第九章振动学习要点

，
ϕ = tan −1 (−υ0 / ω x0 )
例题：见书
§9.5 单摆的微小振动
如图所示，单摆在竖直平面内做小角摆动，取逆时针方向为角位移 θ 的正方向，则单摆在摆 动的过程的受到的力为：
f τ = Fra Baidu bibliotekmg sin θ ，因为 θ 很小，所以 sin θ
θ ，则 f τ = −mgθ
又因为：
aτ = l β = l
第九章
振动
学习要点： 1、掌握描述谐振动的各物理量的物理意义以及它们之间的关系； 2、掌握旋转矢量法，并能用以分析有关问题； 3、掌握谐振动的基本特征。能建立弹簧振子和单摆谐振动的微分方 程，能根据初始条件写出一维谐振动的运动方程，并理解其物理 意义； 4、理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律以及合振动振幅 极大、极小的条件； 5、了解阻尼振动、受迫振动和共振现象及条件；
2 2 质点法向加速度在 x 轴上的投影为： a = ω A cos(ω t + ϕ + π ) = −ω Acos(ω t + ϕ )
2、相量图法：以物体运动的平衡位置为圆心 O ，振幅 A 为半径，角速度 ω 为旋转速度，则 物体的简谐运动都可以在这相量图上表示出来； 3、相差：比较同频率的简谐运动的步调； 两同频率的简谐运动方程分别为： 则它们的相差为：
∆ϕ > 0 ，则 x2 的振动超前 x1 的振动 ∆ϕ ，或说 x1 的振动落后 x2 的振动 ∆ϕ ； ∆ϕ < 0 ，则 x1 的振动超前 x2 的振动 ∆ϕ ，或说 x2 的振动落后 x1 的振动 ∆ϕ ；
由于相差的周期为 2π ，所以我们把
∆ϕ 限制在 π 以内，当 ∆ϕ = 3π / 2 时，一般不说
物体在一定位置附近所做的往复运动叫机械振动，简称振动。它是物体的一种运动形式， 从广义上说，任何一个物理量随时间的周期性变化都可以叫做振动。 振动的形式： 机械振动：位移 x 随时间 t 的往复运动； 电磁振动：电场 E 、磁场 B 等物理量随时间 t 往复运动； 微观振动：晶格点阵上原子的振动； 振动的分类：
⎧受迫振动 ⎪ ⎧阻尼自由振动 ⎪ 振动 ⎨ ⎪ ⎪自由振动 ⎨无阻尼自由振动 ⎧无阻尼自由谐振动（弹簧振动） ⎨ ⎪ ⎪ ⎩无阻尼自由非谐振动（单摆） ⎩ ⎩
§9.1 简谐运动的描述
一、简谐运动 1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数） 的规律随时间变化，这种运动叫简谐运动。 2、弹簧振子： 特点： a 、弹簧质量不计； b 、所有的弹力都集中在弹簧上； c 、质量集中在物体上； 轻质弹簧一端固定，另一端与物体相连，在光滑水平面上运动，弹簧自然伸长时为物体 的平衡位置，沿弹簧方向拉伸弹簧，然后无初速释放，则物体的位移表达式为：
2、加速度：
a=
d 2x = −ω 2 A cos(ω t + ϕ ) = ω 2 A cos(ω t + ϕ + π ) dt 2 ；
a = −ω 2 x ，即简谐运动的加速度与位移成正比，但反向；
§9.2 简谐运动与匀速圆周运动
简谐运动的描述方法： a 、解析法； b 、曲线法； c 、旋转矢量法（相量法） 1、匀速圆周运动各物理量与简谐运动各物理量的关系： 质点沿圆心在原点 O 、半径为 A 的圆周以角速度为 ω 做曲线运动，则质点在任意时刻的 位置矢量在 x 轴上的投影为： x = A cos(ωt + ϕ) ，即简谐运动的位移； 质点线速度在 x 轴上的投影为： υ = ω A cos(ωt + ϕ + π / 2) = −ω A sin(ω t + ϕ) ；
此二阶齐次常微分方程的解为： x = A cos(ωt + ϕ) ，对比有 ω =
期为 T = 2π / ω = 2π m / k 即角频率由振动系统本身的性质决定。 2、振动的初始条件：
t =0 时 ，
x0 = A cos ϕ ， υ0 = −ω A sin ϕ ， 则
2 A = x0 + (υ0 / ω ) 2
d 2θ d 2θ d 2θ g ml = − mg θ ⇒ =− θ 2 2 2 dt ，所以 dt dt l ——单摆的动力学方程 ω = g / l ，周期 T = 2π l / g
x = A cos(ωt + ϕ)
二、描述简谐运动的三个物理量 1、振幅 A ：物体离开平衡位置的最大距离； 2、角频率 ω ：由简谐运动的周期性求，即
x = A cos(ωt + ϕ) = A cos[ ω(t + T ) + ϕ] = A cos( ωt + ϕ + ωT )
因为余弦函数的最小正周期为 2π ，所以 ωT = 2π ⇒ T = 2π / ω 频率ν ：单位时间内振动往复的次数， ν = 1/ T = ω / 2π 3、初相 ϕ ：由质点在时刻 t = 0 时的位置决定的； 三、简谐运动的速度和加速度 1、速度： υ = dx / dt = −ω A sin(ωt + ϕ ) = ω A cos(ωt + ϕ + π / 2) ；
1、动力学方程：
简谐运动的加速度 a 与位移 x 的关系为：
a=
d 2x = −ω 2 x 2 dt
F = ma =
由牛顿第二定律有：
d 2x = −mω 2 x dt 2 ——回复力
F = −kx ⇒ m
弹簧振子：
d 2x d 2x k = − kx ⇒ a = =− x 2 2 dt dt m ， k / m ，弹簧振子的周
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) 、 x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ2 ) − ( ωt + ϕ1 ) = ϕ2 − ϕ1 ，与时间无关；
讨论： a 、 ∆ϕ = 2k π ，则俩振动同相；
b 、 ∆ϕ = (2k + 1)π ，则两振动反相； c 、 ∆ϕ 为其它值，
x2 的振动超前 x1 的振动 3π / 2 ，而是说成 x2 的振动落后 x1 的振动 π / 2 ；
2 如 υ = ω A cos(ωt + ϕ + π / 2) ， a = ω A cos(ω t + ϕ + π ) ，即 υ 超前 x π / 2 ，却落后
a π /2。
§9.3 简谐运动的动力学方程