【数学】东北三省四市2019届高三第一次模拟试题(理)(解析版)

合集下载

2019年东北三省四市高考数学一模试卷(理科)

2019年东北三省四市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列各点中，可以作为函数y＝sin x﹣cos x+1图象的对称中心的是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入N＝4，则输出p为（）A．6B．24C．120D．7205．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，a4＝2，则S5＝（）A．0B．10C．15D．306．（5分）已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β7．（5分）科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C．该企业连续12年来研发投入逐年增加D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加8．（5分）已知，是两个单位向量，且夹角为，t∈R，则+t与t+数量积的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为（）A．3B．2C．1D．010．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|＝4，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣B．x＝﹣2C．x＝﹣3D．x＝﹣412．（5分）已如函数f（x）＝，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[e﹣1，+∞）C．[3﹣2ln2，+∞）D．[3﹣2ln3，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为14．（5分）已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为．15．（5分）若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝2，，则＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，AB＝6，AC＝4．（Ⅰ）若sin B＝，求△ABC的面积；（Ⅱ）若＝2，AD＝3，求BC的长．18．（12分）某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）进行分组，得到下列统计图．（Ⅰ）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？（Ⅲ）从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）当四棱锥P﹣ABCE的体积最大是，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：＝1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N 满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形MB2NB1面积的最大值．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝+alnx，x∈（0，6）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x＝2是f（x）的极值点，且曲线y＝f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b 1，b，求b1﹣b2的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c＝m时，求++的最大值．2019年东北三省四市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：由B中不等式解得：﹣1＜x＜2，即B＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}，故选：A．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．3．（5分）下列各点中，可以作为函数y＝sin x﹣cos x+1图象的对称中心的是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：∵函数y＝sin x cos x+1＝2sin（x﹣）+1，令x﹣＝kπ，可得x＝kπ+，k∈Z，故函数的图象的对称中心为（kπ+，1），故选：A．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入N＝4，则输出p为（）A．6B．24C．120D．720【解答】解：由已知中N＝4，第一次进入循环时，p＝1，此时k＝1不满足退出循环的条件，则k＝2第二次进入循环时，p＝2，此时k＝2不满足退出循环的条件，则k＝3第三次进入循环时，p＝6，此时k＝3不满足退出循环的条件，则k＝4第四次进入循环时，p＝24，此时k＝4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，a4＝2，则S5＝（）A．0B．10C．15D．30【解答】解：数列{a n}为等差数列，且a2＝4，a4＝2，所以由a2+a4＝2a3，得a3＝3，∴S5＝＝5a3＝5×3＝15，故选：C．6．（5分）已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A．m∥n，m⊂α，n⊂βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β【解答】解：对于A，若α∩β＝l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．故选：B．7．（5分）科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C．该企业连续12年来研发投入逐年增加D．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加【解答】解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减故选：D．8．（5分）已知，是两个单位向量，且夹角为，t∈R，则+t与t+数量积的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由，是两个单位向量，且夹角为，所以||＝||＝1，＝，则（+t）•（t+）＝t2+t2+（t2+1）＝+2t＝（t+2）2﹣≥﹣，当且仅当t＝﹣2时取等号，则+t与t+数量积的最小值为﹣，故选：A．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，P A⊥底面ABCD，P A＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB＝，，PD＝，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故④正确．∴其中正确的个数为3．故选：A．10．（5分）函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）＝0，即＝0，解得x＝0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x＝1时，f（1）＝＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．11．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|＝4，则抛物线C的准线方程为（）A．x＝﹣B．x＝﹣2C．x＝﹣3D．x＝﹣4【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120°的直线方程设为y＝﹣（x﹣），联立抛物线的方程可得y2+2py﹣p2＝0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣p2，则|y1﹣y2|＝4，可得（y1+y2）2﹣4y1y2＝192，即为+4p2＝192，解得p＝6，则抛物线的准线方程为x＝﹣3．故选：C．12．（5分）已如函数f（x）＝，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）＝2，则x1+x2的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[e﹣1，+∞）C．[3﹣2ln2，+∞）D．[3﹣2ln3，+∞）【解答】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）＝，∵f（x1）+f（x2）＝2，∴，∴x1＝1﹣2lnx2，∴x1+x2＝1+x2﹣2lnx2，（x2＞1）．构造函数g（x）＝1+x﹣2lnx，（x＞1）则．①令g′（x）＝0，即，解得x＝2；②令g′（x）＜0，即，解得x＜2；③令g′（x）＞0，即，解得x＞2．∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x＝2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（2）＝3﹣2ln2．∴g（x）≥3﹣2ln2．∴x1+x2≥3﹣2ln2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．（5分）已知a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为8【解答】解：a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab＝4，所以a+4b≥2＝8，当且仅当a＝4b时取得等号，即a＝4，b＝1时取得最小值8．故填：8．14．（5分）已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为．【解答】解：由题意可得点OA＝OB＝6，AC＝13设双曲线的标准方程是．则2c＝12，c＝6，则2a＝AC﹣BC＝13﹣5＝8，所以a＝4．所以双曲线的离心率为：e＝＝．故答案为：．15．（5分）若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为．【解答】解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P（A）＝1﹣＝1﹣＝，P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1＝2，，则＝．【解答】解：由得a n+1（n+1+2a n）＝na n，即2a n a n+1+（n+1）a n+1＝na n，两边同时除以n（n+1）a n a n+1，得由累加法得，∴为等差数列，所以．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，AB＝6，AC＝4．（Ⅰ）若sin B＝，求△ABC的面积；（Ⅱ）若＝2，AD＝3，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）∵b＝4＜6＝c，∴B为锐角．∵sin B＝，∴cos B＝＝．∴＝62+a2﹣12a×，化为：a2﹣4a+4＝0，解得a＝2．∴△ABC的面积S＝＝4．（Ⅱ）＝2，AD＝3，设CD＝x，则BD＝2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理可得：cos B＝＝，解得x＝．∴BC＝．18．（12分）某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）进行分组，得到下列统计图．（Ⅰ）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？（Ⅲ）从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，第一组工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为6×10＝60（人）第二组工人40人．其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有40×（0.25+0.05）×10＝30人∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为30×10＝300（人）（Ⅱ）第一组平均时间为＝＝78．第二组平均时间为＝60×0.25+70×0.5+8．×0.2+90×0.05＝70.5（min）．∵，∴乙车间工人生产效率更高；（Ⅲ）由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间少于65min的有2人．X可取值为0，1，2．P（X＝0）＝＝＝．P（X＝1）＝＝＝．P（X＝2）＝＝＝．X的分布列为：数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝1．19．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）当四棱锥P﹣ABCE的体积最大是，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【解答】（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O．∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC．∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：当四棱锥P﹣ABCE的体积最大时平面P AE⊥平面ABCE，又∵平面P AE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面P AE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE．以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立直角坐标系，由题意得，各点坐标为P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴＝（，0，﹣），＝（，，0）；设平面PCE的一个法向量为＝（x，y，z）．则，即，设x＝，则＝（，﹣1，1），又OB⊥平面P AE，∴＝（0，1，0）为平面P AE的一个法向量，cos＜，＞＝＝＝﹣，∵所求二面角A﹣PE﹣C为钝角，∴所求二面角A﹣PE﹣C的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：＝1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N 满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形MB2NB1面积的最大值．【解答】解：（I）设N（x，y），M（x0，y0）（（x0≠0）．∵NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，直线NB1的方程为：y+3＝x，直线NB2的方程为：y﹣3＝﹣x，相乘可得：y2﹣9＝x2．又∵+＝1，∴＝﹣2．∴y2﹣9＝﹣2x2，化为：+＝1．（x≠0）．（II）设N（x1，y1），M（x0，y0）（x0≠0）．∴四边形MB2NB1面积S＝|B1B2|•（|x1|+|x0|）＝3×|x0|，∵≤18，当＝18时，S的最大值为．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝+alnx，x∈（0，6）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x＝2是f（x）的极值点，且曲线y＝f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b 1，b，求b1﹣b2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）＝﹣+＝．∴①当a≤0时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间；…………………（1分）②当a＞0，且≥6，即时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a＞0，且＜6，即a时，函数f（x）在上，f′（x）＜0，∴f（x）此时单调递减．函数f（x）在上，f′（x）＞0，∴f（x）此时单调递增．……（3分）综上：当a时，函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a时，函数f（x）在上单调递减；函数f（x）在上，单调递增．（Ⅱ）∵x＝2是函数f（x）的极值点，∴由（1）可知，＝2，解得a＝1设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（+lnx1）＝（﹣+）（x﹣x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣（+lnx2）＝（﹣+）（x﹣x2）．∴若这两条切线互相平行，则﹣+＝﹣+，化为：+＝．∵＝﹣，且0＜x1＜x2＜6．∴＜﹣＜，∴＜，∴x1∈（3，4），两条切线在y轴上的截距：令x＝0，则b1＝+lnx1﹣1，b2＝+lnx2﹣1．∴b1﹣b2＝+lnx1﹣1﹣（+lnx2﹣1）＝4（﹣）﹣ln+ln（）．令g（x）＝8x﹣2﹣lnx+ln（﹣x），x∈．g′（x）＝8﹣﹣＝．∴g（x）在区间上单调递减，……………………………………（10分）∴g（x）∈．即b1﹣b2的取值范围是．…………………………………（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ＝4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2＝0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2＝﹣3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|＝|t1t2|＝|﹣3|＝3．………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c＝m时，求++的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得﹣≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）＝，∴f（x）min＝，即m＝，又a，b，c∈R+且a+b+c＝，z则2a+2b+2c＝1，设x＝，y＝，z＝，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2＝2a+1+2b+1＝2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2＝8，∴（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8＝12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a＝b＝c＝时，取得最大值2．。

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(学生版)

2019年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学（理科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}()(){}1,0,1,2,120A B x x x =-=+-<，则A B =（）A. {}1,0,1,2-B. {}1,0,1-C. {}0,1,2D. {}0,1,2.在复平面内，表示复数11z i=-的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列各点中，可以作为函数sin 1y x x =+图象的对称中心的是（）A. ,13π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,16π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭4.执行如图所示的程序框图，如果输入4N =，则输出p 为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（） A 0B. 10C. 15D. 306.已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出αβ∥的是（） A. ,,m n m n αβ⊂⊂∥B. ,,m n m n αβ⊥⊥C .,,m n m n αβ⊥D. ,,m n m n αβ⊥⊥⊥7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量。

20072018-年，某企业连续12年累计研发投入搭4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用右图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的使（）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C. 该企业连续12年研发投入逐年增加D. 该企业来连续12年来研发投入占营收比逐年增加 8.已知12,e e 是两个单位向量，且夹角为3π，则12e te +与12te e +数量积的最小值为（） A. 32-B. C.129.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。

【精品】2019年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)【解析版】

2019 年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁
省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．（5 分）复数（1﹣i）（3+i）的虚部是（）
A．4
B．﹣4
C．2
D．﹣2
2．（5 分）若集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则 A∩B＝（）
第 1 页（共 24 页）
A．0
B．﹣1
C．1
D．2
8．（5 分）如图在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线 y＝ex 的切线，切点为 P，过点
P 分别作 x，y 轴的垂线垂足分别为 A，B，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到
阴影部分的概率为（）
A．
B．
C．
D．
第 2 页（共 24 页）
）| ＝，
设“向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件 A，由几何概型的面积型可得：
P（A）＝故选：A．
＝＝，
第 9 页（共 24 页）
9．（5 分）已知 α，β 是不重合的平面，m，n 是不重合的直线，则 m⊥α 的一个充分条件是
（）
A．m⊥n，n⊂α
B．m∥β，α⊥β
0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？
近视
不近视
足够的户外暴露时间
不足够的户外暴露时间
附：K2＝
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828

东北三三校2019高三3月第一次联考-数学理(解析版)

东北三三校2019高三3月第一次联考-数学理（解析版）理科数学全解析本试卷分为第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2、选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷〔选择题共60分〕【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1、全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，那么集合)U C A B ⋂=（〔〕A 、{|02}x x <<B 、{|02}x x <≤C 、{|02}x x ≤<D 、{|02}x x ≤≤解析：{}|2U C A x x =<){|02}U C A B x x ∴⋂=≤<（，应选CA 、假设1x >，那么0x ≤B 、假设1x ≤，那么0x >C 、假设1x ≤，那么0x ≤D 、假设1x <，那么0x <解析：、命题“假设1,x >那么0x >”的否命题是：假设1x ≤，那么0x ≤，应选C 3、在复平面内复数3+41i z i=-的对应点在〔〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限解析：3+4(3+4)(1)1717+1(1)(1)222i i i i z ii i i +-+====---+，而点17(,)22-在第二象限，应选B4数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，那么35tan()a a +的值为〔〕AB、CD、解析：1472a a a π++=，43=2a π∴42=3a π∴3544tan()=tan 2=tan 3a a a π∴+应选C5、与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为〔〕A 、2213y x -=B 、2221y x -=C 、22122y x -=D 、2213y x -= 解析：由题知：焦距为4，排除B,又焦点在y 轴上排除A，将代入C 、D 可得C 正确，应选C6、将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，假设每班至少名教师，那么不同的分配方案的种数为〔〕A 、12B 、36C 、72D 、108 解析：先从4名实习教师选出2名教师有24C 种情形，再将选出的2名教师看成1名教师与余下的2名全排列有33A 种情形，所以不同的分配方案的种数为：2343=36C A ⋅，应选B7、按如下图的程序框图运行后，假设输出的结果是63，那么判断框的整数M 的值是〔〕A 、5B 、6C 、7D 、8解析：按框图推演可得：M 的值为：6，应选B 8、假设n的展开式中第四项为常数项，那么n =〔〕第10小题DCBO 1OAA 、4 B、5 C 、6 D、7解析：n的展开式中第四项为：35331332211()()22n n nn C xx C x---∙-∙=-，又第四项为常数项所以52n -=，从而5n =，应选B9、函数sin()y A x k ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，那么下面各式中符合条件的解析式为〔〕 A 、4sin(4)6y x π=+B 、2sin(2)23y x π=++C 、2sin(4)23y x π=++D 、2sin(4)26y x π=++解析：由题得：40A k A k +=⎧⎨-+=⎩，解得：22A k =⎧⎨=⎩又函数sin()y A x k ωϕ=++最小正周期为2π242πωπ∴==()2sin(4)2f x x ϕ∴=++又直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴432k ππϕπ∴⨯+=+5,6k k Zπϕπ∴=-∈ 故可得：2sin(4)26y x π=++符合条件，所以选D10、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==，2AC =，假设四面体ABCD 体积的最大值为23，那么这个球的表面积为〔〕A 、1256π3B 、8πC 、254πD 、2516π解析：AB BC ==，2AC =，ABC ∴∆是直角三角形，ABC ∴∆的外接圆的圆心在边1AC 的中点O 如下图，假设使四面体ABCD 体积的最大值只需使点D 平面ABC 的距离最大，又1OO ⊥平面ABC ,所以点D 是直线1OO 与球的交点最大。

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

2019年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将整理为，可得对应的点为，由此得到结果.【详解】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数运算和复数的几何意义，属于基础题.3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.【详解】，当时，，故A适合题意，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模拟程序框图运行.【详解】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A.，， B. ，，C.，， D. ，，【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据折线图和条形图依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计图标中的折线图和条形图，属于基础题.8.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用数量积的运算法则，结合二次函数的图像与性质即可得到结果.【详解】∵是两个单位向量，且夹角为，∴当t=时，的最小值为：故选：A【点睛】本题考查数量积的最值问题，考查数量积的运算法则，考查二次函数的最值，考查计算能力与转化思想，属于基础题.9.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。

辽宁省2019届高三一模拟考试数学(理)试卷及答案

姓名:_______________________考生考号:___________________________2019年下学期高三第一次模拟考试试题数学(理科）时间：120分钟试卷满分:150分第I 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第n 卷(非选择题}两部分，其中第Ⅱ卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12个小题，每题5分，共60分,四个选项中只有一个正确）1.设 P={x|x ＜4},Q={x|x 2＜4}，则（） A.P ⊆Q B.QP C.P ⊆C R Q D.Q ⊆C R P2.复数i mi21-2+=A+Bi(m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是（） A.32- B.32C.2D.23.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若y i =x i +a (O 为非零常数，i= 1,2,…,10)，则y1,y2,…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a,4B.l+a ，4+aC.1,4D.l,4+a4.公差不为零的等差数列{an}的前n 项为Sn,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于()A.18B.24C.60D.905.设F 1和F 2为双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（） A.y=±33x B.y=±3x C.y=±721x D.y=±321x 6.设a=log 23,b=34,c=log 34，则a,b ，c 的大小关系为（） A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.c<b<a7.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（）A.18B.62C.52D.428.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A.38π B.3π C.310πD.6π9.(x +y +z)4的展开式共（）项 A.10 B.15 C.20 D.2110.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（）A.(1+23)米 B.2米 C.(1+3)米 D.(2+3)米11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程是（）A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-112.已知椭圆的左焦点为F 1有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（） A.31 B.21-5 C.53 D.32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC二．填空题13. 3 14. 乙 15. 78-16. 4π 三．解答题17. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π 2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x 4分∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分由正弦定理，2a AB ==，∴sin B = 2034B B ππ<<∴=9分∴sin sin()C AB =+=sin sin c bC B ==，∴2=b11分∴1sin 2∆==ABC S bc A 12分 18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C == 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12. 4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：近视 8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.12分 19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ， 13OF OD =,BDC ∆是等边三角形 F ∴为BDC ∆的重心13MF BM ∴= 2分//EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABMACD AM =，且面面， //EF AM ∴13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点. 4分（Ⅱ）等边BCD ∆中，O D B C ⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，OD ABC ∴⊥平面 6分如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -点A 在平面BEF 上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角.设2AB =,则OD OA =，(0,0,(0,1,0)3F A B3(0,1,),(3,1,0)3BF BA ∴=-=- 设平面AFB 的法向量u (,,)x y z =，则⎧⎨⎩u u 00⋅=⋅=BF BA 即030y z y ⎧-+=⎪⎨-=，取1x =，则u (1,)= 9分又OA ⊥平面OBD ，(3,0,0)OA =,10分则cos <u ,OA >=u u 13== 又二面角D FB E --为钝二面角，所以余弦值为 . 12分 20.解：（Ⅰ）设),(00y x P 0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为)0,2(),0,2(B A -，则4144142220202020000021-=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k 2分(,)Q x y 设(2)x ≠±所以4422212243λλ-==-=-⋅+=k k x y x y x y k k ，整理得 1422=+λy x )2(±≠x . 所以，当4=λ时，曲线2C 的方程为 )2(422±≠=+x y x . .4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x F y x E . 由题意知，直线AM 的方程为：26-=y x ，直线BM 的方程为：22+-=y x . 由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为1422=+λy x )2(±≠x ， .7分联立 )2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=x y x y x λλ，消去x ，得2(91)60y y λ+-λ=，得 1961+=λλy 联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分 2212111111sin 91222211sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增又(1)5,(3)7g g ==，OA ⋅OA12S S ∴ 的取值范围为[]5,7 12分21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()x h x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()=(0)1h x h ∴=极小值 4分（Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()e ln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-，令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1x F x ax x a x =-+-+≥，1'()e x F x a x =-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x'=-，由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥Q 21'()e 0x t x x =->，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增,又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解. 8分②当10e a +-<，即1a e >+时，1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x =. 10分又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥， ()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0ea a x >>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 综上，e 1a ≤+. 12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ. 21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分 1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π，则1tan k θ==10分 23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-.4分（Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式 222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分。

2019届东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题及答案

东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学(理)试题

东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第Ⅰ卷一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了向量的运算，属于基础题.4.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案. 【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式故选B【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A. 30种B. 50种C. 60种D. 90种【答案】B【解析】【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】【分析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可得结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得所以点P因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线时，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项代入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以公比首项所以，通项所以当且仅当所以当时，的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12.中，，，，中，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，代入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（1）∵，∴∴∴函数的值域为．（2）∵∴∵，∴，∴，即由正弦定理，，∴∴，，∴∴【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成列联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（1）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为.（2）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.【详解】（1）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（2）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意设，，再表示出得出.然后求得结果.(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再代入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围.【详解】（1）设，则，因为，则所以，整理得.所以，当时，曲线的方程为.（2）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联立，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题.21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】 (1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a 的取值. 【详解】（1）当时，令解得（2）设，令，，，设，，由得，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，此时在当时，关于的方程有且只有一个实数解.②当，即时，，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.故当时，的方程有两个解为和综上所述：当时的方程有且只有一个实数解【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.21。

东北三省三校2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.4.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案. 【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种【答案】B【解析】【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A.， B. ，C.，， D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线是，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项带入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以公比首项所以，通项所以当且紧当所以当时，的最小值为8故选C【点睛】本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12.中，，，，中，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（Ⅰ）∵，∴∴∴函数的值域为．（Ⅱ）∵∴∵，∴，∴，即由正弦定理，，∴∴，，∴∴【点睛】本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.【详解】（Ⅰ）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（Ⅱ）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意设，，再表示出得出.然后求得结果.(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再带入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围.【详解】（Ⅰ）设，则，因为，则所以，整理得.所以，当时，曲线的方程为.（Ⅱ）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联立，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题. 21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】 (1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a 的取值. 【详解】（Ⅰ）当时，令解得（Ⅱ）设，令，，，设，，由得，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.②当，即时，，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.。

2019届东北三省四市教研联合体高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案

初三数学第四次模拟试题及答案 2019届东北三省四市教研联合体高三第一次模拟考试
理科数学试题
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R，集合A={x|x4），B={x|-2≤x≤3），那么阴影部分表示的集合为
A．{x|-2≤xr2>0
C．0k时n的最小值为5，
则k的取值范围是
A．k2时满足xf '(x)>2f '(x)+f(x)），则
A．2f(1)f(3) C．f(0)0，b>0）的长轴长等于圆C2:x2+y2=4的直径，且C1的离心率等于．直
线l1和l2是过点M(1，0)互相垂直的两条直线，l1交C1于A，B两点，l2交C2于C，D两点．
(I)求C1的标准方程；
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最大值．
21．（本小题满分1 2分）
设函数f(x)=x2一ln（x+a）+b，g(x)=x3．
(I)若函数f(x)在点（0，f(0)））处的切线方程为x+y=0，求实数。

，6的值；
(Ⅱ)在(I)的条件下，当X∈(0，+∞)时，求证：f(x)2a+1恒成立，求实数a的取值范围．
2019届东北三省四市教研联合体高三第一次模拟考试
理科数学试题答案
1D 2 D 3B 4 C 5 D 6B 7 B 8A 9B 10C 11 D 12 A
13 28 14 丙 15 16
3
4
又
所以平面平面.………………………..…5分设所求二面角为。

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

2019 年三省三校高三第一次结合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC二．填空题713. 3 14.乙15.16. 48三．解答题17. 解：（Ⅰ）f (x) 3sin 2x1cos2x 1 sin(2 x) 1 L 2分2 2 6∵ x [0, ] ，∴2x 7 L 4分6 62 6∴ 1sin(2 x ) 1 2 2 6∴函数 f (x) 的值域为1, 2 ．L 6分2（Ⅱ）∵ f ( A) sin(2 A ) 1 3)1 ∴ sin(2 A26 2 6∵ 0 A ，∴ 2 A13 5L 8分6，∴ 2A6，即 A36 6 6由正弦定理， Q 2a 3b 2 sin A3 sin B ，∴sin B2 2Q 0 B 2B L 9分3 4∴ sin C sin( A B) 6 2 c 4 bL 11分4，Q2，∴ b 2sin C sin B∴S ABC 1bc sin A 3 3 L 12分2 218. 解：（Ⅰ）设“随机抽取 2 名，此中恰有一名学生不近视”为事件A，则P( A) C31C11 1 C42 2故随机抽取 2 名，此中恰有一名学生不近视的概率为 1 . L 4分2（Ⅱ）依据以上数据获得列联表：近视不近视足够的户外裸露时间40 60 不足够的户外裸露时间6040L 8分因此 K 2 的观察值 k200 (40 40 60 60)28.000 6.635 ，(40 60)(60 40)(40 60)(60 40)故能在出错误的概率不超出的前提下以为不足够的户外裸露时间与近视相关系 .L12分z 19. 解：（Ⅰ）在 BDC 中，延伸 BF 交 CD 于点 M ，Q OF1OD , BDC 是等边三角形3F 为 BDC 的重心DMFCOxAEBy1L 2分MFBM3QEF//平面ACD , EF 平面 ABM ，且面 ABM I 面ACDAM ，EF // AMAE1AB , 即点 E 为线段 AB 上凑近点 A 的三平分点 .L 4分3（Ⅱ）等边 BCD 中， OD BC ，OD平面 BCD ，面 ABC面BCD ，交线为 BC ，OD平面 ABCL 6分如图以 O 为原点成立空间直角坐标系 O xyzQ 点 A 在平面 BEF 上，因此二面角 D FBE 与二面角 D FB A 为同样二面角 .设 AB2,则ODOA 3 ， F (0,0,3), A(3,0,0), B (0,1,0)3uuur3 uuur( 3, 1,0)BF (0, 1,), BA3uuuru 0设平面 AFB 的法向量 uBF( x, y, z) ，则uuur BAu 03 即y 3 z 0，取 x 1 ，则 u (1, 3,3) L 9分3x y 0又 OAuuur( 3,0,0) , L 10分平面 OBD ，OAuuur uuuur3 13则 cos u ,OAOAuuuur13 3 13OA又二面角 D FB E 为钝二面角，因此余弦值为13L 12分13 .20. 解：（Ⅰ）设P( x0, y0) ( x0 2) ，则x2y0 2 1 ，4由于 A( 2,0), B(2,0) ，则y0 y0 2 1 x021 4k1k2 y0 L 2分2 x0 2 x02 4 x02 4 4x0设 Q( x, y) ( x 2)因此 k3k4y y y 2k1k 2 ，x 2 x 2 x 2 4 4整理得x2 y21 ( x 2) . 4因此，当 4 时，曲线 C2的方程为x2 y 2 4(x 2) . . L 4 分（Ⅱ）设 E( x1, y1), F ( x2 , y2 ) . 由题意知，直线 AM 的方程为：x 6 y 2 ，直线 BM 的方程为：x 2 y 2 .x2 y 21 ( x 2) ，L .7由（Ⅰ）知，曲线 C2的方程为分4联立x 6 y 2( x 2) ，消去x，得(9 1)y 2 6 y 0 ，得 y1 6x2 4 y2 14 9联立x 2 y 2(x 2) ，消去x，得( 1) y2 2 y 0 ，得 y2 2 L 9分x2 4 y2 4 1S1 1MA MF sin AMFMA MF1 y2 1 y2 112 2 2 2 9L 10分S2 1 BME MB ME y1 1 1 y11 1MB ME sin2 2 2 2设 g( )9 1 98 ，11 又 g(1) 5, g(3)7 ，S 1 的取值范围为5,7S 221. 解：（Ⅰ）当 a 1时 , h(x)xh (x) h(x)h(x)极小值 =h(0)1（Ⅱ）设 (t )f ( t 1) ln( t则 g( ) 在 [1,3] 上递加L 12分f (x)g( x) e xx ， h ( x)e x 1, 令 h (x) 0, 解得 x 0( ,0)0 (0, )递减极小值递加L 4分1) e g (t )e t 1at ln( t 1) e ，令 t 1x(x 1) ， F ( x) e x ax ln x e a, x 1 ，F '(x)exa1，设 t ( x) F ( x) e xa1， t ( x) e x1 ，xxx 2由 x 1得， x 2 1, 01 1Q e xex 2t '(x) e x 10 ， t(x) 在 (1,) 单一递加，x 2即 F ( x) 在 (1, ) 单一递加， F (1) e 1 a ，① 当 e 1 a 0 ，即 a e 1 时， x (1,) 时， F ( x) F (1) 0 ， F ( x) 在 (1, ) 单一递加 ,又F (1) 0 ，故当x 时，对于 x 的方程e xax ln xe a 0 有且只有一个实数解 .L 8分1②当 e1 a 0 ，即 a e 1 时，F (1) 0, F '(ln a)a a1a a 0 ，又 ln a ln( e 1) 1ln a故 x 0 (1,ln a), F ( x 0 ) 0 ，当 x (1,x 0 ) 时， F (x) 0 ， F ( x) 单一递减，又 F (1) 0 ，故当 x 1, x 0 时， F ( x) 0 ，在1,x 0 内，对于 x 的方程 e x ax ln xe a 0 有一个实数解 x 1 . L 10分又 x (x0 , ) 时， F (x) 0 ， F ( x) 单一递加，且 F (a) e a ln a a2 a e e a a2 1，令 k( x) e x x2 1(x 1) ，s( x) k ( x) e x 2x , s (x) e x 2 e 2 0 ,故 k ( x) 在1, 单一递加，又 k (1) 0故 k (x) 在1, k (a) k(1) 0 ，故 F (a) 0 ，又 a a单一递加，故x0 ，由零点存在定理可知，ex1(x0 , a), F ( x1 )0 ，故在 x0 , a 内，对于x的方程e x ax ln x e a 0 有一个实数解 x1 . 此时方程有两个解 .综上， a e 1 . L 12分22. 解：（Ⅰ）Q x 3 cos 2 x2 4 x y2 1 0 L 2分y 3 sin因此曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 1 0 . L 4分（Ⅱ）设直线 l 的极坐标方程为1( R, 1 0, ) ，此中1为直线 l 的倾斜角，代入曲线 C 得24 cos 1 1 0, 设 A, B 所对应的极径分别为1,2.4cos 1 , 1 0, 16cos 2 4 0 L 7分1 2 1 2 1QOA OB 1 2 1 2 2 3 L 8分cos 1 3 ，知足0 16或5，l 的倾斜角为或5，2 6 6 6则 k tan3 3L 10分1 或3.323. 解：（Ⅰ）由于f ( x) x 4a x x 4a x 4 a ，因此 a2 4 a ，解得 4 a 4 . 故实数 a 的取值范围为 [ 4,4] . L 4分（Ⅱ）由（ 1）知，m 4 ，即 4x 2y z 4 . 依据柯西不等式( x y) 2 y2 z2 1(x y)2 y2 z2 42 ( 2)2 122114( x y) 2 y z 2 16 L 8分21 21等号在xy y z 即 x8, y8, z 4 时获得 .4 2 7 21 21因此 (x y)2y 2z2的最小值为16.L 10分21。

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案(可编辑修改word版)

2分
∵ x [0, ] ，∴ 2x 7
2
6
66
4分
∴ 1 sin(2x ) 1 2
2
6
∴函数
f
(x)
的值域为
1 2
,
2
．
（Ⅱ）∵ f ( A) sin(2A ) 1 3 ∴ sin(2A ) 1
6
2
62
∵0
A
，∴
2A
13
，∴ 2A
5
，即
A
6
66
66
F '(x) ex a 1 ，设 t(x) F(x) ex a 1 ， t(x) ex 1 ，
x
x
x2
由 x 1得， x2 1,0 1 1 Q ex e x2
t '(x)
ex
1 x2
0 ， t(x) 在 (1, ) 单调递增，
即 F(x) 在 (1, ) 单调递增， F(1) e 1 a ，
OD 平面ABC
6分
如图以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz
点 A 在平面 BEF 上，所以二面角 D FB E 与二面角 D FB A 为相同二面角.
设 AB 2 ,则 OD OA 3 ， F (0, 0, 3 ), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0) 3
BF (0, 1,
. 4分
由（Ⅰ）知，曲线 C2 的方程为
x2 4
y2
1 (x
2) ，
.7 分
联立
x x2
6y2 4 y2 4
(
x
2)
，消去
x
，得
(9
1)
y
2
6y

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案

理科数学试卷笫1页（共4页）哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2019年鳥三第一次联合模拟考试理科数学试卷支注意事项：1 •本试卷分第I 卷（选择題）和第II 卷（非选择题）两邙分，共150分，考试时间120分钟答卷的，号土齐必将口匸的姓名、木考证号塩写任答题卡的和应位3±..2.冋答第I 卷时，选出何小题答案后•用铅笔把答题卡JL 对应题冃的符案标号涂黒•如需改动, :用橡皮擦于净后・再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.:3.冋苓第u 卷时•将答案q 任答趣K 上，写在本试卷上无效-第1卷（选择题共6（）分）一.选择题（龙大题共12小談,每小颍5分■共50分•在毎小題給岀的四个选项中，只有一项是符合題目要求的）1•复数（l-i ）（3+»）的虚部是 6•中国冇十二生肖•乂叫卜二属札每一个人的出生年份对应了 I 二种动物（鼠、牛.虎、兔、龙屈、马、羊、狼、鸡、狗、猪）中的一种•现有I •二牛•肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物, 甲同学韓欢牛和马,乙同学頁欢牛、狗和羊，内同学哪个吉祥物都宵欢，如采让三位同学选取礼物都満意•则选法有A.3O WB.50 种C.60 种1).90 种A .4B.-4(“22•集合A = |xl-l^x^2| ,B= x 1 log^x € 11 JiJ 4n/; =A. j x 1 — 1 v <x v 2}B.!xl0<x<;2!c.lxl 1^X^2|3•已知向员4上的夹角为60\lfll = l JM=2.则 1%+bl =A.J5R./7C.丽4 设 a = （；）、=占「） *c=（y ）侧"""的.人小关系为A.b<ccaB.«<6<rC.a<c<b5•等差数列｛““｝的前n 项和为S.・目心+“ 10= 16.a 8 = 11, S 7 =A.30B.35(：42D.-2D. x I x - 1 或才>2}I)•何V).e<a<h1).56理科数学试卷第2贞(共4贝〉7•执行闻次下图所示的程序框图，若第一次输人的戈的值为4•第二次输入的工的值为5■记邹•次输出的Q 的值为© •第二次输出的a 的值为5•则产&如图•在直角坐标系My 中•过坐标原点0作曲线y = e f 的切线•切点为P •过点P 分别作X.)轴的垂线，垂足分別为儿〃，向矩形OAPH 中随机撤一粒黄豆•则它倍到阴影部分的槪率为 A.竿 B.孚 C.I/I2c 2e e e9•已甸a,0是不jfi 合的平面 Z 是不两合的f*(线•则加丄a 的一个充分条件是 A.m ln,nCa丄0C.nXa.n 丄0,加丄尸Ti.aC ｝fi-n.a 丄0■皿丄n10.双曲线斗1@>0上>0)的左焦点为F(-V 5,0)，点.4的坐标为(0.2)，点P 为双曲线右支上 a的动点，且△ AM 周长的域小值为8,则収曲线的离心率为\.J2B.VTC.2D.万11•各项均为正数的等比数列｛"・｝的前“项和为S.,若5 •畋= 4®“，则匕© 的战小值为A .4B.6C ・8D.12ABC 中，乙ABC = 90。

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

2019年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将整理为，可得对应的点为，由此得到结果.【详解】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数运算和复数的几何意义，属于基础题.3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.【详解】，当时，，故A适合题意，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模拟程序框图运行.【详解】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据折线图和条形图依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计图标中的折线图和条形图，属于基础题.8.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用数量积的运算法则，结合二次函数的图像与性质即可得到结果.【详解】∵是两个单位向量，且夹角为，∴当t=时，的最小值为：故选：A【点睛】本题考查数量积的最值问题，考查数量积的运算法则，考查二次函数的最值，考查计算能力与转化思想，属于基础题.9.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。

东北三校2019届高三第一次模拟考试数学(理)

哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2019年高三第一次联合模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用o ．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R ，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，则集合（C u A ）B= （） A ．{x|0<x<2} B ．{x |0<x≤2} C ．{x|0≤x<2}D ．{x| 0≤x≤2} 2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是（）A ．若x>l ，则x≤0B ．若x≤l ，则x>0C ．若x≤1，则x≤0D ．若x<l ，则x<0 3．在复平面内复数z=341ii+-对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7= 2π，则tan( a 3+a 5)的值为 ( )AB ．C D ．5．与椭圆C ：221612y x + =l 共焦点且过点（1 （）A ．x 2一23y =1B ．y 2—2x 2=1C ．22y 一22x =1 D ．23y 一x 2 =16．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为( )A ．12B ．36C ．72D ．1087．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是（） A ．5B ．6C ．7D ．88．若n 的展开式中第四项为常数项，则n=( )A ．4B ．5C ．6D ．79．已知函数y=Asin （x ωϕ+）+k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线x=3π是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（） A ．y= 4sin （4x+6π） B ．y =2sin （2x+3π）+2C ．y= 2sin （4x+3π）+2D ．y=2sin （4x +6π）+210．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AC =2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（）A ．1256πB ．8πC ．254πD ．2516π11．若点P 在抛物线y 2= 4x 上，则点P 到点A （2，3）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差（） A ．有最小值，但无最大值 B ．有最大值，但无最小值 C ．既无最小值，又无最大值 D ．既有最小值，又有最大值12．已知f （x ）=111nxnx x-+，f （x ）在x=x O 处取最大值，以下各式正确的序号为 ( ) ①f （x o ）<x o ②f （x o ）=x o ③f （x o ）>x o ④f （x o ）<12 ⑤f （x o ）>12A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

东北三省三校(哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学(理)试题解析版

东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.所以故选C【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.4.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用是单调递减的，得出；再利用在是单调递增的，得出求得答案. 【详解】因为是单调递减的，且，所以；又因为在是单调递增的，，所以综上，故选A【点睛】本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A. 30种 B. 50种 C. 60种 D. 90种【答案】B【解析】【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.【详解】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有所以共有种故选B【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D【分析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【详解】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得所以点P因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A.， B. ，C.，， D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线是，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.11.各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，根据等比中项得出，然后求得公比首项，再利用公式求得，通项带入用基本不等式求最值.【详解】因为，且等比数列各项均为正数，所以公比首项所以，通项所以当且紧当所以当时，的最小值为8故选C题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”.12.中，，，，中，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，设点D的坐标，然后分析点D的位置，利用直线的夹角公式，求得点D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可.【详解】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；设点，因为，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率；直线AD的斜率由两直线的夹角公式可得：化简整理的可得点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：此时点D的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：所以CD的取值范围为【点睛】本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．【答案】【解析】【分析】先由题意，是定义域为的偶函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性推出的周期，可得，然后带入求得结果.【详解】因为为奇函数，所以又因为是定义域为的偶函数，所以即所以的周期因为所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题.16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据x的取值，求得值域；（2）根据第一问求得角A，再根据正弦定理求得角B，然后再求得角C的正弦值和边b，利用面积公式求得面积.【详解】（Ⅰ）∵，∴∴∴函数的值域为．（Ⅱ）∵∴∵，∴，∴，即由正弦定理，，∴∴，，∴∴降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题.18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】(1)根据题意，延长交于点，要使得平面；即，然后确定出点E的位置即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可.【详解】（Ⅰ）在中，延长交于点，,是等边三角形为的重心平面, 平面，,即点为线段上靠近点的三等分点（Ⅱ）等边中，，，，交线为，如图以为原点建立空间直角坐标系点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.设,则，设平面的法向量，则即，取，则又平面，,则,又二面角为钝二面角，所以余弦值为 .【点睛】本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题.20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由题意设，，再表示出得出.然后求得结果.(2) 由题求出直线的方程为：，直线的方程为：，然后分别与曲线联立，求得点E、F的纵坐标，然后再带入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围.【详解】（Ⅰ）设，则，因为，则所以，整理得.所以，当时，曲线的方程为.（Ⅱ）设. 由题意知，直线的方程为：，直线的方程为：.由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联立，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题. 21.已知（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，关于的方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】 (1)由题意，当时，然后求导函数，分析单调性求得极值；(2)先将原方程化简，然后换元转化成只有一个零点，再对函数进行求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得a 的取值. 【详解】（Ⅰ）当时，令解得（Ⅱ）设，令，，，设，，由得，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.②当，即时，，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，.【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题.如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

东北三省四市高三第一次模拟数学试题（理）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题正确选项：2.在复平面内，表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，当时，，故A适合题意，故选：A4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列性质可知：本题正确选项：6.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】当时，若，可得又，可知本题正确选项：7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：8.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵是两个单位向量，且夹角为，∴当t=时，的最小值为：故选：A9.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。

斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为.其中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PD⊥平面ABCD，PD=2，对于①易证AB⊥平面P AD，BC⊥平面PCD，故四个侧面都是直角三角形；对于②，故正确；对于③四个侧面中没有全等的三角形，故错误；对于④外接球的直径为PB，故外接球的表面积为，正确，故选：D10.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.11.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若的中点在轴上的射影分别为，且，则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设AF,FB的中点分别为D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p 的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的准线方程为.故选：D12.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则设，则当时，，则单调递减当时，，则单调递增本题正确选项：第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.已知，，且2是，的等比中项，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意得：又，当且仅当时取等号本题正确结果：14.已知矩形，，，以，为焦点，且过，两点的双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意易知：即，，由双曲线定义可得，∴双曲线的离心率为故答案为：15.若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为__________．【答案】【解析】设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“取出的2件中另1件是一等品”为事件B，则P（A），P（AB），在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率为：P（B|A），故答案为：．16.已知数列{a n}中，a1=2，，则=______．【答案】【解析】∵，，∴，即记，显然为常数列，且，∴，∴故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，.（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若，，求的长.解：（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）设，则根据可得：解得：18.某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人人，乙车间有工人人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：）进行统计，按照进行分组，得到下列统计图.分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于的人数分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？从第一组生产时间少于的工人中随机抽取人，记抽取的生产时间少于的工人人数为随机变量，求的分布列及数学期望.解：（Ⅰ）由题意得，第一组工人人，其中在内（不含）生产完成一件产品的有人甲车间工人中生产一件产品时间少于的人数为（人）第二组工人人. 其中在内（不含）生产完成一件产品的有人乙车间工人中生产一件产品时间少于的人数为（人）（Ⅱ）第一组平均时间为.第二组平均时间为.，乙车间工人生产效率更高；（Ⅲ）由题意得，第一组生产时间少于的工人有人，从中抽取人，其中生产时间少于的有人.可取值为..，，的分布列为：数学期望.19.如图，等腰梯形中，,,为中点，将沿折到的位置.证明：；当四棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.证明：在等腰梯形中，连接，交于点.，四边形为平行四边形，，为等边三角形，在等腰梯形中，,.，翻折后可得：，又平面，平面，，平面.平面,.解：当四棱锥的体积最大时平面平面又平面平面，平面,，平面.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，, ；,设平面的一个法向量为.则，即，设，则，，，所求二面角为钝角，所求二面角的余弦值为.20.已知椭圆：的短轴端点为，，点是椭圆上的动点，且不与，重合，点满足，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形面积的最大值.解：（Ⅰ）法一：设，，直线直线得又，，整理得点的轨迹方程为法二：设，，直线直线由,解得：，又，故，代入得.点的轨迹方程为法三：设直线，则直线直线与椭圆的交点的坐标为.则直线的斜率为.直线由解得:点的轨迹方程为：（Ⅱ）法一：设，由（Ⅰ）法二得：四边形的面积，，当时，的最大值为.法二：由（Ⅰ）法三得：四边形的面积当且仅当时，取得最大值.21.已知，函数，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，，求的取值范围.解：（Ⅰ）.当时，在上恒成立.在上单调递减，无单调递增区间；当，且，即时，在上恒成立.在上单调递减，无单调递增区间；当，且，即时，在上，，在上，，在上单调递减，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，上单调递增.（Ⅱ）是的极值点，由可知设在处的切线方程为在处的切线方程为若这两条切线互相平行，则，令，则，同理，【解法一】设，，在区间上单调递减，即的取值范围是【解法二】令，其中函数在区间上单调递增，.的取值范围是【解法三】设，则，，函数在区间上单调递增，的取值范围是.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于，两点，求的值.解：（Ⅰ）即（为参数），设即，即所以（Ⅱ）设对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标系方程中得：即，此时为方程的两个根，所以所以选修4-5：不等式选讲23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．解：（Ⅰ）①当时，②当时，③当时，综上：的解集为（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知即又且则，设同理：，，即当且仅当时取得最大值法二：由（Ⅰ）可知即又且当且仅当时取得最大值法三：由（Ⅰ）可知即由柯西不等式可知：即：当且仅当即时，取得最大值。

【数学】东北三省四市2019届高三第一次模拟试题(理)(解析版)

2019年东北三省四市高考数学一模试卷(理科)

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(学生版)

【精品】2019年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)【解析版】

东北三三校2019高三3月第一次联考-数学理(解析版)

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

最新2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

辽宁省2019届高三一模拟考试数学(理)试卷及答案

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

2019届东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题及答案

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学(理)试题

东北三省三校2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

2019届东北三省四市教研联合体高三第一次模拟考试理科数学试题Word版含答案

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案(可编辑修改word版)

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案

东北三省四市2019届高三第一次模拟数学(理)试题(解析版)

东北三校2019届高三第一次模拟考试 数学(理)

东北三省三校(哈尔滨师大附中东北师大附中 辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学(理)试题解析版

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学(理)试题

东北三校2019届高三第一次模拟考试数学(理)

东北三省三校(哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学(理)试题解析版