球的组合体专题训练

球组合体问题专项练习

一、正方体、正四面体外接球与内切球问题

1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球

(1)外接球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体中心;半径r=2a

(a 为正方体的棱长).

(3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长).

外接球 内切球 与各条棱都相切的球

2. 正四面体的外接球与内切球

方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h 为正四面体的高AE). 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h.

(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长).

(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长).

→

方法（1） 方法（2）

二、可补成长方体的几何体的外接球问题（所有顶点为所补长方体的顶点） 其本公式：2222

121c b a l R ++== 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .

2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的

直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为

，则该“阳马”的体积为________.

正视图 侧视图

3．将边长为2的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是________.

4．在三棱锥 中，三侧面两两互相垂直，侧面 的面积分别为

，则此三棱锥的外接球的表面积为________.

5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点， 平面ABC ， ， ， ，则球O 的体积等于________.

6.已知四面体ABCD 中，AB=CD=2，BC=AD=3，BD=AC=7，则该四面体外接球的表面积为________.

二、有一条侧棱垂直于底面的锥体或柱体（直棱柱）的外接球问题

其本公式：222⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=h r R ，h 为垂直于底面的侧棱长，r 为底面所在截面半径（若底面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2a r A a r A A a r ===== 特别地.

1.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为________.

2.已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为________.

3．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为________.

4.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ， Q 是BC 边上的一个动点，且直线

PQ 与面ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为________.

5.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为________.

三、已知两个面所成的二面角大小的四面体外接球问题 其本公式：22222121d r d r R +=+=，d 为球心到截面距离，r 为该截面半径.

基本图形：有两个直角的四边形21MO OO （或两个相似直角三角形），21MO O ∠为二面角的平

面角,多数题目所给条件中易求出O 1M ，O 2M ，r 1，r 2的值，此时，将四边形补成直角三角形，只需求出d 1或d 2的值，代入公式即可求R.

1. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，

为等边三角形且其面积为，则三棱锥

体积的最大值为________.

2.已知空间四边形ABCD ，∠BAC ＝ ，AB ＝AC ＝2 ，BD ＝CD ＝6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为________.

3.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK=2

3，且圆O 与圆K 所在的平面所成的角为60°，则球O 的表面积等于 .

4.在四面体 BCD 中，AC=6，∠ADC=45°，∠ABC=60°，二面角B-AC-D 为60°，则该四面体外接球的表面积是________.

5.已知等边△ABC 的边长为4，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，将△ABC 沿DE 折成x 度的二面角，根据以下条件，求四棱锥A-BCED 外接球的表面积.

（1） 90=x ； （2） 120=x ； （3）

60=x ；

6．在四面体 中， ，若四面体 的外接球的体积 ，则 ____________．

参考答案：

一、1.29π；2.316；3.π5；4.π14；5.34π；6.π10. 二、1.213；2.π192；3.π34；4.π57；5.62. 三、1.318；2.π60；3.π16；4.()π316100-；5.（1）352π，（2）9244π，（3）9148π；6.22.