2020届高考数学-导数的应用-函数的构造(含解析)

因为
f (ln x)
x ，所以
f (ln x) x
1，即
f (ln x) eln x
1， g(ln x)
g(1) ，
所以 ln x 1 ， 0 x e 。
答案：A
解惑练习
5：设
g(x)
=
xf (x) ex
，
则 g(x)
=
(f
(x) +
xf
( x))e x (ex )2
− xf (x)ex
因为 F (2) = 4 f (x) = e2 ，所以 ex − 2F (x) e2 − 2F (2) = 0 ， 2
所以 f (x) 0 在 (0,+) 上恒成立，即 f (x) 在 (0,+) 上无极大值也无极小值。
答案：D
解惑练习 5.已知定义在 (0,+) 的可导函数 f (x) ，满足 xf (x) (x −1) f (x) ，下列结论正
答案：A
解惑练习 4：解析：设 g(x) =
f (x) ， ex
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
因为 f (x) f (x) ，所以 g(x) = f (x) − f (x) 0 ， ex
所以 g(x) 在 R 上单调递增。
因为 f (1) = e ，所以 g(1) = 1。
A．x −1 x 1
B． x x 1 Cx x −1,或x 1 D．x x 1
二、根据题意或选项中的提示构造函数
1.当题意中出现 xf (x) f (x) 时，“+”对应的原函数是 y = xf (x) ，“-”对应的原函数是
y = f (x) 。 x
例题 2.已知定义域为 R 的奇函数 y = f (x) 的导函数为 y = f (x) ，当 x 0 时，
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
导数与不等式——构造函数
导数的应用，最主要的是利用导数来判断函数的单调性。导数与不等式问题中的一种，
是根据题目中所给出函数 f (x) 与其导函数 f (x) 的关系，构造新函数，并根据导数判断其
单调性从而达到解决问题的目的。 一、直接构造
例题 1.设函数 f (x)，g(x) 在 (3, 7) 上均可导，且 f (x) g(x) ，则当 3 x 7 时，有
A. f (x) g(x)
B. f (x)+ g(3) g(x) + f (3)
C. f (x) g(x)
D. f (x)+ g(7) g(x) + f (7)
解析：因为 f (x) g(x) ，即 f (x) − g(x) 0 ，
所以函数 y = f (x) − g(x) 在（3，7）上单调递减，
(x)
=
ex
− 2F(x) x3
，
令 y = ex − 2F (x) ，则 y = ex − 2F(x) = ex − 2ex = ex (x − 2) ，
x
x
当 y 0 ，则 x 2 ，当 y 0 ，则 0 x 2 ，
所以 y = ex − 2F (x) 在 (0,2) 上单调递减，在 (2,+) 上单调递增，
x
22
22
系为（ ）
A. a b c B. b c a
C. c b a
D. b a c
2.当题意中出现 f (x) f (x) 时，“+”需要构造函数 y = ex f (x) ，“-”需要构造函数
y=
f (x) ex .
例 题 3. 已 知 函 数 f (x) 的 导 函 数 为 f ' (x) ， 若 f (x) + f ' (x) 2, f (0) = 5 ， 则 不 等 式
所以 f (7) − g(7) f (x) − g(x) f (3) − g(3) ，所以 f (x)+ g(3) g(x) + f (3) 。
答案：D
解惑练习 1：定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (1) = 1，且 f (x) 的导函数 f (x) 1 ，则满足 2
2 f (x) x +1的 x 的集合为（ )
因为当 x 0 时 xf (x) − f (x) 0 ，所以函数 g(x) = f (x) 在 (0,+) 上单调递减， x
因为 y = f (x) 是 R 上的奇函数，所以 a = f (−3) = f (3) 。 −3 3
a = g(e) ， b = g(ln 2) ， c = g(3) ，
令 g(x) = f (x) − 1 x − 1 ，则只要解不等式 g(x) 0 。 22
因为 f (x) 1 ，所以 g(x) = f (x) − 1 0 ，即 g(x) 在 R 上单调递增。
2
2
因为 f (1) = 1，所以 g(1) = 0 ，所以 g(x) 0 ，则 x 1。
答案：B
源自文库A.
1 3
,
+
B.
0,
1 3
C.
−,
1 3
D.
−
1 2
,
1 3
解惑练习 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数 f (x) 的导函数，且 f (x) f (x) ， f (1) = e （e
为自然对数的底数），则不等式 f (ln x) x 的解集为（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
所以 g(x) 在 R 上单调递增。
因为 f (2m +1) − f (2 − m) e1−3m 0 ，所以 f (2m +1) f (2 − m)e1−3m ，
所以 e2m+1 f (2m +1) e2−m f (2 − m) ，即 g(2m +1) g(2 − m) ，
所以 2m +1 2 − m ， m 1 。 3
)
x
8
A.有极大值，无极小值
B.有极小值，无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
解析：因为 x2 f (x) + 2xf (x) = ex ，所以[x2 f (x)] = ex ，
x
x
所以 F (x) =x2f (x) ，则 F(x) = ex 。 x
f
(x)
=
ex
−
2x2 x3
f
因为 3 e ln 2 ，所以 g(3) g(e) g(ln 2) ，即 c a b 。
答案：D
解惑练习 2：已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，当 x 0 时，
f (x) + f (x) 0 ，若 a = 1 f (1) ， b = −2 f (−2) ， c = ln 1 f (ln 1) ，则 a 、 b 、 c 的关
解惑练习 2：设 g(x) = xf (x) ， g(x) = f (x) + xf (x) 。
因为 f (x) + f (x) 0 ，所以 xf (x) + f (x) 0 ，即 g(x) 0 ，
x
x
x
当 x 0 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递增。
因为 f (x) 是奇函数，所以 g(x) 是偶函数，
f (x) − 3e−x 2 的解集为
A． (0, +)
B． (−, 0) C． (−, 0) (1, +) D． (1, +)
解析：因为 f (x) + f (x) 2 ，所以构造函数 g(x) = ex f (x) − 2ex ，
g(x) = ex ( f (x) + f (x) − 2) 0 ，所以 g(x) 在 R 上单调递增， g(0) = f (0) − 2 = 3 。
确的是（ ）
A. ef (1) 2 f (2)
B．ef (1) 2 f (2)
C． f (1) f (2)
D． f (1) f (2)
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解惑练习解析
解惑练习 1：解析：要解不等式 2 f (x) x +1，只要解不等式 f (x) − 1 x − 1 0 ， 22
因为 f (x) − 3e−x 2 ，所以 ex f (x) − 2ex 3 ，即 g(x) 3 = g(0) ，所以 x 0 。
答案：A
解惑练习 3.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) − f ( x) ，则关于 m 的不等式
f (2m +1) − f (2 − )m e1−3m 0 的解集是（ ）
因为 a = g(1 ) ， b = g(−2) = g(2) ， c = g(ln 1) = g(ln 2) ， 1 ln 2 2 ，
2
2
2
所以 b c a 。
答案：B
解惑练习 3：解析：设 g(x) = ex f (x) ，
因为 f ( x) − f ( x) ，所以 g(x) = ex ( f (x) + f (x)) 0 ，
=
xf
(x) − (x −1) f (x) ex
，
因为 xf (x) (x −1) f (x) ，所以 g(x) 0 ，所以 g(x) 单调递减，
所以 g(1)
g(2) ，即
f (1) e
2
f (2) e2
，
ef
(1) 2 f (2) 。
答案：A
5/5
A. (0, e) B. (0, e)
C． (1 , e ) e2
D． ( e, e)
四、复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新
函数，从而达到解决问题的目的。
例题 4.设函数 f (x) 满足 x2 f (x) + 2xf (x) = ex ， f (2) = e2 ，则当 x 0 时， f (x) (
xf (x) − f (x) 0 ，若 a = f (e) ， b = f (ln 2) ， c = f (−3) ，则 a ， b ， c 的大小关系正
e
ln 2
−3
确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设 g(x) =
f (x) ， g(x) = x
xf (x) − x2
f (x) ，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根