专题训练(三) 全等三角形的基本模型

专题训练(三)全等三角形的基本模型

►模型一平移模型

常见的平移模型：

图3－ZT－1

1．如图3－ZT－2，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB.求证：∠A＝∠E.

图3－ZT－2

2．如图3－ZT－3，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.

图3－ZT－3

►模型二轴对称模型

常见的轴对称模型：

图3－ZT－4

3．如图3－ZT－5，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．

图3－ZT－5

4．如图3－ZT－6，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.

图3－ZT－6

5．如图3－ZT－7，A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF.

图3－ZT－7

6．如图3－ZT－8，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC.

图3－ZT－8

►模型三旋转模型

常见的旋转模型：

图3－ZT－9

7．如图3－ZT－10，已知AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.

图3－ZT－10

►模型四一线三等角模型

图3－ZT－11

8．如图3－ZT－12，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.

(1)求证：BC＝DE；

(2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数．

图3－ZT－12

►模型五综合模型

平移＋对称模型：平移＋旋转模型：

图3－ZT－13

图3－ZT－14

9．如图3－ZT－15，点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC＝DF.

3－ZT－15

10．如图3－ZT－16，AB＝BC，BD＝CE，AB⊥BC，CE⊥BC.求证：AD⊥BE.

图3－ZT－16

详解详析

1．证明：∵BC∥DE，

∴∠ABC＝∠D.

在△ABC和△EDB中，

∵AB＝DE，∠ABC＝∠D，BC＝DB，

∴△ABC≌△EDB(S.A.S.)，

∴∠A＝∠E.

2．证明：∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD.

∵CE∥DF，∴∠D＝∠ACE.

∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，

即AC＝BD.

在△ACE和△BDF中，

∵∠A＝∠FBD，AC＝BD，∠D＝∠ACE，∴△ACE≌△ABDF(A.S.A.)，

∴AE＝BF.

3．解：答案不唯一，如添加∠BAC＝∠DAC.理由：在△ABC和△ADC，

∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(A.A.S.)．

4．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°.

在△ADB和△AEC中，

∵∠ADB＝∠AEC，AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ADB≌△AEC(A.S.A.)，

∴AB＝AC.

又AD＝AE，

∴AB－AE＝AC－AD，

即BE＝CD.

5．证明：∵AC＝BD，

∴AC＋CD＝BD＋CD，

即AD＝BC.

在△AED和△BFC中，

∵∠A＝∠B，

AD＝BC，

∠ADE＝∠BCF，

∴△AED≌△BFC(A.S.A.)，

∴DE＝CF.

6．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠BEA＝∠CDA＝90°.

又∵∠A＝∠A，BE＝CD，

∴△ABE≌△ACD，

∴AB＝AC.

7．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°.

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE.

在△ABD和△ACE中，

∵∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.

8．解：(1)证明：∵AC∥DE，

∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D.

∴∠D＝∠B.

在△ABC和△CDE中，

∵∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，AC＝CE，

∴△ABC≌△CDE(A.A.S.)，

∴BC＝DE.

(2)∵△ABC≌△CDE，

∴∠A＝∠DCE＝40°，

∴∠BCD＝180°－40°＝140°.

9．证明：∵FB＝CE，

∴FB＋FC＝CE＋FC，∴BC＝EF.

∵AB∥ED，AC∥FD，

∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE.

在△ABC和△DEF中，

∵∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，

∴△ABC≌△DEF(A.S.A.)，

∴AC＝DF.

10．证明：设AD，BE交于点F.

∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴∠ABD＝∠C＝90°.在△ABD和△BCE中，

∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE，

∴∠A＝∠CBE.

∵∠CBE＋∠ABE＝90°，

∴∠A＋∠ABE＝90°，

∴AD⊥BE.