吉林大学《数字信号处理》期末考试学习资料(二)
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吉大《数字信号处理》(二)
第二章 离散时间信号与系统的z 域分析和频域分析
一、什么是z 变换?
在时域离散信号和系统中,用序列的傅里叶变换进行频域分析,z 变换则是其推广,用以
对序列进行复频域分析。
序列x(n)的z 变换定义为
式中z 是一个复变量,它所在的复平面称为z 平面。注意在定义中,对n 求和是在-∞、
+∞之间求和,可以称为双边Z 变换。还有一种称为单边Z 变换的定义,如下式:
这种单边z 变换的求和限是从零到无限大,因此对于因果序列,用两种Z 变换定义计算的结果是一样的。z 变换是傅里叶变换的推广,傅里叶变换是z 变换的特例—单位圆上的变换。
二、简述z 变换的收敛域。
对于任意给定的序列x(n),使其z 变换X(z)收敛的所有z 值的集合称为X(z)的收敛域(region of convergence ,Roc )。使级数收敛的充要条件是满足绝对可和,如下式所示:
一般收敛域用环状域表示如下:
常用的Z 变换是一个有理函数,用两个多项式之比表示为:
()()n
n X z x n z
∞
-=-∞
=
∑0
()()n
n X z x n z ∞
-==∑()
()()
P z X z Q z =
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点,分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z 变换不存在,因此收敛域中没有极点,收敛域总是用极点限定其边界。
三、x(n)=u(n), 求其Z 变换。
解:
()()n
n
n n X z u n z
z ∞
∞
--=-∞
==
=∑∑
X(z)存在的条件是1||1<-z ,因此收敛域为|z|>1, 因此: X(z)表达式表明,极点是z=1,单位圆上的z 变换不存在,或者说收敛域不包含单位圆,
该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在,但在一定的收敛域内z 变换是可以存在的。
四、求)()(n u a n x n =的z 变换及其收敛域。
解:
10
1()(
)1n n
n n n n X z a u n z
a z az ∞
∞
---=-∞
==
==
-∑
∑
在收敛域中必须满足1||1<-az ,因此收敛域为|z|>|a|。
五、已知
求z 反变换。 解:
1
1
()||1
1X z z z -=>-