抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。

A、2阶

B、3阶

C、4阶D6阶

2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。

A 4个

B 、5个

C 、6个

D 、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕

4、下列哪个偏序集构成有界格( )

A、(N, ) B 、(乙)

C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)

5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()

A (1)，(123)，(132)

B 、12)，(13)，(23)

C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,

3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。

5、环Z8的零因子有 -------------- 。

&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。

9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。s+s也是子环吗?

3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6。

1

1．求和；

1

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e

近世代数模拟试题三 参考答案

一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。

1、C ;

2、C ;

3、D;

4、D;

5、A ;

二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一；2、a ； 3、2; 4、24; 5、; 6 相等；7、商群；8、特征；

9、mn ;

三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用 黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1种，四白一黑1种，三白二黑2 种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意

a,b € S1n S2有a-b, ab € S1

n S2:

因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab € S1 和 a-b, ab € S2， 因而a-b, ab € S1n S2，所以S1n S2是子环。

S1+S2不 一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

场见屍与禺均为子环”但&斗&彳：:I 讥〃 2卜是子环

3、解：

1

1 (1243)(56) (16524).

2•两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定 是R 的一个理想而 不是零理想，那么a 0 ，由理想的定

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义a a 1 ，因而R 的任意元b b ?1

这就是说 =R ，证毕 2、证必要性：将b 代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以b=a-1 o

•判断题(每小题

2分,共20分)

1.实数集R 关于数的乘法成群•

有限域的特征是合数.

10.整数环Z 的全部理想为形如 nZ 的理想. 二•选择题(每小题3分,共15分)

的阶G 2.若H 是群G 的一个非空有限子集， 且a,b H 都有ab H 成立，则H 是G 的一个子

3. 循环群一定是交换群.

4. 素数阶循环群是单群•

5. 设G 是有限群，a G , n 是a 的阶，若a k

e ，则 n|k .

6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，贝U f 是G 的子群.

7. 交换群的子群是正规子群

8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，贝U GH |G| |H |

9. 11.下面的代数系统 G, 中，( )不是群. A.

G 为整数集合, 为加法; B. G 为偶数集合, 为加法; C. G 为有理数集合,

为加法;

D.

G 为整数集合, 为乘法.

12.设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类

H,aH,bH,cH

.如果H 的阶为6,那么G

A. 6 ;

B.24 ;

C.10 ;

D.12.