中科院03-15高等数学甲真题
中国科学院研究生院高等数学3
(
)。
(a) 条件收敛 (b) 发散
(c) 绝对收敛 (d) 不能确定
(8) 设 为螺旋面
,
,
的一部分，
,
,则
的值为 (
)。
(a)
(b)
(c)
(d)
(9)
的值为 (
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(a)
(b)
(c)
(d)
(10) 一平面过点 (a)
且与直线
的交线的方向数是 (
(b)
(c)
垂直，则该平面与平面 )。
(d)
二、(本题满分 10 分) 证明极限
(1) 函数
, 正确结论是 (
)。
(a) 在
内有界
(b) 当
时 为无穷大
(c) 在
内无界
(d) 当
时 极限存在
(2) 函数 在
上是连续函数, 且
。
则
的最大取值区间是 (
)。
(a) (3) 微分方程
(a)
(b)
的一个特解是 ( (b)
(c) )。
(c)
(d) (d)
(4) 已知
是正整数,且
, 如果
则下面结论正确的一个是 (
三、（本题满分 10 分）求微分方程
四、(本题满分 10 分) 计算
和抛物线
围成的闭区域。
五、(本题满分 10 分) 将函数
六、(本题满分 10 分) 设函数
存在, 并求出极限值。
，其中
的通解。 是由抛物线
(
)展开成正弦级数。
,求
的值。
七、 (本题满分 10 分) 计算曲线积分
，其中 是由直线
和半圆周
中科院高等数学甲教材
中科院高等数学甲教材1. 引言高等数学是大学的重要基础课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力具有重要意义。
中科院高等数学甲教材是一套经过精心编写和审定的教材，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念和方法，提高解决实际问题的能力。
2. 教材结构中科院高等数学甲教材包括多个章节，涵盖了微分学、积分学和微分方程等核心内容。
每个章节都以清晰的逻辑顺序展开，帮助学生逐步理解和掌握数学的重要知识点。
3. 章节一：微分学微分学是高等数学的基础部分，通过对函数的变化率和极限进行研究，揭示了数学中的微小变化与整体变化之间的关系。
本章节主要包括导数的概念、导数的计算方法、导数的应用以及高阶导数等内容。
通过学习微分学，学生将能够准确描述函数在特定点的变化情况，并应用于实际问题的建模和求解。
4. 章节二：积分学积分学是微分学的重要补充，是数学中研究函数面积、曲线长度和定积分的学科。
本章节主要包括不定积分、定积分以及应用积分求解面积、体积和物理问题等内容。
通过学习积分学，学生将能够通过对函数曲线下面积的计算，进一步了解函数的性质和应用。
5. 章节三：微分方程微分方程是数学中研究变化过程的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本章节主要包括一阶微分方程、高阶线性微分方程、常系数线性微分方程、变系数线性微分方程以及微分方程的应用等内容。
通过学习微分方程，学生将能够建立模型，预测和解决实际问题，培养抽象思维和分析问题的能力。
6. 总结中科院高等数学甲教材在内容的安排和编写上经过了精心设计和策划，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本理论和应用方法。
通过系统的学习，学生将能够在实际问题中运用所学知识，培养解决问题的能力和数学思维，为今后的学习和研究奠定坚实的基础。
这篇文章按照教材的章节顺序进行了论述，通过简明扼要的方式介绍了中科院高等数学甲教材的结构和内容。
文章整体结构清晰，语句通顺，表达流畅，符合要求。
无论从排版还是内容层面上，都能够满足阅读体验的要求。
中国科学院研究生院高等数学3
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)(1)函数, 正确结论是( )。
(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。
则的最大取值区间是( )。
(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。
(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。
(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。
(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。
(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。
(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。
三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。
四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。
五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。
中国科学院大学601高等数学(甲)考试内容要求及大纲解析详解(函数、极限、连续)【圣才出品】
专题1 函数、极限、连续第1部分 考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念第2部分 考试要求（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.（2）理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.掌握判断函数这些性质的方法.（3）理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.会求给定函数的复合函数和反函数.（4）掌握基本初等函数的性质及其图形.（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.（6）掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算.（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限.掌握利用两个重要极限求极限的方法.（8）理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.（10）掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质.（11）理解函数一致连续性的概念.第3部分考试大纲详解一、函数1．函数的定义设数集D R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，简记为，其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作，即．2．函数的表示方法（1）表格法（2）图形法（3）解析法（公式法）二、函数的性质1．有界性 （1）上界：若存在K 1，对任意x I Î有1()f x K £，则称函数()f x 在Ｉ上有上界，而K 1称为函数()f x 在Ｉ上的一个上界.（2）下界：若存在K 2，对任意x I Î有2()f x K ³，则称函数()f x 在Ｉ上有下界，而K 2称为函数()f x 在Ｉ上的一个下界.（3）有界：若对任意x I Î，存在M ＞0，总有()f x M £，则称()f x 在I 上有界.2．单调性（1）单调递增 当12x x <时，12()()f x f x <.（2）单调递减 当12x x <时，12()()f x f x >.3．周期性（1）定义 ()()f x T f x +=（T 为正数）.（2）最小正周期 函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.4．奇偶性f （x ）的定义域关于原点对称，则：（1）偶函数 f （－x ）＝f （x ），图形关于y 轴对称.（2）奇函数 f （－x ）＝－f （x ），图形关于原点对称.三、反函数、复合函数、隐函数1．反函数（1）定义设函数f ：D →f （D ）是单射，则它存在逆映射f －1：f （D ）→D ，称此映射f －1为函数f 的反函数.（2）特点 ①当f 在D 上是单调递增函数，f －1在f （D ）上也是单调递增函数；②当f 在D 上是单调递减函数，f －1在f （D ）上也是单调递减函数；③f 的图像和f －1的图像关于直线y ＝x 对称，如图1－1所示．图1－12．复合函数（1）复合函数概念设函数y ＝f （u ）的定义域为f D ，函数u ＝g （x ）的定义域为g D ，且其值域g f R D Ì，则函数称为由函数u ＝g （x ）与函数y ＝f （u ）构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量.注：函数g 与函数f 构成的复合函数，即按“先g 后f ”的次序复合的函数，记为 ，即.（2）构成复合函数的条件g 与f 能构成复合函数的条件是：函数g 的值域R g 必须包含于函数f 的定义域D f ，即g f R D Ì.3．隐函数 如果变量ｘ，ｙ满足一个方程(,)0F x y =，在一定条件下，当ｘ取区间I 任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程(,)0F x y =在区间I 确定了一个隐函数．四、基本初等函数1．初等函数定义 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.2．基本初等函数性质和图形（1）幂函数①表达式：(R)n y x n =∈；②定义域：使(R)n y xn =∈有意义的全体实数构成的集合；③性质： a ．当n ＞0时，图象过点（0，0）和（1，1），在区间(0,)+∞上是增函数; b ．当n ＜0时，图象过点（1，1），在区间(0,)+∞上是减函数④图像：图像如图1－2所示：图1－2（2）指数函数①表达式：(0,1)x y aa a =>≠；②定义域：R ；③值域：(0,)+∞④性质： a ．当a ＞1时，图象过点（0，1），在R 上是增函数； b ．当0＜a ＜1时，图象过点（0，1），在R 上是减函数． ⑤图像：图像如图1－3所示：图1－3（3）对数函数①表达式：log (0,1)a y x a a =>≠；②定义域：(0,)+∞；③值域：R④性质：a ．当a ＞1时，图象过点（1，0），在(0,)+∞上是增函数；b ．当0＜a ＜1时，图象过点（1，0），在(0,)+∞上是减函数． ⑤图像：图像如图1－4所示：。
中科院历年高等数学甲真题
（3）求极限 lim
b 0
b
，其中 由（2）确定。
14.利用欧拉积分及 函数的余元公式 (s)(1 s)
sin( s )
(0 s 1) 计算积分 (
a
L
b
b x p ) dx ，其中常数 p 满足 0 p 1 。 xa
15.设第二型曲线积分 ( f ( x) y 2 f (0) y ye xy )dx ( x 2 y x xe xy )dy 与路径 无关。 （1）求 f ( x) ； （2）求
四、 （8 分）设 f ( x) 满足条件 f ( x) f ( x) 1 ， f (0) 2 。 （1）求 f ( x) ； （2）求不定积分 ( f ( x) 1) ln f ( x)dx 。 五、 （8 分）求幂级数 (1) n
n 0
n n1 x 的收敛半径和函数。 n 1
2
D
f ( x, y)dxdy ___________________。
D
9.积分
0
ex e2x dx ___________________。 x
10.积分
1
0
( x )
n 0
2 n
dx __________________。
三、解答题（每题 8 分，共 40 分） 11.设 y y( x) 是由 ln x 2 y 2 arctan
dy d 2 y y 确定的隐函数，求 和 2 。 dx dx x
12.计算 zdxdydz ，其中 V 是球面 x 2 y 2 z 2 2az 和 x 2 y 2 z 2 az 所围
2023年全国高考甲卷理数真题试卷及答案
2023年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁(∪)=（ ）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．23．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．894．已知向量,,a b c 满足1,a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉= （ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．455．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ）A ．158B ．658C ．15D ．406．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.47．设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）ABCD9．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）A ．120B ．60C ．30D ．2010．函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC 的面积为（ ）A．B．C．D．12．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A ．135BC ．145D二、填空题13．若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14．若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．15．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．16．在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.(1)设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P k k ≥ 2.706 3.841 6.63520．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．21．已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)当8a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．22．已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23．设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．2023年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁(∪)=（ ）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，∁∪=|=3,∈．故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4．已知向量,,a b c 满足1,a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉= （ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以+=−,即2222a b a b c ++⋅= ,即1+1+2⋅=2,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,OA OB OC ==AB 边上的高2,2OD AD =所以2CD CO OD =+=1tan ,cos 3AD ACD CD ∠==cos ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠ 5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ）A ．158B ．658C ．15D ．40【答案】C【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q =.所以4124815S =+++=.故选:C.6．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.4【答案】A7．设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A B C D9．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）A ．120B ．60C ．30D ．20【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种.故选：B.10．函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42211．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．因为底面ABCD 为正方形，AB =又3PC PD ==，PO OP =，所以又3PC PD ==，42AC BD ==，所以在PAC △中，3,42,PC AC ==因为底面ABCD 为正方形，AB =在PAC △中，3,45PC PCA =∠=则由余弦定理可得22PA AC PC =+17PA =，12．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A ．135B C ．145D二、填空题13．若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪为偶函数，则=a ________．故答案为：2.14．若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．由图可知，当目标函数32y x =-由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：15．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．【答案】12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，16．在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，由余弦定理可得，22222cos 60b b +-⨯⨯⨯ 0，解得：13b =+，S S =+12sin 60b ⨯⨯⨯三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩的前n 项和n T ．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.(1)设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.01020．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅= ，求MFN △面积的最小值．21．已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)当8a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．22．已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23．设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．。
中国科学院大学601高等数学(甲)历年考研真题及详解
目录
2016年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题（回忆版）及详解[视频讲解]
2015年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2014年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解[视频讲解]
2013年中国科学院大学601高等数学（甲）考研真题及详解
2012年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2011年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2010年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2009年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2008年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2007年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2006年中国科学院高等数学（甲）考研真题及详解
2005年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2004年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解
2003年中国科学院高等数学（A）考研真题及详解。
中国科学院大学《高等数学(甲)》考试大纲
中国科学院大学硕士研究生入学考试《高等数学（甲）》考试大纲中国科学院大学硕士研究生入学考试高等数学（甲）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院大学硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。
它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。
二、 考试的基本要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、 考试方法和考试时间高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=， e xx x =+∞→)11(lim 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
掌握判断函数这些性质的方法。
3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
会求给定函数的复合函数和反函数。
中科院-中科大2003试题及答案
中国科学院——中国科学技术大学2003年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：物理化学一、选择题（共5题，10分）1．（2分）理想气体在恒定外压p 下，从10dm3膨胀到16dm3，同时吸热126J，计算此气体的△U.( )（A）-284J （B）842J （C）-482J （D）482J2．(2分)下列宏观过程：（）（1）p ，273K下冰融化为水；（2）电流通过金属发热；（3）往车胎内打气（4）水在101325Pa，375K下蒸发可看作可逆过程的是：（A）（1），（4）（B）（2），（3）（C）（1），（3）（D）（2），（4）3．(2分)298K时两个级数相同的反应Ⅰ，Ⅱ，活化能EI =E∏，若速率常数k1=10k∏，则两反应之活化熵相差：( )（A）0.6J·K-1·mol-1（B）10 J·K-1·mol-1（C）19 J·K-1·mol-1（D）190 J·K-1·mol-14．（2分）有人在不同pH的条件下，测定出牛的血清蛋白在水溶液中的电泳速度，结果如下：（）pH 4.20 4.56 5.20 5.65 6.30 7.00泳速/（μm2/s·V）0.50 0.18 -0.25 -0.65 -0.90 -1.25由实验数据可知：（A）该蛋白质的等电点pH>7.00 （B）该蛋白质的等电点pH<4.20（C）该蛋白质的等电点pH<7.00 （D）从上述实验数据不能确定等电点范围5.（2分）吸附理论主要用来描述：（）（A）均相催化（B）多相催化（C）酸碱催化（D）酶催化二、填空题6．（2分）理想气体等温（T=300K）膨胀过程中从热源吸热600J，所做的功仅是变到相同终态时最大功的1/10，则体系的熵变△S = J·K-1。
7.（2分）在300K时，48.98dm3的理想气体从100kPa变到500KPa，体系的吉布斯自由能变化为kJ.8.(2分)从微观角度面言，熵具有统计意义，它是体系的一种量度。
全国卷“超级全能生”2021届高三数学3月联考试题甲卷理含解析
（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学3月联考试题（甲卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|2x 2－7x －4≤0}，B ＝{x||x|<3}，则A ∩B ＝A.(－2，3)B.(－2，3]C.(－12，2)D.[－12，3) 2.复数z 满足z ＝100313i i ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭，则|z|＝A.5B.23C.5D.23.已知a ＝3log 22，b ＝5log 22，c ＝(12)－1.1，则 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b4.二项式(3x x-)5的展开式中x 的系数为 A.－15 B.－3 C.3 D.155.函数f(x)＝(x 3－3x)·11x x e e -+的图象大致是6.曲线y ＝x sinx 1e+(x ≥0)的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为A.y＝x－1B.y＝xC.y＝x＋1D.y＝x＋27.某省今年开始实行新高考改革，跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学外语三门科目必选外，再从物理化学、生物、政治、地理、历史这6个科目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物理，其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是A.3200B.3100C.27400D.91008.如图所示的程序输出的结果为10221023，则判断框中应填A.i≥10？B.i≤10？C.i≥9？D.i≥11？9.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n－na n＝3n(n∈N*)，且S3＝15，则S10＝A.100B.110C.120D.13010.筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车沿逆时针方向以角速度ω(ω>0)转动，规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P0时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系：xOy，设盛水筒M从点P0运动到点P时经过的时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为h(单位：米)，筒车经过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是A.当t＝16s时，点P与点P0重合B.当t∈[51，65]时，h一直在增大C.当t∈(0，50)时，盛水筒有5次经过水平面D.当t＝50时，点P在最低点11.已知点F1，F2是椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与△PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且PI2IQ=，则该椭圆的离心率为A.12B.13C.14D.2312.已知函数f(x)＝()x2ee(x1)xax8x6x1⎧-≥⎪⎨⎪+-<⎩是定义在R上的单调递增函数，g(x)＝x e－1(alnx＋1)＋x e－e，当x≥1时，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是A.[－4，0)B.[－4，－2]C.[－4，－e]D.[－e，－2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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科目名称：高等数（甲）
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五 、 ( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 y1 = x, y2 = x2, y3 = ex 为 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 ：
的三特解，求该方程满足初始条件
的特解.
六、 (本题满分 10 分)
七、(本题满分 10 分)
八、(本题满分 10 分) 将函数 f(x) = x − 1,(0 ≤ x ≤ 2)展开成周期为 4 的余弦级数.
=
-2 ，则函数
f
(x) 在 x
=
a 处（
）
（A） 导数值不等于零 （C） 取得极大值
（B）导数值等于零但 x = a 不是极值点 （D） 取得极小
（4）设函数 f (x) 在定义域内可导，f (x) 的图像如右图所示，
则 f ¢(x) 的图像最有可能为（
）
（A）
（B）
(C)
（D）
科目名称：高等数学（甲）
中国科学院大学 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
整理版 考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、 选择题 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。）
ò ( ) 七、（本题满分 10 分）计算曲线积分 I =
L
xdy - ydx 4x2 + y2
，其中是以
L
为
1, 0
中心，为 R 半
) ( 径的圆周 R > 0，R ¹1 ，取逆时针方向。
( ) ( ) 八、（本题满分 10 分）设函数 f x 在 -¥，+¥ 上有定义，在 x = 0 的某个领域内有一阶
A.|b|2 = 7|a|2
B.|a|2 = 7|b|2
C.|b|2 = 5|a|2
D.|a|2 = 5|b|2
A.I1 < I2 < I3
B.I3 < I1 < I2
C.I1 < I3 < I2
D.I3 < I2 < I1
A.2
B.
C.
D.
(10)已知曲面 x2 + y2 + 2z2 = 5，在其上点(x0,y0,z0)处的切平面与平面 x + 2y + z = 0 平分，则有( )
，则实数 满足 (
)。
(A)
(C)
(B)
(D)
的任一解 满足当
时
(B) (D)
(9) 幂级数
的收敛域是 (
)。
(A)
(B)
(10) 过
点且与直线
(
)。
(A)
(C)
(C) 及
(B) (D)
(D) 都平行的平面方程为
二、(本题满分 10 分) 计算 三、 (本题满分 10 分) 求微分方程
的解。 四、(本题满分 10 分) 求函数
科目名称：高等数学（甲）
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(5) 已知
,则
（ ）。
(A) 20 (6)
(B) 10 (
(C) 5 )。
(D)不能确定
(A) 0
(B)
(C)
(D) 不存在
(7) 设 在 (2, 2) 区间内可导且
，
， 为单位圆周
被
和 轴正半轴所夹的弧段，则关于弧长的曲线积分
和
满足 (
)。
(A)
(C)
(8) 设二阶线性齐次常系数微分方程
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（5）设 x2 ln x 是函数 f (x) 的一个原函数，则不定积分òxf '(x)dx = （ ）
（A） 2 x3 ln x + 1 x3 + C
3
9
（C） x2 ln x + x2 + C
（B） 2x - x2 ln x + C （D） 3x2 ln x + x2 + C
（6）设 y1, y2 是二阶线性函数齐次微分方程 y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = 0 的两个
(1) 函数 的导函数 在
上是连续函数， , 则函数
一定是 （ ）。 (A) 有界可微函数 (C) 连续可微函数
(2)
(B) 有界连续函数 (D) 以上结论都不正确
＝（ ）。
(A) 1 (3) 函数
(A) (4) 设
(A) (C)
(B)
(C)
(D)
在区间
上的最大值是（ ）。
(B)
(C)
(D)
，下面四个结论正确的是（ ）。 (B) (D)
.
科目名称：高等数学（甲）
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中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、 选择题 （本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填 充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你 的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。）
3
( ) ò ) ) ( ( 对任意的光滑有向封闭曲面 Σ ，都有 ex f ' x dydz - 2 yf x dzdx - zdxdy =0 ，求函 Σ
数 f (x) 的表达式。
( ) 十一、（本题满分 10 分）设一个平面通过点 1, 2, 3 ，他在 x 轴， y 轴上的截距相等。问：
当平面在三个坐标轴上的截距分别为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体积最小？并写 出此平面的方程。
十二、（本题满分 10 分）设函数 f (x) 在[0，c]上可导， f '(x) 单调递减且 f (0) = 0 ，证 明：对于 0 £ a £ b £ a + b £ c ，都有 f (a + b) £ f (a) + f (b) 。
{ } ( ) D = x, y | x2 + y2 £ 25 上的最大值和最小值。
òò( ) 六、（本题满分 10 分）计算二重积分 | x | + | y | dxdy ，其中积分区域 D 是由直线 x = 0 ，
D
x + y = 3 ， y = x - 1 及 y = x +1 所围成的区域。
特解， C1,C2 是两个任意常数，则（
）
（A） C1 y1 + C2 y2 不一定是该微分方程的解
（B） C1 y1 + C2 y2 是该微分方程的解，但未必是通解
（C) C1 y1 + C2 y2 是该微分方程的解，但不是通解
（D) C1 y1 + C2 y2 不是该微分方程的通解
å å ¥
¥
（7）若级数 un 和 vn 都发散，则级数（
A.x0 : y0 : z0 = 4 : 2 : 1
B.x0 : y0 : z0 = 2 : 4 : 1
C.x0 : y0 : z0 = 1 : 4 : 2
D.x0 : y0 : z0 = 1 : 2 : 4
二、(本题满分 10 分)
三、 (本题满分 10 分)
，计算 在点(π,2)处的值.
四、(本题满分 10 分) 设 D 为第一象限内由 y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 2 所围成的区域,f 为一元 可微函数，且 f / = g，记 L 为 D 的边界，证明：
lim f (x) 。
x ® -¥
四、（本题满分 10 分）设函数 z
=
f
(
x,
y
)
满足
¶2 z ¶x¶y
=
x+
y ， f (x，0)=x ， f
(0，y) =
y2 ，
试求 f (x, y) 。 科目名称：高等数学（甲）
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五 、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 求 函 数 f (x, y) = (x - 6)2 +( y + 8)2 在 区 域
(1) 对于函数
.结论不正确的是：
A.在(0,∞)内有界.
B.在(0,∞)内 f(x)没有最大值和最小值.
C.在(0.∞)内处处可导. D.当 x → ∞和 x → 0+时，f(x)极限存在.
A.1
B.0
C.∞
D.
(3).微分方程
的通解为( )
A.x = y + Ce−y – 1
B.y = x + Ce−x − 1
x ®+¥
x
（A）0
（B） ¥
）。 （C） e 2
（D） - e 2
（2）若函数
f
(x)
=
ìïíïîlxn2(1++2
x ax
)
(x ³ 0) 在 x = 0 处可导，则 a 等于（ (x < 0)
）
（A）-2 （B） 2 （C） -1 （D） 1
（3）设极限 lim x®a
f
(x) - f (a) (x - a)4
中国科学院研究生院 2011 年招收硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
考生须知： 1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计为 180 分钟。 所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。