区组设计

04-08-01 《试验设计》第三章 6
例：金属的硬度是用硬度计测定的，硬度计上的杆尖是关键 部件． 如今要比较四种不同质料的杆尖的差异， 如何安排试验？ •若每种杆尖要取 4 个硬度值， 按随机化设计需要有 16 块同 类金属．这时存在一个潜在问题，金属试件间在硬度上稍有不 同，就会对比较杆尖产生影响．而不同炉钢在硬度上总是有差 异的． •只取 4 块金属试件，在每块试件上每个杆尖各测一次（见 图 3.1.2） ， 而测试点可以随机选择． 这时一块试件就是一个区组， ４个杆尖就是４个处理．这样就完成一个随机化完全区组设计． 区组 1 ① ④ ② ③ 区组 2 ② ① ③ ④ 区组 3 ③ ② ④ ① 区组 4 ④ ③ ① ②
04-08-01 《试验设计》第三章 13
i 1 b
v
j 1 b
i 1 j 1
各平方和的简化计算公式
2 T 2 S T y ij , vb i 1 j 1 v b
f T vb-1
T12 T22 Tv2 T 2 SA , f A v-1 b vb 2 B12 B2 Bb2 T 2 SB , f B b-1 v vb
T2 ST y vb i 1 j 1
v b 2 ij
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例 3.1.4 在化学制剂对布料抗拉强度的试验 （例 3.1.3） 中， 按表 3.1.2 上的数据可算得各平方和及其自由度： 表 3.1.4 例 3.1.4 的方差分析表 来源 处理 区组 误差 总和 平方和 37.8 91.3 10.7 139.8 自由度 3 4 12 19 均方和 12.6 22.83 0.89 F比 14.16 ——

v (区组)和 均值
y v1
B1
B1
yv2
B2

… … …
y vb

Tv
v b i 1 j 1

Tv
Bb
Bb
T yij
y T / vb
B2
其中： T 为全部 vb 个数据的总和， y 为总均值．
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例 3.1.3 化学制剂对布料有侵蚀作用，会降低布料的抗拉 强度．某工程师研究出一种能抗化学制剂的新型布料，为考察 其抗侵蚀作用，特选定 4 种化学制剂和 5 匹布．考虑到布匹间 的差异，特在每匹布的中部切取４段布料组成一个区组，用随 机化完全区组设计安排试验．试验数据如下： 表 3.1.2 例 3.1.3 的试验数据（原始数据-70） 区组 1 2 3 4 5 Ti 3 3 5 5 16 4 -1 -2 2 2 1 0.25 3 4 4 7 18 4.5 1 2 3 5 11 2.75 -3 -1 -2 2 -4 -1 3 6 12 21
由此可见， ˆ 2 MSe Se / f e 是误差方差 2 的无偏估计． •可以证明：在诸处理效应皆为零时， S A / 2 ~ 2 (v 1) ． 在诸区组效应皆为零时， S B / 2 ~ 2 (b 1) ． S e / 2 ~ 2 ((v 1)(b 1)) ，且三者相互独立． •检验诸处理效应皆为零时，所用的检验统计量是 MS A S A / f A ~ F( f A , fe ) F MSe Se / f e
2
2
由此可见： yij ~ N ( ai b j , ) ．
2
04-08-01 《试验设计》第三章 11
参数估计
利用最小二乘法，可获得各种效应的最小二乘估计． ˆy ˆ i Ti y，i 1,2, , v a ˆ B y，j 1,2, , b. b
图 3.108-01 《试验设计》第三章 7
例：加工某零件有 3 种工艺需要比较其间差异． •若请一位熟练工人在同台机器上按３种工艺各加工５ 个零件．这样１５个零件需要５日完成，会遇到一个潜在问 题：５日间会有差异，比如第一日工艺生疏与第五日工艺熟 练间会有差异．这时把５日看作５个区组，按随机化完全区 组设计安排试验是妥当的． •若想在一天内完成试验，那就要请５位老工人在５台 机器上分别加工零件． 这时把老工人及其操作的机器作为一 个区组，形成５个区组施行随机化完全区组设计是妥当的．
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例： 比较两种人造物质的鞋底（ A1 , A2 ）的磨损多少． •一个人的两只脚是一个合乎情理的区组．因为一个人的左 右鞋的磨损情况是近似相同的．不同人之间的磨损情况是有差 异的． •若有６人参加试验，且６人的鞋的尺码相同，则需对每种 人造物质的鞋各制造３双，这样有６只左鞋和６只右鞋，它们 外形相同，每个人随机的从中各选一只左鞋和右鞋．这就完成 了随机化完全区组设计． •一个月后收回，分别测量其磨损量，然后进行数据分析． •讨论：若有三种人造物质的鞋底（ A1 , A2 , A3 ） ，那就要采 用随机化不完全区组设计．
S e ST S A S B ,
f e (v-1)(b 1)
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《试验设计》第三章
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平方和的性质
•可以证明：平方和的期望分别为
E ( S A ) (v 1) 2 b a i2 , E ( S A ) (b 1) 2 v b 2 j , E ( S e ) (v 1)(b 1) ,
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总平方和分解公式
在模型(3.1.1)中，全部 vb 个观察值的总平方和有如下分解式：
S T ( y ij y ) 2，
i 1 j 1 v i 1 2 b j 1 v
v
b
f T vb 1
2 v b i 1 j 1
b (Ti y ) v ( B j y ) ( y ij Ti B j y ) 2
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《试验设计》第三章
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随机化完全区组设计的数据
在随机化完全区组设计中一般假定有 v 个处理和 b 个区组， 共需进行 n= v×b 次试验， 记 yij 表示第 i 个处理在第 j 个区组内 进行试验所得到的观察值． 区组 1 2 … b (处理)和 均值 处理 1 … T1 T1 y11 y12 y1b y 21 y 22 y 2b 2 … T2 T2
j j
由此可得各拟合值 y ˆ ij 与残差 eij ：
ˆ T B y ˆ ij ˆ a ˆi b y j i j ˆ ij y ij Ti B j y eij y ij y
例：由表 3.1.2 上的诸均值，容易获得各效应估计如下：
ˆ 2.1, a ˆ1 1.5, a ˆ 2 0.9, a ˆ 3 0.3, a ˆ 4 2.1, ˆ 1.9, b ˆ 1.85, b ˆ 2.4, b ˆ 0.65, b ˆ 3.1. b 1 2 3 4 5
给定显著性水平 =0.05，查其临界值 F0.95 (3,12) 3.49 ， 由于 F>3.49， 故拒绝 H 0 ， 即四种化学制剂对新型布料的抗拉强 度的影响有显著差异，还需改进布料设计．
2 ˆ 0.94 ． ˆ 2 0.89 ， 试验误差的方差 的估计是
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v
i 1 b
j 1 2
随机化完全区组设计的方差分析表
表 3.1.3 随机化完全区组设计的方差分析表 来 源 处 理 区 组 误 差 总 和 平方和
1 v 2 T2 S A Ti b i 1 vb
1 b 2 T2 SB Bj v j 1 vb
A1 A3 A4 A2
A2 A4 A1 A3
A4 A1 A2 A3
A2 A3 A4 A1
A3 A2 A1 A4
特点：每个处理（一种杀虫剂）在每个区组内仅出现一次；每 个区组内各种处理也仅出现一次，且其次序是随机的．
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随机化区组设计的一般定义
设(某因子)有 v 个处理需要比较，有 n 个试验单元用于 试验． 第一步：把 n 个试验单元均分为 k 个组（k=n/v） ，使每 个组内的试验单元尽可能相似，这样的组称为区组． 第二步：在每个区组内对各试验单元以随机方式实施不 同处理．这样的设计称为随机化区组设计． 若区组大小＝处理个数 v，这样的设计称为随机化完全 区组设计． 若区组大小＜处理个数 v，这样的设计称为随机化不完 全区组设计． 以上各种设计都是平衡的，若各区组大小不尽相同，称 为不平衡区组设计．
第三章 区组设计
§3.1 随机化完全区组设计
§3.2 平衡不完全区组设计(BIB设计)
§3.3 链式区组设计
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《试验设计》第三章
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区 组
把全部试验单元分为若干个组， 使得每个 组内各试验单元之间的差异尽可能的小， 这样 的组被称为区组． 如何建立区组被称为区组设计． 在区组设计中，因子的水平被称为处理．
处理平方和： S A b (Ti y ) 2，f A v 1 区组平方和： S B v ( B j y ) 2，f B b 1 误差平方和： S e ( yij Ti B j y ) 2 即有 ST S A S B S e , f T f A f B f e ． 注意：设立区组的目的，就是把区组平方和从总平方和分解出来， 免其对处理平方和与误差平方和的干扰， 从而加强以后判断 的准确性．
处理 1 2 3 4 Bj Bj
Ti
0.6 1.2 2.4 4.2 T =42 y =2.1
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《试验设计》第三章
随机化完全区组设计的统计模型
在 v 个处理和 b 个区组场合的统计模型如下：