为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设三个内⾓A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成⽴的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件3.奖⾦（单位：元）80005000400020001000800700600500员⼯（单位：⼈）12461282052根据上表中的数据，可得该公司⽉份员⼯的奖⾦：①中位数为元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最⼩值为（）A. B. C. D. π⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共54.0分）5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______7.函数的定义域为______8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中⼼，且其⽅向向量，则直线l的⽅程为______9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是⽅程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的⼀个根，则|c+di|=______10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的⾯积为6，则该圆柱的体积为______11.设x、y均为⾮负实数，且满⾜，则6x+8y的最⼤值为______12.甲约⼄下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、⼄和棋的概率为______13.设实数a、b、c满⾜a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，a lg a?b lg b?c lg c≥10，则a+b+c=______14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底⾯ABCD的距离为______15.《九章算术》中称四个⾯均为直⾓三⾓形的四⾯体为鳖臑，如图，若四⾯体ABCD为鳖臑，且AB⊥平⾯BCD，AB=BC=CD，则AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩为______（结果⽤反三⾓函数值表⽰）16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______三、解答题（本⼤题共5⼩题，共76.0分）17.如图所⽰，圆锥的顶点为P，底⾯中⼼为O，母线PB=4，底⾯半径OA与OB互相垂直，且OB=2．（1）求圆锥的表⾯积；（2）求⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）．18.设函数．（1）当x∈R时，求函数f（x）的最⼩正周期；（2）设，求函数f（x）的值域及零点．19.某热⼒公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装⼀块⾯积为x（x≥0）（单位：平⽅⽶）可⽤15年的太阳能板，其⼯本费为（单位：万元），并与燃料供热互补⼯作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费⽤与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建⽴y关于x的函数关系式；（2）求y的最⼩值，并求出此时所安装太阳能板的⾯积．20.设数列{a n}满⾜：a1=2，2a n+1=t?a n+1（其中t为⾮零实常数）．（1）设t=2，求证：数列{a n}是等差数列，并求出通项公式；（2）设t=3，记b n=|a n+1-a n|，求使得不等式成⽴的最⼩正整数k；（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有a n＜a n+1，当a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列时，求t、p、q的值．21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意⼀点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（-4，2），求△DAB的⾯积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；（3）设点M满⾜，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的⽅程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准⽅程为：．故选：D．设椭圆的⽅程为（a＞b＞0），根据题意建⽴关于a、b的⽅程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准⽅程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准⽅程．着重考查了椭圆的标准⽅程与简单⼏何性质等知识，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵a2+b2=c2+ab，∴cos C==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成⽴的必要⾮充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的⼤⼩，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.答案：C解析：解：将员⼯的奖⾦的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.答案：B解析：解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，⼜f（）=sin=，即m，故m的最⼩值为：，故选：B．由三⾓函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三⾓函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，⼜f（）=sin=，即m，故m的最⼩值为：，得解．本题考查了三⾓函数图象的单调性，三⾓函数的最值，属中档题．5.答案：{1，2}解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的⼀个顶点坐标（4，0），其⼀条渐近线⽅程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线⽅程，顶点坐标，利⽤点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，考查计算能⼒．7.答案：[0，1）解析：解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满⾜，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.答案：y=x解析：解：由曲线C的参数⽅程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中⼼即圆⼼为（1，1），因为直线l的⽅向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l的⽅程为：y-1=x-1，即y=x，故答案为：y=x．将曲线C的参数⽅程消去参数θ可得曲线C的普通⽅程，是⼀个圆，可得中⼼为圆⼼（1，1），根据直线l的⽅向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直⾓坐标⽅程．本题考查了圆的参数⽅程，属中档题．9.答案：解析：解：∵z=1+i是⽅程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的⼀个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数⼀元⼆次⽅程虚根成对原理的应⽤，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：3π解析：解：由题意可知⼏何体是放倒的圆柱，底⾯半径为1，左视图的⾯积为6，可得正视图是矩形，圆柱的⾼为3，所以圆柱的体积为：12?π?3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的⾼，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解⼏何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.答案：40解析：解：画出可⾏域⼜z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最⼤值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可⾏域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中⼀条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最⼤，则问题解决．本题考查画可⾏域及由可⾏域求⽬标函数最值问题，解题的关键是画出满⾜条件的区域图，属于基础题．12.答案：0.3解析：解：甲约⼄下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、⼄和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利⽤互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．13.答案：12解析：解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1．∴lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，⼜a lg a?b lg b?c lg c≥10?lg（a lg a?b lg b?c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，∴lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1，得到lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，由a lg a?b lg b?c lg c≥10?lg（a lg a?b lg b?c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，从⽽得到lg2a=lg a，lg2b=lgb，lg2c=lg c，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能⼒与推理运算能⼒，属中档题．14.答案：2解析：解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底⾯ABCD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底⾯ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底⾯ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底⾯ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底⾯ABCD的距离．本题考查点到平⾯的距离的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：arcsin解析：解：∵四⾯体ABCD为鳖臑，且AB⊥平⾯BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平⾯BDC的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平⾯ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平⾯ABC所成⾓为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩为arcsin．故答案为：arcsin．推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平⾯BDC的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩．本题考查线⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：（-∞，-4）∪（0，+∞）解析：解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）-f（2）＞x2+4x?f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4?g（x+2）＞g（2），⼜由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜-4或x＞0，即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进⽽分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x?f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4?g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应⽤，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．17.答案：解：（1）∵圆锥的顶点为P，底⾯中⼼为O，母线PB=4，底⾯半径OA与OB互相垂直，且OB=2．∴圆锥的表⾯积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，OP==2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（0，2，-2），设平⾯PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，1），平⾯ABO的法向量=（0，0，1），设⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩为arccos．解析：（1）圆锥的表⾯积S=πr2+πrl，由此能求出结果．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩．本题考查圆锥的表⾯积的求法，考查⼆⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（1）函数=sin x cosx+cos2x-cos2x+=sin2x-?+=sin（2x-），故它的周期为T=π．（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，故函数的值域．令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．解析：（1）利⽤三⾓恒等变换化简函数的解析式，再利⽤正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利⽤正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．本题主要考查三⾓恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．19.答案：解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x=0，得，则k=2400，∴该公司安装太阳能板的费⽤与15年的燃料费之和为：y=15×=+，x≥0；（2）+=+≥2=57.5，当且仅当，即x=55时取等号．∴当x为55平⽅⽶时，y取得最⼩值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应⽤，着重考查分析与理解能⼒，考查基本不等式的应⽤，是中档题．（1）由，可求得k，从⽽得到y关于x的函数关系式；（2）利⽤基本不等式即可求得y取得的最⼩值及y取得最⼩值时x的值．20.答案：解：（1）求证：t=2时，2a n+1=2a n+1，∴a n+1-a n=，∴{a n}是等差数列，⾸项为2，公差为，∴a n=2+（n-1）×=．（2）t=3时，2a n+1=3a n+1，a n+1=a n+，∴a n+1-1=（a n-1），⼜a1-1=1，∴数列{a n-1}是⾸项为1，公⽐为的等⽐数列，∴a n-1=（）n-1，∴a n=（）n-1-1，b n=|a n+1-a n|=×（）n-1，b1+b2+b3+…+b k==1-（）k，∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，k的最⼩正整数值为10．（3）t≠2时，由2a n+1=ta n+1得a n+1=a n+，得a n+1-=（a n-）a n-=（2-）?n-1，∴a n=+（2-）?n-1，∵a n＜a n+1，∴{a n}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，⼜因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列①若公⽐≠1，不妨设a p+1＜a t+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，a p+1=2，a t+1=a2=5，，q不是整数，不成⽴．②若公⽐为1，则a p+1=a t+1=a q+1，∴p=t=q=1，综上，p=t=q=1．解析：（1）t=2时易证数列{a n}满⾜等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n的数列为等⽐数列，即可求出a n的通项公式，进⽽得到b n的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k的最⼩正整数值．（3）构造含有a n的数列为等⽐数列，即可求出a n的通项公式，再根据a n＜a n+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列时，分类讨论得到p，q的值．本题考查了等⽐数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线⽅程为y2=4x，即y=±2，y′=±．设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，故切线DA的⽅程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，切线DB的⽅程为：y2y=2x+2x2，∵D（-4，2）在两切线上，∴，故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，∴直线AB的⽅程为x-y-4=0，联⽴⽅程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，∴|AB|==4．⼜D到直线AB的距离为d==5，∴S△DAB==．（2）证明：如下图所⽰，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的⽅程为y1y=p（x+x1），即，同理可得直线BD的⽅程为，联⽴直线AD和BD的⽅程，解得，由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得M（x1+x2，y1+y2），则MN的中点Q坐标为（，），k AB===，设直线AB的⽅程为y-y1=（x-x1），由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，代⼊得y3=x3．若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，因此y3=0或y3=2y0．即N（0，0）或N（，2y0）．①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），k MN==，⼜k AB===，由MN⊥AB，所以k AB?k MN=?=-1，即y12+y22=-4p2，⽭盾．对于N（，2y0）．因为M（，2y0），此时直线MN平⾏于y轴，⼜k AB=，所以直线AB与直线MN不垂直，与题设⽭盾，所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．综上所述，仅存在⼀点D（-2p，0）适合题意．解析：（1）求得抛物线⽅程，求得导数和切线斜率，可得切线⽅程，求得AB的⽅程和距离，由三⾓形的⾯积公式，可得所求值；（2）求得AD，BD的⽅程和交点，即可得证；（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表⽰和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线⽅程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．本题考查抛物线的⽅程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表⽰，考查分类讨论思想和化简整理的运算能⼒，属于难题．。
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷 (解析版)
2020年高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）.1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c00)= ．2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = ．3．已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sin θ的值等于 ．4．若双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 ．5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项．6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是 （用反三角函数表示）．7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 ．8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ ．9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 ．10．设0.a ⋅b ⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1n=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ 12．若实数x ，y 满足2cos 2（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，则xy 的最小值为 ．二.选择题13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f（x 2）”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．非充分非必要14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)2−1，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|=OA →•OB →=2，则点集{P |OP →=λOA →+μOB →，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4√2D ．4√316．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．8732B ．114C ．17764D ．17564三.解答题17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．19．若函数y＝f（x）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使f（x1）f（x2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①f（x）＝2x，②g（x）＝log2x是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数y＝h（x）的值域为[m，n]，求证：“y＝h（x）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m，n]”．20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21．设数列{a n}（n∈N*）是公差不为零的等差数列，满足a3+a6＝a9，a5+a72＝6a9；数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，且满足4S n+2b n＝3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）在b1和b2之间插入1个数x11，使b1，x11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数x21，x22，使b2，x21，x22，b3成等差数列；……；在b n和b n+1之间插入n个数x n1，x n2，…，x nn，使b n，x n1，x n2，…x nn，b n+1成等差数列．（i）求T n＝x11+x21+x22+…+x n1+x n2+…+x nn；（ii）是否存在正整数m，n，使T n=a m+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．参考答案一.填空题1．计算矩阵的乘积：（ab ）(3c00)= （3aac ） ．【分析】利用矩阵的乘积运算法则即可得出． 解：∵3a +b ×0＝3a ，ac +b ×0＝ac ， ∴（ab ）(3c00)=（3aac ）．故答案为：（3aac ）．2．C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n = 4n ．【分析】根据二项式展开式定理，逆用即可．解：C n 0+3C n 1+32C n 2+⋯⋯+3n C n n=C n 0+C n 1•3+C n 2•32+⋯⋯+C n n •3n＝（1+3）n ＝4n ． 故答案为：4n ．3．已知sin θ2+cos θ2=2√33，则sin θ的值等于 13．【分析】把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出sin θ的值．解：把sin θ2+cos θ2=2√33两边平方得：（sin θ2+cos θ2）2＝（2√33）2， 即sin 2θ2+2sin θ2cos θ2+cos2θ2=1+sin θ=43，∴sin θ=13． 故答案为：134．若双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 2√5 ．【分析】通过双曲线的焦距，求出m ，然后求解双曲线的虚轴长． 解：双曲线x 24−y 2m=1的焦距为6，可得√4+m =3，解得m =√5． 所以双曲线的虚轴长为：2√5． 故答案为：2√5．5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 5 项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：可得，等比数列的通项公式a n ＝21×(12)n−1，则数列单调递减，a 5﹣1=2116−1=516，1﹣a 6＝1−2132=1132， 故当n ＝5时，数列的项与1最接近． 故答案为：5．6．如图，二面角α﹣l ﹣β的大小是π3，线段AB ⫋α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为π6，则AB 与平面β所成的角是 arcsin √34 （用反三角函数表示）．【分析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，可得∠ADC 为二面角α﹣l ﹣β的平面角，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，在直角三角形ABC 中即可求解． 解：过点A 作平面β的垂线，垂足为C ， 在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ， 连接AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ， 故∠ADC 为二面角α﹣l ﹣β的平面角，为π3，又由已知，∠ABD =π6，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角． 设AD ＝2，则AC =√3，CD ＝1，AB =ADsin π6=4．∴直线AB 与平面β所成的角的正弦值sin ∠ABC =AC AB =√34，即AB 与平面β所成的角是arcsin √34．故答案为：arcsin√34．7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2且（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ，则△ABC 面积的最大值为 √3 ．【分析】由正弦定理化简已知可得2a ﹣b 2＝c 2﹣bc ，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求bc ≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 解：因为：（2+b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ⇒（2+b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ⇒2a ﹣2b +ab ﹣b 2＝c 2﹣bc ， 又因为：a ＝2，所以：a 2−b 2=c 2−bc ⇒b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA =b 2+c 2−a 22bc =12⇒A =π3，△ABC 面积S =12bcsinA =√34bc ，而b 2+c 2﹣a 2＝bc ⇒b 2+c 2﹣bc ＝a 2 ⇒b 2+c 2﹣bc ＝4 ⇒bc ≤4所以：S =12bcsinA =√34bc ≤√3，即△ABC 面积的最大值为√3．故答案为：√3．8．已知函数f （x ）＝lg （x +1），g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g （x ）＝f （x ），则函数y ＝g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数是y ＝ 3﹣10x （x ∈[0，lg 2]） ． 【分析】结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． 解：当x ∈[1，2]时，2﹣x ∈[0，1]，∴y ＝g （x ）＝g （x ﹣2）＝g （2﹣x ）＝f （2﹣x ）＝lg （3﹣x ）， 由单调性可知y ∈[0，lg 2]， 又∵x ＝3﹣10y ，∴所求反函数是y ＝3﹣10x ，x ∈[0，lg 2]． 故答案为：3﹣10x ，x ∈[0，lg 2]．9．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的函数，方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，则这7个解的和为 3.5 ．【分析】构造函数g （x ）＝f （2019+x ）×f （2020﹣x ），则函数g （x ）满足g （1﹣x ）＝g （x ），即函数g （x ）关于直线x =12对称，所以方程g （x ）＝0的7个解有一个根为12，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．解：设g （x ）＝f （2019+x ）×f （2020﹣x ）， 则g （1﹣x ）＝f （2020﹣x ）×f （2019+x ）， ∴函数g （x ）满足g （1﹣x ）＝g （x ）， ∴函数g （x ）关于直线x =12对称，∴方程g （x ）＝0的所有实数根也是关于12在数轴上对称分布，∴一旦在12的左侧取到实数根，一定也能在12的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，∵方程f （2019+x ）×f （2020﹣x ）＝0恰好有7个解，即方程g （x ）＝0恰好有7个解， ∴有一个根为12，左右各对应3个根，∴这7个解的和为1+1+1+12=3.5， 故答案为：3.5．10．设0.a ⋅b ⋅是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，若集合A ={n|1n=0.a ⋅b ⋅，n ∈N ∗}，则A 中所有元素的和为 143【分析】先由题意得到0.a ⋅b ⋅=10a+b99⇒n =9910a+b ，再利用列举法求出满足题意的n 即可．解：由题意可知0.a ⋅b ⋅=10a+b99，∴n =9910a+b ．又∵a 和b 分别为10以内的非负整数，且a ≠b ，b ≠0，∴①当a ＝0时，b ＝1，3，9，此时n 依次等于99，33，11； ②当a ≠0时，n 均不存在．综合①②知：A ＝{99，11，33}，故A 中所有元素的和为99+11+33＝143． 故答案为：143．11．已知数列{a n }满足a n+1={3a n +1a n 为奇数a n 2a n 为偶数（n ∈N *），a 1=2k ⋅7（k 是一个已知的正整数），若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p ＝ ﹣1 【分析】推导出a n ＝p ，a n +1＝3p +1，a n +2=3p+12=p ，由此能求出p ． 解：若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n ＝p ，a n +1＝3p +1，a n +2=3p+12=p ， 解得p ＝﹣1． 故答案为：﹣1．12．若实数x ，y 满足2cos 2（x +y ﹣1）=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，则xy 的最小值为 14． 【分析】配方可得2cos 2（x +y ﹣1）=(x−y+1)2+1x−y+1=（x ﹣y +1）+1x−y+1，由基本不等式可得（x +y +1）+1x−y+1≤2，或（x ﹣y +1）+1x−y+1≤−2，进而可得cos （x +y ﹣1）＝±1，x ＝y =kπ+12，由此可得xy 的表达式，取k ＝0可得最值． 解：∵2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xy x−y+1，∴2cos 2（x +y ﹣1）=x 2+2x+1+y 2−2y+1−2xyx−y+1∴2cos 2（x +y ﹣1）=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故2cos 2（x +y ﹣1）=(x−y+1)2+1x−y+1=（x ﹣y +1）+1x−y+1， 由基本不等式可得（x ﹣y +1）+1x−y+1≥2，或（x ﹣y +1）+1x−y+1≤−2， ∴2cos 2（x +y ﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos 2（x +y ﹣1）＝2， 故cos 2（x +y ﹣1）＝1，即cos （x +y ﹣1）＝±1，此时x ﹣y +1＝1，即x ＝y ∴x +y ﹣1＝k π，k ∈Z ，故x +y ＝2x ＝k π+1，解得x =kπ+12， 故xy ＝x •x =(kπ+12)2，当k ＝0时，xy 的最小值14， 故答案为：14二.选择题13．已知函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”是“f （x 1）＜f （x 2）”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要【分析】利用增函数的定义即可判断出关系．解：函数y ＝f （x ）是R 上的增函数，则对任意x 1，x 2∈R ，“x 1＜x 2”⇔“f （x 1）＜f （x 2）”， 故选：C ． 14．已知z 1≠﹣1，z 1−1z 1+1=bi （b ∈R ），z =4(z 1+1)2−1，则z 对应的点在（ ）A ．圆上B ．抛物线上C ．双曲线上D ．椭圆上【分析】由已知求得z 1，代入z 化简得到z ＝﹣b 2﹣2bi ，设P （x ，y ），则{x =−b 2y =−2b ，消去b 即可得到点P 的轨迹． 解：因为z 1−1z 1+1=bi ，所以z 1=1+bi1−bi， 则z =4(z 1+1)2−1=4(1+bi 1−bi+1)2−1＝（1﹣bi ）2﹣1＝﹣b 2﹣2bi ，∴复数z 在复平面内所对应的点为P （﹣b 2，﹣2b ）， 设P （x ，y ），则{x =−b 2y =−2b ，消去b 得：y 2＝﹣4x （y ≠0）．故z 对应的点在抛物线上， 故选：B ．15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|=OA →•OB →=2，则点集{P |OP →=λOA →+μOB →，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4√2D ．4√3【分析】由两定点A ，B 满足|OA→|=|OB→|=OA →⋅OB →=2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积． 解：由两定点A ，B 满足|OA→|=|OB→|=OA →⋅OB →=2，AB →=OB →−OA →，则|AB →|2＝（OB →−OA →）2=|OB|2−2OA →•OB →+|OA →|2=4，则|AB →|＝2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A （√3，−1），B （√3，1）．再设P （x ，y ）．由OP →=λOA →+μOB →，得：(x ，y)=(√3λ，−λ)+(√3μ，μ)=(√3(λ+μ)，μ−λ)．所以{λ+μ=√33x μ−λ=y ，解得{λ=√36x −12yμ=√36x +12y ①． 由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于{ √36x −12y ≥0√36x +12y ≥0x ≤√3或{ √36x −12y ≥0√36x +12y ＜0y ≥−1或{ √36x −12y ＜0√36x +12y ≥0y ≤1或{ √36x −12y ＜0√36x +12y ＜0x ≥−√3． 可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为2×2√3=4√3． 故选：D ．16．已知a 1，a 2，a 3，a 4∈{1，2，3，4}，N （a 1，a 2，a 3，a 4）为a 1，a 2，a 3，a 4中不同数字的种类，如N （1，1，2，3）＝3，N （1，2，2，1）＝2，求所有的256个（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列所得的N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为（ ） A ．8732B ．114C ．17764D ．17564【分析】根据题意，依次分析N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝1、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．解：根据题意，（a 1，a 2，a 3，a 4）的排列共有256种，其中当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝1时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝2时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有C 42C 43A 22＝48种情况，若有2个数字相同，有C 42C 42＝36种情况， 此时有48+36＝84种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝3时，即排列中有3个不同的数字，有3×C 43C 42A 22＝144种情况，当N （a 1，a 2，a 3，a 4）＝3时，即排列有4个不同的数字，有A 44＝24种情况， 则N （a 1，a 2，a 3，a 4）的平均值为4×1+84×2+144×3+24×4256=700256=17564；故选：D ． 三.解答题17．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．【分析】（1）设圆锥底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则l ＝10厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得r ＝5厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．解：（1）设圆锥底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则l ＝10厘米，且2πr ＝πl ， 解得：r ＝5厘米，表面积S ＝πrl ＝50π（平方厘米）， 圆锥的高h =√l 2−r 2=5√3（厘米），∴体积V =13πr 2h =125√3π3（立方厘米）．（2）由（1）知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，h =5√3厘米． 故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d =5√3厘米．18．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示． （1）求出函数f （x ）的解析式；（2）若将函数f （x ）的图象向右移动π3个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数y ＝g （x ）的图象，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A 和b ，由周期求出ω，最高点求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数y ＝g （x ）的单调递增区间及对称中心．解：（1）由函数f （x ）的图象可得 {A +b =6−A +b =−2，解得：{A =4b =2．又由T2=2π得：T =2πω=4π，∴ω=12． 而f(π3)=6 得：π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ=π3，综上：f(x)=4sin(12x +π3)+2．（2）显然g(x)=4sin(2x +π6)+2，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得g （x ）的单调递增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ，由2x +π6=kπ，k ∈Z 得：对称中心是(kπ2−π12，2)，k ∈Z ． 19．若函数y ＝f （x ）满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在x 2，使f （x 1）f （x 2）＝λ成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①f （x ）＝2x ，②g （x ）＝log 2x 是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数y ＝h （x ）的值域为[m ，n ]，求证：“y ＝h （x ）是‘依附函数’”的充要条件是“0∉[m ，n ]”．【分析】（1）根据“依附函数”的定义直接判断即可； （2）从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．解：（1）①可取λ＝1，则对任意x 1∈R ，存在x 2＝﹣x 1∈R ，使得2x 1⋅2x 2=1成立， （说明：可取任意正数λ，则x 2＝log 2λ﹣x 1……2分） ∴f （x ）＝2x 是“依附函数”，……②对于任意正数λ，取x 1＝1，则g （x 1）＝0，……此时关于x2的方程g（x1）g（x2）＝λ无解，∴g（x）＝log2x不是“依附函数”．……（2）证明：必要性：（反证法）假设0∈[m，n]，∵y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x1，使得h（x1）＝0，……∴对任意正数λ，关于x2的方程h（x1）h（x2）＝λ无解，即y＝h（x）不是依附函数，矛盾，……充分性：假设0∉[m，n]，取λ＝mn＞0，……则对定义域内的每一个值x1，由h（x1）∈[m，n]，可得λℎ(x1)∈[λn，λm]=[m，n]，而y＝h（x）的值域为[m，n]，∴存在定义域内的x2，使得λℎ(x1)=h(x2)，即h（x1）h（x2）＝λ成立，∴y＝h（x）是“依附函数”．……20．如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C：y＝x2上存在不同的两点A、B满足PD→=λDA→，PE→=λEB→，其中λ为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．（1）若P点坐标为（1，﹣2），λ＝3时，求弦AB所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A点的直线l1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线l2与抛物线C也只有一个交点，求证：若l1和l2的斜率都存在，则l1与l2的交点N在直线PM上；（3）若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出D、E坐标，设A（3，9），B（﹣1，1），然后判断求解弦AB所在的直线方程．（2）设l1：y﹣9＝k1（x﹣3），与C：y2＝x联立，并令△＝0，可得k1＝6，同理l2的斜率k 2＝﹣2，求出交点坐标，然后推出直线PM 的方程即可．（3）设P （x 0，y 0），设出A 、B 坐标，由PD →=λDA →，求出D(x 0+λx 11+λ，y 0+λx 121+λ)，代入y ＝x 2，说明x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根，利用韦达定理，求出P 、Q 坐标，然后求解线段比例即可．【解答】（1）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由PD →=3DA →，PE →=3EB →， 可得D(1+3x 14，−2+3y 14)，E(1+3x 24，−2+3y 24)， 由D 点在C 上可得：−2+3y 14=(1+3x 14)2，化简得：x 12−2x 1−3=0，同理可得：x 22−2x 2−3=0，∵A 、B 两点不同，不妨设A （3，9），B （﹣1，1）， ∴弦AB 所在的直线方程为2x ﹣y +3＝0．（2）证明：由（1）可知，A （3，9），B （﹣1，1），设l 1：y ﹣9＝k 1（x ﹣3）， 与C ：y 2＝x 联立，并令△＝0，可得k 1＝6，同理l 2的斜率k 2＝﹣2， ∴l 1：6x ﹣y ﹣9＝0，l 2：2x +y +1＝0，解方程组得：交点N （1，﹣3），而直线PM 的方程为x ＝1，得证． （3）证明：设P （x 0，y 0），A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，由PD →=λDA →，得D(x 0+λx 11+λ，y 0+λx 121+λ)， 代入y ＝x 2，化简得：λx 12−2λx 0x 1+(1+λ)y 0−x 02=0， 同理可得：λx 22−2λx 0x 2+(1+λ)y 0−x 02=0，显然x 1≠x 2，∴x 1、x 2是方程λx 2−2λx 0x +(1+λ)y 0−x 02=0的两个不同的根， ∴x 1+x 2＝2x 0，x 1⋅x 2=(1+λ)y 0−x 02λ，∴x M =x 1+x 22=x 0，即直线PM 的方程为x ＝x 0， ∵y M =x 12+x 222=(1+2λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q =x 02，∴y M −y Q =(1+λ)x 02−(1+λ)y 0λ，y Q −y P =x 02−y 0， ∴线段PQ 与QM 的比为定值1+λλ．21．设数列{a n }（n ∈一、选择题*）是公差不为零的等差数列，满足a 3+a 6＝a 9，a 5+a 72＝6a 9；数列{b n }（n ∈N*）的前n 项和为S n ，且满足4S n +2b n ＝3． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）在b 1和b 2之间插入1个数x 11，使b 1，x 11，b 2成等差数列；在b 2和b 3之间插入2个数x 21，x 22，使b 2，x 21，x 22，b 3成等差数列；……；在b n 和b n +1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x nn ，使b n ，x n 1，x n 2，…x nn ，b n +1成等差数列． （i ）求T n ＝x 11+x 21+x 22+…+x n 1+x n 2+…+x nn ；（ii ）是否存在正整数m ，n ，使T n =am+12a m成立？若存在，求出所有的正整数对（m ，n ）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，（d ≠0），利用等差数列的通项公式求出d ＝1，从而a n ＝n ．再由4S n +2b n ＝3，当n ≥2时，4S n ﹣1+2b n ﹣1＝3，推导出{b n }是首项为12，公比为13的等比数列，由此能求出b n ．（2）（i ）在b n 和b n ﹣1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ，推导出d n =bn+1−b n(n+2)−1=−1n，从而x nk ＝b n +kd n =12(13)n−1−k 3n(n+1)，进而T n ＝x 11+x 21+…+x n 1+x n 2+…+x nn =13+132+⋯+n3n ，由此利用错位相减法能求出T n ． （ii ）m =2⋅3n 3n −2n−3=2+4n+63n −2n−3，当n ＝1时，m ＝2+10−2=−3∉N *，当n ＝2时，m ＝2+142=9*，当n ＝3时，m ＝2+1＝3∈N *，再证明当n ≥4（n ∈N *）时，3n ﹣6n ﹣9＞0，由此能求出所有的正整数对．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，（d ≠0），则由a 3+a 6＝a 9，得（a 1+2d ）+（a 1+5d ）＝a 1+8d ，∴a 1＝d ，∵a 5+a 72＝6a 9，∴（a 1+4d ）+（a 1+6d ）2＝6（a 1+8d ）， 将a 1＝d 代入上式，得5d +49d 2＝54d ，∴49d 2＝49d ， ∵d ≠0，∴d ＝1，∴a n ＝n ． 由4S n +2b n ＝3，①当n ≥2时，4S n ﹣1+2b n ﹣1＝3，②①﹣②，得4b n +2b n ﹣2b n ﹣1＝0，∴b n =13b n−1，（n ≥2），又4b 1+2b 1＝3，∴b 1=12≠0， ∴{b n }是首项为12，公比为13的等比数列， ∴b n =12×(13)n−1，（n ∈N *）． （2）（i ）在b n 和b n ﹣1之间插入n 个数x n 1，x n 2，…，x n n ， ∵b n ，x n 1，x n 2，…x nm ，b n +1成等差数列，设公差为d n ，∴d n =b n+1−b n (n+2)−1=(12)(13)n−(12)(13)n−1n+1=−13n(n+1)，则x nk ＝b n +kd n =12(13)n−1−k3n(n+1)，∴∑ n k=1x nk =12(13)n−1•n −13n(n+1)⋅n(n+1)2=n3n ，∴T n ＝x 11+x 21+…+x n 1+x n 2+…+x nn =13+132+⋯+n 3n ，① 则13T n =132+133+⋯+n−13n+n 3n+1，②①﹣②，得23T n =13+132+⋯+13n −n 3n+1=13[1−(13)n]1−13−n 3n+1=12（1−1n ）−n 3n+1， ∴T n =34−14⋅3n−1−n 2⋅3n =m+12m =12+12m ． （ii ）假设存在正整数m ，n ，使T n =am+12a m 成立，=34−14⋅3n−1−n2⋅3n =m+12m =12+12m ． m =2⋅3n 3n −2n−3=2(3n −2n−3)+4n+63n −2n−3=2+4n+63n −2n−3， 当n ＝1时，m ＝2+10−2=−3∉N *， 当n ＝2时，m ＝2+142=9∈N *， 当n ＝3时，m ＝2+1＝3∈N *，下证，当n ≥4（n ∈N *）时，有3n ﹣2n ﹣3＞4n +6，即证3n ﹣6n ﹣9＞0，设f（x）＝3x﹣6x﹣9，x≥4，则f′（x）＝3x ln3﹣6＞3x﹣6＞0，∴f（x）在[4，+∞）上单调递增，故n≥4时，3n﹣6n﹣9＞34﹣6×4﹣9＝48＞0，∴0＜4n+63n−2n−3＜1，∴n≥4时，m不是整数，∴所有的正整数对（m，n）为（9，2）及（3，3）．。
上海市宝山区2020年高考二模 数学试卷 (解析版)
2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）1．已知复数z满足z（1+i2020）＝2﹣4i（其中，i为虚数单位），则z＝．2．函数y＝arcsin（x+1）的定义域是．3．计算行列式的值，．4．已知双曲线的实轴与虚轴长度相等，则的渐近线方程是．5．已知无穷数，则数列{a n}的各项和为．6．一个圆锥的表面积为π，母线长为，则其底面半径为．7．某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r＝（精确到1%）．8．已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为．9．某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是．10．已知方程x2+tx+1＝0（t∈R）的两个虚根是x1，x2，若，则t＝．11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．12．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．抛物线y＝4x2的准线方程是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y D．y14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．15．用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n，n∈N*成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2都有，则函数（）A．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减B．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增C．是奇函数，且单调递减D．是奇函数，且单调递增三.解答题（本大题共5题，共76分）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．18．已知函数f（x），它们的最小正周期为π．（1）若y＝f（x）是奇函数，求f（x）和g（x）在[0，π]上的公共递减区间D；（2）若h（x）＝f（x）+g（x）的一个零点为x，求h（x）的最大值．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）20．已知直线l：y＝kx+m和椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l的方程．（2）点在Γ上，若m＝0，求△ABC面积的最大值；（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：△AOB为直角三角形．21．定义：{a n}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有a n+k＞a n（a n+k＜a n）则称{a n}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{a n}的间隔数．（1）若，{a n}是不是近似递增数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}的通项公式为，其前n项的和为S n，若2是近似递增数列{S n}的间隔数，求a的取值范围；（3）已知，证明{a n}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知复数z满足z（1+i2020）＝2﹣4i（其中，i为虚数单位），则z＝1﹣2i．【分析】由i得乘方运算得：i2020＝1，进而直接求出z．解：∵i2020＝1，∴1+i2020＝2，则由z（1+i2020）＝2﹣4i得2z＝2﹣4i，即z＝1﹣2i，故答案是1﹣2i．2．函数y＝arcsin（x+1）的定义域是[﹣2，0]．【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足﹣1≤x+1≤1，解出x的范围即可．解：要使y＝arcsin（x+1）有意义，则﹣1≤x+1≤1，解得﹣2≤x≤0，∴该函数的定义域为[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．3．计算行列式的值，﹣2．【分析】根据，计算即可．解：0×3﹣1×2＝﹣2．故答案为：﹣2．4．已知双曲线的实轴与虚轴长度相等，则的渐近线方程是y＝±x．【分析】利用已知条件求出a＝b，然后求解渐近线方程即可．解：双曲线的实轴与虚轴长度相等，可得a＝b，则的渐近线方程是：y＝±x．故答案为：y＝±x．5．已知无穷数，则数列{a n}的各项和为．【分析】求出a1和d，由此可求出无穷等比数列各项的和．解：a n＝2×（）n，首项为，公比为，∴数列{a n}的各项和为S，故答案为：．6．一个圆锥的表面积为π，母线长为，则其底面半径为．【分析】利用圆锥的表面积计算公式即可得出．解：如图所示，设底面半径为r，则πr2+πrπ，解得r，故答案为：．7．某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r＝25%（精确到1%）．【分析】由题意知，p0＝2.58，p＝14.86，n＝7，代入，求解得答案．解：由题意知，p0＝2.58，p＝14.86，n＝7，代入，得14.86＝2.58•e7r，∴ 5.76，则7r＝ln5.76，得r0.25．则增长率r＝25%．故答案为：25%．8．已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为．【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．解：已知的展开式的通项公式为T r+1••x n﹣2r，令n﹣2r＝0，求得n＝2r．∵常数项为第6项，故有r＝5，n＝2r＝10，则常数项为•，故答案为：．9．某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是．【分析】基本事件总数n10，选出的2位医生中至少有1位女医生包含的基本事件个数m C7，由此能求出选出的2位医生中至少有1位女医生的概率．解：某医院ICU从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，基本事件总数n10，选出的2位医生中至少有1位女医生包含的基本事件个数m C7，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是p．故答案为：．10．已知方程x2+tx+1＝0（t∈R）的两个虚根是x1，x2，若，则t＝±2．【分析】根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，并且满足韦达定理，可直接表示出，解方程求出t的值．解：由已知，设两个虚根为x1，x2，则x1+x2＝﹣t，x1x2＝1，∴，解得．经检验，t符合题意．故答案为：．11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2]．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x＝1，y＝1时，1×1+1×1＝0当x＝1，y＝2时，1×1+1×2＝1当x＝0，y＝2时，1×0+1×2＝2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．12．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为﹣4．【分析】根据条件可设，根据即可得出，然后根据即可得出（n﹣q）2＝12，从而可求出nq≥﹣3，这样即可求出的最小值．解：∵，∴设，∴，∴，∴，且，∴4+（n﹣q）2＝16，∴（n﹣q）2＝12，∴（n+q）2＝（n﹣q）2+4nq＝12+4nq≥0，解得nq≥﹣3，∴，∴的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．抛物线y＝4x2的准线方程是（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y D．y【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．解：由题意，抛物线的标准方程为x2y，∴p，开口朝上，∴准线方程为y；故选：D．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出θ的值，利用正切函数的性质进行转化求解即可．解：f（x）＝sin x+a cos x（sin x•cos x•），设cosθ，sinθ，则tanθ＝a，即f（x）sin（x+θ），∵f（x）的图象关于直线对称，∴θ＝kπ，k∈Z，则θ＝kπ，k∈Z，∵a＝tanθ＝tan（kπ）＝tan1，故选：A．15．用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n，n∈N*成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对n∈N*“时的命题成立．反之成立．解：用数学归纳法证明﹣1+3﹣5+…+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n，n∈N*成立．那么，“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的归纳的基础，没有它成立无法递推，但是只有它成立，不能得出对n∈N*“时的命题成立．由“对n∈N*“时，命题成立”，显然包括n＝1成立．∴“当n＝1时，命题成立”是“对n∈N*“时，命题成立”的必要不充分条件．故选：B．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2都有，则函数（）A．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减B．是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增C．是奇函数，且单调递减D．是奇函数，且单调递增【分析】根据题意即可得出在（0，+∞）上单调递减，并可得出g（x）是偶函数，从而得出正确的选项．解：∵对任意两个不相等的正数x1，x2都有，∴函数在（0，+∞）上单调递减，又f（x）是R上的奇函数，∴，∴g（﹣x）＝g（x），∴g（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减．故选：A．三.解答题（本大题共5题，共76分）17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．【分析】（1）由已知求出三棱柱的底面积，结合体积列式求高；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面C1B1D的法向量与平面A1B1C1的法向量，再由两法向量所成角的余弦值求解二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．解：（1）由∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，得BC，∴．由三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，得，解得CC1＝6．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，，0），B1（0，，2），C1（0，0，2）．，．设平面C 1B1D的法向量为，由，取z＝1，得．平面A 1B1C1的法向量．记二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为θ，则cosθ．∴二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为arccos．18．已知函数f（x），它们的最小正周期为π．（1）若y＝f（x）是奇函数，求f（x）和g（x）在[0，π]上的公共递减区间D；（2）若h（x）＝f（x）+g（x）的一个零点为x，求h（x）的最大值．【分析】（1）依题意，可得ω＝2，φ＝0，进而得出函数f（x）及函数g（x）的解析式，由此分别求出它们在[0，π]上的单调递减区间，再取交集即可；（2），把点代入化简可得，结合题意可得，进而求得h（x）的最大值．解：（1）由，得ω＝2，又y＝f（x）是奇函数，故φ＝0，在[0，π]上，的递减区间是，的递减区间是，∴；（2），把点代入得，即，∴，得，∴，∴．19．据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个．（精确到0.1万个）；（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）【分析】（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个，取出S12，加上13得答案；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，由题意列式求得q，然后求解第二项与第三项得答案．解：（1）每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为3万个．则计划2020年新建基站数为．故2020年全国共有基站13+49.2＝62.2万个；（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，设公比为q（q＞0）．由60+60q+60q2＝800﹣13，得．解得：q≈3（q＞0）．∴2021年至少建60×3＝180万个，2022年至少建60×9＝540万个才能完成计划．20．已知直线l：y＝kx+m和椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l的方程．（2）点在Γ上，若m＝0，求△ABC面积的最大值；（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：△AOB为直角三角形．【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左焦点和上顶点的坐标，由截距式方程可得所求直线方程；（2）可得直线y＝kx，联立椭圆方程可得A，B的长，由点到直线的距离公式可得C到AB的距离，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最大值；（3）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，结合向量垂直的条件：数量积为0，计算可得证明．解：（1）椭圆的a＝2，b＝c，可得椭圆Γ的左焦点（，0）和上顶点（0，），则直线l的方程为1，即为y＝x；（2）由m＝0可得直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程x2+2y2＝4，可得x2，y2，则|AB|＝2，C到AB的距离为d，则△ABC面积为••22，显然k＜0时，上式取得最大值，由1，当且仅当k时，上式取得最大值1，则三角形ABC的面积的最大值为2；（3）证明：联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，由A（x1，y1），B（x2，y2）可得x1+x2，x1x2，由原点O到直线l的距离是，可得，即为3m2＝4+4k2，则•x 1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•km•（）+m2（2k2m2+2m2﹣4﹣4k2﹣4k2m2+m2+2k2m2）（3m2﹣4﹣4k2）＝0，可得⊥，则△AOB为直角三角形．21．定义：{a n}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈一、选择题*，均有a n+k＞a n（a n+k ＜a n）则称{a n}是近似递增（减）数列，其中k叫近似递增（减）数列{a n}的间隔数．（1）若，{a n}是不是近似递增数列，并说明理由；（2）已知数列{a n}的通项公式为，其前n项的和为S n，若2是近似递增数列{S n}的间隔数，求a的取值范围；（3）已知，证明{a n}是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数．【分析】（1）直接利用关系式的应用求出数列是近似递增数列．（2）利用数列的和，进一步确定a的范围．（3）利用由a n+k＜a n得：，即k＞2[sin（n+k）﹣sin n]，进一步利用赋值法的应用求出结果．解：（1）数列{a n}是近似递增数列，由于[n+（﹣1）n]＝3﹣2（﹣1）n＞0，或，即a n+3＞a n，或a n+2＞a n．所以：数列{a n}是近似递增数列，（2）由题意得：，或，即恒成立．令，则，即a的取值范围是（）．（3）由a n+k＜a n得：，即k＞2[sin（n+k）﹣sin n]①，由于n和k为正整数，所以sin n和sin（n+k）均取不到±1．所以k＝4时，上式恒成立，即数列{a n}是近似递减数列，4是它的间隔数．当k＝3时，当n＝5时，2[sin（5+3）﹣sin5]≈3.9＞3，故不等式①成立．当k＝2时，当n＝5时，2[sin（5+2）﹣sin5]≈3.23＞32故不等式①不成立．当k＝1时，当n＝5时，2[sin（5+1）﹣sin5]≈1.36＞1，故不等式①不成立．所以4是它的最小间隔数．。
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。
2020年上海市长宁区高考数学二模试卷 (解析版)
2020年上海市长宁区高考数学二模试卷一．填空题（共12小题）1．已知集合A ＝（﹣2，1]，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ ． 2．行列式|5182|的值等于 ．3．（1+x ）5的二项展开式的第三项的系数是 ． 4．若复数z 满足z 2＝﹣3，则|z |＝ ．5．若实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，则z ＝x ﹣y 的最小值为 ．6．直线l ：{x =2+ty =−1+2t（t 是参数）的斜率为 ．7．如图，已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱长为√2，底面边长为1，则直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为 ．8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 3＝1，S 7＝14，则a 5＝ ．9．已知α∈{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}．若函数f （x ）＝x α在（0，+∞）上递减且为偶函数，则α＝ ．10．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为 （结果用数值表示）．11．已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上．若AB ＝5，AM ＝3，BN ＝2，则AB →⋅MN →= ．12．已知函数f （x ）=1|x|−1．若关于x 的方程f （x ）﹣x ＝b 有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知向量a→=(1，x，−1)，b→=(x，1，1)，x∈R，则“x＝﹣1”是“a→∥b→”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（）A．19B．20C．18D．2115．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O．已知角α的终边l与单位圆交于点A（0.6，m），将l绕原点逆时针旋转π2与单位圆交于点B（x，y），若tanα=−43，则x＝（）A．0.6B．0.8C．﹣0.6D．﹣0.816．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间[0，1]平均分成n份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y＝x2上（如图），则当n→∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S．已知12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）．利用此方法计算出的由曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为（）A ．√63B ．√32C ．34D ．23三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为2√2． （1）求该圆锥的体积；（2）已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且∠BOC ＝90°，M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成的角的大小．18．已知函数f （x ）＝sin x −√3cos x ，x ∈R ．（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．若f （A ）＝0，且b ＝2，c ＝3，求a 的值；（2）求函数y ＝f （x ）cos x 的最大值．19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加ymol /L ，y 与x 的函数关系可近似地表示为y ={8−16x+2，0≤x ≤612−x ，6＜x ≤12．根据经验，当水中含有物质N 的量不低于4mol /L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol /L ，并说明理由． 20．（16分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的√2倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A、B，经过点P（0，4）的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点（不同于A、B两点）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线BM⊥l，求点M的坐标；（3）设直线AN、BM相交于点Q（m，n），求证：n是定值．21．（18分）若数列{c n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得c k＝c i c j”，则称数列{c n}具有“性质P”．已知数列{a n}为无穷数列．（1）若{a n}为等比数列，且a1＝1，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；（2）若{a n}为等差数列，且公差d＜0，求证：数列{a n}不具有“性质P”；（3）若等差数列{a n}具有“性质P”，且a3＝2，求数列{a n}的通项公式a n．参考答案一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合A ＝（﹣2，1]，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ （0，1] ． 【分析】进行交集的运算即可． 解：∵A ＝（﹣2，1]，B ＝（0，+∞）， ∴A ∩B ＝（0，1]． 故答案为：（0，1]．2．行列式|5182|的值等于 2 ．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．解：|5182|=5×2﹣8×1＝2． 故答案为：2．3．（1+x ）5的二项展开式的第三项的系数是 10 ．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出第三项的系数． 解：（1+x ）5的二项展开式的第三项的系数是C 52=10， 故答案为：10．4．若复数z 满足z 2＝﹣3，则|z |＝ √3 ．【分析】由已知求得|z 2|＝|z |2＝3，开方后得答案． 解：由z 2＝﹣3，得|z 2|＝|z |2＝3，则|z |=√3． 故答案为：√3．5．若实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，则z ＝x ﹣y 的最小值为 ﹣1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由实数x 、y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，作出可行域，化目标函数z ＝x ﹣y 为y ＝x ﹣z ，由图可知，当直线y ＝x ﹣z 过点A （0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．6．直线l ：{x =2+ty =−1+2t（t 是参数）的斜率为 2 ．【分析】直线l ：{x =2+ty =−1+2t （t 是参数），消去参数可得方程，即可得出斜率．解：直线l ：{x =2+ty =−1+2t （t 是参数），消去参数为：y ＝2x ﹣5，可得斜率k ＝2．故答案为：2．7．如图，已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱长为√2，底面边长为1，则直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为π4．【分析】连结BD ，推导出BD =√2，DD 1⊥平面ABCD ，∠D 1BD 是直线D 1B 和底面ABCD 所成的角，由此能求出直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小． 解：连结BD ，∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱长为√2，底面边长为1， ∴BD =√12+12=√2，DD 1⊥平面ABCD ， ∴∠D 1BD 是直线D 1B 和底面ABCD 所成的角， ∵D 1D ＝BD ，D 1D ⊥BD ， ∴∠D 1BD =π4，∴直线D 1B 和底面ABCD 所成的角的大小为π4．故答案为：π4．8．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 3＝1，S 7＝14，则a 5＝ 3 ． 【分析】由等差数列的性质可得：a 3+a 5＝a 1+a 7．再利用求和公式即可得出． 解：由等差数列的性质可得：a 3+a 5＝a 1+a 7． ∴S 7＝14＝7×12×（a 1+a 7）=72（1+a 5），解得：a5＝3，故答案为：3．9．已知α∈{﹣2，﹣1，−12，13，12，1，2，3}．若函数f（x）＝xα在（0，+∞）上递减且为偶函数，则α＝﹣2．【分析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得a＝﹣2、﹣1或−12，据此验证函数f（x）的奇偶性，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝xα为幂函数，若函数f（x）＝xα在（0，+∞）上递减，必有a＜0，则a＝﹣2、﹣1或−1 2，当a＝﹣2时，f（x）＝x﹣2=1x2，为偶函数，符合题意，当a＝﹣1时，f（x）＝x﹣1=1x，为奇函数，不符合题意，当a=−12时，f（x）=x，为非奇非偶函数，不符合题意；则a＝﹣2；故答案为：﹣210．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为49（结果用数值表示）．【分析】基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m= C42C31⋅A22=36，由此能求出每个项目都有该校教师参加的概率．解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m=C42C31⋅A22=36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p =m n=3681=49． 故答案为：49．11．已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上．若AB ＝5，AM ＝3，BN ＝2，则AB →⋅MN →= 12 ．【分析】连接BM ，BN ，利用数量积公式表示AB →⋅MN →，再结合其几何意义即可求出结果．解：连接BM ，BN ，因为AB 为直径，所以∠AMB ＝∠ANB ＝90°， 又因为AB ＝5，AM ＝3，BN ＝2， ∴BM =√52−32=4；∴AB →•MN →=AB →•（BN →−BM →） =AB →•BN →−AB →•BM →=−BA →•BN →+BA →•BM →＝|BA →|•|BM →|cos ∠ABM ﹣|BA →|•|BN →|•cos ∠ABN=BM →2−BN →2=42﹣22＝12．故答案为：12．12．已知函数f （x ）=1|x|−1．若关于x 的方程f （x ）﹣x ＝b 有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【分析】利用函数的奇偶性画出函数f（x）的大致图象，关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，等价于函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，利用导数的几何意义求出直线y＝x+b与函数f（x）相切时，b的值，根据函数图象，即可求出有三个不同的交点时b的取值范围．解：显然函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，画出函数f（x）的图象，如图所示：，关于x的方程f（x）﹣x＝b有三个不同的实数解，等价于函数y＝f（x）与函数y＝x+b 有三个不同的交点，设当x＜0且x≠﹣1时，直线y＝x+b与f（x）=1−x−1相切时，切点坐标为（x0，y0），∴f'（x）=1(x+1)2，∴1(x0+1)=1，解得：x0＝﹣2或0，∴切点坐标为（﹣2，1）或（0，﹣1），代入直线y＝x+b得：b＝3或﹣1，∴由函数f（x）的图象可知，当b＞3或b＜﹣1时，函数y＝f（x）与函数y＝x+b有三个不同的交点，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知向量a →=(1，x ，−1)，b →=(x ，1，1)，x ∈R ，则“x ＝﹣1”是“a →∥b →”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】由a →∥b →，可设a →=k b →，于是（1，x ，﹣1）＝k （x ，1，1），解出即可得出．解：由a →∥b →，可设a →=k b →，于是（1，x ，﹣1）＝k （x ，1，1）， ∴{1=kxx =k −1=k ，解得k ＝﹣1＝x ． ∴“x ＝﹣1”是“a →∥b →”的充要条件． 故选：C ．14．某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为（ ） A ．19B ．20C ．18D ．21【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x 号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45＝x +32，x ＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19． 故选：A ．15．在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ．已知角α的终边l 与单位圆交于点A （0.6，m ），将l 绕原点逆时针旋转π2与单位圆交于点B （x ，y ），若tan α=−43，则x ＝（ ） A ．0.6B ．0.8C ．﹣0.6D ．﹣0.8【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得x 的值．解：在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点A （0.6，m ），将l 绕原点逆时针旋转π2与单位圆交于点B （x ，y ），若tan α=−43=m0.6，∴m ＝﹣0.8，故A （0.6，﹣0.8）．由题意，x ＝cos （α+π2）＝﹣sin α＝0.8， 故选：B ．16．在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y ＝x 2、x 轴以及直线x ＝1所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[0，1]平均分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线y ＝x 2上（如图），则当n →∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S ．已知12+22+32+…+n 2=16n （n +1）（2n +1）．利用此方法计算出的由曲线y =√x 、x 轴以及直线x ＝1所围成的曲边区域的面积为（ ）A．√63B．√32C．34D．23【分析】由题意画出图形，结合已知求出曲线y=√x、y轴、y＝1围成的曲边梯形的面积，再由正方形的面积减去该面积可得曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．解：如图，把纵轴区间[0，1]，n等分，得到n个矩形，每一个矩形的底边长都是1n ，高分别为12n ，22n，32n，…，n2n．∴n个矩形的面积和为1n (12n2+22n2+32n2+⋯+n2n2)=1n3（12+22+32+…+n2）=n(n+1)(2n+1)6n3．∴曲线y=√x、y轴、y＝1围成的曲边梯形的面积为limn→∞n(n+1)(2n+1)6n3=limn→∞2n3+3n2+n6n3=limn→∞2+3n+1n26=13．∴由曲线y=√x、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为1−13=23．故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，母线长为2√2．（1）求该圆锥的体积；（2）已知AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，M为线段AC的中点，求异面直线OM与PB所成的角的大小．【分析】（1）在Rt△POB中，由已知结合勾股定理求得PO，即该圆锥的高h＝2．再由圆锥体积公式求解；（2）连接PC，BC，由M为线段AC的中点，得OM∥BC，则异面直线OM与PB所成的角就是直线BC与PM所成的角．由已知结合勾股定理得到PB＝PC＝BC，得到△PBC为等边三角形，则异面直线OM与PB所成的角的大小可求．解：（1）如图，由题意得PB=2√2，OB＝2．在Rt△POB中，PO=√PB2−OB2=2，即该圆锥的高h＝2．由圆锥的体积公式得V=13πr2h=8π3．即该圆锥的体积为8π3．（2）连接PC，BC，由M 为线段AC 的中点，得OM ∥BC ，∴异面直线OM 与PB 所成的角就是直线BC 与PB 所成的角． ∵∠POC ＝90°，∠BOC ＝90°， ∴PC =2√2，BC =2√2．在△PBC 中，PB =BC =PC =2√2， ∴△PBC 为等边三角形，即 ∠PBC =π3． 因此异面直线OM 与PB 所成的角的大小为π3．18．已知函数f （x ）＝sin x −√3cos x ，x ∈一、选择题．（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．若f （A ）＝0，且b ＝2，c ＝3，求a 的值；（2）求函数y ＝f （x ）cos x 的最大值．【分析】（1）由sinA −√3cosA =0，得 tanA =√3，解得得出A ，再利用余弦定理即可得出．（2）由题意得 y =(sinx −√3cosx)cosx ，利用倍角公式、三角函数的单调性即可得出最值．解：（1）由sinA −√3cosA =0，得 tanA =√3，因为A 为△ABC 的内角，所以 A =π3．…………………………………………………… 由余弦定理得 a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A =22+32−2×2×3×cos π3=7，所以 a =√7． ……………………………………………………… （2）由题意得 y =(sinx −√3cosx)cosx =sinxcosx −√3cos 2x =12sin2x −√3×1+cos2x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ =sin(2x −π3)−√32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为x ∈R ，所以y 的最大值为1−√32． ………………………………………19．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加ymol /L ，y 与x 的函数关系可近似地表示为y ={8−16x+2，0≤x ≤612−x ，6＜x ≤12．根据经验，当水中含有物质N 的量不低于4mol /L 时，物质N 才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol /L ，并说明理由．【分析】（1）由题意x ，（单位：天）时刻后水中含有物质N 的量列出分段函数的解析式，推出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数． （2）设第x （8≤x ≤12）天水中所含物质N 的量为ymol /L ，化简函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最大值，推出结果即可．解：（1）由题意x ，（单位：天）时刻后水中含有物质N 的量为y ={8−16x+2，0≤x ≤612−x ，6＜x ≤12．解y ≥4，得2≤x ≤8．所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用6天． （2）设第x （8≤x ≤12）天水中所含物质N 的量为ymol /L ，则y =(12−x)+[8−16(x−8)+2]=20−x −xx−6， y =14−[(x −6)+16x−6]≤14−2√(x −6)×16x−6=6， 当且仅当 x −6=16x−6，即 x ＝10∈[8，12]时，等号成立．即当x ＝10时，y max ＝6． 所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol /L ．20．（16分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点的坐标为（2，0），且长轴长为短轴长的√2倍．椭圆Γ的上、下顶点分别为A 、B ，经过点P （0，4）的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点（不同于A 、B 两点）． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线BM ⊥l ，求点M 的坐标；（3）设直线AN 、BM 相交于点Q （m ，n ），求证：n 是定值．【分析】（1）利用已知条件得到a =√2b ，a 2﹣b 2＝4，求出a ，b 然后求解椭圆方程． （2）由题意点B 的坐标为 （0，﹣2），设点M （x ，y ）．求出M 的轨迹方程，结合椭圆方程求出M 的坐标．（3）设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线l 的方程为y ＝kx +4．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合直线方程求解即可． 解：（1）由题意得 a =√2b ，a 2﹣b 2＝4， 解得 a =2√2，b ＝2， 所以所求椭圆Γ的方程为x 28+y 24=1．（2）由题意点B 的坐标为 （0，﹣2），设点M （x ，y ）． 因为BM ⊥MP ，所以x 2+（y +2）•（y ﹣4）＝0， 又x 28+y 24=1，解得 {x =−2√2y =0或 {x =2√2y =0或 {x =0y =−2（舍去）所以所求点M 的坐标为 (−2√2，0)或(2√2，0)．（3）设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线l 的方程为y ＝kx +4．由方程组 {y =kx +4x 28+y 24=1，得（1+2k 2）x 2+16kx +24＝0． 所以x 1+x 2=−16k 1+2k2，x 1x 2=241+2k2，直线AN 的方程为 y −2=y 2−2x 2⋅x ，得m =(n −2)⋅x 2kx 2+2， 直线BM 的方程为 y +2=y 1+2x 1⋅x ，得m =(n +2)⋅x 1kx 1+6， 所以n =2+2kx 1x 2+4x 13x 2−x 1， 因为2kx 1x 2＝﹣3（x 1+x 2），得n =2+−3(x 1+x 2)+4x 13x 2−x 1=2−1=1， 所以n 为定值1．21．（18分）若数列{c n }满足“对任意正整数i ，j ，i ≠j ，都存在正整数k ，使得c k ＝c i c j ”，则称数列{c n }具有“性质P ”．已知数列{a n }为无穷数列．（1）若{a n }为等比数列，且a 1＝1，判断数列{a n }是否具有“性质P ”，并说明理由； （2）若{a n }为等差数列，且公差d ＜0，求证：数列{a n }不具有“性质P ”； （3）若等差数列{a n }具有“性质P ”，且a 3＝2，求数列{a n }的通项公式a n ． 【分析】（1）由等比数列的通项公式、有理指数幂的运算性质结合新定义判定； （2）由已知a n ＝a 1+（n ﹣1）d ≤a 1，可得若a 1≤0，不存在正整数k ，使得a k ＝a 2a 3；若a 1＞0，当n ＞−a 1+√a 1d+1时，不存在正整数k ，使得a k ＝a 2a 3．说明当d ＜0时，数列{a n }不具有“性质P ”；（3）设数列{a n}的公差为d，则a n＝2+（n﹣3）d．由已知，对任意n∈N*，都存在正整数k，使得a k＝a3a n，整理可得d≠0，且2d=k−2n+3∈Z，对任意a n，设a k1=a n a n+1=a n(a n+d)，a k2=a n a n+2=a n(a n+2d)，n，k1，k2∈N∗，整理可得d＝a n+1﹣a n∈Z，再由由（2）知d≥0，综合解得d＝1或d＝2．分析d＝2时，不满足要求．d＝1，a n＝n ﹣1满足要求，即可求得a n＝n﹣1．【解答】（1）解：数列{a n}具有“性质P”．事实上，设数列{a n}的公比为q，则a n=q n−1，n∈N*．对任意正整数i，j，i≠j，a i a j=q i+j−2，∵i+j﹣1≥2，∴a i+j﹣1＝a i a j．∴数列{a n}具有“性质P”；（2）证明：由已知a n＝a1+（n﹣1）d≤a1，①若a1≤0，则a3＜a2＜0，a2a3＞0≥a1，∴不存在正整数k，使得a k＝a2a3；②若a1＞0，则当n＞−a1+√a1d+1时，a n+1＜a n＜−√a1，a n a n+1＞a1，∴不存在正整数k，使得a k＝a2a3．综上，当d＜0时，数列{a n}不具有“性质P”；（3）解：设数列{a n}的公差为d，则a n＝2+（n﹣3）d．由已知，对任意n∈N*，都存在正整数k，使得a k＝a3a n，即2+（k﹣3）d＝2[2+（n﹣3）d]，∴d≠0，且2d=k−2n+3∈Z，①对任意a n，设a k1=a n a n+1=a n(a n+d)，a k2=a n a n+2=a n(a n+2d)，n，k1，k2∈N∗，∴(k2−k1)d=a k2−a k1=a n d，得a n＝k2﹣k1∈Z，因此d＝a n+1﹣a n∈Z，②由（2）知d≥0，又由①、②可得d＝1或d＝2．当d＝2时，a1＝﹣2，a1a3＝﹣4＜a1≤a n，不满足要求．∴d＝1，a n＝n﹣1．验证a n＝n﹣1满足要求，故a n＝n﹣1．。
2020年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x∈R，则“”是“x＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图（%）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是（）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高3.已知圆（x-2）2+y2=9的圆心为C，过点M（-2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分4.对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足（）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={1，2，3，4}，B={x|2＜x＜5，x∈R}，则A∩B=______6.已知复数z满足i=3+4i（i是虚数单位），则|z|=______7.若线性方程组的增广矩阵为，解为则m+n=______8.在的二项展开式中，常数项的值为______9.已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为______.10.已知实数x，y满足，则x+2y的最小值为______11.设函数（其中a为常数）的反函数为f-1（x），若函数f-1（x）的图象经过点（0，1），则方程f-1（x）=2的解为______12.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为______（结果用数值表示）13.已知直线（t为参数）与抛物线y2=4x相交于A、B两点，若线段AB中点的坐标为（m，2），线段AB的长为______．14.在△ABC中，已知，P为线段AD上的一点，且满足，若△ABC的面积为，，则的最小值为______．15.已知有穷数列{a n}共有m项，记数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），……第n（1≤n≤m）项及以后所有项和为S（n），若S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，a n=______16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=log2（x+a），若对于x属于[0，1]都有，则实数t的取值范围为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.18.已知函数，（1）若，且，求f（α）的值；（2）求函数f（x）最小正周期及函数f（x）在上单调递减区间．19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系（0≤x≤10）设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）请解释H（0）的实际意义，并求f（x）的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f（x）最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于P、Q．（1）求△F1PQ的周长；（2）设点A为椭圆Γ的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若，求点P的横坐标；（3）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N求△QF2N面积的最大值．21.记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令．求：（1）若，写出b1，b2，b3，b4的值；（2）设，若b3=-3，求λ的值及n≥4时数列{b n}的前n项和S n；（3）求证：“数列{a n}是等差数列”的充要条件是“数列{b n}是等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．利用不等式的解法解出：“”，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．本题考查了新定义的理解，图表认知，属于基础题．3.答案：C解析：解：可得圆（x-2）2+y2=9的圆心为C（2，0），半径为R=3．如图，∵CB=CA=R=3，∴∠CBA=∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA=∠CAB=∠PMA，∴PM=PB=PC+BC⇒PM-PC=BC=3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：C．根据题意可得PM-PC=BC=3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于基础题．设等腰△ABC中A=B，由已知得，则，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【解答】解：设A=B，由已知得，则，所以，（舍），或，解得：．故选：B．5.答案：{3，4}解析：解：∵A={1，2，3，4}，B={x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．6.答案：5解析：解：由i=3+4i，得，∴|z|=||=．故答案为：5．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.答案：3解析：解：由题意，可将增广矩阵的形式还原为线性方程组，得：，∵解为，∴m=2，n=1．∴m+n=3．故答案为：3．本题可可将增广矩阵的形式还原为线性方程组的形式，然后将解代入方程组即可得到m、n的值，即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的相关概念及线性方程组的求参数．本题属基础题．8.答案：6解析：解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1=x4-r=x4-2r，令4-2r=0，解得r=2．∴常数项==6．故答案为：6．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：10π解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积，属于基础题.根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，由侧面积公式可得．【解答】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以该圆锥的侧面积为5×2π=10π，故答案为：10π．10.答案：-2解析：解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，-1）．化z=x+2y为y=-x+，由图可知，当直线y=-x+过A（0，-1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=0+2×（-1）=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.答案：x=1解析：解：由y=f（x）=，得x-a=y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f-1（x）=x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a=1．∴f-1（x）=x2+1（x≥0）．由f-1（x）=2，得x2+1=2，即x=1．故答案为：x=1．求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f-1（x）=2的解可求．本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．12.答案：解析：解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m==7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p=．故答案为：．基本事件总数n==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m==7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：8解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．根据直线的参数方程可得直线经过抛物线的焦点，利用点差法求出直线AB的斜率，根据抛物线的弦长公式即可求出线段AB的长.【解答】解：直线（t为参数），过定点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，可得，即,所以,所以直线AB的方程为，所以，因为抛物线y2=4x的焦点坐标为，所以直线AB过抛物线的焦点，所以,故答案为：8．14.答案：2解析：解∵=∵A，P，D三点共线，∴，即m=．∴===，又∵．∴，即CA•CB=8．∴====．故答案为：2．利用A，P，D三点共线可求出m=，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．15.答案：-2n-1解析：解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）=n+=n2，则a n=S（n）-S（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，故填：-2n-1．设数列{a n}的前n项和为T n，则S（n）=T m-T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到a n的表达式．本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．16.答案：[0，3]解析：解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f （0）=0，得a=1，所以当0≤x≤1时，f（x）=log2（x+1），当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，此时f（x）=-f（-x）=-log2（-x+1），又知道f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以f（x）以x=1为对称轴．且当x∈[-1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[-1，3]时，令f（x）=1-log23，得x=-，或x=，所以在[-1，3]内当f（x）＞1-log23时，x∈[-，]．设g（x）=-，若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）=∈[-，]．，故g（x）∈[-，]．①当＜0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t-，]⊆[-，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t-1，]⊆[-，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[-，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t-]⊆[-，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）=0，得a=1，先得到[-1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1-log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．17.答案：解：（1）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，A1B与底面ABCD所成的角为，AA1⊥平面ABCD，∴∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，∴∠A1BA=，∴AA1=AB=1，∴三棱锥A1-BCD的体积：=AA1×S△BCD==．（2）∵A1D∥B1C，∴∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），∵由（1）知AA1=1，∴A1D=BD=A1B，∴∠DA1B=，∴异面直线A1B与B1C所成的角的大小为．解析：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA=，进而AA1=AB=1，由此能求出三棱锥A1-BCD的体积．（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小.18.答案：解：（1）∵函数，若，且，∴cosα==，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-=（+）-=．（2）由题意知函数=sin2x+-=sin（2x+），故f（x）的最小正周期为=π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．∵x∈[0]，∴函数f（x）在上单调递减区间为[，]．故f（x）在上单调递减区间为[，].解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值．（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．19.答案：解：（1）H（0）==8，H（0）的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f（x）的解析式为：（0≤x≤10）．（2）f（x）=+6x=2（3x+5）-10≥2-10=70．当且仅当=2（3x+5）即x=5时取等号．∴厚度为5mm时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意可得a=2，则△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a=4×2=8，（2）设P（x0，y0），0＜x0＜2，∴+=1，∵A（0，），F2（1，0），∴直线AF的方程为y=-x+，设M的坐标为（x M，y M），∴y M=-x M+，∵，∴（x M+1，y M）=（x0+1，y0），∴x M=x0-，y M=y0，∴y0=-（x0-）+，即y0=-（x0-2），代入到+=1，整理化简可得5x02-16x0+12=0，解得x0=2（舍去）或x0=，故点P的横坐标为，（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．∴y1+y2=-，y1y2=-，由题设知，R（x1，-y1），∴直线QR的方程为y+y1=（x-x1）．令y=0，得x=x1+=my1+1+=1+m（）=1+m•=1+2m•=4，∴点N（4，0）．∴|F2N|=4-1=3，∴△QF2N面积S=|F2N|•|y2|=|y2|，∵0＜|y2|≤，当|y2|=时，△QF2N面积最大，最大值为．解析：（1）根据椭圆的性质可得周长为4a，即可求出答案，（2）设P（x0，y0），求出直线AF，设M的坐标为（x M，y M），根据，可得x M=x0-，y M=y0，即可得到y0=-（x0-2），代入到+=1，整理即可求出（3）联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P，Q的纵坐标的和与积，再求出N的坐标，写出三角形面积公式，即可求出．本题考查椭圆方程的性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，向量的运算，直线方程，韦达定理，考查计算能力和转化能力，是中档题．21.答案：（1）b1=-1，，，b4=1；（2）λ=4，；（3）证明略．解：（1）∵a n=2n-3n，∴a1=-1，a2=-2，a3=-1，a4=4，∴b1=-1，b2=-，b3=-，b4=1；（2）设，可得a1=2-λ，a2=4-2λ，a3=8-3λ，若b3=-3，可得λ＞0，由6-3λ=-6，可得λ=4；由10-4λ=-6，可得λ=4；由12-5λ=-6，可得λ=，若λ=4，可得a1=-2，a2=-4，a3=-4，满足题意；λ=时，a1=-，a2=-，a3=-，可得b3=-，不符题意，舍去，综上可得λ=4，即有数列中的项为-2，-4，-4，0，12，40，…，可得b n=，n≥5，则前n项和S n=-10+（24+25+…+2n-1）-2（6+7+…+n+1）=-10+-2•（（n-4）（6+n+1）=2n-n2-3n+2；（3）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n=，b n+1==b n+，故“数列{b n}是等差数列”；必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，则b n+1-b n=-=+=d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1=M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n=a n，m n=a1，则b n+1-b n=-==d′，即a n+1-a n=2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′=0时，M n+1=M n，且m n+1=m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件．解析：（1）分别计算出a1，a2，a3，a4结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到b n，由数列的分组求和，可得所求和；（3）充分性易证，无论d为何值，始终有b n=，即可证得结果，必要性须分类证明．本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．。
2020年上海市闵行区高中数学高考二模试卷含详解
上海市闵行区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.设集合A={1,3,5,7},B={x|4≤x≤7},则A∩B=___.2.已知复数z 满足i·z=1+i (i 为虚数单位),则Imz=___.3.若直线ax+by+1=0的方向向量为(1,1),则此直线的倾斜角为____.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若31212,2,S S S a =+=则5a =___.5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30°,则该圆锥的侧面积为___.6.在81x 的二项展开式中,常数项的值为___.7.若x ､y 满足|x|≤y+1,且y≤1,则x+3y 的最大值为___.8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,并从小到大排成一个数列,此数列为等比数列的概率为____.(结果用最简分数表示)9.已知直线1l :y=x,斜率为q (0<q<1)的直线2l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点0(0,),B a 过0B 作x 轴的平行线,交1l 于点1,A 过1A 作y 轴的平行线,交2l 于点1,B 再过1B 作x轴的平行线交1l 于点2,,A 这样依次得线段01111222B A A B B A A B 、、、….､1n n n n B A A B -、，记n x 为点n B 的横坐标,则lim n n x →∞=___.10.已知f(x+2)是定义在R 上的偶函数,当12,[2,),x x ∈+∞且12,x x ≠总有12120()()x x f x f x -<-,则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为___.11.已知A ､B ､C 是边长为1的正方形边上的任意三点,则AB AC ⋅的取值范围为___.12.已知函数()4f x sinx cosx sinxcosx k =+--,若函数y=f(x)在区间(0,π)内恰好有奇数个零点,则实数k 的所有取值之和为___.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.在空间中,“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.某县共有300个村,现采用系统抽样方法,抽取15个村作为样本,调查农民的生活和生产状况,将300个村编上1到300的号码,求得间隔数3002015k ==,即每20个村抽取一个村,在1到20中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从41到60这20个数中应取的号码数是()A.45B.46C.47D.4815.已知抛物线的方程为24,y x =过其焦点F 的直线交此抛物线于M ､N 两点,交y 轴于点E,若12,EM MF EN NF λλ== ,则12λλ+=()A.-21.2B - C.1 D.-116.关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根,若这四个根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是()A.{5} B.{-1} C.(0,1) D.(0,1)∪{-1}三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥BC,AB=BC=2,1AA =M 是侧棱1C C 上一点,设MC=h.(1)若h =求多面体111ABM A B C -的体积;(2)若异面直线BM 与11AC 所成的角为60°,求h 的值.18.已知函数()2()3cos cos 0f x x x x ωωωω=>.(1)当f(x)的最小正周期为2π时,求ω的值;(2)当ω=1时,设△ABC 的内角A ､B ､C 对应的边分别为a ､b ､c,已知()3,2Af =且6a b ==,求△ABC 的面积.19.如图,A ､B 两地相距100公里,两地政府为提升城市的抗疫能力,决定在A ､B 之间选址P 点建造储备仓库,共享民生物资,当点P 在线段AB 的中点C 时,建造费用为2000万元,若点P 在线段AC 上(不含点A),则建造费用与P ､A 之间的距离成反比,若点P 在线段CB 上(不含点B ),则建造费用与P ､B 之间的距离成反比,现假设P ､A 之间的距离为x 千米(0<x<100),A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元,B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100-x)万元,f(x)表示建造仓库费用,g(x)表示两地物资每年的运输总费用(单位:万元).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若规划仓库使用的年限为()*N ,()()()n n H x f x ng x ∈=+,求H(x)的最小值,并解释其实际意义.20.在平面直角坐标系中,A ､B 分别为椭圆Γ:2212x y +=的上､下顶点,若动直线l 过点P(0,b)(b>1),且与椭圆Γ相交于C ､D 两个不同点(直线l 与y 轴不重合,且C 、D 两点在y 轴右侧,C 在D 的上方),直线AD 与BC 相交于点Q.(1)设Γ的两焦点为12,F F 、求12F AF ∠的值;(2)若3,b =且3,2PD PC = 求点Q 的横坐标;(3)是否存在这样的点P,使得点O 的纵坐标恒为13若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.21.已知数列{},n x 若对任意*,n ∈N 都有212n n n x x x +++>成立,则称数列{}n x 为“差增数列”.(1)试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”,并说明理由;(2)若数列{}n a 为“差增数列”,且*12,1n a a a ∈==N ,对于给定的正整数m,当,k a m =项数k 的最大值为20时,求m 的所有可能取值的集合;(3)若数列{lg }n x 为“差增数列”,*(,2020)n n ∈≤N ，且122020l lg lg 0gx x x +++= ,证明:10101011 1.x x <上海市闵行区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤，则A B = __________.【答案】{5,7}【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤{5,7}A B = .故答案为:{5,7}.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知复数z 满足1i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =__________．【答案】1-【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由1i z i ⋅=+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--，∴Im 1z =-.故答案为：1-.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.若直线10ax by ++=的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为__________．【答案】4π【解析】【分析】利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】解：∵直线10ax by ++=的方向向量为()1,1，∴直线的斜率为1，∴直线的倾斜角为4π.故答案为：4π.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =__________．【答案】6【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，31212,2S S S a =+= ，3232222d d ∴⨯+=⨯+⨯+，解得1d =.则5246a =+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30 ，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯ ∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.81x ⎫-⎪⎭二项展开式的常数项为________.【答案】28【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项公式，求出展开式的常数项．【详解】解：81x ⎫⎪⎭展开式的通项为()848318811rr r r r r r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，解得2r =，所以常数项为()22038128T C x =-=故答案为：28【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题．7.若x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，则3x y +的最大值为__________．【答案】5【解析】【分析】画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值.【详解】解：由x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，画出可行域如图所示，11y x y =⎧⎨=+⎩可得A （2，1），则目标函数3z x y =+在点A （2，1）取得最大值，代入得35x y +=，故3x y +的最大值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键.8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________．（结果用最简分数表示）【答案】128【解析】【分析】先求出基本事件总数3984n C ==，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有4个，由此能求出此数列为等比数列的概率.【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，基本事件总数3984n C ==，此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共3个，∴此数列为等比数列的概率为318428P ==.故答案为：128.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.已知直线1:l y x =，斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，…，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、…、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=__________．【答案】1a q-【解析】【分析】先由题设条件得出点123,,B B B 的坐标，根据它们之间的关系求出点n B 的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出lim n n x →∞.【详解】解：∵斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，直线1:l y x =，∴A 1（a ，a ）.∵A 1B 0∥x 轴，∴B 1（a ，aq +a ），A 2（aq +a ，aq +a ）.∵B 1A 2∥x 轴，∴B 2（aq +a ，aq 2+aq +a ）.同理可得：A 3（aq 2+aq +a ，aq 2+aq +a ），B 3（aq 2+aq +a ，aq 3+aq 2+aq +a ），…，B n （aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a ，aq n +aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a ），∵x n 为点B n 的横坐标，∴x n ＝aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a .故x n 是首项为a ，公比为q （0＜q ＜1）的等比数列的前n 项的和，由数列极限的运算性质得：lim 1n n a x q→∞=-.故答案为：1a q-.【点睛】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于中档题.10.已知()2f x +是定义在R 上的偶函数，当12[2,,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()131(12)x f f +-+<的解集为__________．【答案】()1,+∞【解析】【分析】根据题意可得出()2f x +在[)0,+∞上单调递减，且()1312(102)x f f +-+<+-，从而根据原不等式即可得出13110x +-->，解出x 的范围即可.【详解】解：∵12[2,,)x x ∈+∞，且12x x ≠时，()()12120x x f x f x -<-，∴()f x 在[)2,+∞上单调递减，∴()2f x +在[)0,+∞上单调递减，∴由()131(12)x f f +-+<得()1312(102)x f f +-+<+-，∴13110x +-->，解得1x >，∴原不等式的解集为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.11.已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的取值范围为__________．【答案】1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建系，设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），利用不等式，考虑极限情况求范围.【详解】解：建系如图，M （1，0），N （1，1），P （0，1），设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），其中a ，p ，q ，r ，s ∈[0，1]，(,)(,)()()(10)(10)112AB AC p a q r a s p a r a qs ⋅=-⋅-=--+≤-⨯-+⨯= ，当且仅当10p r q s a ====⎧⎨=⎩或10a q s p r ===⎧⎨==⎩时,等号成立；(,)(,)()()()()0()()AB AC p a q r a s p a r a qs p a r a a p r a ⋅=-⋅-=--+≥--+=--- 2124p r -⎛⎫≥-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当10a p r a p r qs -=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即12100a p r qs ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩或12010a p r qs ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩时，等号成立.故答案为：1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.已知函数()sin cos 4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为__________．【答案】1+【解析】【分析】讨论0＜x ≤2π时与2π＜x ＜π时函数解析式，令k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：（1）当0＜x ≤2π时，设k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x +cos x sin （x +4π），则t ∈[1]，k ＝t ﹣2（t 2﹣1）＝﹣2t 2+t +2，t ∈[1]为单调函数，则可知当t ＝1时，即k ＝1时，一解；当t 时，即k 2-时，一解；当1＜t ﹣2＜k ＜1时两解；（2）当2π＜x ＜π时，设k ＝sin x ﹣cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x ﹣cos x sin （x ﹣4π），则t ∈（1]，k ＝t +2（t 2﹣1），t ∈（1]也为单调函数，则可知当1＜t 时，即1＜k ＜时两解，当t 时，即k 2+时一解，综上：k ＝1或k ﹣2或k 2+，故所有k 的和为1.故答案为：1+.【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14.某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k ==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（）A.45B.46C.47D.48【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k ==，在1到20中抽到的是7，则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.15.已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M ．N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ= ，2EN NF λ= ，则12λλ+=（）A .2- B.12- C.1 D.1-【答案】D【解析】【分析】设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线方程联立，由1EM MF λ= ，2EN NF λ= ，分别表示出λ1，λ2，利用根与系数关系即可算得答案.【详解】解：根据条件可得F （1，0），则设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以E （0，﹣k ），联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，则x 1+x 2＝2224k k+，x 1x 2＝1，因为1EM MF λ= ，2EN NF λ= ，所以λ1（1﹣x 1）＝x 1，λ2（1﹣x 2）＝x 2，即有λ1＝111x x -，λ2＝221x x -，所以()221212122122112221242212411111k x x x x x x k x x x x x x k k λλ+-+-=+===-+---++-++.故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题.16.关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（）A.{}5 B.{}1- C.()0,1 D.(){}0,11- 【答案】D【解析】【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ，得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ，故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}.故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，1AA =，M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =．（1）若h =，求多面体111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11A C 所成的角为60︒，求h 的值．【答案】（1）1033；（2）2【解析】【分析】（1）多面体111ABM A B C -的体积为111ABC A B C M ABC V V V --=-，由此能求出结果；（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h 的值.【详解】解：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，1AA =M 是侧棱C 1C 上一点，设MC ＝h =，∴多面体ABM ﹣A 1B 1C 1的体积为：111ABC A B C M ABCV V V --=-＝112AB BC AA ⨯⨯⨯﹣1132AB BC MC ⨯⨯⨯⨯＝1112222232⨯⨯⨯-⨯⨯⨯＝3.（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），M （2，0，h ），A 1（0，2，C 1（2，0，BM ＝（2，0，h ），11AC ＝（2，﹣2，0），∵异面直线BM 与A 1C 1所成的角为60°，∴cos60°＝1111||||||BM A C BM A C ⋅⋅，由h ＞0，解得h ＝2.【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18.已知函2()3cos cos (0)f x x x xωωωω=+>．（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值;（2）当1ω=时，设ABC 的内角A ．B ．C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且a =6b =，求ABC 的面积．【答案】（1）12ω=；（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f （x （2ωx +3π）+32，根据f （x ）的最小正周期为2π，可得ω.（2）当ω＝1时，32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（2×23A π+）+32＝3，解得A ，利用余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，解得c ，即可得出△ABC 的面积S .【详解】解：（1）函数2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=+>.∴f （x ）＝3×1cos 2sin 222x x ωω++sin （2ωx +3π）+32，当f （x ）的最小正周期为2π时，22πω＝2π，解得ω＝12；（2）当ω＝1时，32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，（2×23A π+）+32＝3，又A 为三角形的内角，解得A ＝3π.且6a b ==，由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，∴c 2﹣6c +8＝0，解得c ＝2或4.∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝.【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19.如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米()0100x <<，A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为()0.5100x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．（1）求函数()f x 的解析式;（2）若规划仓库使用的年限为*()n n ∈N ，()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义．【答案】（1）当050x <≤，100000()f x x =；当50100x <<，100000()100f x x=-；（2）505n n +，见解析【解析】【分析】（1）由题意，设f （x ）＝12,050,50100100k x x k x x⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩，由f （50）＝2000，求得k 1与k 2的值，则函数解析式可求；（2）求出g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50，然后分段写出H （x ），求导后再对n 分类求解H （x ）的最小值，并解释其实际意义.【详解】解：（1）由题意，设f （x ）＝12,050,50100100k x x k x x ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩，由f （50）＝2000，求得k 1＝k 2＝100000.∴f （x ）＝100000,050100000,50100100x x x x⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩；（2）g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50，若0＜x ≤50，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）＝100000250nx n x++，H ′（x ）＝222100000nx x -，由H ′（x ）＝0，得x ＝5n，若n ∈N *且n ≤20，则H （x ）在（0，50]上单调递减，H （x ）min ＝H （50）＝2000+150n ；若n ∈N *且n ＞20，则H （x ）在（0，5n ）上单调递减，在（5n，50）单调递增，∴min ()504005H x n n =+；若50＜x ＜100，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）＝100000250100nx n x++-，H ′（x ）＝21000002(100)n x +-＞0，H （x ）在（50，100）上单调递增，若n ∈N *且n ≤20，则H （x ）＞2000+150n ；若n ∈N *且n ＞20，则H （x ）＞50n +.综上，若n ∈N *且n ≤20，则H （x ）min ＝2000+150n ；若n ∈N *且n ＞20，则min ()50H x n =+.实际意义：建造储备仓库并使用n 年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题.20.在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值;（2）若3b =，且32PD PC = ，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【解析】【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°；（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b-=+，直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论.【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1），则∠OAF 2＝45°，∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），∵32PD PC = ，∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-，而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =，∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==，∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23；（3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0，由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+，直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++，则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13.【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.21.已知数列{}n x ，若对任意*n ∈N ，都有212n n n x x x +++>成立，则称数列{}n x 为“差增数列”．（1）试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*n a ∈N ，121a a ==，对于给定的正整数m ，当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{}lg n x 为“差增数列”，*2),00(2n n ≤∈N ，且122020lg lg lg 0x x x +++= ，证明:10101011 1x x <．【答案】（1）是；见解析（2）*,17{2|}190m m m ∈≤≤N ；（3）见解析【解析】【分析】（1）数列()2*n a n n =∈N 是“差增数列”.由新定义可知，只要证明22n n a a ++＞a n +1即可；（2）由新定义可得对任意的n ∈N*，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立，可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得a n ，由于1≤n ≤19，结合条件可得m 的取值集合；（3）运用反证法证明，假设x 1010x 1011≥1，由题意可得x 1x 2…x 2020＝1，1n n x x +＜21n n x x ++，运用不等式的性质推得x 1009x 1012＞1，即可得到矛盾，进而得证.【详解】解：（1）数列()2*n a n n =∈N 是“差增数列”.因为任意的n ∈N *，都有a n +a n +2＝n 2+（n +2）2＝2n 2+4n +4＝2（n +1）2+2＞2（n +1）2＝2a n +1，即22n n a a ++＞a n +1成立，所以数列()2*n a n n =∈N 是“差增数列”；（2）由已知，对任意的n ∈N *，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立.可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），则b n ∈N ，且b n ＜b n +1，又a n ＝m ，要使项数k 达到最大，且最大值为20时，必须b n （1≤n ≤18）最小.而b 1＝0，故b 2＝1，b 3＝2，…，b n ＝n ﹣1.所以a n ﹣a 1＝b 1+b 2+…+b n ﹣1＝0+1+2+…+（n ﹣2）＝12（n ﹣1）（n ﹣2），即当1≤n ≤19时，a n ＝1+(1)(2)2n n --，a 19＝154，因为k 的最大值为20，所以18≤a 20﹣a 19＜18+19，即18≤m ﹣154＜18+19，所以m 的所有可能取值的集合为{m |172≤m ＜191，m ∈N *}.（3）证明：（反证法）假设x 1010x 1011≥1.由已知可得x n （n ＝1，2，…，2020）均为正数，且x 1x 2…x 2020＝1，1n nx x +＜21n n x x ++.而由1n n x x +＜21n n x x ++可得10101009x x ＜10111010x x ＜10121011x x ，即x 1010x 1011＜x 1009x 1012，所以x 1009x 1012＞1.又10101008x x ＝10101009x x •10091008x x ＜10121011x x •10131012x x ＝10131011x x ，即x 1008x 1013＞1，同理可证x 1007x 1014＞1，…，x 1x 2020＞1，因此x 1x 2…x 2020＞1，这与已知矛盾，所以x 1010x 1011＜1.【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。
2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.不等式的解集为A. B.C. D.2.设z是复数，则“z是虚数”是“是虚数”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.设，是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大4.设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项，，，的乘积是定值2，3，，命题：存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为A. 和都是真命题B. 是真命题是假命题C. 是真命题，是假命题D. 都是假命题二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设集合2，3，，3，5，，则______ ．6.行列式的值为______．7.函数的最小正周期为______．8.设i是虚数单位，复数z满足，则______．9.若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和______．10.在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为______结果用最简分数表示11.实数x，y满足约束条件，目标函数的最大值为______．12.已知曲线的参数方程为是参数，曲线的参数方程为是参数，则和的两个交点之间的距离为______．13.数列满足，且对任意均成立，则______．14.设，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则______．15.设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若：：：1：2，则的值为______．16.已知抛物线与的焦点均为点，准线方程分别与，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知．求该圆锥的体积；求异面直线OM与AP所成角的大小．18.已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且，．若，求c；设点M是边AB的中点，若，求三角形ABC的面积19.某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一；策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足；策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足；设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？20.已知双曲线H：，经过点的直线l与该双曲线交于M、N两点．若l与x轴垂直，且，求b的值；，且M、N的横坐标之和为，证明：；设直线l与y轴交于点E，，求证：为定值21.，其中m是实常数．若，求m的取值范围；若，求证：函数的零点有且仅有一个；若，设函数的反函数为，若，，，是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由题可以转化为，解得，故选：B．由题将分式不等式转化成不等式组，进行求解即可得出结果．本题主要考查的是分式不等式，注意端点，是道基础题．2.答案：B解析：解：由题知z是虚数不一定能推出是虚数，比如，则，而反过来是虚数一定能推出z是虚数，假如z不是虚数，则一定不是虚数，产生矛盾，所以z 一定是虚数，所以是必要非充分条件，故选：B．由题分析知z是虚数不一定是虚数，而反过来一定成立，即可得出结论．本题主要是以复数为载体考查充分，必要条件，是道基础题．3.答案：B解析：解：设，，，，记，，所以s的大小的变化情况为逐渐变小．故选：B．设出P的坐标，利用已知条件，化简s的表达式，利用三角函数的性质，推出结果即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的性质，是中档题．4.答案：D解析：解：依题意，，，则数列的周期为11，，项中包含了183个完整周期，不到184个周期，若每个周期有2个1，则至少有个1，若每个周期1个1，则至多有184个1，不可能恰有365个1，故错误；若每个周期有3个1，则至少有个1，至多有个1，可能存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1，故错误；故选：D．依题意，分析可知，数列的周期为11，而2020项中包含了183个完整周期，不到184个周期，由此分别判断，的真假即可．本题以数列为载体，考查命题的真假判断，考查创新意识及逻辑推理能力，属于中档题．5.答案：解析：解：集合2，3，，3，5，，所以．故答案为：．根据交集的定义进行计算即可．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．6.答案：10解析：解：由题意，可知：．故答案为：10．本题根据行列式的特点可对第三列进行展开，将三阶行列式转化为二阶行列式进行计算即可得到结果．本题主要考查行列式的按列展开进行计算，考查了转化思想，定义法，以及数学运算能力．本题属基础题．7.答案：解析：解：由题意知：，故．故答案为：．先对函数降幂化简，然后套周期公式即可．本题考查三角函数式的化简及周期的计算，属于基础题．8.答案：解析：解：是虚数单位，复数z满足，．故答案为：．利用复数的代数形式的乘除法则直接求解．本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除法则等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．9.答案：解析：解：是无穷等比数列，首项，公比，，各项的和．故答案为：．由等比数列前n项和公式得，各项的和，由此能求出结果．本题考查等比数列的各项和的求法，考查等比数列的性质、极限等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．10.答案：解析：解：在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，基本事件事件总数，选出的学生恰为1男1女包含的基本事件总数，则选出的学生恰为1男1女的概率为．故答案为：．基本事件事件总数，选出的学生恰为1男1女包含的基本事件总数，由此能求出选出的学生恰为1男1女的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．11.答案：解析：解：作出约束条件对应的平面区域如图阴影部分，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时f最大．由，解得代入目标函数得．即目标函数的最大值为．故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求f的最大值．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．12.答案：解析：解：由曲线的参数方程是参数，得其普通方程为，由曲线的参数方程是参数，得其普通方程为，则曲线是以为圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，和的两个交点之间的距离为．故答案为：．先将曲线和化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离d，进一步求出和的两个交点之间的距离．本题考查了参数方程转化为普通方程和点到直线的距离公式，考查了转化思想，属基础题．13.答案：3031解析：解：对任意均成立，时可得：，相减可得：，令时，可得：，可得，数列是等差数列，首项为4，公差为3．．故答案为：3031．对任意均成立，时可得：，相减可得：，令时，可得：，可得，可得数列是等差数列，利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：10解析：解：由题意可知，的展开式中的有理项即为展开式中的所有奇数项，并且它的展开式各项的系数与展开式中各项的系数对应相等．令式中，展开式的奇数项系数和为A，偶数项系数之和为B．对于式：令，可得，由已知得，，令，所以．所以．故答案为：10．经分析可知，有理项即为展开式中的奇数项，因为的系数为1，所以可以将用x替换，然后令，，得到展开式中奇数项系数之和与偶数项系数之和的方程组，求出各项系数之和，即可求出n的值．本题考查二项展开式的项的性质，以及赋值法在研究展开式中系数时的应用，要注意转化思想的应用．属于中档题．15.答案：解析：解：因为是同一平面上的三个两两不同的单位向量，由：：1，所以，与，夹角相等，设为，则，夹角为或，又：：2，：：2，即，，则，舍．则，故答案为：．由条件得，与，夹角相等，设为，则，夹角为或，再利用数量积的定义列出的三角方程，解出，进而求．本题考查了平面向量的数量积的应用问题，三角函数求值问题，是综合性题目．16.答案：解析：解：根据抛物线与的焦点均为点，准线方程分别与，可得抛物线与的方程分别为与，两抛物线交于A、B两点，只需联立两方程即可求出直线AB的方程，直线AB的方程为，即或，经检验当时，不符合条件，直线AB的方程为，故答案为：．根据条件求出与的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．17.答案：解：如图所示，连接OP，则底面OAB．点M是母线BP的中点，．．该圆锥的体积．连接AB，取AB的中点D，连接OD，DM．中，，．为异面直线OM与AP所成角或其补角．在等腰直角三角形OAB中，．在中，由余弦定理可得：，异面直线OM与AP所成角的大小．解析：如图所示，连接OP，则底面点M是母线BP的中点，可得，利用体积计算公式可得该圆锥的体积．连接AB，取AB的中点D，连接OD，利用三角形中位线定理可得：，为异面直线OM与AP所成角或其补角．利用余弦定理即可得出．本题考查了圆锥的性质、异面直线所成的角、圆锥的体积计算公式、余弦定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：中，，，，由余弦定理得，，即，整理得，解得或不合题意，舍去，所以；如图所示，点M是边AB的中点，，，所以，即，解得，所以，的面积．故答案为：．解析：利用余弦定理列方程，即可求得c的值；用向量表示中线CM，求出，再求，即可求得的面积．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是中档题．19.答案：解：策略A：因为，策略B：因为当，可得，当时，两者相等，当时，策略B的更小；当时，策略A的更小；Ⅱ时，选择策略B，当，时则，可得，所以所以虫害的危机最快在第9周解除．解析：分别有两个通项公式可得的值，求出两个值相等时的的值，然后求出在区间上的两种策略下的严重程度更小；由可得选择策略2，求出时，由通项公式可得相对应的n的值本题考查等差数列的通项公式的应用，属于中档题．20.答案：解：由题意可得直线l的方程为，代入双曲线的方程可得，解得，可设，，即有，解得；证明：由，可得双曲线的方程为，设，，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立双曲线的方程可得，可得，，由，即，解得，此时，则，，可得，即有；证明：由题意可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为，可得，又点，且设，，由，可得，即，，可得，，由M在双曲线上，可得，即有，化简可得，由，可得，同理可得，故、为方程的两个实根，可得为定值．解析：由题意可得直线l：，联立双曲线方程求得M，N的坐标，可得，解方程可得b的值；求得双曲线的方程，设，，判断直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立双曲线的方程，运用韦达定理，由题意可得k的值，结合向量垂直的条件，运用向量数量积的坐标表示，计算即可得证；求得E的坐标，又点，且设，，运用向量共线定理和向量的坐标表示，用和k表示M的坐标，再由M在双曲线上，代入双曲线方程，化简整理为的二次方程，同理可得的二次方程，再由二次方程的根的定义和韦达定理，即可得证．本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，同时考查向量共线定理和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．21.答案：解：依题意，，即，，显然，则，解得或，实数m的取值范围为；证明：当时，易知函数在R上单调递增，又当时，，则一定会取得负值，而，则由零点存在性定理可知，函数的零点有且仅有一个，且零点小于零；证明：由知，在R上单调递增，任取，则，，可知，函数是类似于下图所示增长形式的函数图象，由题有，，且公差，则其在图象上可取如图所示符合条件的任意四点，且对应点A的横坐标，对应点B的横坐标，显然有，，即解析：根据已知条件，可得，解出该不等式即可求得m的取值范围；首先判断函数在R上单调，再结合零点存在性定理即可得证；首先判断，进而作出函数草图，由图象观察即容易得证．本题考查函数性质的综合运用，涉及了不等式的解法，反函数，函数的单调性，凹凸性，函数的零点等知识点，考查转化思想，数形结合思想以及运算求解能力，推理论证能力，属于较难题目．。
2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)
2020年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】 【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…， 解得：1x …，即{|1}A x x =…， 由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟， 则{1}A B ⋂=， 故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】 分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】 【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=， 解得：1tan23α=-或tan 32α=， 因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭． 故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】 【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==， 所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤； 综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____． 【答案】22841x y -= 【解析】 【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1， 设P （x 0，y 0），M （x ，y ）， 可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1， 即为8x 2﹣4y 2＝1． 故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】 【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】 【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ， 直线33B C的方程为6)y x =-， 可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=． 故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】 【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟； 当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…． 综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】 【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=， 故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】 【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)， 若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立． 所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】 【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出； （2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ， 根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元． 答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可； （2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值． 【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作 （1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元， 则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+， 所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立， 因为0400x <≤， 所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=， 所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤， 即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】 【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈） （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值； （3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】 【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论； （3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-， 又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=， 解得：2k =； （3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅， 显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=． 【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
上海市崇明区2020年高考二模 数学试卷 (解析版)
2020年上海市崇明区高考数学二模试卷一、填空题1．行列式的值等于．2．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．3．已知复数z满足i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝．5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于．6．（2x2）4的展开式中含x5项的系数是．（用数字作答）7．若sin（α），则cos2α＝．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，则．9．将函数f（x）＝sin x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的任意x1，x2，|x1﹣x2|的最小值是，则φ的最小值是．10．已知样本数据x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是．11．在△ABC中，（cos x，cos x），（cos x，sin x），则△ABC面积的最大值是．12．对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是．二、选择题13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1 14．若抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．1315．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同16．已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面A1BE的距离．18．已知函数f（x）＝2x．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）如果∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）20．已知椭圆Γ：1的右焦点为F，直线x＝t（t∈（，））与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2，0），直线AF与直线BC交于点P．（1）当t＝﹣1时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆Γ上；（3）求证：S△PAC．21．在无穷数列{a n}中，a n∈N*，且a n+1，记{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝10，求S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值；（3）证明：{a n}中必有一项为1或3．参考答案一、填空题1．行列式的值等于﹣2．【分析】利用行列式的计算公式即可得出．解：行列式1×4﹣2×3＝﹣2．故答案为：﹣2．2．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．【分析】由题意通过数轴直接求出A和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B 即可．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}3．已知复数z满足i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵i，∴i，∴z1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），则f﹣1（3）＝1．【分析】令f（x）＝3解得x＝1，所以函数f（x）过点（1，3），故函数f（x）的反函数过点（3，1），即f﹣1（3）＝1．解：∵函数f（x）＝2x+1，其反函数为y＝f﹣1（x），∴令f（x）＝3得，2x+1＝3，∴x＝1，∴函数f（x）过点（1，3），故函数f（x）的反函数过点（3，1），即f﹣1（3）＝1，故答案为：1．5．已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于．【分析】圆锥的底面直径为2，母线为2，求出圆锥的高，然后求解圆锥的体积．解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，圆锥的高为：．则这个圆锥的体积是12π．故答案为：．6．（2x2）4的展开式中含x5项的系数是32．（用数字作答）【分析】先写出展开式的通项，然后求出含x5项的k的值，再求出该项的系数．解：由已知得（2x2）4的展开式的通项为：，令8﹣3k＝5得k＝1．故该项的系数为：．故答案为：32．7．若sin（α），则cos2α＝．【分析】先利用诱导公式求得cosα，再利用二倍角的余弦公式，即可求得结论．解：∵sin（），∴cosα∴cos2α＝2cos2θ﹣1故答案为：8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，则8．【分析】求出等比数列的首项与公比，然后求解数列的前n项和，然后求解极限即可．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4，q．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n，则8．故答案为：8．9．将函数f（x）＝sin x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的任意x1，x2，|x1﹣x2|的最小值是，则φ的最小值是．【分析】先根据左加右减得到g（x）的解析式，然后根据三角函数的性质可知，两个相邻的最值点的函数值的差为2．此时它们横坐标差的绝对值为，据此求出φ的值．解：由已知得f（x1）＝sin x1，g（x2）＝sin（x2﹣φ）．因为|f（x1）﹣g（x2）|＝2，所以f（x1），g（x2）一个取得最大值，另一个取最小值．不妨设，，由已知得，k，m∈Z．结合φ＞0．当k＝m，φ时成立．故答案为：．10．已知样本数据x1，x2，x3，x4的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是7．【分析】设样本数据x1，x2，x3，x4中最大的为x1，由平均数和方差公式可得x1+x2+x3+x4＝16和x12+x22+x32+x42＝84，再讨论样本数据中的最大值的情况，分析可得答案．解：根据题意，设样本数据x1，x2，x3，x4中最大的为x1，样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为4，方差为5，则有（x1+x2+x3+x4）＝4，即x1+x2+x3+x4＝16，（x12+x22+x32+x42﹣42）＝5，则有x12+x22+x32+x42＝84，若x1＝9，即样本数据中最大值是9，有x2+x3+x4＝7，x22+x32+x42＝3，不成立，若x1＝8，即样本数据中最大值是8，有x2+x3+x4＝8，x22+x32+x42＝20，不成立，若x1＝7，即样本数据中最大值是7，有x2+x3+x4＝9，x22+x32+x42＝25，此时四个数据可以为7、1、3、5，符合题意；故样本数据中的最大值是7；故答案为：711．在△ABC中，（cos x，cos x），（cos x，sin x），则△ABC面积的最大值是．【分析】将点A置于直角坐标系中的原点，则运用平面向量坐标表示得到面积S|sin （2x）|，进而可求得其范围．解：将点A置于直角坐标系中的原点，则B（cos x，cos x），C（cos x，sin x），∴|AC|1；|AB|2|cos x|；∠xAB；故AB与AC的夹角为|x|；∴△ABC的面积S|AB||AC|sin∠CAB1×|2cos x|×|sin（x）|sin x cos x﹣cos2x||sin2x||sin（2x）|，故答案为：．12．对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是．【分析】基本事件总数n＝6×6×6＝216，由函数f（x）是“不严格单调增函数”，得f （1）＝7，f（6）＝9，7≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）≤9，f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是8，函数f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数m＝4，由此能求出函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率．解：对于函数f（x），其定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，函数f（x）定义域为D＝{1，2，3，4，5，6}，值域为A＝{7，8，9}，基本事件总数n＝6×6×6＝216，∵函数f（x）是“不严格单调增函数”，∴f（1）＝7，f（6）＝9，7≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）≤9，且f（2），f（3），f（4），f（5）∈{7，8，9}，∴f（2），f（3），f（4），f（5）都有可能是8，函数f（x）是“不严格单调增函数”包含的基本事件个数m＝4，则函数f（x）是“不严格单调增函数”的概率是p．故答案为：．二、选择题13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A．a＝1，b＝﹣1B．a＝1，b＝1C．a＝﹣1，b＝1D．a＝﹣1，b＝﹣1【分析】本题根据线性方程组的系数矩阵的定义可写出线性方程组的系数矩阵，然后根据矩阵相等即可得到a、b的值．解：依题意，由线性方程组的系数矩阵的定义，可知线性方程组的系数矩阵为，即，∴a＝1，b＝﹣1．故选：A．14．若抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线1的一个焦点重合，则n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．13【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，利用条件列出方程，即可得到结果．解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0）与双曲线1的一个焦点重合，可得2，解得n＝1．故选：B．15．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的周长（i＝1，2，…），则“数列{A n}为等差数列”的充要条件是（）A．{a n}是等差数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等差数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同【分析】A i＝2（a i+a i+1），可得：A i+1﹣A i＝2（a i+2﹣a i），利用等差数列的定义通项公式即可判断出结论．解：A i＝2（a i+a i+1），A i+1﹣A i＝2（a i+2+a i+1）﹣2（a i+a i+1）＝2（a i+2﹣a i），若数列{A n}为等差数列，则a i+2﹣a i为常数，可得：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．反之也成立．∴“数列{A n}为等差数列”的充要条件是：a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同．故选：D．16．已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f（x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．三、解答题17．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面A1BE的距离．【分析】（1）由已知可得∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角，求其正切值，再由反三角表示即可；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1BE的一个法向量与的坐标，可得点C到平面A1BE的距离d．解：（1）如图，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴ED⊥底面ABCD，∴∠EBD为直线BE与平面ABCD所成的角．∵底面边长为2，∴BD，又DE＝1，∴tan．∴直线BE与平面ABCD所成的角的大小为；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），C（2，2，0），，，．设平面A 1BE的一个法向量．由，取y＝1，得．∴点C到平面A1BE的距离d．18．已知函数f（x）＝2x．（1）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断证明即可．（2）先求出f（﹣x）的解析式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．解：（1）当a＞0时，f（x）在其定义域上是增函数，证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）（）＝（）（1），∵x1＜x2，a＞0，∴0．则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（﹣x）＝2﹣x﹣a•2x，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），得2﹣x﹣a•2x＝﹣（2x﹣a•2﹣x）＝﹣2x+a •2﹣x，即2﹣x+2x＝a（2﹣x+2x），得a＝1，即当a＝1时，函数f（x）是奇函数，当a≠1时，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．19．某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．（1）如果∠ADC＝105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）【分析】（1）连接BD，由题意可得△ABD为正三角形，可得BD＝AD＝2，且∠ADB ＝60°，进而可得∠ADC＝45°，在△BCD中由正弦定理可得CD的值，（2）在△BCD中由正弦定理可得CD，BC的值，进而求出四边形的周长．解：（1）连接BD，在△ABD中，因为∠BAD＝60°，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝2，因为∠ADC＝105°，所以∠BDC＝105°﹣60°＝45°，在△BCD中，由正弦定理可得，所以BC•sin45°1.633千米，（2）由（1）可得，而∠DBC＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以CD•sin15°，所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2+2+1.666 6.309千米．20．已知椭圆Γ：1的右焦点为F，直线x＝t（t∈（，））与该椭圆交于点A、B（点A位于x轴上方），x轴上一点C（2，0），直线AF与直线BC交于点P．（1）当t＝﹣1时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆Γ上；（3）求证：S△PAC．【分析】（1）求得椭圆的右焦点F，以及点A的坐标，运用两点的距离公式可得所求值；（2）设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），求得直线AF，BC的方程，求得交点P的坐标，代入椭圆方程，检验即可得证；（3）设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合三角形的面积公式和基本不等式，注意等号成立的条件，可得证明．解：（1）椭圆Γ：1的右焦点为F（1，0），直线x＝﹣1与该椭圆交于点A，B，点A位于x轴上方，可得A（﹣1，），则|AF|；（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），则x12+2y12＝2，直线AF的方程为y（x﹣1），BC的方程为y（x﹣2），解得P（，），由（）2+2（）22，则P 在椭圆上；（3）证明：S△PAC|CF|•|y A﹣y P||y A﹣y P|，设直线AP的方程为x＝my+1，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y A+y P，y A y P，所以S△PAC••，当且仅当m＝0时，上式取得等号，则S△PAC．21．在无穷数列{a n}中，a n∈一、选择题*，且a n+1，记{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝10，求S9的值；（2）若S3＝17，求a1的值；（3）证明：{a n}中必有一项为1或3．【分析】（1）根据递推公式列出数列{a n}中的项，找出规律，发现周期性，即可求出S9的值；（2）根据题意分析情况，进行求解，即可得出答案；（3）先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立，再进行检验，即可得到答案．解：（1）当a1＝10时，{a n}中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…；即数列{a n}从第4项起每3项是一个周期，所以S3＝a1+a2+a3＝23，S6﹣S3＝a4+a5+a6＝7，S9﹣S6＝a7+a8+a9＝7；所以S9＝S6+7＝S3+2×7＝23+14＝37；（2）①若a1是奇数，则a2＝a1+3是偶数，a3，由S3＝17，得a1+（a1+3）17，解得a1＝5，适合题意；②若a 1是偶数，不妨设a1＝2k（k∈N*），则a2a1＝k，a3，由S3＝17，得2k+k17，此方程无整数解；若k是奇数，则a3＝k+3，由S3＝17，得2k+k+（k+3）＝17，此方程也无整数解；综上知，a1＝5．（3）证明：先证明一定存在某个a i，使得a i≤6成立；否则，对每一个i∈N*，都有a i＞6；则在a i为奇数时，必有a i+2a i；在a i为偶数时，有a i+23＜a i，或a i+2a i；因此，若对每一个i∈N*，都有a i＞6，则a1，a3，a5，…单调递减；注意到a n∈N*，显然这一过程不可能无限进行下去；所以必定存在某个a i，使得a i≤6成立；经检验，当a i＝2，或a i＝4，或a i＝5时，{a n}中出现1；当a i＝6时，{a n}中出现3；综上知，{a n}中总有一项为1或3．。