山东大学2000-2007数学分析

2000年试题一、 填空。

1. 22233312(1)lim[]?n n n nn →∞-+++=2.10(1)lim ?xx e x x→-+= 3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d ydx =4.2121[ln(1)]?1x x x dx x -++=+⎰ 5.设r =则2216[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰6.设Γ表示椭圆22149x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰7.级数13(2)(1)n nn n x n ∞=+-+∑的收敛范围为？8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),xa F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]ab 上连续。

2.求20cos(2)(x e x dx αα∞-⎰为实数）。

3.试求级数21n n n x ∞=∑的和函数。

三、任选两题。

1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21()().()bba af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰2.求20cos sin n x nxdx π⎰(1n ≥为正整数） 3.设(),()f xg x 在[0,)+∞上可微且满足lim(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞→∞=<<+∞≠→∞求证：存在数列{}(,n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-2001年试题一、1．220cos 21lim?sin x x x x→-=+2.2!lim?n nn n n →∞= 3.设ln(),u x xy =则22?ux∂=∂40?x π=⎰. 5.交换积分顺序2120(,)?x x dx f x y dy -=⎰⎰6.(3,4)(0,1)?xdx ydy -+=⎰ 7.1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为？8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。

2.计算定积分20.x e dx +∞-⎰3.叙述并证明连续函数的中间值定理。

三、本题任选两题。

1.设(,)f x y 处处具有连续的一阶偏导数且(1,0)(1,0).f f =-试证在单位圆上存在两点11(,)x y 和22(,)x y 满足下列两式：(,)(,)0,1,2.i y i i i x i i x f x y y f x y i ''-==2.设()f x 在[0,)+∞上连续且0,f ≥如果222()()()()()(),f x f y f z x y f z y z fxz xf≤++求证：520().2af x dx a ≤⎰ 3.设()f x 在(0,)+∞上连续可微，且()lim 0.x f x x→+∞=求证：存在序列{}n x 使得n x →+∞且()0.n f x '→2002年试题一、1. ?n = 2. 2100sin lim ()?x x x x→+= 3.设1(1)()(1),(1)0,x f x ex f --=≠=求(1)?f '=4.设33cos ,sin ,x a t y a t ==求22?d y dx=5.设()arctan ,f x x =求(21)(0)?n f +=6.3()(),Cx y dx x y dy -++⎰其中22:4C x y +=（正向）。

7．7(cos )?x x x e e x dx ππ-+=⎰ 8.求3(1)Vdxdydzx y z +++⎰⎰⎰的值，其中V 是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围成的四面体。

二、1.(0)ax bxe e dx b a x--+∞->>⎰。

2.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导且()0,f x ''≥证明：对任何12,[,],x x a b ∈有1212()()().22x x f x f x f ++≤3.设有界函数()f x 在[,]a b 上的不连续点为1{}n n x ∞=，且lim n n x →∞存在，证明：()f x 在[,]a b 上可积。

三、1.设0,b a ≥≥试证：sin 3.baxdx x≤⎰ 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >证明：21()().()bba af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰ 3. .设()f x 在[,]a b 上可导，且()().f a f b ''<证明：对任何((),()),r f a f b ''∈存在0(,),x a b ∈使得0().f x r '=2003年试题1. 设()f x 在(,)a b 上可微，()f x '在(,)a b 上单调，求证：()f x '在(,)a b 上连续。

2. 设()f x 在[,]a b 上连续，1[,],(())nn x a b f x ∞=∀∈∑收敛，求证：1(())n n f x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛。

3. 设()f x 在圆盘221x y +≤上有连续的偏导数，且()f x 在其边界上为0，求证：221(0,0)lim ,2x y S f x f y f dxdy x y εεπ→+=-+⎰⎰其中222{(,):1}.S x y x y εε=≤+≤4. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，且()()(),n f x x n =→∞证明：当1k n ≥+时，(),..lim ()0.k x x s t f x →+∞∃=5. 设0()sin ,n f x tdt π=⎰求证：当n 为奇数时，()f x 是以2π为周期的周期函数；当n 为偶数时，()f x 是一线性函数与一以2π为周期的周期函数之和。

6. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微；(0)(0)0,lim()0.n x f f f x →+∞'≥=证明：()11{},,0,..()0.n n n n n n x n x x s t f x ∞=+∃∀≤≤=7. 设()f x 在(,)a +∞上连续，且lim sin(()) 1.x f x →+∞=求证：lim ().x f x →∞∃ 2004年试题1. 叙述数列{}n a 发散的定义，并证明数列{cos }n 发散。

2. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,],x a b ∈定义()inf ().a t xm x f t ≤≤=证明：设()m x 在[,]a b 上连续。

3. 设()f x 在(,)c -∞内可导，且lim ()lim ().x x c f x f x A →-∞→-==求证：存在一点(,)..()0.c s t f ξξ'∈-∞= 4. 设()f x 在(0,1]上连续，可导，并且320lim().x x f x →+'∃求证： ()f x 在(0,1]上一致连续。

5. 设0,1,2,3,n a n >=且有1lim (1)0,nn n a n c a →∞+-=>求证：11(1)n n n a ∞+=-∑收敛。

6. 求级数2112n n n ∞=++∑的和。

7. 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且有[0,1]1(0)(1)0,min().2x f f f x ∈===-证明：(0,1),..() 4.s t f ξξ''∃∈≥8. 证明：对于任意2()00,sin x e tdx αα+∞-+>⎰关于(0,)t ∈+∞一致收敛。

9. 设()f x 在[,][,]a b c d ⨯上连续，函数列()n x ϕ在[,]a b 上一致收敛，且(),n a x b ϕ≤≤函数列()n x ψ在[,]a b 上一致收敛，且(),n c x d ψ≤≤求证：函数列((),())n n n F f x x ϕψ=在[,]a b 上一致收敛。

10. 设()f x 在[0,1]上可积，且在1x =处连续，证明：10lim ()(1).n n x f x dx f →∞=⎰11. 设33()ij A a ⨯=是实对称正定矩阵， Ω是椭球体：3,11,ij i j i j a x x =≤∑求Ω的体积。

12. 设()ij a 是n 阶实对称方阵，定义nR 上的齐二次函数,1().nij i j i j h x a x x ==∑证明：函数()h x 在条件211ni x =∑下的最小值是A 的最小特征值。

13. 计算积分：222222()()(),I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰其中Γ为平面32x y z ++=和立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的交线，站在第一象限32x y z ++>处看Γ为逆时针方向。

2005年试题一、1.求极限1222limnn a a na n →∞++，其中lim .n n a a →∞= 2.求极限21lim (1).x x x e x-→+∞+ 3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。

4.计算积分：21,Ddxdy y x+⎰⎰其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。

5.计算：2222,:21Cydx xdyI C x y x y-+=+=+⎰方向为逆时针。

6.设0,0,a b >>证明：11()().1b b a ab b++≥+ 二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明: ()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。

三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。

四、设222220(,)0,0x y f x y x y ⎧+>=+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。

五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：2()(,),..()2()()().24a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+=六、()f x 在R上二次可导，,()x f x ''∀∈>R 又00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞→+∞''∃∈<=<=>R 证明：()f x 在R 上恰有两个零点。