复数的几何意义教案

3.1.3 复数的几何意义

1．复数的几何意义

(1)复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x 轴叫做实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

(2)复数与点、向量间的对应

①复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R) 复平面内的点 Z(a ，b) ；

②复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)

平面向量____OZ →

＝(a ，b)_____． 2．复数的模

复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →

的模叫做复数z 的模，记作|z|，且|z|＝_a 2＋b 2_____.

3．共轭复数

当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋bi ，那么z ＝a －bi ，当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时，有__ z ＝z __，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 .

小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？

答 复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的模就是向量OZ →

＝(a ，b)的模，记作|z|或|a ＋bi|.

|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2可以表示点Z(a ，b)到原点的距离．

例2 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围．

解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝32＋a 2，

由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a∈(－7，7)．

方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，

z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以

4为半径的圆内(不包括边界)，

由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上，

所以线段AB(除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7

小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．

跟踪训练3 设z∈C，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？

(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.

解 方法一 (1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ →

的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆．

(2)满足条件|z|≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部．

方法二 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)．

(1)|z|＝2，∴x 2＋y 2＝4，

∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．

(2)|z|≤3，∴x 2＋y 2≤9.

∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．

1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；

2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑． 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：

(1)AO →

表示的复数；

(2)对角线CA →

表示的复数；

(3)对角线OB →

表示的复数．

解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →

表示的复数为－3－2i.

(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →

表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →

表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法．

跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．

解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点

分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对

应的复数为x ＋yi(x ，y∈R)，如图．

则AD →＝OD →－OA →

＝(x ＋yi)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，

BC →＝OC →－OB →

＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.

∵AD →＝BC →

，∴(x－1)＋(y －2)i ＝1－3i.

∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.

探究点三 复数加减法的综合应用

例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.

解 方法一 设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，

∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，

∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， (a －c)2＋(b －d)2＝1 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c 2＋b ＋d 2

＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.

方法二 设O 为坐标原点，

z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C.

∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，

∴△OAB 是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，

且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，

∴|z 1＋z 2|＝|OC →

|

＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →

|cos 120°＝ 3.

小结 (1)设出复数z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．

(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．

跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.

解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，

知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.

1．复数的乘法法则