区组设计

04-08-01 《试验设计》第三章 3
例 3.1.1 有４种杀虫剂 A1 , A2 , A3 , A4 ， 它们被称为４种处理．
•随机化区组设计：分二步进行． 第一步， 将 20 块棉田按差异大小排序，将害虫最多的４ 块棉田分为第１个区组， 将害虫最少的４块棉田分为第５个区 组，其它按序入组． 第二步，在１个区组内随机的实施一种杀虫剂． 区组 1 区组 2 区组 3 区组 4 区组 5
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v
i 1 b
j 1 2
随Βιβλιοθήκη Baidu化完全区组设计的方差分析表
表 3.1.3 随机化完全区组设计的方差分析表 来 源 处 理 区 组 误 差 总 和 平方和
1 v 2 T2 S A Ti b i 1 vb
1 b 2 T2 SB Bj v j 1 vb
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《试验设计》第三章
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随机化完全区组设计的数据
在随机化完全区组设计中一般假定有 v 个处理和 b 个区组， 共需进行 n= v×b 次试验， 记 yij 表示第 i 个处理在第 j 个区组内 进行试验所得到的观察值． 区组 1 2 … b (处理)和 均值 处理 1 … T1 T1 y11 y12 y1b y 21 y 22 y 2b 2 … T2 T2
其中
yij －第 i 个处理在第 j 个区组内的试验结果．
－总均值，是待估参数．
且满足 a1 a2 av 0 ． a i －第 i 个处理的效应，
b j －第 j 个区组的效应，且满足 b1 b2 bb 0 ．
ij －试验误差，服从 N (0, ) ． 为误差方差．
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i 1 b
v
j 1 b
i 1 j 1
各平方和的简化计算公式
2 T 2 S T y ij , vb i 1 j 1 v b
f T vb-1
T12 T22 Tv2 T 2 SA , f A v-1 b vb 2 B12 B2 Bb2 T 2 SB , f B b-1 v vb
2
2
由此可见： yij ~ N ( ai b j , ) ．
2
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参数估计
利用最小二乘法，可获得各种效应的最小二乘估计． ˆy ˆ i Ti y，i 1,2, , v a ˆ B y，j 1,2, , b. b
S e ST S A S B
自由度
均方和
F比
f A v 1
f B b 1
MS A S A / f A
MS A F MS e
——
MS B S B / f B
f e (v 1)(b 1) MSe S e / f e
f T vb 1
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处理 1 2 3 4 Bj Bj
Ti
0.6 1.2 2.4 4.2 T =42 y =2.1
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《试验设计》第三章
随机化完全区组设计的统计模型
在 v 个处理和 b 个区组场合的统计模型如下：
yij ai b j ij，i 1, ,2, v, j 1,2,, b
j j
由此可得各拟合值 y ˆ ij 与残差 eij ：
ˆ T B y ˆ ij ˆ a ˆi b y j i j ˆ ij y ij Ti B j y eij y ij y
例：由表 3.1.2 上的诸均值，容易获得各效应估计如下：
ˆ 2.1, a ˆ1 1.5, a ˆ 2 0.9, a ˆ 3 0.3, a ˆ 4 2.1, ˆ 1.9, b ˆ 1.85, b ˆ 2.4, b ˆ 0.65, b ˆ 3.1. b 1 2 3 4 5
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例： 比较两种人造物质的鞋底（ A1 , A2 ）的磨损多少． •一个人的两只脚是一个合乎情理的区组．因为一个人的左 右鞋的磨损情况是近似相同的．不同人之间的磨损情况是有差 异的． •若有６人参加试验，且６人的鞋的尺码相同，则需对每种 人造物质的鞋各制造３双，这样有６只左鞋和６只右鞋，它们 外形相同，每个人随机的从中各选一只左鞋和右鞋．这就完成 了随机化完全区组设计． •一个月后收回，分别测量其磨损量，然后进行数据分析． •讨论：若有三种人造物质的鞋底（ A1 , A2 , A3 ） ，那就要采 用随机化不完全区组设计．
注释一． 假如不设立区组， 则区组平方和并入误差平方和． 数 据仍然可按单因子方差分析处理，所得方差分析表如下： 表 3.1.5 把区组从设计中剔除后的不正确分析 来源 处理 误差 总和 平方和 37.8 102.0 139.8 自由度 3 16 19 均方和 12.6 6.38 F比 1.97
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总平方和分解公式
在模型(3.1.1)中，全部 vb 个观察值的总平方和有如下分解式：
S T ( y ij y ) 2，
i 1 j 1 v i 1 2 b j 1 v
v
b
f T vb 1
2 v b i 1 j 1
b (Ti y ) v ( B j y ) ( y ij Ti B j y ) 2
给定显著性水平 =0.05，查其临界值 F0.95 (3,12) 3.49 ， 由于 F>3.49， 故拒绝 H 0 ， 即四种化学制剂对新型布料的抗拉强 度的影响有显著差异，还需改进布料设计．
2 ˆ 0.94 ． ˆ 2 0.89 ， 试验误差的方差 的估计是
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第三章 区组设计
§3.1 随机化完全区组设计
§3.2 平衡不完全区组设计(BIB设计)
§3.3 链式区组设计
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《试验设计》第三章
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区 组
把全部试验单元分为若干个组， 使得每个 组内各试验单元之间的差异尽可能的小， 这样 的组被称为区组． 如何建立区组被称为区组设计． 在区组设计中，因子的水平被称为处理．
图 3.1.2 金属试件的随机化区组设计 （①②③④表示 4 种不同杆尖）
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例：加工某零件有 3 种工艺需要比较其间差异． •若请一位熟练工人在同台机器上按３种工艺各加工５ 个零件．这样１５个零件需要５日完成，会遇到一个潜在问 题：５日间会有差异，比如第一日工艺生疏与第五日工艺熟 练间会有差异．这时把５日看作５个区组，按随机化完全区 组设计安排试验是妥当的． •若想在一天内完成试验，那就要请５位老工人在５台 机器上分别加工零件． 这时把老工人及其操作的机器作为一 个区组，形成５个区组施行随机化完全区组设计是妥当的．

v (区组)和 均值
y v1
B1
B1
yv2
B2

… … …
y vb

Tv
v b i 1 j 1

Tv
Bb
Bb
T yij
y T / vb
B2
其中： T 为全部 vb 个数据的总和， y 为总均值．
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例 3.1.3 化学制剂对布料有侵蚀作用，会降低布料的抗拉 强度．某工程师研究出一种能抗化学制剂的新型布料，为考察 其抗侵蚀作用，特选定 4 种化学制剂和 5 匹布．考虑到布匹间 的差异，特在每匹布的中部切取４段布料组成一个区组，用随 机化完全区组设计安排试验．试验数据如下： 表 3.1.2 例 3.1.3 的试验数据（原始数据-70） 区组 1 2 3 4 5 Ti 3 3 5 5 16 4 -1 -2 2 2 1 0.25 3 4 4 7 18 4.5 1 2 3 5 11 2.75 -3 -1 -2 2 -4 -1 3 6 12 21
由此可见， ˆ 2 MSe Se / f e 是误差方差 2 的无偏估计． •可以证明：在诸处理效应皆为零时， S A / 2 ~ 2 (v 1) ． 在诸区组效应皆为零时， S B / 2 ~ 2 (b 1) ． S e / 2 ~ 2 ((v 1)(b 1)) ，且三者相互独立． •检验诸处理效应皆为零时，所用的检验统计量是 MS A S A / f A ~ F( f A , fe ) F MSe Se / f e
处理平方和： S A b (Ti y ) 2，f A v 1 区组平方和： S B v ( B j y ) 2，f B b 1 误差平方和： S e ( yij Ti B j y ) 2 即有 ST S A S B S e , f T f A f B f e ． 注意：设立区组的目的，就是把区组平方和从总平方和分解出来， 免其对处理平方和与误差平方和的干扰， 从而加强以后判断 的准确性．
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例：金属的硬度是用硬度计测定的，硬度计上的杆尖是关键 部件． 如今要比较四种不同质料的杆尖的差异， 如何安排试验？ •若每种杆尖要取 4 个硬度值， 按随机化设计需要有 16 块同 类金属．这时存在一个潜在问题，金属试件间在硬度上稍有不 同，就会对比较杆尖产生影响．而不同炉钢在硬度上总是有差 异的． •只取 4 块金属试件，在每块试件上每个杆尖各测一次（见 图 3.1.2） ， 而测试点可以随机选择． 这时一块试件就是一个区组， ４个杆尖就是４个处理．这样就完成一个随机化完全区组设计． 区组 1 ① ④ ② ③ 区组 2 ② ① ③ ④ 区组 3 ③ ② ④ ① 区组 4 ④ ③ ① ②
T2 ST y vb i 1 j 1
v b 2 ij
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例 3.1.4 在化学制剂对布料抗拉强度的试验 （例 3.1.3） 中， 按表 3.1.2 上的数据可算得各平方和及其自由度： 表 3.1.4 例 3.1.4 的方差分析表 来源 处理 区组 误差 总和 平方和 37.8 91.3 10.7 139.8 自由度 3 4 12 19 均方和 12.6 22.83 0.89 F比 14.16 ——
S e ST S A S B ,
f e (v-1)(b 1)
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《试验设计》第三章
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平方和的性质
•可以证明：平方和的期望分别为
E ( S A ) (v 1) 2 b a i2 , E ( S A ) (b 1) 2 v b 2 j , E ( S e ) (v 1)(b 1) ,
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《试验设计》第三章
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区组设计的例子
为了比较４种杀虫剂对棉田中害虫的杀虫效果高低，特选了 20 块田，每块 1 亩．如何安排试验呢？ •随机化设计：将 20 块田随机的均分为４组，分别实施４种 处理．其数据分析用单因子方差分析． 评论：20 块棉田试验单元间总有差异，如害虫多少，植物长 势，土地肥沃程度等．这些差别对杀虫效果会带来影响，从而对 比较产生干扰． 假如此种差异很微小，实施随机化设计是妥当的． 假如此种差异不可忽略，就要采取随机化区组设计．
A1 A3 A4 A2
A2 A4 A1 A3
A4 A1 A2 A3
A2 A3 A4 A1
A3 A2 A1 A4
特点：每个处理（一种杀虫剂）在每个区组内仅出现一次；每 个区组内各种处理也仅出现一次，且其次序是随机的．
04-08-01 《试验设计》第三章 4
随机化区组设计的一般定义
设(某因子)有 v 个处理需要比较，有 n 个试验单元用于 试验． 第一步：把 n 个试验单元均分为 k 个组（k=n/v） ，使每 个组内的试验单元尽可能相似，这样的组称为区组． 第二步：在每个区组内对各试验单元以随机方式实施不 同处理．这样的设计称为随机化区组设计． 若区组大小＝处理个数 v，这样的设计称为随机化完全 区组设计． 若区组大小＜处理个数 v，这样的设计称为随机化不完 全区组设计． 以上各种设计都是平衡的，若各区组大小不尽相同，称 为不平衡区组设计．