数学人教版九年级上册24.探究四点共圆的条件
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件说课稿
五、板书设计与教学反思
本节课通过引导学生探究四点共圆的条件，让学生掌握四点共圆的基本性质和判定方法，培养学生运用几何知识分析和解决问题的能力。同时，为学生进一步学习圆的性质、圆周角定理等知识奠定基础。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生了解四点共圆的定义和性质，掌握四点共圆的判定方法，能运用四点共圆的知识解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和几何推理能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备的基本前置知识有：平面几何的基本概念，如点、线、面的关系；四边形的性质；圆的基本性质等。在技能方面，学生需要具备一定的作图能力和逻辑推理能力。
在学习本节课时，学生可能存在的障碍主要包括：对四点共圆的概念理解不清，难以把握其本质特征；对圆的性质和圆周角定理的运用不熟练，难以证明四点共圆。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：首先，让学生独立完成一些相关的练习题，检验他们对四点共圆的理解和应用能力；然后，组织学生进行小组合作探究，让他们运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，培养他们的合作能力和解决问题的能力；最后，让学生结合自己的生活实际，设计一些关于四点共圆的应用问题，提升他们的数学应用能力。
4.设置具有挑战性的练习题，激发学生的好奇心和求知欲，如引导学生运用圆的性质和圆周角定理证明四点共圆，提高他们的逻辑推理能力。
第24章圆章末数学活动探究四点共圆的条件(教案)2022-2023学年人教版九年级数学上册
然而，我也注意到，在小组讨论中，有些学生显得比较被动，可能是因为他们对自己的想法不够自信，或者是在小组中缺乏发言的机会。在未来的教学中，我需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与，增强他们的自信心。
4.培养学生的合作交流能力，在小组讨论与分享中，促进学生对四点共圆条件的理解，学会倾听、表达与协作，形成良好的学习习惯和团队精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-四点共圆的定义及其性质：理解四点共圆的概念，掌握其性质，如圆内接四边形对角互补、圆外接四边形对角相等。
-四点共圆的判定方法：掌握利用圆内接四边形、圆外接四边形的性质来判定四点共圆的方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与四点共圆相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示四点共圆的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于四点共圆的概念和性质的理解整体上是积极的。他们在课堂上能够跟随我的思路，对于我提出的案例和问题也能够给出恰当的回应。我尝试通过生动的例子引入新课，这样做的效果不错，学生们明显对于这个话题产生了兴趣。
在讲授过程中，我注意到了一些学生对于四点共圆判定方法的掌握还不够熟练。这可能是因为这个部分需要较强的逻辑思维和空间想象能力。我意识到，对于这样的难点，仅仅通过理论讲解是不够的，还需要结合更多的图形展示和实际操作来帮助他们理解。
数学人教版九年级上册24.探究四点共圆的条件
探究四点共圆阜阳开发区一初王丽 2017/5/1一、内容和内容解析本节内容是探究四点共圆的条件。
四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。
圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。
在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。
同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。
二、学情分析学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。
通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。
另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。
三、教学目标：（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。
四、教学重难点：重点：四点共圆条件的探究。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。
五、教学过程：I、创设情境、引入新课同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。
问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。
数学人教版九年级上册探索四点共圆的条件
数学活动:探究四点共圆的条件学习目标：1、理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．2、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．学习重点：四点共圆的条件的探究．一、复习回顾1、经过一点A可以作个圆；经过两点A、B可以作个圆,圆心在；经过不在同一直线上的三点A、B、C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，圆心是三角形三条边的.2、一个圆有多少个内接三角形，一个三角形有多少个外接圆？一个圆有多少个内接四边形，一个四边形有多少个外接圆？二、发现问题1、经过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说经过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？2、分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的四个顶点能否作一个圆？三、探究问题四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？你能找出一个四边形来验证你的猜想吗？四、猜想结论猜想：五、证明猜想六、获得结论结论：七、归纳反思1、本节课你学到了什么知识？学到的知识能解决什么问题？2、回顾本节课的学习过程，你是怎么得到上述的知识的？你还有什么收获？八、目标检测1、如图1，∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角，如果∠DCE=∠A ,那么过点 A 、B 、C 、D （填“能”或“不能”）作一个圆．2、如图2，经过四边形ABCD 的四个顶点可以作一个圆若∠A =115°，则∠C 的度数为 ．3、如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD =26°, 则∠ABD 的度数为 ．如图3，在四边形ABCD中，如果∠ADB=∠ACB ,那么同时过点 A 、B 、C 、D 能不能作一个圆？为什么？。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
探究四点共圆的条件
人教版数学九年级上册探究四点共圆的条件活动过程设计问题与情境4、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？5、刚才我们是先画的四边形，再作的圆，得到了这样一个猜想。
还有没有另外的方法也能做到呢？【活动2】1通过活动，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？2、不在同一条直线上的三点是能共圆的，如果四点不能共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什么位置关系呢？3、圆周角定理有哪些内容？4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢?师生行为学生先进行讨论，思考最好的证明方法。
然后引导学生利用反证法进行证明。
在证明的过程中要让学生考虑到所有的图形情况。
证明过程：在四边形ABCD中，若/ B+/ ADC=18(0，那么A、B、C D 四点共圆吗？为什么？解：如图1:假设A、B、C D四点不共圆，过A、B C三点作圆，D点在圆内。
延长AD与圆交于点E,连接CE则：/ B+Z E=180o•••/ ADC >Z E•••Z B+Z ADC >180o这与已知条件Z B+Z ADC=18(0 矛盾，故假设不成立，原结论正确，A、B C、D四点共圆。
如图2,假设A B、C、D四点不共圆，D点在圆外。
证明方法与证明图1时同理。
BAEDC设计意图培养学生和情推理能力。
附图：。
人教版九年级数学上册数学活动《探究四点共圆的条件》说课稿
第二十四章数学活动——活动2探究四点共圆的条件说课课题：探究四点共圆的条件说课流程：说教材说学情说教法与学法说教学过程说教学预期效果一、说教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。
学习目标：认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。
学习重点：四点共圆的条件的探究．（根据本节课的内容和教学目标确定）学习难点：反证法证明命题.（学生用反证法证明几何命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所以用反证法证明这个命题作为本节课的难点）二、说学情经过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。
三、说教法和学法教法：任务驱动，实践讲练结合教学法（回顾旧知，操作，猜想，验证，引导学生画图，分析，类比完成本节课的教学）学法：观察、类比、归纳、转化，自主学习和小组合作探究相结合。
四、说教学过程教学板块的设计包含如下六个环节：回顾思考、探究猜想、验证猜想、学以致用、归纳反思、能力延伸。
第一环节：复习回顾1、怎样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？设计意图：这样设计一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。
二是为本节课探究猜想作好垫铺。
第二环节：探究猜想1、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定一个圆吗？2、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？设计意图：第2环节我也是提出2个问题，引发学生的思考，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。
人教版九年级数学上册 第二十四章 数学活动 探究四点共圆的条件
课外探究
在这种图形中，A、B、C、D四点能共圆又需要满足什么条件呢？
D A
B
C
谢谢！
谢谢大家！
A D
C
B
D C
（3）等腰梯形
∠A＋∠C =180°
∠B＋∠D =180°
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么该四边形的对角之和为180°.
想一想 A
D A
B
B
C
（1）正方形
（2）矩形
四边形的哪些元素决定了:过它的四个顶点可以做一个圆？
A D
C
B
D C
（3）等腰梯形
∠A＋∠C =180°
∠B＋∠D =180°
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么该四边形的对角之和为180°.
猜想 过对角互补的四边形的四个顶点可以做一个圆
已知：在四边形A BCD中，∠A＋∠C =180°，∠B＋∠D =180° 求证：过A 、B、C、D四点可以做一个圆
A O ·
B
C
A D
O ·
D A
B B
C 点C在不在⊙O上？？
A
D
B
C
（1）正方形
A
D
B
C
（3）等腰梯形
A
D
B
C
（2）矩形
A
D
B
C
（4）菱形
想一想 A
D A
B
B
C
（1）正方形
（2）矩形
四边形的哪些元素决定了:过它的四个顶点可以做一个圆？
A D
C
B
D C
（3）等腰梯形
想一想 A
D A
B
B
C
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：数学活动》优课教案_0
学生思考有几种情况？
此环节的设计是为探究四点共圆的条件作好铺垫。
由简单到复杂，让学生在亲自动手操作的过程中进行实验、探究，得到问题的答案。激发学生的求知欲望，调动学生的积极性。
使学生体会分类讨论思想。
三合作探究获得猜想
在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有什么不同呢？引导学生通过度量四边形的内对角，然后去猜测、探究。
学生猜想：对角互补的四边形的四个顶点能共圆
让学生学会利用载体去对问题进行研究。从特殊到一般情形。让学生由无法下手到主动探究，一步一步地向探究的目标靠近。
学情分析
学生已经学知道了不在同一直线上三点如何做一个圆，在这个基础上，探究任意三点不在同一条直线上的四点共圆的条件。通过对特殊的四边形共圆的情况的分析、探究，发现一般规律。体现了特殊到一般的思想。在探究过程中，从不在同一直线三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了类比、转化数学思想，在学生做和思考的过程中有利于数学活动经验的积累。
活动过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
一、创设情境导入课
演示课件：
1、向学生展示一组圆在生活中的图片。提出问题
2、一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？
教师演示课件：
提出战国时的《墨经》中对圆是这样描述的“一中同长也”，你知道是什么意思？
情感
态度
在数学活动中发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会合作，学会倾听，培养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，使学生在活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
教案：数学活动探究四点共圆的条件.docx
课题：活动2探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二T•四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学董金林设计理念：教学的实质是以教材屮提供的素材或实际生活屮的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学牛知识的构建、能力的培养、情感的升华。
一、教材及教学内容分析（-）教材的地位和作用分析探究四点共I员I的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。
四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三介形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究.圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。
另外，木堂课通过“活动探究”、“观察一猜想一证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，木堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。
（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程屮，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形）以及-•般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律（过対角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了特姝到一般的思想.同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件, 体现了转化的思想和方法.另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成口我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学牛应用数学的意识，从而帮助学牛积累有效的数学活动经验.二、目标及其解析㈠教学目标：知识技能：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个関的条件;2 .掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察=＞实验=＞猜想=＞论证”的过程，发展学生儿何直观能力；2.通过观察图形，提高学牛的识图能力。
数学人教版九年级上册数学活动——探究四点共圆的条件
数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。
学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。
二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。
达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。
数学人教版九年级上册探究四点共圆的条件
新人教探究四点共圆的条件第二十四章圆数学活动二探究四点共圆的条件学习目标1、通过动手作图、测量，猜测、证明后，得出四点共圆的条件。
2、在探究的整个过程中，体会分类讨论的方法，感受从“特殊到一般”的数学思想。
学习重点：通过动手操作，得到四点共圆的条件。
学习难点：得到四点共圆的条件，并证明结论。
学习过程：一、回顾思考：1、请说说你最喜欢生活中存在的哪种圆形图案。
那你也一定知道，作一个圆必须先确定圆心和半径。
2、从点和圆的位置关系思考（1）过一个点可以作无数个圆，圆心的位置，半径的大小，怎样确定。
（2）过两个点可以作无数个圆，圆心，半径的大小的确定。
（3）过三个点呢？二、类比探究四点共圆的条件。
过任意四点能作一个圆么？（类比三点的方法分类讨论）活动一：图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！（提示：可以类比使用三点确定圆的方法作图）选择1至2个自己喜欢的常见的四边形试试，看看过这些四边形的四个顶点能否作一个圆。
活动二：分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？猜想：如果四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角互补。
活动三：证明猜想已知：求证：（提示：可以利用圆周角定理来证明）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间还有上面的关系吗？（提示：利用圆周角与其所对弧的大小关系，考虑∠B+∠D与180º之间的关系）由上面的探究，试归纳判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
三、归纳小结本节课你有什么收获？。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用多媒体课件展示现实生活中的四点共圆现象，如圆形桌面、车轮等，让学生感受四点共圆的存在，激发学生的学习兴趣。
2.设计问题情境，让学生思考：为什么圆形的桌面不会倒下？四点共圆的条件是什么？
3.创设实践情境，让学生动手画出四点共圆的图形，并尝试找出四点共圆的条件。
（二）问题导向
1.提出问题：什么是四点共圆？四点共圆的条件是什么？
2.引导学生思考：如何判断四个点共圆？有哪些方法可以验证四点共圆的条件？
3.鼓励学生提出问题：在探究过程中，你们遇到了哪些困难？如何解决？
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组四人，以便于合作探究。
2.分配任务：每组需找出四点共圆的条件，并进行验证。
（五）作业小结
1.布置作业：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固四点共圆的条件。
2.鼓励学生在课后进行深入思考和探究，培养他们的独立学习能力。
（二）过程与方法
1.培养学生观察、操作、猜想、验证的探究能力，使其掌握科学研究的方法。
2.引导学生运用合作交流的方式，提高团队协作能力和沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升创新实践能力。
为实现这一目标，我设计了丰富的教学活动。首先，通过多媒体课件展示生活中的四点共圆现象，引导学生观察和思考。其次，让学生动手画出四点共圆的图形，并提出可能的判定条件。在此基础上，组织学生进行小组讨论，交流各自的猜想，并进行验证。最后，我将实际问题引入课堂，让学生运用所学知识解决，提高他们的实践能力。
2.组织小组讨论：让学生交流自己的猜想，互相启发，共同解决问题。
3.教师巡回指导：关注学生在讨论过程中的需求和困难，给予及时的指导和帮助。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：数学活动》优课教案_0
重点 通过活动探究四点共圆的条件。
难点 对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
利用多媒体演示课件，创设了情境，激发了学生的学习热情，通过对特殊四边形
教学 能否共圆的条件的探究，获得猜想，然后用反证法加以证明，得出结论。在解决
理念 问题的过程中，引导学生积极思考，及时发现问题、解决问题有效地呈现了数学
， 学生通过手动操 作、观察、度量猜想 出：对角互补的四边 形的四个 顶点能共 圆。
有利于学生在做 数学中思考、积淀， 从而积累数学活动 经验
四、 证明猜想获得结论
1、通过活动， 同学们猜测出 对角 教师要求学生依据命
在学生动手活
互补的四边形的四个顶点能共
题，写出已知、求证
动的过程中，通过交
圆。 要想运用这个推断，还需要 已知：在四边形 ABCD 流和沟通，让学生明
个顶点作一个圆？
生会发现有的四边形
的四个顶点能共圆，有
的却不行，那这些四边
3、按要求画出图形后， 为什么有 形有什么不同呢？引
的四边形的四个顶点能共圆，有 导学生通过度量四边
的却不行，那这些四边形内对角 形的内对角，然后去猜
有如何呢？
测、探究。
学生猜想：对角互
补的四边形的四个顶
点能共圆
让学生学会利 用载体去对问题进 行研究。从特殊到一 般情形。让学生由无 法下手到主动探究， 一步一步地向探究 的目标靠近。
与圆的关系， 并了解点共 究，得到问题的答案。
圆所必须满足的基本条
激发学生的求知欲望，
件。
调动学生的积极性。
3、过三个点能作圆吗？能作几个 圆，圆心和半径能确定吗？ （分类讨论） 过四个点呢？
教师可利用课件进行演
人教版九级数学上册 第二十四章 数学活动 探究四点共圆的条件正式版ppt
对角互补(hù bǔ)的四边形的四个顶点共圆
则猜：想∠(cAā+ix∠iǎEn（=g1) 810）º 正方形
（2）矩形(jǔxíng)
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个(yī ɡè)圆，那么该四边形的对角之和为180°.
A 这节课你有什么(shén me)收获？
D
A
D
B
C
（3）等腰梯形
B
C
（4）菱形 第六页，共17页。
A D 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆
过四个点能作一个(yī ɡè)圆吗？ ∴∠C+∠DEF=180º
A
D
1、在四边形ABCD中，如果(rúguǒ)∠A= 115°，∠B= 30°，那么当∠C=_____时，四边形ABCD能四点共圆。
课外(kèwài)探究
图中给出了一些(yīxiē)四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！
∠A＋∠C =180°
∠B＋∠D =180°
发现：过某个四边形的四个顶点能作一个(yī ɡè)圆，那么该四边 形的对角之和为180°.
第八页，共17页。
想一想
A
D
A
A
D
D
B
CB
C
B
C
（1）正方形
（2）矩形(jǔxíng)
（3）等腰梯形(tīxíng)
四边形的哪些元素决定了:过它的四个顶点可以做一个圆？
3、 如图 点A、B、 C、D都是⊙O上的点,则正确(zhèngquè)
的选项是B（ ）
（A）∠1+∠2＞∠A
(B) ∠1+∠2=∠A
(C) ∠1+∠2＜∠A
(D)不能确定
人民教育出版社九年级数学上册 第二十四章 数学活动 探究四点共圆的条件
合作探究，获得猜想 什么样的四边形四个顶点共圆？
矩形
四边形
四边形
边：ห้องสมุดไป่ตู้
不具备共同特征
发现
对角线：
对角线不一定相等
角：
得出猜想 对角互补的四边形四个顶点共圆。
对角互补
证明猜想，获得结论
对角互补的四边形四个顶点共圆。
分类讨论
已知：如图在四边形ABCD中， ∠B+ ∠D=180° 求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ可作一个圆。
C
B
证明猜想，获得结论
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+ ∠C=180 ° 求证：过点A，Ｂ，C，Ｄ可作一个圆。
证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个 圆，则过点A、B、Ｃ作圆，点Ｄ在圆外
Ｂ
Ｃ E
A
F D
目标检测
1、如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A，那么同时过A、B、C、D_________（填 “能”或“不能”）作一个圆。
A D C
B
证明猜想，获得结论 A
在同圆或等圆中，圆周角与其所对弧的大小关系
∵四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+ ∠C=180 °
D
B
C 如果∠A与∠C所对的弧组成了一个圆周，则∠A+ ∠C=180 °
证明猜想，获得结论
你能利用圆周角与其所对弧的大小关系证明吗？
已知：如图在四边形ABCD中， ∠A+∠C=180 ° 求证：过点A、Ｂ、C、Ｄ四点可作一个圆。
证明：假设过A、B、C、D四点不能 作一个 圆，则过点A、B、Ｃ作圆，点Ｄ在圆内
延长ＣＤ和AD分别交圆于点E、F
︵
︵
BF是∠A所对的圆弧，BE是∠C所对的圆弧
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探究四点共圆
阜阳开发区一初王丽 2017/5/1
一、内容和内容解析
本节内容是探究四点共圆的条件。
四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。
圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。
在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。
同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。
二、学情分析
学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。
通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的
四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。
另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。
三、教学目标：
（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。
四、教学重难点：
重点：四点共圆条件的探究。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。
五、教学过程：
I、创设情境、引入新课
同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。
问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？
设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同
一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。
问题2：如果要经过A、B、C、D三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？
为了解决这个问题，本节课我们就来探究四点共圆的条件。
II、合作探究、获得猜想
探究：（小组1）平行四边形的四个顶点是否在同一个圆上？
（小组2）矩形的四个顶点是否在同一个圆上？
（小组3）等腰梯形的四个顶点是否在同一个圆上？
（小组4）有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是否在同一个圆上？
教师引导学生画图、思考交流过矩形、等腰梯形和有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点是做一个圆上；过一般的平行四边形的四个顶点不一定能做一个圆，教师让学生展示自己作图的依据和想法。
师：前面我们已经学过圆的内接四边形有什么性质？
生：圆的内接四边形对角互补。
师：这句话反过来还成立吗？请同学们拿出自己的量角器动手测量验证自己的猜想，并与同桌间交流自己的想法。
生：动手测量与同桌交流自己的想法，并得出猜想：“对角互补的四边形的四个顶点共圆”
师：教师根据学生的作图情况进行适时的指导。
设计意图：让学生经历从特殊到一般，从学生动手作图到发现部分四边形四点共圆再到猜想、动手测量验证猜想的过程，学生经历了几何教学的一般流程，一步一步的向目标靠近。
有利于学生从四边形的边和角等方面去猜测、探究。
有利于学生在解决数学问题的过程中思考、积淀，从而积累数学活动经验。
III 、证明猜想 获得结论
猜想：经过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆。
已知：在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（即A 、B 、C 、D 四点共圆）
证明：（反证法）过A 、B 、C 三点做⊙O ，假设D 不在⊙O 上则点D 在圆内或圆外。
若D 在圆外，设CD 与⊙O 交于D ′，连接A D ′
B
根据圆内接四边形的性质得：∠B+∠C D ′A=180°
又∵∠B+∠D=180°，∴∠C D ′A=∠D 。
这与三角形外角的性质相矛盾，故D 不可能在圆外。
类似的可以证明D 不可能在圆内。
∴D 在⊙O 上，即A 、B 、C 、D 四点共圆。
IV 、回归问题
如果要经过A 、B 、C 、D 三个旅游景点建一个圆形快车道，你能设计出这个圆形车道吗？
设计意图：学生经历了解决数学问题的过程，让他们知道数学来源于生活又应用于生活。
通过交流让学生明确一个问题的解决方案；在推测之后要进行验证，通过证明，让学生感受思想的严谨性，感受思想结论的确定性和证明的必要性，培养学生的推理能力。
V 、例题分析
例1、发现四点共圆
图1、PA 、PB 与⊙O 相切于A 、B 两点
P
图2、⊙O中，点C是弧AB的中点过分别作CD垂直OA，CE垂直OB, 垂足分别为D、E
图3、∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠DCE=∠A
设计意图：让学生用发现的眼光去从多边形中寻找圆，并感受到圆与多边形之间的联系，感受几何图形之间并不是孤立的，解决几何问题的方法也是多样的。
例2、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°
（1）A、B、C、D四点能否在同一个一个圆上？
（2）当∠ABD=70°，则∠CAD是多少度？
设计意图：考查学生对对角互补的四边形的四个顶点的应用，以及圆
的内接四边形对角互补情况的掌握。
例3：（八年级教材习题改编）
如图，四边形ABCD是一个正方形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE=DF，连接BE、AF
（1）图中哪四个点在同一个圆上？
（2）连接CG、BF.求证：∠FBC=∠FGC
设计意图：引导学生去用刚学习的四点共圆知识解决八年级已经学过的四边形问题，体会数学解题的殊途同归，从新的高度进行反思理解同一个题。
同时这两个例题也这学生感受到数学“转化”思想的重要性。
五、归纳反思、总结提升
启发学生思考：如果你遇到证明多点共圆，可以从以下几个方面思考：
1、从圆的定义出发，证明各点都与某一定点的距离相等。
2、如果证明四点共圆，可以先任选三点做一个圆，再证明另一个
点也在这个圆上。
3、若能证明四边形对角互补，或证明其中一个外角等于其邻补角
的内对角，即可证明这四点共圆。
4、本节课体现了几个重要的数学思想“从特殊到一般的思想”、“转
化的思想”、“数形结合的思想”
设计意图：通过小结使学生总结学生本节课所学到的知识、技能、研究方法，并关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握，提升学生对数学思想方法的认识和运用。
增强学生的数学能力和对数学的积极情感。
六、作业布置
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且AE=DF，连接BE、AF交于M点。
（1）小南经过思考发现点E、M、F、D在同一个圆上。
请判断小南的发现是否正确。
如果正确在图中作出该圆的直径，如果不正确说明理由。
（2）连接CM、BF，若∠FBC=35°，求∠FMC的度数。
（3）挑战：延长AF、BC交于点N，若点B、M、D、N在同一个圆上，求证：E为AD的中点
B
设计意图：作业设置不同的难度，让不同的学生得到不同的发展。