函数分类讨论型问题的求解策略

函数分类讨论型问题的求解策略

作者：蒋满林

来源：《理科考试研究·高中》2012年第07期

函数是中学数学的主要内容，同时也是考试的重点内容，而分类讨论又是高考重点考查的数学

思想方法，这两者的结合是一个难点.本文以函数题为例，对分类的视角进行归纳总结，供同

学们学习时参考

一、分类讨论

例1 已知命题p：方程有两个不等的负根；命题q：方程（m—2）x+1

=0无实根.若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围

分析利用已知条件构造关于m的不等式组进而求得m的取值范围，注意命题

真假的要求

解析若方程有两个不等的负根，则

—4>0，

解得m>2，即命题p：

若方程（m—2）x+1=0无实根，

则Δ=16（m—2）—（—4m+3）

解得1

即q：1

因“p或q”为真，所以p、q至少有一个为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一个为

假，因此，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真

所以m>2，或m≥3，

或m≤2，

解得m≥3或1

点评含有逻辑联结词的命题的真假判断是构造不等式（组）求参数的依据，

本题的关键是明确两个命题p、q应一真一假，因此有两种情况.对于题目中有多种情况满

足题意的，应分种类分别进行求解然后合并

二、分段讨论

例2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用

水超过4吨，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户居民共交水费y元，已知甲、乙两户的用

水量分别为5x、3x（吨）

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费

解析（1）依题意得

y=[JB（{]14.4x，0≤x≤[SX（]4[]5[SX）]，

20.4x—4.8，[SX（]4[]5[SX）]

2.4x—9.6，x>[SX（]4[]3[SX）

（2）易见y=f（x）在各段区间上均单调递增

当x∈[0，[SX（]4[]5[SX）]]时，y≤f（[SX（]4[]5[SX）]）

当x∈（[SX（]4[]5[SX）]，[SX（]4[]3[SX）]]时，y≤f（[SX（]4[]3[SX）]）

当x∈（[SX（]4[]3[SX）]，+∞）时，令24x—，得

所以甲用户的用水量为5x=7.5（吨），

付水费4×1.8+3.5×3=17.7（元），

乙用户用水量为3x=4.5（吨），

付水费4×1.8+0.5×3=8.7（元）

点评对于因字母取值不同而引起函数表达式不同的，应对字母进行分段，

然后对应各段函数分别求解，再结合题意进行总结

三、分布讨论

例3 已知定义在[WTHZ]R[WTBX]上的奇函数f（x）满足f（x—4）=—f（x），且在区间[0

，2]上是增函数.若方程f（x）=m（m>0），在区间[—8，8]上有四个不同的根，，，，求的值

解析因为定义在[WTHZ]R[WTBX]上的奇函数f（x），满足f（x—4）=—f（x），所以

f（x—4）=f（—x）.因此函数图象关于直线x=—2对称且f（0）=0.由f（x—4）=—f （x）知f（x—8）=f（x），

所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（x）在区间

[—2，0]上也是增函数.因此，f（x）在[—2，2]上是增函数，在[2，6]上是减函数.如图

所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间[—8，8]上有四个不同的根，，

，，不妨

设

—12，

，

所以—12+4=—

点评对于点（图形等）的位置分布不同而引起计算方法不同的，应对分布的情况进行讨论，然后分别进行计算，再结合题意进行总结

四、分层讨论

例4 已知函数f（x）、g（x）分别由下表给出

x123

f（x）131

x123

g（x）321

（1）求f[g（1）]的值；

（2）求满足f[g（x）]>g[f（x）]的的值

解析（1）由表可知g（1）=3，

f[g（1）]=f（3）

（2）由f[g（1）]=f（3）=1，

g[f（1）]=g（1）不符合条件，舍去

f[g（2）]=f（2）=3，（2）]=g（3）=1，符合条件，

f[g（3）]=f（1）=1，（3）]=g（1）=3，不符合条件，舍去所以满足f[g（x）]>g[f（x）]的x的值为

点评对于复合函数或多层函数的，应由内层向外层（或由外层向内层）逐层分析，然后逐层计算进行求解