人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

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人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 x a 2 2y b 2r 21.求标准方程的方法一一关键是求出圆心 a, b 和半径r2 D 2 E 2 4F 0常可用来求有关参数的范围条件方程形式圆心在原点 2x 2 y2r r 0过原点 x 2 a y2b2a b a 2 b 2圆心在x 轴上 x 2a2y2r r圆心在y 轴上 2x y b 22r r圆心在x 轴上且过原点 x 2a2y2a a圆心在y 轴上且过原占2x y 2bb 2b 0与x 轴相切 x J2a y2 b b 2 b0 与y 轴相切 x 2ay 2b a 2a与两坐标轴都相切x 2ay b 2a 2<lb 0位置的圆的标准方程设法（〔无需记，关键能理解）、 •般方程2 2x y Dx Ey F1. Ax 2By 2Cxy Dx Ey F 0表示圆方程，则 2.特殊三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外2.涉及最值：(1) 圆外一点B，圆上一动点P，讨论|PB|的最值(2) 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC)3.以A(x i, yj, B(X2, y2)两点为直径的圆方程为四、直线与圆的位置关系1.判断方法(d为圆心到直线的距离)(1) 相离没有公共点0 d r(2) 相切只有一个公共点0 d r(3) 相交有两个公共点0 d r2.直线与圆相切(1)知识要点①基本图形Bi )点在圆外 2如定点P X o , y o ，圆:y b r 2，[ x oay o b 2 r 2]② 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等第一步：设切线I 方程y y 0 k x x 0第二步：通过dr k ，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上一一千万不要漏了如：过点P 1,1作圆x 2 y 2 4x 6y 12 0的切线，求切线方程. 答案：3x 4y 10和x 1ii ）点在圆上若点XD , y 0在圆x a? y b 2 r 2上，则切线方程为注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，③ 求切线长：利用基本图形，|AP 2|CP ；求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3. 直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若圆x 3 2 y 5 2 r 2上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 0的距离为1,则半径r 的取值范围是 . 答案：4,6问题：直线I 与圆C 相切意味圆心 C 到直线I 的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过定点的切线方程 ①切线条数点在圆外一一两条；点在圆上一一一条；点在圆内一一无②求切线方程的方法及注意点.然后运用上述结果r 2AP 』CP |2 r 2AC r k AC k AP14.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆x2y2m21 x 2my m 0，关于直线x y 1 0，则实数m的值为____________________ .答案：3 （注意：m 1时，D2 E2 4F 0，故舍去）变式：已知点A是圆C: x2 y2 ax 4y 5 0上任意一点，A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆C上，则实数a ________________________ .2.圆x 1 2y 321关于直线x y 0对称的曲线方程是_____________________________ .变式：已知圆C1: x 4 y 2 1与圆C2: x 2 y 4 1关于直线I对称，则直线I 的方程为.3.圆x 3 2y 1 21关于点2,3对称的曲线方程是 ____________________________ .4.已知直线I : y x b与圆C : x2 y2 1,问：是否存在实数b使自A 3,3发出的光线被直线I反射后与圆C相切于点B 24—?若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.25’ 25六、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已知实数x，y满足方程x2 y2 4x 1 0 ,求：（1）—匚的最大值和最小值；——看作斜率x 5（2）y x的最小值；——截距（线性规划）（3）x2 y2的最大值和最小值. ------ 两点间的距离的平方七、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1） d ri $ 外离（2） d r i D外切（3）»r2 d r1r2相交（4） d r1r2内切（5） d * $ 内含2.两圆公共弦所在直线方程圆C1: x2y2D1x E1 y F10，圆C2: x2 y2 D2x E2y F20，则D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两相交圆公共弦方程.注：若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若G与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3.圆系问题（1）过两圆C1: x2 y2 D1X E』F1 0和C2: x2 y2 D?x E?y F? 0交点的圆系方程为x2y2D1x E1y F1X y2D2x E2y F20 （1）注：1）上述圆系不包括C2 ；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为 2 2x y Dx Ey F Ax By C 0（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程•2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程（3）相关点法（平移转换法）:一点随另一点的变动而变分析: OP AP2OA动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动例：如图，已知定点 A 2,0，点Q是圆x2 y2当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式AQ 于M，例：过圆x2 y2 1外一点A。

高二数学必修二第四章圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。

确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ；干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。

人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结教学内容

人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结第四章圆与方程4。

1圆的方程4。

1。

1 圆的标准方程1 。

以(3，— 1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A. (x+ 3)2+(y-1)2=4B. (x-3)2+(y+1)2=4C. (x—3)2+(y+1)2= 16D. (x+ 3)2+(y-1)2= 162 。

一圆的标准方程为x2+(y+1)2=8，那么此圆的圆心与半径分别为(A. (1，0)， 4 B。

(-1，0)， 2 V2C。

(0，1) ， 4 D。

(0，— 1)， 2 V23 。

圆(x+ 2)2+(y—2)2= m2的向心为，半径为。

4，假设点P(—3，4)在圆x2+y2=a2上，那么a的值是。

5 。

以点(—2，1)为圆心且与直线x+ y=1相切的圆的方程是6 。

圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A 。

x2+ (y —2)2= 1B. x2+(y+2)2=1C. (x-1)2+(y-3)2= 1D. x2+ (y —3)2=17 。

一个圆经过点A(5，0)与B(—2，1)，圆心在直线x-3y-10=0±，求此圆的方程。

8 。

点P(5a+ 1，12a)在圆(x—1)2+y2= 1的内部，那么a的取值范围是()A。

|a|v1- 1B- a<n一，，1C. |a|<51D. |a|<139 。

圆(x— 1)2+y2=25上的点到点A(5，5)的最大距离是。

10 。

设直线ax—y + 3=0与圆(x—1)2+(y —2)2= 4相交于A， B两点，且弦AB的长为243，求a的值。

4。

1。

2 圆的一般方程1，圆x2+ y2—6x= 0的圆心坐标是。

2，假设方程x2+y2+Dx + Ey+F = 0表示以〔2，— 4〕为圆心，以4为半径的圆，那么 4 58。

过点A(11，2)作圆x2+y2+2x—4y—164= 0的弦，其中弦长为整数的共有() A。

高中数学必修二圆与方程

高中数学必修二圆与方程高中数学必修二：圆与方程圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点，是数学学习中的基础内容。

圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合，是几何中的重要图形之一；而方程则是描述数学关系的一种数学语言。

本文将详细讲解圆和方程的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

1. 圆的基本概念在几何中，圆是一个封闭曲线，由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。

圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。

圆心是圆的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上任意点的距离，通常用字母r表示；直径是通过圆心的两个端点的线段，通常用字母d表示。

弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上的一段曲线。

圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。

2. 圆的相关定理在学习圆的过程中，我们需要掌握一些重要的定理，如圆的相交、切线、相切等相关定理。

其中，切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。

此外，根据圆的位置关系，我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理，这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。

3. 圆的参数方程在高中数学中，我们还需要学习圆的参数方程。

当圆的中心不在坐标原点时，我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。

圆的参数方程一般为x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ为参数，r为半径。

通过参数方程，我们可以方便地描述圆的位置和形状，是解决复杂问题时的重要工具。

4. 一元二次方程另一个重要的数学概念是一元二次方程。

一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。

解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。

掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要，同时也是解决实际问题的基础。

5. 二次函数一元二次方程的图像是抛物线，对应的函数为二次函数。

二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。

人教版必修二：《圆的方程》人教版必修二：《圆的方程》复习讲义(知识点总结及巩固练习)

圆的方程知识梳理：1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 其中圆心为C (a ，b )，，半径为r (r >0).(2)圆的一般方程:x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（其中 D 2＋E 2－4F >0）.圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F . 2.点与圆的位置关系判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)几何法：利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系：①d >r ，点在圆外； ②d ＝r ，点在圆上； ③d <r ，点在圆内．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内；②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上；③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．3.求圆的标准方程时，一般有两种方法：(1)待定系数法：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组；③解方程组，求出a ，b ，r 的值，从而得到圆的方程。

这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)几何法：由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写出方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．4.直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则①直线与圆相交⇔Δ>0； ②直线与圆相切⇔Δ＝0； ③直线与圆相离⇔Δ<0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则①直线与圆相交⇔d<r；②直线与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相离⇔d>r.5.圆与圆位置关系的判断设两圆的半径分别为r、r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：6．两圆公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.7．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．巩固练习：1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是__________.2．以(-2,3)为圆心，2为半径的圆的标准方程是__________________.3．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1004．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是()5．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．6．点P(1，－1)在圆x2＋y2＝r的外部，则实数r的取值范围是________．7．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝08.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．9．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为_______.10．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是__________.11．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于_________.12．以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝913．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．14．直线y＝x与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A，B，则|AB|＝________.15.求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．16．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为_________,最小距离为________．17．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．18．已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离？19．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是___________.20．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是________.21．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为_______________.22.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．。

高中数学人教版必修2第四章圆的方程全章公开课课件

解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
例1. 已知线段AB的端点B的坐标为（4,3），端点A在圆 (x+1)2+y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
相关点法：又叫代入法. 在直角坐标系中,一个点
的运动变化引起另外一些点的运动变化（这些点具有相关性）,把它们的坐标用一个表示另外一个,再代入已知轨迹方程,就可求出未知的轨迹方程.
（2）没有xy这样的项。
探究：当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2y2D xE yF0 的位置分别有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原__点_(_0_,0_) (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
(2) x2y22axya0 是圆的方程的充要条件是( D )
(A)a 1 2
(B)a 1 (C )a 1
2
2
(D)a 1 2
x (3)圆 x2y28x10yF0与轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A )
( A)6 (B )5 (C )4
(D )3
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|

《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)

2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25

高中数学必修二第四章圆与方程课件

第二页，共40页。
第46讲 │ 知识梳理
4．圆的一般方程方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 D2＋E2－4F>0 时，表示此以时－_方_D2_程_，_x_－2_＋_E2为y2＋圆D心x，＋Ey＋DF2＋＝2E0 2称－为4F圆的一般方为程半．径的圆， 5．点与圆的位置关系可知平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C 之间存在着下列关系： (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在_圆_外____； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 _圆_上____； (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在_圆_内____．
第二十页，共40页。
│ 要点探究
► 探究点2 及圆有关的最值问题
例 2 在△OAB 中，已知 O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB 的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P 是圆上一点．
(1)求点 P 到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离的最大值和最小值；
(2)若 S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求 S 的最大值和最小值． [思路] (1)转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关系；(2)把 S 表示为圆上点的坐标的函数，通过这个函数的最值解决．或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数的最值．
第二十二页，共40页。
│ 要点探究
方法 2：(1)由于 x，y 满足(x－2)2＋(y－2)2＝4，根据同角三
角函数关系，可以设点 P 的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)(θ 为参
数，且 0≤θ<2π)，则由点到直线的距离公式可得

版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆及方程4.1.2Word版含[001]

圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特色.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的地点和半径的大小.3.能依据某些详尽条件，运用待定系数法确立圆的方程．知识点圆的一般方程思虑1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？2 2 2 2答案对方程x＋y－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)＋(y＋2)＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，2222对方程x＋y－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)＋(y＋2)＝－1，不表示任何图形．22思虑2 方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0能否表示圆？答案对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得( x＋D2＋(y＋E2D2＋E2－4F，2)2)＝4①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－D，－E)为圆心，1D2＋E2－4F为半径长的圆；222②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－D，y＝－E，它表示一个点(－D，－E)；2222③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．梳理方程条件图形x2＋y2＋D2＋E2－4F<0不表示任何图形22D E －4F＝0表示一个点(－，－Dx＋Ey＋D＋E22)F＝0D 22表示以(－D，－E122－4F为半径的圆＋E－4F>022)为圆心，以2D＋E种类一圆的一般222例1若方程x＋y＋2mx－2y＋m＋5m＝0表示圆，务实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，1解得m<，1 即实数m 的取值范围为(－∞，)．5圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m. 反思与感悟形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判断其能否表示圆时可有以下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令 D 2＋E 2－4F>0建立，则表示圆，不然不表示圆． (2)将方程配方后，依据圆的标准方程的特色求解．应用这两种方法时，要注意所给方程能否是 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这类标准形式，若不是，则要化为这类形式再求解．追踪训练 1 (1)已知 a ∈R ，方程 a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为 ________，半径为________． (2)点M 、N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M 、N 关于直线 x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．答案 (1)(－2，－4) 5 (2)9π 分析 (1)由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1.当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋5＝0，2D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不吻合题意．当a ＝－1时，方程可化为 x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.22k(2)圆x ＋y ＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为(－，－1)，由圆的性质知，直线 x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－2k＋1＋1＝0，得k ＝4，22122∴圆x ＋y ＋4x ＋2y －4＝0的半径为 4＋2＋16＝3，∴该圆的面积为 9π. 种类二求圆的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC 的外接圆上，求 a 的值．解 (1)设△ABC 外接圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，由题意，得52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0， 32＋－12＋3D －E ＋F ＝0，D ＝－8，解得 E ＝－2， F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为 x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0，即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申研究若本例中将点 “C(3，－1)”改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其余条件不变，如何求圆 C 的方程？解3－217 5∵k AB ＝＝，AB 的中点坐标为 ( ，)，5－232 2 ∵AB 的垂直均分线方程为y －5 7 2＝－3(x －)．2y ＝－x ，13，联立得 x ＝2 y －5＝－3x －7，13，22y ＝－ 2即圆心C 的坐标为(13，－1322)，r ＝13－22 ＋－13－22＝370，22 2 ∴圆C 的方程为(x －13 2 13 2 185 2 )＋(y ＋ 2 )＝ 2 .反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)假如由已知条件简单求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采纳圆的标准方程，再用待定系数法求出 a ，b ，r.(2)假如已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采纳圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F.追踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解方法一(待定系数法)设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，4D－2E＋F＋20＝0，①得D－3E－F－10＝0.②令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③由已知得|y1－y2|＝43，此中y1，y2是方程③的根，|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④联立①②④解得D＝－2，D＝－10，E＝0，或E＝－8，F＝－12F＝4.故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直均分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．又圆C的半径长r＝|CP|＝a－42＋a＋12.①由已知得圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋(423)2，2代入①整理得a－6a＋5＝0，∴r1＝13，r2＝37.2222故圆的方程为(x－1)＋y＝13或(x－5)＋(y－4)＝37.例3已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．解设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为C(3,3)．因为CM⊥AM，所以k CM·k AM＝－1，y －3y ＋5即·＝－1，x －3x ＋3即x 2＋(y ＋1)2＝25.22所以弦PQ 的中点M 的轨迹方程为x ＋(y ＋1)＝25(已知圆内的部分 )．(1)直接法：依据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，而后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹吻合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点 P(x ，y)依赖于某圆上的一个动点 Q(x 1，y 1)而运动，把x 1，y 1用x ，y 表示，再将Q 点的坐标代入到已知圆的方程中，得 P 点的轨迹方程．易错警示在解决此类问题时易出现不吻合条件的点仍在所求的轨迹上，即应消除不适合的点．追踪训练 3已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．解设点M(x ，y)，点P(x 0，y 0)，x 0，x 0＝2x ，x ＝2则∴y 0＝2y.y 0 ，y ＝222点P(x 0，y 0)在圆C ：x ＋y －8x －6y ＋21＝0上，∴x 02＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0， ∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋21＝0.41．圆x2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0 的面积为()A ．8πB ．4πC ．2πD ．π答案 C分析原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.2．若点M(3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点 M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0答案C分析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由2－0＝2，可知C正确．k＝4－33．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()1A．m≤2B．m＜21C．m＜2D．m≤2答案B分析由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，即m＜1 . 24．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值挨次为() A．－2,4,4B．－2，－4,4C．2，－4,4D．2，－4，－4答案A分析由方程得圆心坐标为(－a，b)，半径为r＝4a2＋b2－4c2.由已知，得－a＝2，b＝2，224a2＋b2－4c＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.25.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB 的端点B的轨迹方程．解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，因为点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝x0＋x，3＝y0＋y，22于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程即(x0＋1)2＋y20＝4，(x＋1)2＋y2＝4，②22把①代入②，得(8－x＋1)＋(6－y)＝4，22整理，得(x－9)＋(y－6)＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程能否具备圆的一般方程的特色；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F能否大于0或直接配方变形，判断等号右侧能否为大于零的常数．2．待定系数法求圆的方程假如已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采纳圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适合坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．(2)列出点M满足条件的会集．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.(4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．课时作业一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A．2 B.2C．1 D.2 2答案D分析因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝|1＋2－1|＝2.222222．方程x＋y＋2ax＋2by＋a＋b＝0表示的图形为()B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)答案D分析原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，x＋a＝0，x＝－a，∴即y＋b＝0，y＝－b.∴方程表示点(－a，－b)．3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为()A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝022－ B ．x ＋y ＋2x ＋4y ＝0 － C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 － D ．x2＋y 2－2x －4y ＝0－答案 C－分析直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a(1＋x)＝0，－ x －y ＋1＝0，由得C(－1,2)．x ＋1＝0， ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为 r(r ＞0)的圆，则该圆的圆心在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D分析因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆，又方程可化为a 2 2＝－32(x ＋)＋(y －a)a －3a ，24故圆心坐标为(－a，a)，r 2＝－3a 2－3a.24由r 2＞0，即－3a 2－3a ＞0，解得－4＜a ＜0，4 故该圆的圆心在第四象限．2 2外，则m 的取值范围是() 5．若点(1，－1)在圆x＋y －x ＋y ＋m ＝01A ．m ＞0B ．m ＜211C ．0＜m ＜2D ．0≤m ≤2答案 C分析2 2 12 12 1－m ，x＋y －x ＋y ＋m ＝0可化为(x －)＋(y ＋)＝222则1－m ＞0，解得m ＜1. 22因为点(1，－1)在圆外，所以 1＋1－1－1＋m ＞0，1即m ＞0，所以0＜m ＜2.应选C. 6．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上改动时，它与定点 Q(3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是 ()A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝12 2C ．(2x －3) ＋4y ＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1 答案 C分析设P(x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y)，x 1＋3x ＝，2∵ Q(3,0)，∴y ＝y 1＋0，2x 1＝2x －3，y 1＝2y.又点P 在圆x 2＋y 2＝1上， (2x －3)2＋(2y)2＝1，应选C.7．已知三点A(1,0) ，B(0， 3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()5 21 2 5 4 A.3 B.3 C.3D.3答案 B分析设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，由题意得 3＋ 3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋ 3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－43，F ＝1.3即△ABC 外接圆的方程为2243x ＋y －2x － 3 y ＋1＝0.∴圆心坐标为(1，23 3 )，∴圆心到原点的距离为12＋232＝213 3.8．已知圆C 的半径为 2，圆心在x 轴的正半轴上，直线 3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C的方程为()．x 2＋y 2－2x －3＝0 ．x 2＋y 2＋4x ＝022C ．x ＋y ＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D分析设圆心C 的坐标为(a,0)，a>0，d ＝|3a ＋4|＝2，5a ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.二、填空题9．已知圆 C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆答案C 上，则－2a ＝________.分析由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心(－1，－a2)，则－1＋a2＋2＝0，得a ＝－2.10．假如圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．答案(0，－1)分析因为r ＝12k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大， 2 2即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则 a －b 的取值范围是________．答案 (－∞，1)分析由题意知，直线 y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，所以圆的方程化为标准方程为 (x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.三、解答题12．已知圆 22＋Ey ＋3＝0，圆心在直线 x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半C ：x ＋y ＋Dx 径长为2，求圆的一般方程．解圆心C 的坐标为(－D ，－E)，2 2因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D －E－1＝0，即D ＋E ＝－2.①2 2又r ＝D 2＋E 2－1222②＝2，所以D ＋E ＝20.2由①②可得D ＝2， D ＝－4，E ＝－4或E ＝2.DD 又圆心在第二象限，所以－ 2<0，即D>0，E ＝2，所以E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.四、研究与拓展13．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上全部的点均在第二象限内，则a 的取值范围为()A ．(－∞，－ C ．(1，＋∞)2)B ．(－∞，－ D ．(2，＋∞)1) 答案D分析曲线 C 的方程可化为 (x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，则曲线 C 表示的是以(－a,2a)为圆心，为半径的圆．要使圆C 上全部的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)一定在第二象限，从而有a>0，而且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短2距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.14．已知方程 x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求此中面积最大的圆的方程；2(3)若点P(3,4t)恒在所给圆内，求 t 的取值范围．解(1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 1由二次函数的图象，解得－ 7<t<1. ∴t 的取值范围为 (－17，1)．(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7t －32＋16，7 7∴当t ＝3∈(－1，1)时，r max ＝4 7，此时圆的面积最大，777所对应的圆的方程是(x －24)2＋(y ＋13)2＝16.7497∴ (3)当且仅当 32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴ 8t2－6t<0，∴ 0<t<3，满足圆的定义．4 3 ∴t 的取值范围为 (0，4)．学不是一时半刻的事情，需要平累，需要平的好学苦。

(完整)高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义,推荐文档

2、由k=o-p1,k求l 出
kl ;
3、用点斜式: y y0 kl (x x0 ),得出切线方程.
2、求过圆O外一点的P圆(x的0, 切y0 )线方程的方法：
步骤：1 、设直线为y y0 k(x x0 ),
2、由d列出r方程，解出从而得 k, 到切线方程
.
5、圆与圆的位置关系
设圆O与1圆的O半2 径分别为则圆r与1, r圆2. O有1O以2 下 d种. 位置关系： 5 （1）相离：d r1 r2 （2）外切：d r1 r2 （3）相交：r1 r2 d r1 r2 （4）内切：d r1 r2 （5）内含：d r1 r2
R M
O
Q
y
P
M'
x
3、空பைடு நூலகம்两点中点公式
A(x1, y1, z1)， B(x2 , y2 , z2 )，则 AB 中点为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1
2
z2
2、空间两点间的距离公式
(1)空间中任意一点 P1 (x1, y1, z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式 P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
特别地，任意一点 P(x, y, z) 与原点间距离 PO x2 y2 z2
2、圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0(其中D2 E2 4F 0)
1、x和2 的y系2 数相同，不为 0. 2、没有x这y 样的项.
圆的一般方程标准配方方程：(
) +x( D 2) =y E 2 D2 E2 4F
2
2
4
可知圆心为( - D , E ) , 半径r D2 E2 4F

《圆的一般方程》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.1.2课时)

y M(x,y)
O
C
x
新知探究
问题探究1 圆的一般方程 1.圆的标准方程
展开得 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
新知探究
D2 E 2 4F 2
5
2
2
课堂练习
练习3：已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为
1 2 的点的轨迹，求出曲线的轨迹.
解析：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，
点M在曲线上的条件是 | MO | 1 | MA | 2
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
二、自主学习探究新知
二、自主学习探究新知
如果用C表示圆的周长，就有：
C ＝πd 或
C＝2πr
三、巩固提高
1、计算下面各圆的周长。
C=πd =3.14×4 =12.56(cm)
C=2πr =3.14×1.5×2 =9.42(cm)
三、巩固提高
2、选择。
（1）圆周率是一个（ B ）。 A.有限小数 B.无限小数
（2）求车轮滚动一周前进的距离，是求车轮的（ C ）。 A.半径 B.直径 C.周长
（3）圆的周长是直径的（ B ）倍。 A.3.14 B.π C.3
三、巩固提高
3、判断。（1）大圆的周长一定比半圆的周长大。（× ）
（2）半径不相等的两个圆，周长一定不相等。（ √ ）
三、巩固提高
4、一个圆形喷水池的半径是5m，它的周长是多少？ 3.14×5×2＝31.4（米）答：它的周长是31.4 米。

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.3 Word版含答案

4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点坐标法解决几何问题的步骤用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．类型一直线与圆的方程的应用例1某圆拱桥的圆拱跨度为20m ，拱高为4m ．现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)．设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2，a 2＋(b －4)2＝r 2，解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以该船可以从桥下通过．反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________米．答案251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)．类型二坐标法证明几何问题例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF 与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设|AB |＝2r ，D (a,0)，则|CD |＝r2－a2， ∴C (a ，r2－a2)，∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2，圆C ：(x －a )2＋(y －r2－a2)2＝r 2－a 2.两方程作差，得直线EF 的方程为 2ax ＋2r2－a2y ＝r 2＋a 2.令x ＝a ，得y ＝12r2－a2，∴H (a ，12r2－a2)，即H 为CD 中点，∴EF 平分CD .反思与感悟(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题； ②通过代数运算，解决代数问题；③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论． (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②常选特殊点作为直角坐标系的原点； ③尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．跟踪训练2如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P ，Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．证明如图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立直角坐标系，于是有B (－m,0)，C (m,0)，P (－n,0)，Q (n,0)．设A (x ，y )，由已知，点A 在圆x 2＋y 2＝m 2上．则|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2＝(x ＋n )2＋y 2＋(x －n )2＋y 2＋4n 2 ＝2x 2＋2y 2＋6n 2＝2m 2＋6n 2(定值)．类型三直线与圆位置关系的应用例3为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8km 到达公路上的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解以O 为坐标原点，OB ，OC 所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.反思与感悟针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题．跟踪训练3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km 处，受影响的范围是半径长为20km 的圆形区域(如图)．已知港口位于台风中心正北30km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10km 为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，所以轮船航线所在的直线方程为x6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x 2＋y 2＝4.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离为d ＝|－6|12＋22＝65>2，所以直线x ＋2y －6＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．1．一辆卡车宽1.6m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A ．1.4mB ．3.5mC ．3.6mD ．2.0m 答案B解析如图，圆的半径|OA |＝3.6m ，卡车宽1.6m ，所以|AB |＝0.8m ，所以弦心距|OB |＝3.62－0.82≈3.5(m)．2．方程x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0)所表示的图形是() A ．以原点为圆心，1为半径的上半圆 B ．以原点为圆心，1为半径的左半圆 C ．以原点为圆心，1为半径的下半圆 D ．以原点为圆心，1为半径的右半圆答案B3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x －y ＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．答案722－2解析由圆心(2，－3)到直线x －y ＋2＝0距离为d ＝|2＋3＋2|2＝722，则从村庄外围到小路的最短距离为722－2.4．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则a 的取值范围为________．答案(－∞，－524]∪[524，＋∞)解析由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或相离时，视线不被挡住，直线AB 的方程为y ＝a5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a|a2＋52≥1，即a ≥524或a ≤－524.5．某操场400m 跑道的直道长为86.96m ，弯道是两个半圆弧，半径为36m ，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程．解易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C (0,43.48)，其所在圆的半径为36，故上半个弯道所在圆的方程是x 2＋(y －43.48)2＝362.同理下半个弯道所在圆的方程是x 2＋(y ＋43.48)2＝362.1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法．事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化、化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．课时作业一、选择题 1．方程1－x2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的取值范围是() A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1答案D解析由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k <1或k ＝2.2．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的面积是()A.π4B.3π4C.3π2D ．π 答案D解析数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是() A ．62－2B ．8C ．46D ．10答案B解析点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8. 4．曲线y ＝1＋1－x2与直线y ＝k (x ＋2)有交点时，实数k 的取值范围是()A ．(512，43] B ．(34，43)C ．[13，43]D ．[0，43]答案C解析由题意知，曲线y ＝1＋1－x2是以(0,1)为圆心，以1为半径的上半圆，直线过定点(－2,0)，如图所示，点A (1,1)，P (－2,0)，则k AP ＝13，直线与圆相切于点B 时，切线PB 的斜率是43，所以当直线与曲线有交点时，实数k 的取值范围是[13，43]，故选C.5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是() A ．3－2B ．3＋2C ．3－22 D.3－22答案A解析直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，所以△ABC 的最小值为S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1 ＝3－2.6．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，一个半径为32的圆C ，圆心C 从点(0，32)开始以每秒12个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，该圆运动的时间为()A ．6sB ．6s 或16sC ．16sD ．8s 或16s 答案B解析当圆与直线l 相切时，圆心坐标为(0，m )，则圆心到直线l 的距离为|m ＋4|1＋(43)2＝32，得m ＝－32或m ＝－132，∴该圆运动的时间为32－(－32)12＝6(s) 或32－(－132)12＝16(s)．二、填空题7．已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析如图，A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}表示直线x －y ＋m ＝0及其右下方区域，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部．要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m|2>1，故m <－2.8．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．答案4解析如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2，∴|AB |＝4.9．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案254解析∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________________________．答案x ＋y －2＝0解析由题意知，点P (1,1)在圆x 2＋y 2＝4内，则过点P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O 和P (1,1)的连线垂直， ∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.11．台风中心从A 地以20km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h. 答案1解析如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN ，可求得|MN |＝20， ∴时间为1h.三、解答题12．设半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？解由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立直角坐标系，如图，设A 、B 两人的速度分别为3v km /h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v .在Rt △OPQ 中，|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2，得5a ＝4b .又∵k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0，∴k PQ ＝－34. 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋m ，由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切，得|－4m|42＋32＝3，解得m ＝154，故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km 处．四、探究与拓展13．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．[15°，45°]B ．[15°，75°]C ．[30°，60°]D ．[0°，90°]答案B解析圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，∴圆心为M (2,2)，半径r ＝18＝32.∵圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22， ∴圆心M 到直线l 的距离d 应小于等于2，即d ＝|2a ＋2b|a2＋b2≤2，整理得(a b )2＋4×a b＋1≤0，解得－2－3≤a b ≤－2＋3，∴2－3≤－a b ≤2＋3，即直线l 的斜率k ∈[2－3，2＋3]，即k ＝tan α∈[2－3，2＋3]，利用排除法知直线l 的倾斜角α的取值范围是[15°，75°]，故选B.14．有一种商品，A 、B 两地均有销售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍．已知A 、B 相距10km ，问居民应如何选择在A 地或B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑) 解以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系．|AB |＝10，所以A (－5,0)，B (5,0)，设P (x ，y )是区域分界线上的任一点，并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ，即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ，则从A 地运往P 地的运费为|PA |·3a ，当运费相等时，就是|PB |·a ＝3a ·|PA |，即3(x ＋5)2＋y 2＝(x －5)2＋y 2，整理得(x ＋254)2＋y 2＝(154)2.① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 地或B 地购买，在圆内的居民应选择在A 地购买，在圆外的居民应选择在B 地购买．。

高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

人教版数学高一人教B必修2讲义2.3.2圆的一般方程

2.3.2 圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)[基础·初探]教材整理圆的一般方程阅读教材P 97至P 98“例1”以上内容，完成下列问题． 1．圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .3．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明方程条件图形x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0D 2＋E 2－4F ＜0 不表示任何图形 D 2＋E 2－4F ＝0表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0D 2＋E 2－4F ＞0表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程．( ) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．( )(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )【解析】 (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a <23时才表示圆．(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√[小组合作型]圆的一般方程的概念辨析(1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径.【导学号：45722102】【精彩点拨】 (1)根据表示圆的条件求m 的取值范围； (2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．【自主解答】 (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D 2＋E 2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.[再练一题]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0； (2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； (3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．【解】 (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∵a ≠0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝22|a |.求圆的一般方程圆C 过点A (1,2)，B (3,4)，且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程．【精彩点拨】由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．【自主解答】设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆过A (1,2)，B (3,4)，∴D ＋2E ＋F ＝－5， ①3D ＋4E ＋F ＝－25.②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.设圆C 与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2，则 x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝F .∵|x 1－x 2|＝6，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，即D 2－4F ＝36.③由 ①②③得D ＝12，E ＝－22，F ＝27，或D ＝－8，E ＝－2，F ＝7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋12x －22y ＋27＝0，或x 2＋y 2－8x －2y ＋7＝0.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D 、E 、F .[再练一题]2．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程．【解】设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎨⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.[探究共研型]求动点的轨迹方程探究1 2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？【提示】设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.探究2 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，请求出直角顶点C 的轨迹方程．【提示】设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线AD 为定长3，求顶点C 的轨迹方程．【精彩点拨】先建立适当坐标系，求出BC 边上的中点D 满足的关系式，然后用动点C 的坐标表示出点D 的坐标，再代入点D 满足的关系式并化简即可．【自主解答】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．∴顶点C 的轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．求与圆有关的轨迹问题常用的方法1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．3．相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．[再练一题]3．已知定点A(4,0)，P点是圆x2＋y2＝4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．【解】设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)，则x＝4＋x′2且y＝0＋y′2，即x′＝2x－4，y′＝2y.又P点在圆x2＋y2＝4上，∴x′2＋y′2＝4，将x′＝2x－4，y′＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故Q点的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)【解析】圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选D.【答案】 D2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是() A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 【解析】方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．【答案】 A3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.【解析】以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，即x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，故F ＝4.【答案】 44．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．【解析】设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝95．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程.【导学号：45722103】【解】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程整理可得⎩⎨⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎨⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.故所求的圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.。

2019-2020学年人教B版数学必修二讲义：第2章 2.3 2.3.1 圆的标准方程 Word版

姓名，年级：时间：2.3 圆的方程2。

3。

1 圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点）2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点）4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用,提升数学运算的核心素养。

1．圆的标准方程(1）以C（a，b）为圆心，r（r〉0)为半径的圆的标准方程为（x－a）2＋(y－b)2＝r2.（2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2。

2．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下:位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r0000－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系?[提示] 若点P在圆C内，则有（x0－a)2＋(y0－b）2＜r2.若点P在圆C外，则有（x0－a)2＋(y0－b）2＞r2.1．已知圆的方程是（x－2)2＋(y－3）2＝4,则点P（3，2）（)A．是圆心B．在圆上C．在圆内 D．在圆外C[圆心M（2,3），半径r＝2，∵|PM｜＝错误!＝错误!＜r，∴点P在圆内．］2．点P（m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A［圆心为（0,0）,半径r＝4,P到圆心的距离d＝错误!＞4，所以P在圆外．］3．圆（x－2）2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．（－2,3）,1 B．（2,－3),3C．（－2，3)，错误!D．（2，－3),错误!D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3），半径为错误!。

］4．经过原点,圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2）2＋y2＝4 ［圆心是（－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2）2＋y2＝4.]直接法求圆的标准方程A．x2＋（y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2）2＝1C．(x－1）2＋（y－3）2＝1 D．x2＋（y－3)2＝1(2）已知一圆的圆心为点(2，－3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是（）A．(x－2)2＋（y＋3）2＝13 B．（x＋2）2＋(y－3）2＝13C．（x－2）2＋(y＋3）2＝52 D．(x＋2）2＋(y－3)2＝52[思路探究］（1)设出圆心坐标,利用两点间的距离公式求圆心坐标,再写出圆的标准方程．（2）根据中点坐标公式求出直径两端点坐标,进而求出圆的半径,再写出圆的标准方程．（1）A（2）A［（1)设圆心坐标为(0，b）,则由题意知错误!＝1，解得b＝2。

人教版必修二数学圆与方程知专题讲义