1.1.1正弦定理(下)三角形的面积公式

SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
2
1 在△ABC 中，已知 tanB＝ 3，cosC＝ ， 3
AC＝3 6，求△ABC 的面积．
解：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b， 3 1 由 tanB＝ 3，得 B＝60° ，∴sinB＝ ，cosB＝ . 2 2 2 2 2 又 sinC＝ 1－cos C＝ ，应用正弦定理，得 3 bsinC 3 6×2 2 c＝ ＝ ＝8. sinB 3 3× 2
abc S△＝ ，R 为外接圆半径． 4R S△＝2R2sinAsinBsinC
三角形面积公式的推导
因为:
SABCHale Waihona Puke Baidu
1 1 1 aha bhb chc 2 2 2
A
又
c
ha
=bsinC hb =csinA hc =asinB
SABC
ha
a
b C
B
所以:
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
2
三角形面积的其他相关公式
三角形面积公式 1 S△＝ (a＋b＋c)r＝ pp－ap－bp－c， 2 其中 r 为△ABC 内切圆半径， p 为半周长．
附:根据已知条件选择适当公式使用。
例2
在△ABC 中，已知∠B＝30° ，AB＝2 3，
AC＝2，求△ABC 的面积．
【分析】
要求S△ABC，已知AB、AC，只需求∠A，
例3.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6, CD=DA=4,求四边形ABCD的面积. 分析:解答本题有几点要弄清,(1)圆 内接四边形的性质,(2)四边形的面积 计算没有公式,需对四边形进行分割 或补形,(3)必须求三角形的一个角. 解答一:分割.连结BD,则 C
D A B
BD2 AD2 AB 2 2 AD AB cos A CD 2 CB 2 2CD CB cos( A). 即 16 4 2 4 2cos A 16 36 2 4 6cos A. 3 1 , 解得 cos A , 所以 sin A sin C 2 2 1 1 所以 S ABCD AB AD sin A CB CD sin C 8 3. 2 2
根据已知条件：两边及一边的对角，用正弦定理可以
先求出AB的对角∠C，使问题得到解决．
AB· sinB 3 【解】 由正弦定理，得 sinC＝ ＝ . AC 2 ∵0° ＜∠C＜150° ，∴∠C＝60° 或∠C＝120° . 1 当∠C＝60° 时，∠A＝90° △ABC＝ AB· ，S AC＝ 2 2 3. 1 当∠C＝120° ∠A＝30° S△ABC＝ AB· sin 时， ， AC· 2 A＝ 3. ∴△ABC 的面积为 2 3或 3.
cos 2
, 求三角形ABC的面积． A
5
B C
分析：题中已知三角形中三个条件， 故三角形是可解的，根据三角形的面 积公式知，只需求出b或c即可.
4 3 B 2 5 cos 解答：因为cos ，由二倍角公式得： B ,sin B . 5 5 2 5 2 7 2 (sin B cos B) . 所以 sin A sin( B C ) sin( B C ) 2 10 10 a c 由 得c . 7 sin A sin C
2
结束寄语
下课了!
•在数学领域中,重视
学习的过程比重视学 习的结果更为重要.
课后补充练习
1、 在 ABC 中， B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 ABC 的面积S．
解 A 180 ( B C ) 75
2 2( 3 1)( ) a sin B 2 4 ∴由正弦定理得 b 6 2 sin A 4 1 1 3 SABC ab sin C 2( 3 1) 4 ( ) 6 2 3 2 2 2
三角形的面积公式
湖南省耒阳市振兴学校 高中数学老师欧阳文丰制作
温故知新
一、三角形的面积公式：
SABC 1 1 1 aha bhb chc 2 2 2
B
A
c
ha
a
b C
二、三角形的面积公式还有其他表达形式吗?
SABC 1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
点评:将多边形转化为三角形是解三角形中的一重要手段.
AD ED EA 所以 , CB EB EC 4 x y , 即 6 y2 x4 28 32 解得 x ,y . 5 5
归纳总结
三角形面积公式 1 1 abc 1 S △ ＝ aha ＝ absinC ＝ ＝ (a ＋ b ＋ c)r ＝ 2 2 4R 2 2R sinAsinBsinC＝ pp－ap－bp－c， 其中 r 为△ABC 内切圆半径，R 为外接圆半径， p 为半周长．
解答二:补形.延长CD,BA交于点E,
设DE=x,AE=y,由于 EAD ECD
C D E A B
5 3 11 . 在△EAD中,根据余弦定理得 cos E , 从而 sin E 14 14 1 1 所以 S ABCD EC EB sin E EA ED sin E 8 3. 2 2
三角形面积公式的推导
因为: SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
a b c 2R sin A sin B sin C
( R为三角形外接圆半径）
所以: S△＝abc，R 为外接圆半径． 和
4R
S△＝2R sinAsinBsinC
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC 3 1 1 2 2 ＝ × ＋ × 2 3 2 3 3 2 ＝ ＋ . 6 3 1 故 S△ABC＝ bcsinA＝6 2＋8 3. 2
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边，若a=2， C , 4 B 2 5
所以 SABC
1 4 ac sin B . 2 7