理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理
十三章达朗贝尔原理xppt课件-文档资料
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力(未画出)与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化: 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动,某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点,体内各点的加速度也都是a,因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系,可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系,在应用达朗贝尔原理时,可在 每一质点上加上相应的惯性力,据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时,由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明,因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化,用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时,就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形, 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii,则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1,2,…,n) 这表明,质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车,如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性, 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上,绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时,绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解:选小球为研究对象,受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理, 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系,由于每一个质点处于平 衡,整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡, 由静力学中的平衡条件可知,空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零,即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
理论力学第十三章达朗贝尔原理
aIN第十三章 达朗贝尔原理[习题13-1] 一卡车运载质量为1000kg 的货物以速度h km v /54=行驶。
设刹车时货车作匀减速运动,货物与板间的摩擦因数3.0=s f 。
试求使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间。
解:以货物为研究对象,其受力如图所示。
图中, 虚加惯性力之后,重物在形式上“平衡”。
货物不滑动的条件是:即货物不滑动的条件是:)(1.5s t ≥…………(1) 货物不倾倒(不向前倾倒)的条件是:)(06.38.93030s g t ==≥…………(2) (1)(2)的通解是)(1.5s t ≥。
即,使货物既不倾拿倒又不滑动的刹车时间是)(1.5s t ≥。
[习题13-2] 放在光滑斜面上的物体A ,质量kg m A 40=,置于A 上的物体B ,质量kg m B 15=;力kN F 500=,其作用线平行于斜面。
为使A 、B 两物体不发生相对滑动,试求它们之间的静摩擦因素s f 的最小值。
解:以A 、B 构成的质点和系为研究对象,其受力如图所示。
在质心加上惯性力后,在形式上构成平面一般“平衡”力系。
以B 为研究对象,其受力如图所示。
由达朗伯原理得:305.05.0191.48.9866.0191.430sin 30cos 00=⨯+⨯=+≥a g a f s ,即: [习题13-3] 匀质杆AB 的质量kg m 4=,置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力N F 60=,使杆AB 沿F 力方向作直线平动。
试求AB 杆的加速度a 和角θ的值。
解:以AB 杆为研究对象,其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得:[习题13-4] 重为1P 的重物A ,沿光滑斜面D 下降,同时借一绕过滑轮C 的绳子而使重为2P 的重物B 运动,斜面与水平成θ角。
试求斜面D 给凸出部分E 的水平压力。
解:以A 为研究对象,其受力与运动分析如图所示。
由达朗伯原理得:EN D0sin 11=--a gP T P B θ………(1) 以B 为研究对象,其受力与运动分析如图所示。
13第十三章达朗贝尔定理
d dp Fgi mi ai MaC dt ( mi vi ) dt
dLO d M O ( Fgi ) M O (mi ai ) dt M O (mi vi ) dt
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
此时惯性力系简化为一惯性力偶。 2、当刚体作匀速转动时, 0 ,若转轴不过质心,惯 性力系简化为一惯性力 Fg ,且 Fg maC ,同时力的作用线
通过转轴O。
3、当刚体作匀速转动,同时转轴通过质心C时, g 0 , F M gC 0 ,惯性力系自成平衡力系。
第十三章
第十三章
达朗贝尔原理
第一节 惯性力· 达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理 对质点M,由动力学基本方程
Fg
m
即 F FN (ma ) 0 令 Fg ma ,称为惯性力。 则有 F FN Fg 0
ma F FN
FN
达朗贝尔原理
第二节 刚体惯性力系的简化
三、刚体作平面运动 实际工程中,刚体常具有质量对称平面,且平行于该平面 运动,则刚体各点的惯性力组成的空间力系,可简化为在该对 称平面内的平面运动。 以质心C为基点,该平面运动可以 分解为随基点的平移和绕基点的转动, 根据上述结果,则平面运动刚体惯性力 系向质心简化的结果是一个惯性力和一 个惯性力偶并且有 FgC maC
第十三章 达 朗 贝 尔 原 理
山东农业大学水利土木工程学院
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi,质量mi,受主动力 F, i 约束反力 FNi 作用,加速度为 ai ,对每一个质点,有: G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式: G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径, rC 0MC 0
结论:刚体作平动时,惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。(刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系,再将此平面力系向O点简化,O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。) 空间惯性力系 平面惯性力系 (质量对称面) 直线 i : 平动, 过Mi点,惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分:
(内力是大小相等,方向相反成 对出现,所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零)
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔(J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律(第二定律)推广至受约束质 点,并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后,后人引入了惯性力的概 念,并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想,将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法, 称为动静法。 由于动静法简单有效,易于掌握,因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知:如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴O转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m1>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
第十三章 达朗贝尔原理
解:⑴ 以杆为研究对象 ⑵ 分析运动,并将惯性力系向 点O简化
质点系的达朗贝尔原理
例14-3 飞轮质量为m,半径为R,以匀角速度ω转动。设轮缘 较薄,质量均匀分布,轮辐质量不计。若不考虑重力的影响, 求轮缘横截面的张力。 解:⑴ 以飞轮一半为研究对象,画受力图 由于轮缘质量均布, 任意截面的张力都相同
FA FB
A y
FIi
d
n ai
⑵ 分析运动,加惯性力
z
FIin mi ri 2 ; FIit mi ri
惯性力对x轴之矩
M Ix M x ( FIi ) M x ( FIit ) M x ( FIin ) mi ri cos i zi mi ri 2 sin i zi
ri cos i xi ; ri sin i yi
第十四章 达朗贝尔原理
1
惯性力 · 质点的达朗贝尔原理
2 3
质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
4
PAG 3
Northeastern University
§14-1 一、惯性力
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
F ma ' F F ma
§14-3
刚体惯性力系的简化
一、刚体作平移
FIi mi ai
FIi
ri
O C rC FIR
各质点惯性力的方向相同,组成 一个同向的平行力系 平行力系向任一点O简化
FIR FIi mi ai (mi )aC maC M IO ri FIi ri (mi aC ) (mi ri ) aC mrC aC
理论力学——达郎贝尔原理
(e) FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动,转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度,刚体角加速
度,标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶, 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
理论力学--第十三章 达朗伯原理
惯性力系的主矢
FIR F (e)i maC
该式对任何质点系做任意运动都成立,当然适用于做平移 、定轴转动与平面运动的刚体
1、刚体平动
任选一点O为简化中心 主矢: F IR
1
a1
ma ( m )a MaC
i i
FI1 aC ai C i rC FIi O ri
实质上即是刚体平面运动微分方程:
例2:边长为a的正方形平板重P,质心在C点,在 图示的三个点处用三根绳挂于铅锤平面内。 求:FG处绳突然剪断的瞬间,另外二绳的张力。
D A 60O B E 60O
F
G
C
1、运动分析
板作平动
2、施加惯性力
FI=maC
A FI
D
E
60O
B
60O
F
G
C
3、受力分析
4、静力学方程
质点系中每个质点上作用 的主动力、约束力和它的惯性力 在形式上组成平衡力系。
空间任意力系平衡的充分必要条件: 力系的主矢和对于任一点的主矩等于零。
e i F F FR i i FIi 0
M 0 M 0 Fi
e
M F M F
e M 0 (Fi ) M 0 (FIi ) 0 (主矩)
e M x (Fi ) M x (FIi ) 0 e M y (Fi ) M y (FIi ) 0
e M z (Fi ) M z (FIi ) 0
构成形式上的平衡力系。
★强调★ : 1、质点并非处于平衡状态
目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。
2、质点惯性力不是作用在质点上的真实力
理论力学 第十三章 达朗贝尔原理
(2)受力分析,画受力图; (画全部外力,并虚加惯性力系)
(3)列平衡方程; (选取适当的矩心和投影轴)
(4)解方程,求未知量。
[注] FIR ,MIO 的方向及转向已在受力图中标出,建立
方程时,只需按 FIR= maC ,MIO = JOα 代入即可。
26
平面成ϕ0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速
度及支座A的约束力。
解:选杆AB为研究对象
虚加惯性力系:
FIRt
=
mlα
2
FIRn = ma n = 0
MIA
=
J Aα
=
ml 2α
3
根据动静法,有
α
M IA
α
FAt FIRn
FAn
FItR
20
第十三章 达朗贝尔原理
∑ Ft = 0 , FAt + mg cosϕ0 − FIRt = 0
由于
∑ ∑ F (i) i
=
0,
M O (Fi(i) ) = 0
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
表明:对整个质点系来说,动静法给出的平衡方程,只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡,而与内力无关。
11
第十三章 达朗贝尔原理
∑ ∑ F (e) i
+
FIi = 0
∑ ∑ M O (Fi(e) ) + M O (FIi ) = 0
对平面任意力系:
∑ ∑ F (e) ix
+
FI x = 0
∑ ∑ F (e) iy
理论力学经典课件达朗伯原理
该原理最初是为了解释物体运动 中的惯性力和主动力之间的关系 ,后来被广泛应用于理论力学和 工程学领域。
达朗伯原理的基本概念
达朗伯原理指出,在一个动力学系统 中,对于任何一个质点,其受到的合 外力等于零,即惯性力与主动力之和 为零。
这意味着在考虑物体运动时,只需要 考虑主动力,而惯性力则会自动平衡 掉。
02
达朗伯原理的数学表达
动力学方程的建立
牛顿第二定律
在经典力学中,物体的加速度与 作用力成正比,与物体的质量成 反比。
动力学方程
根据牛顿第二定律,可以建立物 体运动的动力学方程,描述物体 的速度、加速度和作用力之间的 关系。
惯性力和非惯性力的关系
惯性力
在非惯性参考系中,为了保持牛顿运 动定律的形式不变,引入了惯性力的 概念。
详细描述
达朗伯原理指出,在考虑重力、空气阻力和其他外力的情况 下,单摆的运动方程可以由牛顿第二定律和达朗伯原理推导 出来。通过分析,可以得出单摆的周期和振幅与外力之间的 关系。
刚体的平面运动分析
总结词
利用达朗伯原理,可以对刚体在平面内的运动进行动力学分析。
详细描述
在刚体平面运动的分析中,达朗伯原理可以帮助我们建立刚体的运动方程。通过 分析,可以得出刚体的速度、加速度以及作用在刚体上的力和力矩之间的关系。
达朗伯原理的应用范围
达朗伯原理在理论力学中有着广泛的应用,特别是在分析动力学系统和 振动问题时。
它可以帮助我们理解和分析物体的运动规律,例如在研究行星运动、机 械振动、弹性力学等领域中都有重要应用。
此外,达朗伯原理还可以应用于工程学领域,例如在结构设计、机械振 动控制等方面。通过应用达朗伯原理,我们可以更好地理解和预测物体 的运动行为,从而优化设计、提高系统的稳定性和可靠性。
理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理
例:已知均质杆l, m, 弹簧刚
度 k, AB水平时平衡,弹簧拉
长变形 0
系统平衡 M A(F) 0
k 0 l
mg
l 2
0
mg 2k
k 0 mg
弹簧取自然位置O为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点:
V
1 2
k
0
l
2
mg
l
2
1 k 2l 2 m2 g 2
2
8k
取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点: (重力-弹力系统常采用)
V
1 2
k
2
02
mg l
2
其中
0 l
, 0
mg 2k
1 2
k
2 0
2 0l
2l 2
02
mg l
2
V 1 k 2l 2
2
质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。
W10 W12 W20
W10 V1, W20 V2
W12 V1 V2
有势力所作的功等于质点 系在运动过程的初始与终了位 置的势能的差。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功;
2
时,功为零;
2
2
时,负功。
单位: J(焦耳) 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
静止开始转动; 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加
速度。
解:取整个系统为研究对象
《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理.ppt
O
aCn C
A
Fix FOx-ma2lCn 2 mg sin 0
aCτ α
4.由动能定理计算2,T1-T2=∑Wi
1 2
J O 2
0
mg
l 2
sin
外力只有重力
例4: OB质量不计,AB长l、质量m。试求绳OA剪
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Fix FOx 0 (3)
4.补充方程
aC l / 2
FOx
0;
FOy
1 4
mg ;
3g
2l
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断,试求杆转
到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力
惯性系中:
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题,也 叫动静法
一、质点的达朗贝尔原理
ma FR F FN
FI
F
记
F N
ma
FI ma
0
称为质点的惯性力, 与加速度方向相反
则有 F FN FI 0
MIO MO (FIi ) MO FIi
MO miii miii
mi i2 JO
ω
MIO
FaOICFCρIii
i FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为:
作用在转轴上,且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC 在对称平面内,转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
理论力学第13章达朗贝尔原理
1 FB mg 98N FA 2 1 FB m 2 15775N 附加动反力 : FA 2 静反力 :
13.3 刚体达朗贝尔原理
例13-5:两圆盘质量均为m,对称偏心距均为e, A =常量。 求:A、B轴承反力。 解:研究对象:转子 C1 FI1 受力分析:如图示 mg 2 运动分析:转动 aC1 aC 2 e
非自由质点M:质量m , 主动力F,约束反力FN,加速度a
则:F FN ma 即:F FN ma 0
M
F FN FR a
FI
得:F FN FI 0 —质点达朗贝尔原理
第13章 达朗贝尔原理
令:FI ma
—质点惯性力
FB
FI 1 FI 2
FB 0 FA
FB 0 FA
第13章 达朗贝尔原理
13.4 转子的静平衡与动平衡概念
动平衡—解决转子的偏心 和转轴与质量对称平面不垂直的问题
F'I 1 FI2
C2
FI1
C1
F'I2
适用于高速、细长转子
第13章 达朗贝尔原理
2
x
F1
受力分析:如图示 D 2 运动分析: an 2
dFI Ads an
D A 2 ds 2 D2 A 2d 4
第13章 达朗贝尔原理
13.2 达朗贝尔原理
例13-1:电机护环直径D,环截面面积A,材料密度 y (kg/m3),转子角速度=常数。 dFI F D2 2 解: dFI A d d 4 π x
第13章 达朗贝尔原理
FB
mg
理论力学13—达朗贝尔原理
(e)
(i)
F i ? F i ? FIi ? 0 (i ? 1,2, ???, n)
质点系中第 i个质点上作用的外力、内力和它的惯性
力在形式上组成平衡力系。由静力学知,空间任意
力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一
点的主矩等于零,即
Σ Fi(e) ? ΣFi(i) ? ΣFIi ? 0
ΣM
O (Fi(e) )
得
FIR ? ΣFIi ? ? ΣFi(e) ? ? maC
此式表明:无论刚体作什么运动 , 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积 , 方向与质心加速 度的方向相反 。
arccos(
3g
2lw
2
)
例 3 已知:m ,R, w。 求:轮缘横截面的张力。
解: 取上半部分轮缘为研究对象
F?i
?
m
2?R
Rd?
?Rw2
? Fy ? 0 ? F?i sin? ? 2FT ? 0
? FT
?
1 2
?
0
m Rw 2 sin?d? 2?
? mRw 2 2?
R O
w
y
FIi
d?
? O
第十三章 达朗贝尔原理
? 达朗贝尔原理 ? 刚体惯性力系的简化
引言
前面介绍的动力学普遍定理 , 为解决质点 系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗 贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提 供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是: 用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学 的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由 于静力学研究平衡问题的方法比较简单 , 也容 易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。
? FI ?
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的变形有关,与作用 点路径无关。
式中 1r1l0, 2r2l0
3. 定轴转动刚体上作用力的功
令F Fcos
wFco· sds Fds FRd
Mzd
从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为:
W12
1
2
Mzd
若 Mz 常量
W 12 M z(21)
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功 当质心由 C1 ~C2 ,转角由1 ~2时,力系的功:
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
m d F 两端乘 dt dr ,
dt
m dFdr
d(1m2) w
2
——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
12m2212m12 W12
——质点动能定理 的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W Fco s
力的功是代数量。 时,
正功;
2
时,功为零;
时,负功。 2
2
单位: J(焦耳) 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 wFco· sds
F·dr
Fxd xFyd yFzdz
B
在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧
的另一端由点B拉至点A和由点A拉至
点D,AC垂直BC,OA和BD为直径。 O
分别计算弹簧力所作的功。
解:对于弹簧作功:
CA D
WBA由k2W(1212k2(2212)220).2(J)12O OBA ll00..11(2m)0.1(m)
WADk2('12'22)
令:F Fxi Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
W12
M2 M1
Fcos· ds(自然形式)
力 F
在
M1 ~M2路程上的功: W12
M2 F·dr (矢量式)
M1Leabharlann W 1 2M M 1 2(F x d x F y d y F zd z)
(直角坐标式)
3. 常见力的功
1)、重力的功
2、质点系的动能定理
d(12mii2)wi
求和 d(12mii2) wi
dT
wi
——质点系动能定 理微分形式
质点系动能的增量,等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2T1
wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
质点:重力在三轴上的投影:
FxFy0,Fzmg
W 1 2z z 1 2 m d z g m (z 1 g z2 )
质点系:
W m g (z z)
12
i i1 i2
由 mCzmizi
W 12 m (zC g 1 zC 2)
重力的功只与始、末位置有关,与路径无关。
2、弹性力的功
弹性力:Fk(rl0)er
1 2(2 m 1 3 m 2)C a CM R C 1 m 2gSi· n C
aC2(M (2m 1m 23gm R 21)SR1in)
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
3、理想约束 定义:约束力作功等于零的约束为理想约束。
1)光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
W (N ) N d r 0(N d r)
2)固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3)光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现,作功之和为零
[例1] 已知:轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C
的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。
求:轮心C走过路程S时的速度
和加速度
解: T1 0
T2
1 2
J
O
2 1
12m222
12JC22
其中:JO m1R12
JC
1 2
m2R22
1
C
R1
,2
C
R2
W12
M m 2gSi· Sn
S R1
由 W 12T2T1
已知:轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求:轮心C走过路程S时的速度和加速度
2
M m 2gSi· S n4 C(2 m 1 3 m 2)( a )
C2
(Mm2gR 1Sin)S
R1(2m13m2)
式(a)是函数关系式,两端对t求导,
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功:W12
A2 Fdr
A1
A2 A1
k(rl0)er
dr
er
因 e r d rW r r 12 d r rr1 22 1 rk d ( (r r r) l0 )d 2 1 r rd (r2 ) d r簧在弹初性始力和的末功了只位与置弹
即 W12k2(12 22)
W 12C C 12FR drC12M Cd
平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点为刚体上任意一点,上述结论仍成立; 3、计算力系的主矢、主矩时,不作功的力可 不考虑。
例:图示弹簧原长l=100mm,刚性系
数k=4.9KN/m,一端固定在点O,此点
W (N ) N d r N 'd r
NdrNdr0
4)不计滚动摩阻时,纯滚动(只滚不滑)的接触点 ——无位移
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题:
质点系内力作功之和不一定等于零。
1)相互吸引或排斥的质点,两力作功和不为零。 2)当力作用点有滑动摩擦时,滑动摩擦力与
物体的相对位移相反,摩擦力作负功。 刚体(特殊的质点系)所有内力作功的和等于零。
0.2(J)
'1OAl 0.1(m) '2OD l0.1 20.(1m)
13-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。单位:J(焦耳)
2、质点系的动能 T 12mii2
(1)平移刚体的动能
T
1 2mivi21 2vC 2
mi 即
T
1 2
mvC2
(2)定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
12mi2ri
2
12
2
miri2 即
T
1 2
J z 2
(3)平面运动刚体的动能
速度瞬心:P
T
1 2
J p 2
12(JCmd2)2
T12mC v2 12JC2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ] 上面结论也适用于刚体的任意运动。