抽象代数期末考试试卷及答案
大三数学抽象代数精选题目
大三数学抽象代数精选题目一、群论1. 给定一个群G，证明其单位元素是唯一的。
证明：设e和e'都是群G的单位元素，即对任意的g∈G，有eg=ge=g和e'g=ge'=g。
则有：e=g⁻¹g= (e'g⁻¹)g=e'(g⁻¹g)=e'。
因此，群G的单位元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明：G中任意元素的逆元素也在G中。
证明：设g∈G，由群的定义可知，存在一个元素g'∈G使得gg'=g'g=e （其中e为群G的单位元素）。
因此，g'是g的逆元素。
由此可见，G中任意元素的逆元素也在G中。
二、环论1. 证明：对于任意整数n，Zn（整数环Z中模n的剩余类）构成一个环。
证明：（1）封闭性：对于任意的a、b∈Zn，a=b(mod n)，即a与b同余(mod n)，那么a+b和ab与b+a(mod n)以及ab(mod n)也是模n的剩余类，因此Zn对于加法和乘法运算均封闭。
（2）结合律：由于Zn对于加法和乘法运算均封闭，结合性显然成立。
（3）加法单位元：对于任意的a∈Zn，a+0=a=0+a(mod n)，其中0为模n的零元。
（4）加法逆元：对于任意的a∈Zn，存在一个元素b∈Zn使得a+b=b+a=0(mod n)，即b为a的加法逆元。
（5）乘法单位元：对于任意的a∈Zn，a×1=a=1×a(mod n)，其中1为模n的单位元。
（6）乘法交换律：由于Zn对于乘法运算封闭，交换律显然成立。
综上所述，Zn构成一个环。
2. 证明：交换环中存在无零因子的元素。
证明：设R是一个交换环，如果存在a、b∈R且ab=0，则可以得出结论a=0或b=0。
首先，如果a≠0，则对于任意的r∈R，有ra≠0（否则，若存在r∈R 使得ra=0，则可得ra=r(ab)=(ra)b=0，与假设矛盾），那么有ra=b(ab)=0，即b=0。
抽象代数复习题与答案
抽象代数复习题与答案《抽象代数》试题及答案本科⼀、单项选择题(在每⼩题的四个备选答案中，选出⼀个正确答案，并将正确答案的序号填在题⼲的括号内。
每⼩题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x + C. 245x x ++ D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的（ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. ⽆限个5. 剩余类环Z 10的⼦环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不⼀定整除G 的阶C. G 的单位元不唯⼀D. G 中消去律不成⽴8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何⼦群都是正规⼦群 C. G 是交换群 D.G 的任何⼦群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的⼦集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的（ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
抽象代数考卷
2008年抽象代数期末试卷(周振强)说明：本试卷的R 模，均指R 是交换环的情况．一、设：是R 模同态，（１６分）（１）．证明下述叙述等价：（ａ）f 是单同态．（ｂ）．对任意的R 模K ，以及R 模 ，如果f g f h = ，则有g h =． （２）．对偶地，证明下述叙述等价：（ａ）f 是满同态．（ｂ）对任意的R 模K ，以及R 模 ，如果g f h f = ，则有g h =． （３）．证明：若g f 为满同态，则g 是满同态；若g f 为单同态，则f 是单同态．二、（１８分）（１）．请叙述自由模的定义，并分别举出是自由模与非自由模之例．（２）．设M 是主理想整环R 上自由模，试问：向量空间中扩充基定理是否成立？即M 的基是否可 以由其子模的基扩充而得到？若结论成立，证明之，若不成立，请举反例．（３）．证明：M 是自由R －模的充要条件为M 是其循环子模i M 的内直和，即i i IM M ∈=⊕， 并且每个子模i M 都同构于R ．三、设A ，{}i i I A ∈是R －模，A 是{}i i I A ∈的直和．（２２分）（１）．试写出直和的范性定理并绘出交换图．（２）．试证明：对于范性图中的典范入射i η，皆存在一个(,)i i g Hom A A ∈，使得（a ）i i i A g ηε=， （b ）0,j i g j i η= ≠， （c ）i j A g ηε=∑．（３）．试问：直和A ，是否满足直积的交换图，即对于直和的典范投射族{}i i I π∈，任意的对象B 及 一族同态{}i i I ω∈，其中(,)i i Hom B A ω∈，是否有下图可交换：成立？若成立，不必给出证明，若不成立，请举出反例，反之，设A 是直积，问其是否满足直和范性 图的性质，若结论为真，亦不必证明，若不然，请举一反例说明之．:f M N ,:g h K M,:g h N W四、（２２分）（１）．请叙述正合列的定义，举一短正合列之例．（２）．设： 和 是R －模同态，使得N g f ε =．证明：f 是单同态，g 是满同态，并且有Im ker M f g =⊕成立．（３）．我们将满足（２）中条件的f 称为可裂单同态，g 称为可裂满同态，如果短正合列中f 是可裂单同态，g 是可裂满同态，则称此短正合列为分裂的．试证明：共变(,__)Hom A 函子保持可裂正合列．五、（２２分）设f g 是R －模，若M 除了零模和本身之外没有其他的子模，则称M 为单纯R －模．试证明：（１）．若 是一个R 模同态，则f 不是零同态就是单同态．（２）．若 是一个R 模同态，则g 不是零同态就是满同态．（３）．证明（Schur 引理）(,)R R End A Hom A A =是一个除环．一、 (1)叙述Sylow 的三个定理。
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案
在这份3000字的抽象代数考试试题及答案内容中，将为您详细解
析各种抽象代数考试题目，并给出相应的答案，帮助您更好地理解和
掌握这一领域的知识。
第一题：给定一个环R，证明R中每个理想都是主理想。
解答：首先，我们知道一个环中的理想是一个包含于该环的子集，
并且满足加法和乘法封闭性，对于任意r∈R和a，b∈I（I为R的一个
理想），有ra, rb∈I。
要证明R中每个理想都是主理想，即对于任意理想I，存在一个元
素r∈R，使得I = rR。
我们可以取r为I的一个生成元素，即r为使得I = rR的最小生成元素。
第二题：证明一个整数环不一定是唯一分解整环。
解答：反例：考虑整数环Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，Z并不是唯一
分解整环，因为在Z中存在不满足唯一分解性质的元素。
例如，2可以被分解为2 = (-1)(-2) = 1 * 2，即存在不同的唯一分解形式。
第三题：给定一个域K，证明K[x]（K上的多项式环）是唯一分解
整环。
解答：首先证明K[x]是整环。
然后证明K[x]是主理想整环（PID），意味着K[x]中的每个理想都是主理想。
再进一步证明K[x]是唯一分解
整环（UFD），即K[x]中每个非零元素都可以被分解为不可约元素的
乘积，且这个分解是唯一的。
通过以上试题及解答，我们可以看出在抽象代数领域中，需要深入
理解环、理想、整环、唯一分解整环等概念，并掌握相应的证明方法，才能较好地解决相关问题。
希望以上内容对您有所帮助，祝您学业有成！。
贵师大抽象代数考试卷
贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。
注：本试题共三个大题，16个小题。
满分100 分。
一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。
每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是( )。
(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是( ) 。
(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G关于H的所有右陪集；(D) H的所有共轭g(1Hg。
3、设是环同态, 则同态的核( ) 。
(A) Ker(()={a(S: (b(R, ((b)=a}；(B) Ker(()={a(R: ((a)=a}；(C) Ker(()={a(R: ((a)=1}；(D) Ker(()={a(R: ((a)=0}。
4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是( ) 。
(A) ；(B) ；(C) (2；(D) 。
5、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是( ) 。
(A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;(C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3;商环R/I一定是特征为3的域。
二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3(2是实数(1在有理域上的极小多项式吗？为什么？10、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。
三、解答题11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1(Z2[x],(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)={a(G: (g(G, ga=ag}是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群;(2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。
抽象代数复习题
抽象代数复习题一、 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题2分，共20分）1.一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）2、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。
（ ）3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无穷大，则G 与整数加群同构。
（ ） 4、循环群的子群也是循环群。
（ ）5、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,;g G h H g hg H -∀∈∀∈∈。
（ ） 6.若环R 有单位元，则其子环也一定有单位元。
（ ）7、除环中的每一个元都有乘法逆元。
（ ）8、)(x F 中满足条件()0f α=的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ） 9、主理想整环一定是唯一分解整环。
（ ）10.域是交换的除环。
（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1.设8Z 模8的剩余类环，则8Z 中的零因子是______。
2.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________。
3.高斯整数环[]Z i 的单位是_______。
4.模6的剩余类加群6Z 有________个生成元。
5.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是____________。
三．计算与证明题（共60分）1(10分).在5次对称群5S 中，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3451254321f ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2541354321g ，计算1fgf 。
2（10分）.求出9Z 中所有可逆元并求其逆元3（20分）.设f是群G到'G的同态，H是G的子群，证明()f H是'G的子群。
4（20分）. 设f是环R到'R的满同态，I是R的理想，证明(I)f是'R的理想。
试题集：抽象代数基础
1.在群论中，如果一个群G的运算满足结合律，那么对于所有a,b,c∈G，下列哪个等式总是成立的？o A. (a⋅b)⋅c=a⋅(b+c)o B. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)o C. a⋅(b⋅c)=(a+b)⋅co D. a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)参考答案：B解析：群论中的结合律保证了(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)对于群G中的所有元素a,b,c都成立。
2.设R是一个环，如果R中存在一个元素e，对于所有a∈R，都有e⋅a=a⋅e=a，那么e被称为R的什么？o A. 零元o B. 逆元o C. 单位元o D. 生成元参考答案：C解析：在环R中，满足e⋅a=a⋅e=a的元素e被称为单位元。
3.在域F中，如果a,b∈F且a≠0，那么下列哪个选项总是成立的？o A. a⋅b=b⋅ao B. a+b=b+ao C. 存在c∈F使得a⋅c=1o D. 所有选项都成立参考答案：D解析：域F的定义包含了交换律、结合律、分配律以及每个非零元素都有乘法逆元的性质。
4.设G是一个群，如果G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为？o A. 无限群o B. 有限群o C. 循环群o D. 阿贝尔群解析：如果群G中所有元素的阶都是有限的，那么G被称为有限群。
5.在群G中，如果对于所有a,b∈G，都有a⋅b=b⋅a，那么G被称为？o A. 非交换群o B. 交换群o C. 循环群o D. 阿贝尔群参考答案：B 或 D解析：满足a⋅b=b⋅a的群被称为交换群或阿贝尔群。
6.设R是一个环，如果R中存在一个元素a，对于所有b∈R，都有a⋅b=b⋅a=0，那么a被称为R的什么？o A. 单位元o B. 零元o C. 逆元o D. 零因子参考答案：B解析：在环R中，满足a⋅b=b⋅a=0的元素a被称为零元。
7.在域F中，如果a∈F且a≠0，那么下列哪个选项描述了a的性质？o A. a没有乘法逆元o B. a有唯一的乘法逆元o C. a有多个乘法逆元o D. a的乘法逆元是a本身参考答案：B解析：域F中每个非零元素都有唯一的乘法逆元。
北航2012抽象代数试卷与答案
班号学号姓名成绩《抽象代数》期末考试卷注意事项：1、请大家仔细审题2、千万不能违反考场纪律题目：一、判断题（每小题2分，共20分）(⨯) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。
(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。
(√) 3、任何群都与一个变换群同构。
(√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。
(√) 5、素数阶群必为循环群。
(⨯) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。
(√) 7、环的理想构成其子环。
(⨯) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。
(⨯) 9、格保序映射必为格同态映射。
(√) 10、设A⊆S，则< P(A)，⊆ > 是格< P (S)，⊆ > 的子格。
二、填空题（10分）1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。
2、设〈G，*〉为群且a∈G。
若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；并且 a k = e 当且仅当__n | k3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。
4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+25、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。
对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。
三、计算题（40分，每小题8分）1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。
解：所有子群是：<{1}, •11 ><{1, 3, 4, 5, 9}, •11 ><{1, 10}, •11 >< N11—{0}，•11 >2、试求群 < N 7 ，+7 > 的所有自同态。
解：设f 为群 < N 7 ，+7 > 的自同态，则：f(x) = f (1) +7 f (x-1) = f (1) +7 f (1) +7f (x-2) =… = x f (1) mod 73、设有置换：试求 P 2 和Q ︒ P 。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),⊆)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。
抽象代数 考核练习题 答案
抽象代数考核练习>> 在线答题结果单选一、单选1、设映射f：A→B和g：B→C，如果gf是双射，那么g是（）。
（分数：2 分）A. A、单射B. B、满射C. C、双射D. D映射标准答案是：C。
您的答案是：C2、设M是数域F上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A～B 等价于A的秩=B的秩（A，B 属于M），那么M的所有不同的等价类为（）。
（分数：2 分）A. A、100个B. B、101个C. C、102个D. D 103个标准答案是：B。
您的答案是：B3、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。
（分数：2 分）A. A、｛1，－1，i , －i｝B. B、｛1，－1｝C. C、｛1，－1，i｝D. D｛1｝标准答案是：C。
您的答案是：C4、设G是一个100阶的交换群，H是 G的子群， H 的阶=10，则 G/H中10阶元的个数为（）。
（分数：2 分）A. A、9B. B、4C. C、1D. D 5标准答案是：B。
您的答案是：B5、6阶非交换群的所有子群的个数是（）。
（分数：2 分）A. A、2B. B、3C. C、6D. D 4标准答案是：C。
您的答案是：C6、在模100的剩余环中，零因子的个数是（）（分数：2 分）A. A、58B. B、59C. C、60D. D 57标准答案是：D。
您的答案是：D7、在6次对称群S6中， =（16）（23）（456）的阶为（）。
（分数：2 分）A. A、6B. B、12C. C、4D. D 8标准答案是：B。
您的答案是：B8、设N是G的不变子群，f:G--G/N,g--gN, 那么 kerf=（）。
（分数：2 分）A. A、G/NB. B、GC. C、ND. D 空集标准答案是：C。
您的答案是：C9、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]>∩<[18]>=（）。
（分数：2 分）A. A、<[6]>B. B、<[36]>C. C、<[-24]>D. D、<[6]>标准答案是：B。
抽象代数考试试题及答案
抽象代数考试试题及答案第一题：考虑以下四个集合及其关系：- A = {1, 2, 3, 4}- B = {2, 4, 6}- C = {3, 6, 9, 12}- D = {4, 8, 12, 16}试判断以下命题是否成立，并给出理由：1. A ⊂ B2. B ⊂ C3. C ⊂ D4. D ⊂ A解答：1. 命题1不成立，因为集合A中元素1不属于集合B。
2. 命题2不成立，因为集合C中的元素9不属于集合B。
3. 命题3成立，因为集合C中的元素都属于集合D。
4. 命题4不成立，因为集合D中的元素8不属于集合A。
第二题：设G为一个群，H为G的一个子群。
证明以下性质：1. H的恒等元是G的恒等元。
2. H中任意元素在G中也是元素。
3. G中任意元素的逆元在H中也是元素。
解答：1. 由于H为G的子群，H中的恒等元存在且唯一，记为e_H。
而G 中的恒等元存在且唯一，记为e_G。
由于H是G的子群，H的恒等元必须满足群的恒等元的性质，即对于任意的元素h∈H，有h·e_G = h。
因此，H的恒等元e_H也必须满足上述性质，即e_H = e_G。
2. 由于H是G的子群，H中的任意元素在G中也是元素，即对于任意的元素h∈H，有h∈G。
3. 对于任意的元素g∈G，其逆元记为g⁻¹。
由于H是G的子群，g∈G，所以g⁻¹∈G。
因此，g的逆元在H中也是元素。
通过以上证明可以得出结论，子群H的恒等元是群G的恒等元，H 中任意元素在G中也是元素，G中任意元素的逆元在H中也是元素。
第三题：考虑以下线性变换：T: ℝ^n -> ℝ^m其中，n和m是正整数且n < m。
证明T是一个满射但不是一个单射。
解答：首先，我们来证明T是一个满射。
满射意味着对于任意的向量b∈ℝ^m，存在向量a∈ℝ^n，使得T(a) = b。
由于n < m，说明向量a的维度低于向量b的维度。
根据线性变换的定义，T将n维的向量a映射为m维的向量b。
抽象代数考核练习题答案
抽象代数考核练习题答案抽象代数考核练习>> 在线答题结果单选一、单选1、设映射f：A→B和g：B→C，如果gf是双射，那么g是（）。
（分数：2 分）A. A、单射B. B、满射C. C、双射D. D映射标准答案是：C。
您的答案是：C2、设M是数域F上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A～B 等价于A的秩=B的秩（A，B 属于M），那么M的所有不同的等价类为（）。
（分数：2 分）A. A、100个B. B、101个C. C、102个D. D 103个标准答案是：B。
您的答案是：B3、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。
（分数：2 分）A. A、｛1，－1，i , －i｝B. B、｛1，－1｝C. C、｛1，－1，i｝D. D｛1｝标准答案是：C。
您的答案是：C4、设G是一个100阶的交换群，H是 G的子群， H 的阶=10，则 G/H中10阶元的个数为（）。
（分数：2 分）A. A、9B. B、4C. C、1D. D 5标准答案是：B。
您的答案是：B5、6阶非交换群的所有子群的个数是（）。
（分数：2 分）A. A、2B. B、3C. C、6D. D 4标准答案是：C。
您的答案是：C6、在模100的剩余环中，零因子的个数是（）（分数：2 分）A. A、58B. B、59C. C、60D. D 57标准答案是：D。
您的答案是：D7、在6次对称群S6中，=（16）（23）（456）的阶为（）。
（分数：2 分）A. A、6B. B、12C. C、4D. D 8标准答案是：B。
您的答案是：B8、设N是G的不变子群，f:G--G/N,g--gN, 那么kerf=（）。
（分数：2 分）A. A、G/NB. B、GC. C、ND. D 空集标准答案是：C。
您的答案是：C9、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]>∩<[18]>=（）。
（分数：2 分）A. A、<[6]>B. B、<[36]>C. C、<[-24]>D. D、<[6]>标准答案是：B。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数期末考试试卷及答案近世代数模拟试题三 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、A ；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、n m ；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2：因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，由理想的定义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈∙=1b b这就是说μ=R ，证毕。
2、证 必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1。
——————————————————————————————————————一．判断题(每小题2分,共20分)1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ）3. 循环群一定是交换群. （ ）4. 素数阶循环群是单群. （ ）5. 设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k . （ ）6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群. （ ）7. 交换群的子群是正规子群. （ ）8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，则||||G G HH =. （ ）9. 有限域的特征是合数. （ ）10. 整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. （ ）二．选择题(每小题3分,共15分)11. 下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.A. G 为整数集合，*为加法；B. G 为偶数集合，*为加法；C. G 为有理数集合，*为加法；D. G 为整数集合，*为乘法.12. 设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6，那么G 的阶G =（ ）A. 6；B.24；C.10；D.12.13. 设()()()()()(){}31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个数是A. 1；B. 2；C. 3；D.4.14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ） A. G=（a ）与G 的子群； B. 整数加法群与模n 的剩余类的加法群；C. 变换群与置换群；D. 有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.15. 整数环Z 中，可逆元的个数是( )。
抽象代数期末考试复习题
抽象代数期末考试复习题一、基本概念1. 定义与性质- 定义什么是群，并给出群的四个基本性质。
- 解释子群、正规子群、商群的概念，并举例说明。
- 描述群的同态和同构，以及它们的区别。
2. 特殊群- 列举并解释阿贝尔群、循环群、置换群的特点。
- 描述什么是自由群，并给出一个具体的例子。
3. 群的运算- 说明如何构造一个群的凯莱表。
- 解释群的阶的概念，并给出如何计算一个群的阶。
二、环和域1. 基本概念- 定义环，并列出环的基本性质。
- 描述什么是域，并给出域与环的区别。
2. 特殊环和域- 解释整环、域、素域和特征环的特点。
- 举例说明什么是多项式环。
3. 环的运算- 描述理想的概念，并解释如何构造一个环的理想。
- 解释商环的概念，并说明如何通过一个环和它的理想构造商环。
三、线性代数与向量空间1. 向量空间- 定义向量空间，并给出向量空间的八个基本性质。
- 解释基、维数、子空间的概念。
2. 线性变换- 描述线性变换的定义，并给出如何确定一个线性变换的矩阵表示。
- 解释线性变换的核和像的概念。
3. 特征值和特征向量- 定义特征值和特征向量，并解释它们在矩阵理论中的作用。
四、模和张量1. 模的概念- 定义模，并解释模与向量空间的相似之处和不同之处。
2. 张量代数- 描述张量的概念，并解释张量积的运算规则。
五、群论的应用1. 对称性分析- 解释群论在分析物理系统对称性中的应用。
2. 密码学- 简述群论在现代密码学中的应用。
六、附加题目1. 证明题- 证明如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，则G是一个有限群。
2. 计算题- 给定一个具体的群G，计算它的凯莱表，并确定它的阶。
3. 应用题- 描述如何使用群论来解决一个实际问题，例如晶体结构的分类。
结束语本复习题旨在帮助学生系统地回顾抽象代数的核心概念和理论，并通过练习题加深理解。
希望同学们能够通过这些题目，巩固知识，提高解题能力，为期末考试做好充分准备。
抽象代数 历届试题
2005-2006抽代期末1.(10分)设Ｒ是一个整环，则Ｒ上的一元多项式环Ｒ[x]是否还是整环？若是，请证明之，若不是请举出反例．2.(15分)给出唯一因子分解整环（高斯整环）、主理想整环和欧几里得整环的涵义并说明它们之间的关系．3.(15分)构造一个具有16个元素的有限域，从中任选两个非零非单位元的相异元素，计算它们的和、差、积、商．4.(10分)证明有限域上的任一不可约多项式一定可分．5.(20分)(1)证明2次扩张一定是正规的．(2)设Ｅ/Ｋ和Ｋ/Ｆ均为正规扩张，举例说明Ｅ/Ｆ不一定为正规扩张．6.(30分)设Ｑ为有理数域，f(x)＝x^4－2∈Ｑ[x]．(1)求f(x)的分裂域Ｅ．(2)求此分裂域Ｅ的Galois群Gal(Ｅ/Ｑ)．(3)求Gal(Ｅ/Ｑ)的所有子群及这些子群所对应的Ｅ/Ｑ的中间域(每阶子群举出一例)．(4)由于Ｑ的特征为0，所以Ｅ/Ｑ一定为单代数扩张，给出此扩张的一个本原元素θ，即使得Ｅ＝Ｑ(θ)，求θ的极小多项式的所有根．2008年冯荣权1.来自杨的 P139 182题2.证明存在非唯一分解因子整环3.p为素数，求Z(p^n) [x]中的可逆元，零因子，幂等元4.杨的 P542 7485.体中的华罗庚恒等式6.2年前考试题最后一题，把2改成3.2008-2009冯荣权一、判断正误，并证明或举反例。
（1）如果一个群的子群H的任意两个左陪集相乘还是左陪集，则H是正规子群。
（2）E/K是代数扩张，K/F是代数扩张，则E/F是代数扩张（3）E/K是正规扩张，K/F是正规扩张，则E/F是正规扩张二、G是奇次交换群。
α为自同构。
α^2为恒同映射。
G1={g|α(g)=g,g属于G}。
G2={g|α(g)=g逆,g属于G}求证G1，G2为子群，且G=G1×G2三、丘维声《抽象代数基础》75页推论8和例1四、构造27阶有限域并找出生成元。
五、忘了……六、证明Z(p^n)的剩余类环R上的非可逆元构成一个理想P，该理想为极大理想。
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抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
s+s也是子环吗?3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6。
11．求和；12．确定置换和1的奇偶性。
四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e近世代数模拟试题三 参考答案一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、 多选或未选均无分。
1、C ;2、C ;3、D;4、D;5、A ;二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a ； 3、2; 4、24; 5、; 6 相等；7、商群；8、特征；9、mn ;三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。
用笔在纸上画一下，用 黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1种，四白一黑1种，三白二黑2 种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b € S1n S2有a-b, ab € S1n S2:因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab € S1 和 a-b, ab € S2， 因而a-b, ab € S1n S2，所以S1n S2是子环。
S1+S2不 一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例：场见屍与禺均为子环”但&斗&彳：:I 讥〃 2卜是子环3、解：11 (1243)(56) (16524).2•两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定 是R 的一个理想而 不是零理想，那么a 0 ，由理想的定卜 €*-{L 茁10 0 ■ ■ 0上E 2卜,i 知二吟％1义a a 1 ，因而R 的任意元b b ?1这就是说 =R ，证毕 2、证必要性：将b 代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以b=a-1 o•判断题(每小题2分,共20分)1.实数集R 关于数的乘法成群•有限域的特征是合数.10.整数环Z 的全部理想为形如 nZ 的理想. 二•选择题(每小题3分,共15分)的阶G 2.若H 是群G 的一个非空有限子集， 且a,b H 都有ab H 成立，则H 是G 的一个子3. 循环群一定是交换群.4. 素数阶循环群是单群•5. 设G 是有限群，a G , n 是a 的阶，若a ke ，则 n|k .6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，贝U f 是G 的子群.7. 交换群的子群是正规子群8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，贝U GH |G| |H |9. 11.下面的代数系统 G, 中，( )不是群. A.G 为整数集合, 为加法; B. G 为偶数集合, 为加法; C. G 为有理数集合,为加法;D.G 为整数集合, 为乘法.12.设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H 的阶为6,那么GA. 6 ;B.24 ;C.10 ;D.12.设S 31 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 ,，则S 3中与元123不能交换的元的个数是 A. 1 ;B. 2 ;C. 3 ;D.4.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）A. G= （ a ）与G 的子群；B.整数加法群与模n 的剩余类的加法群；C.变换群与置换群；D.有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.整数环Z 中，可逆元的个数是（） 。
A.1个B.2 个C.4个D.无限个填空题（每小题3分,共15分）如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元 是 __ .n 次对称群S n 的阶是 ___________ .整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为设N 是G 的正规子群，商群 G N 中的单位元是 __________ 。
若R 是交换环，a R 则主理想 a _____________1 2 3 4 5 6令 6 5 4 3 2 1设H ｛（1）, （123）, （132）｝是3次对称群S 3的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说 明H 是否是S 3的正规子群.证明题（每题10分，共30分）13. 14. 15.16.17. 18. 19. 20. 四.21. 22.五.计算题（第21小题8分, 第22小题12分，共20分）23.设G是群，H是G的子群，证明：a G,则aHa 1也是子群24.设G是群，H是G的正规子群• G关于H的陪集的集合为GH {gH|g G},证明：G/ H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体n n矩阵的集合M n F在矩阵的加法和乘法下成为环一•判断题（每小题2分，共20分）1-10 xx"""二•选择题（每小题3分,共15分）11. D; 12. B ; 13. C; 14. B; 15. B.三•填空题（每小题3分,共15分）16. 1 ；17. n! ；18. nZ,nZ 1,L ,nZ n 1 ；19. N ; 20. aR.四•计算下列各题（第21小题8分，第22小题12分，共20分）1 2 3 4 5 621.解：，LLL LLL LLLLLL LLL4 分5 46 2 1 3i 1 2 3 4 5 6 1.LLLLLLLLLLLLLLLLLL8 分3 1 2 64 522•解：H的所有左陪集为H {(1),(123),(132)},12 H {(12),(13),(23)} ；L L L L L L L L L L L L L L L 4 分H的所有右陪集为H {(1),(123),(132)} , H 12 {(12),(13),(23)}.对S3，有H H ，即H是正规子群.LLL L L L L L L 12分五•证明题(每题10分，共30分)23. 证明：因为H是G的子群，对任意x, y H，有xy 1H . L L L 4分,, 1 11 1由题意，对任意x, y H ，有axa , ay a aHa ，从而axa 1 ay 1a 1axy 1a 1 aHa 1，即aHa 1也是子群• L L L L L L 10 分24. 证明：首先G H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.L L L 3分陪集H eH是它的单位元，eHgH egH gH , g H . L L L 7分又任意gH，有g 1HgH eH gHg 1H，即g 1H是gH的逆元.L L L 10分25. 证明：M n F关于加法是封闭的，且满足结合律，L L L L L L 3分零元是，对任意代.M.F ，有代. An 0n n，即代n的负元是代n・M n F关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是E nn.LLLLLL 8分乘法关于加法的分配律成立•LLL LLL LLL LLLLLL 10分。