沪教版(上海 )高中数学 无穷等比数列的各项和

沪教版（上海 ）无穷等比数列的各项和（1）
教学目标
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和； 3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 教学重点及难点
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义. 教学过程 （一）、引入
提问：0.9•
和1哪个数大？ 可能你会认为0.91•
<, 事实上，换一个角度来看：
()10
0.90.9990.90.090.0009n -•
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个
现在就是求()10
0.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，
，，，的各项和 分析:求数列各项的和S ,就是求数列全部的和,无穷数列无穷项怎么相加,这需要新的思维,根据和的基本含义,要把它们加起来，它的基础是前n 项和n S ，当n 越来越大时，n S 就会无限趋近这个各项和的S ，所以这个S 应该是n S 的极限。

于是可以把数列 ,0900.0,,09.0,9.0各项和看作前n 项和n S 当n →∞时的极限。

()10
0.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为
1
10
的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110
n n n
n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个.
从而110.91111010n n
n n n n n lim S lim lim lim •
→∞→∞→∞→∞
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. （二）、讲授新课
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将0.9•
看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？
不存在时当n n n S na S q ∞
→==lim ,,11,
当1≠q 时, q
q a q a q q a S n
n n ---=--=
111)1(111
当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：
∴ )11(lim 1)1(lim
lim 111q
q a q a q q a S n
n n n n n ---=--=∞→∞→∞→ q
q a q a q q a q a n
n n n n ---=---=∞→∞→∞→1lim 11lim 1lim 1111. ∵ 0||1q <<，∴0n
n lim q →∞
=.∴ 1
1n n a lim S q
→∞
=
-． 当11-≤>q q 或时,n
n q ∞
→lim 不存在,n n S ∞
→∴lim 不存在.
强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式． 2、无穷等比数列的各项和的定义
提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．
我们把0||1q <<的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.
1
1a S q
=
-（0||1q <<）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在．
3、无穷等比数列各项和的应用
例1、（1）求无穷等比数列 ,31,,91,31,11
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛--n 各项的和。

4
33
11111
=
+=-=
q
a S （2）已知无穷等比数列1
31-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=n n a ，求数列{}12+n a 各项的和。

数列{}12+n a 是以
91为首项，9
1
为公比的无穷等比数列。

8
19
119111
=
-=-=
q
a S 小结：应用无穷等比数列求和公式，看清首项和公比。

例2、 化下列循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••
.
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.
解：（1）()210
0.290.290.00290.00029n -••
=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以
0.2929
0.2910.0199
••
=
=-.
（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••
=++++⋅⋅⋅，
等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以
0.031431427
3.431 3.43310.0110990990
••
=+
=++=-.
练习：1）=•
1.0 ；（2）=•
31.0 ；
小结：关键将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.
例3、无穷等比数列{}n a ，其各项和为1，
（1） 求1a 的取值范围。

（2） 求2a 的取值范围。

（1）、q a q
a S -==-=
11111
，得，又10<<q ，()()2,11,01⋃∈∴a ； （2）、q a q
a S -==-=
11111
，得，则q q q a a )1(12-==，又10<<q ()⎥⎦
⎤ ⎝⎛⋃-∈∴41,00,22a
小结： 强调10<<q
例4、如图，正方形ABCD 的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形
A 1
B 1
C 1
D 1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无限继续下去.
第1个正方形的边长为1a ，第2个正方形的边长为2a ，…第n 个正方形的边长为n a
（1）求证{}n a 为等比数列；
（2）求所有这些正方形周长的和与面积的和． 分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.
解：（1）、由题意得
第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长
n n n a A B ==
12n a -==，2n ≥.
2
2
1=
-n n a a {}n a ∴为等比数列，即所有正方形的边长组成的数列为
B 1
C 1
A D
A
B
C
1
212
21,,,,,,2242n -⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
，
（2）、所有正方形的周长组成的数列为
1
24,22,2,2,,4,2n -⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭
，
这是首项为4、公比为
2
2
的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212
l ==+-
.
所有正方形的面积组成的数列为
11111
1,,,,,,2482
n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为1
2
的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和S 为 12112
S =
=-.
小结：无穷等比数列各项和在图形中的应用，关键是找到第n 个图和第n-1个图中面积、边长（或其他量）之间的关系。

课堂练习：
1．=+-++-+-- 1)3
1(27191311n
2．
3])2
1(
3[lim =-+∞
→n
n a ，则a 的取范围是 3．
=+---∞
→)]211()411)(311([lim n n n 4．正项等比数列的首项为1，前n 项和为S n ，则
=-∞→1
lim n n
n S S 5．=++++++∞
→)632632632(222lim n n
n n 6．已知 )(,21)(*
N n n n f ∈+++= ，则=∞→2
2)]
([)
(lim n f n f n
7．若
1])1(1[lim =++∞
→n
n r ，则r 的取范围是 8．无穷等比数列{θn
tg }中，(1)若它的各项和存在，求θ的范围；若它的各项和为
2
1
3+，求θ。

()(,Z k k k k k ∈+
=≠+
<<-
6
4
4
π
πθπθπ
πθπ
π且)
9．以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点A 1，B 1，C 1，D 1，再在正方形A 1B 1C 1D 1内用同样的方法得到又一个正方形A 2B 2C 2D 2，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和。