数学建模典型例题

一、人体重变化

某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克•天)乘以她得体重(千克)。假设以脂肪形式贮存得热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。试研究此人体重随时间变化得规律.

一、问题分析

人体重W（t)随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。

二、模型假设

1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效

2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存

3、假设体重得变化就是一个连续函数

4、初始体重为Ｗ0

三、模型建立

假设在△t时间内：

体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W(t);

身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t)）

将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量；

转换成微分方程为:ｄ[W(t+△t）-Ｗ（t）］=(１0467—５038－6９*W（ｔ))ｄt;

四、模型求解

d（５42９—6９W)/（54２9-69W)＝-６9ｄt/416８6

W(0）=W0

解得：

５4２9-６９W=（54２９－69W0)ｅ（－6９t/４1686)

即：

W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０)/５４29e(-6９t/41686）

当t趋于无穷时，ｗ=８１;

二、投资策略模型

一、问题重述

一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本).以千元计数ａiｊ得由下面得表给出：

请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。

二、问题分析

本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。

三、条件假设

除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用;

四、模型建立

二

5

11 7 三６

4

1６

6 １3 8

四

一9

12

8 11

20

五

1０

六

运用Dijiｋｓｔra算法

１２ 3 4

５６

0 ４ 6 ９

12 2０

６ 9 12

２０

9 12 ２0

12 20

20

可发现，在第二次运算后，数据再无变化,可见最小路径已经出现

即在第一年买进2００辆,在第三年全部卖出,第三年再买进2０0第六年全部卖

出。

三、飞机与防空炮得最优策略

一、问题重述：

红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方得防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略?

二、问题分析

该问题显然就是红方与蓝方得博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题。

1、对策参与者为两方（红蓝两方)

2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1－1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为２－1—1－０）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2—2-0—0）.显然就是不需要在某个区域布置３个防空炮得。

三、问题假设：

（1）红蓝双方均不知道对方得策略。

（2）蓝方可以在一个区域内布置３，4门大炮，但就是大炮数量大于飞机得数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取.

（3）红方有两种方案，一就是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种就是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。

（4）假设蓝方四门大炮以及红方得两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策。

四、模型建立

行动及其产生得结果

由此可得赢得矩阵蓝方为A,红方为Ｂ

A＝ 1 0

0、750、５0

0、50 0、83

Ｂ= 00、2５0、5

1 ０、50、17

没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题

设蓝方采取行动ｉ得概率为 xｉ（i＝1，2,3）,红方采取行动j得概率为y j（ｊ=1,2），则蓝方与红方策略集分别为：

Ｓ1＝｛x=（x1,x2,x３)0〈ｘi〈1，∑xi＝1},

S2＝｛y=（y1,y2)０< ｙi＜1,∑yｉ＝1}.

五、模型求解

下列线性规划问题得解就就是蓝军得最优混合策略x*

Maｘv1

0*x

+0、２5*ｘ2+0、5＊x3 >v1

x1＋０、5*x2+0、17＊x3 〉v1

x1+ｘ2+ｘ3 =1

xi＜=1

下列线性规划问题得解就就是红军得最优混合策略ｙ＊

Ｍｉn v2

y２

0、25*y1＋0、５*y2 〈v2

0、5*y1＋0、１７*y２〈v2

y1+y2= 1

yi＜=1

四、雷达计量保障人员分配

开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员就是提高计量保障效能得关键。所谓合理分配就是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配