球的组合体专题训练
微专题3---球的组合体问题加强训练-学生用卷
外接球的体积为______
，则四面体 ABCD
. 在三棱锥
❰រ 中，
的距离为 2，则三棱锥
， ❰រ 的外接球的表面积为
，❰ រ ．
，点 P 到底面 ABC
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微专题 3---球的组合体问题加强训练
一、选择题
1. 如图，棱长为 2 的正方体 ❰រ䲀 1❰1រ1䲀1中，点 E、F 分别为 AB、 1❰1
的中点，则三棱锥
រ䲀 的外接球体积为
A. 1
B.
C. 1 1
D. 1 1
2. 已知直三棱柱 ❰រ 1❰1រ1的底面是边长分别为 6，8，10 的三角形，若该 三棱柱有内切球，则其外接球的表面积为
A. 1香
B. 1香
C. 112
D. 11
. 在三棱锥
❰រ 中，
的表面积为
❰រ ， ❰ រ ， រ ❰ 11，则三棱锥
A. 1
B. 22
C. 2 ．
D. 2 ．
. 如图，在等腰梯形 ❰រ 䲀 中，AB 2DC 2， 䲀 ❰ 香 ，E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于
点 P，则三棱锥 − DCE 的外接球的体积为
❰រ 的外接球
A.
B.
C.
2
2
D. 2
. 已知 ❰រ 是边长为 4 的正三角形，点 D 是 AC 的中点，沿 BD 将 ABCD 折起使得二面角
为 ，则三棱锥 C 一 ABD 外接球的表面积为
❰䲀 រ
A. 2
B. 2
C. 2
D.
二、填空题. 在四面体 ACD 中，
球的组合体(难)
球的组合体（难）1.（2011·辽宁卷·文科）已知球的直径4SC =，A ,B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC ∠=o ，则棱锥S ABC -的体积为ABCD2.（2011·辽宁卷·理科）已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠30=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．．32 C ．3 D ．13.如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 早平面ABC 内的射影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则P ABC -外接球的表面积为A ．9πB ．8πC ．12πD ．14π （提示：构造直三棱柱）4.（2011·全国课标卷·理科）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 .5.如图所示，已知四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，2SA =，3BC =，BCD DAB ∠+∠π=，二面角S BC A --的大小为3π，若四面体S ACD -的四个顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 CA． B ．4π C ．8π D ．16πA PB C D AB CD S6.在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90BAC ∠=o ，2AB AC ==，PC =，则该三棱锥外接球的表面积为 . 283π.7.（2012·全国课标卷·理科）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 AA.63D.28.（2002·全国课标卷·理科）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.π3B.π4C.π33D.π69.在三棱锥P ABC -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，且直线PA与平面PBC 所成角的正切值为12，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A A.43π B.23π C.3π D. 4π 10.如图所示，在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥ AM，SA =，则正三棱锥的外接球的表面积为 CA.12πB.32πC.36πD.48πA BC P ABCS M N。
球的组合体专题训练
球的组合体1.球的表面积与体积： 24S R π=, 343V R π=. 2.正方体、长方体与球：(1)设正方体的棱长为a ，则内切球半径为2aR =，外接球半径2R a =，与棱相切的球半径2R a =.(2)长方体的外接球直径2R =3.直棱柱与球的组合问题直棱柱的外接球，其球心一定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.4.正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，则该正四面体的：(1)全面积2S ；(2)体积312V a =；(3)对棱中点连线段的长2d =；(4)内切球半径12r a =；(5)外接球半径4R a =；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 可以用分割的方法求出内切球半径，也可以也可以运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.在Rt BEO ∆中，222B O B E E O =+，即222)R r =+，得R =，得3R r =.5.一般棱锥与球:利用222R d r=+求解. 三、高考真题演练1.【2012新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为A ABC D2.【2013新理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A333350086613722048.. . .3333A cmB cmC cmD cm ππππ3.【2015新理科一理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =B .1 .2 .4 .8A B C D4.【2015新课标2理9】已知,A B 是球O 的球面上两点，o90AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为.36 .64 .144 .256A B C D ππππ C5.【2016全国三理10】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是B 932.4 ..6 .23A B C D ππππ 6.【2016理科6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是A .17 .18 .20 .28A B C D ππππ四、经典例题解析【例1】【2006全国一】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为C .16 .20 .24 .32A B C D ππππ【变式练习】1.【2010新课标理】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为B 2222711.. ..533A aB aC aD a ππππ 2.【2008新课标理】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为_________.34π=V 3.【2009全国一理15题】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，o 120BAC ∠=，则此球的表面积等于 .π20=S .4.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比.解：如图，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=，正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中，得222222125()()()33612R R a a a =+=+=，16R a =. 1:5::222121==∴R R S S ，1:55:21=V V .汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）【例2】一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________. 14π.【变式练习】1.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .27π2.球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB =PC a ==，则这个球的表面积为__________.2243S R a ππ==球. 【例3】若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________.π9【变式练习】1.在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π362.在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱2SC =，则此正三棱锥的外接球的表面积为____. 12π3.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为___________.3)2(2222=++=c b a R ，23=R ,πππ2383334343=⋅==R V.墙角模型（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2图3【例4】一个四面体所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_______.3π【变式练习】1.已知三棱锥S ABC -中，SA BC SB AC SC AB ====C.64 .16 .14 .4A B C D ππππ2.在三棱锥A BCD -中，AB ，其余棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.203π对棱相等模型（补形为长方体）【例5】已知三棱锥-P ABC 中，⊥PA 平面ABC ，∆ABC 是边长为3的等边三角形，2=PA ，则该三棱锥的外接球的体积为________.2416S R ππ==.【变式练习】1.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，1AC =，且o 120BAC ∠=，则该球的表面积为A 4050.. .12 .1533A B C D ππππ 垂面模型（一条直线垂直于一个平面）题设：如图，⊥PA 平面ABC .【例6】三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，PAC ∆和ABC ∆均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . R =【变式练习】【2017八市联考】已知三棱锥-A BCD 的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥-A BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________.可以看成两个等边三角形绕着公共边旋转，当体积最大时，两个面垂直. 53==R S π 切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2图9-3图9-4【例7】在菱形ABCD 中，o 60,A AB ==将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为C 4.. .3262A B C D π 【变式练习】如图，ABCD 为边长为2的正方形，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，将,AED EBF ∆∆，FCD ∆分别沿,,DE EF FD 折起，使三点,,A B C 重合于点'A ，若四面体'A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为B 222B C D 【折叠模型】题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠图11【例8】在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为C 125.12A π 125.9B π 125.6C π 125.3D π 【变式练习】1.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________．BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图13【例9】【2014全国】正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A 8127..16 .9 .44A B C D ππππ 【变式练习】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为________. ππ4942==R S 锥体的内切球问题图14图15【例10】正三棱锥S ABC -，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少?设正三棱锥S ABC -的高为h ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则222()(3)3R h R =-+，2222(3)13h =-=,2R =.由2211131333)332r ⨯=+⨯⨯得r =.【变式练习】正三棱锥的高为3，底面边长为正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为___________. 43R =,64256;981ππ。
与球相关的组合体问题特训-2019届高中数学必修2同步教材变式对接考点题组训练
2019届高中数学（必修二）同步“教材变式+对接考点”题组训练第一章 空间几何体题组训练六 与球相关的组合体问题特训【教材变式题组训练】 一、选择题1. （根据人教A 版必修二P27例4改编）一个半径为R 的球内切与一个圆柱，则球的体积与圆柱的体积之比以及球的表面积与圆柱的侧面积之比分别为（ ）A ．4∶9 ,2:1 B．9∶4,1:2 C．2∶3,1:1 D．27∶4,1:12. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为、、，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π3.（根据人教A 版必修二P28练习T2改编）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的外接球体积为（ ）A. B. C. D.4. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）有一个球与棱长为a 的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为( ) A .a 3B .a 3C .a 3D .a 35. （根据人教A 版必修二P27例4改编）已知一圆锥的母线长为，底面半径为，若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的表面积为（ ） A. B. C.D.二、填空题6. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.7. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）体积为43π的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为__________． 三、解答题8. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）已知正四面体的棱长为a ，求它外接球的体积及内切球的半径．【对接考点题组训练】 一、选择题1. 【2016-2017贵州遵义四中月考第9题，考点2】已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在同一个球面上，BCD ∆是边长为2的正三角形， AC 为球O 的直径，，则该球O 的表面积（ ） A. 64π B. 48π C. 32π D. 16π2. 【2016高考新课标3第10题，考点1】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π3. 【2018年河南省信阳高级中学全国统一考试模拟（二）第10题，考点2】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 【2017届河北唐山高三模拟第10题，考点1】把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都相切，则皮球的半径为 ( )【解题思路提示】“棱切球”问题，结合相似三角形的性质、勾股定理列方程求解。
球与多面体的组合体问题
问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。
组题：球的组合体
球的组合体习题一．选择题（共8小题）1．半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（）A ．RB．RC．R D．R2．（2011•徐水县一模）正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为（）A ．1 B．2 C．D．3．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为（）A ．3 B．6 C．36 D．94．半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A ．2πB．C．3πD．5．在底面半径为3，高为4+2的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为（）A ．4 B．5 C．6 D．76．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（）A ．4B．6C．12D．37．（2014•海口二模）设球O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为（）A ．B．3 C．D．8．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为（）A ．B．﹣1 C．D．﹣1二．填空题（共19小题）9．如图，把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，在这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径是_________．11．把半径为r的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为_________．12．（2014•浙江模拟）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为_________．13．已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为_________．14．（2012•许昌一模）已知四面体A﹣BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体A﹣BCD的外接球的半径为_________．15．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为_________．16．已知四棱锥P﹣ABCD底面是边长a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则等于_________．17．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为_________．18．（2014•安徽模拟）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其外接球的表面积是_________．19．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为_________．20．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．21．四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的内切球半径为_________．22．正三棱柱内有一内切球，半径为R，则这个正三棱柱的体积是：_________．23．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱柱D﹣ABC的表面积、体积、内切球半径、外接球半径．24．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q 及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为_________．25．已知球O是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，现以A为球心，为半径做球A，则两球面交线的长度为_________．26．（2007•武汉模拟）正四棱锥S﹣ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为_________．27．（2013•浙江模拟）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为_________．三．解答题（共3小题）28．一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积．29．已知四个半径为R的大球，上层一个，下层三个且两两相切叠放在一起，若在他们围成的空隙中，有一个小球与这四个大球都外切，另有一个更大的球与这四个球都内切，求小球的半径r1和更大球的半径r2．30．已知一个四面体的一条边长为，其余边长均为2，求此四面体的外接球的半径．2014年11月23日46417278的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（）A ．RB．RC．R D．R考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的的高为=设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2∴x=r∴R=r+r，∴r=R．故选：B．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．2．（2011•徐水县一模）正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为（）A ．1 B．2 C．D．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：连接棱长是4的正方体的对角线，则在对角线上有8次相切，最后放入到小球的直径等于新形成的棱长为2的小正方体的对角线减去两个球的半径，相减得到结果．解答：解：∵在正方体内放八个半径为1的球，∴这8个球的球心组成一个新的正方体，连接棱长是4的正方体的对角线，则在对角线上有8个小球中的两个还有最后放入到小球三个球依次相切，∴最后放入到小球的直径等于新形成的棱长为2的小正方体的对角线减去两个球的半径∴小球的直径是∴小球的半径是故选D．点评：本题考查棱柱的结构特相切的球心之间的距离与半径之间的关系，本题是一个综合题目．3．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为（）A ．3 B．6 C．36 D．9考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：三棱锥扩展为四棱柱（长方体），两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．解答：解：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=6，的半径为：3．故选A．点评：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力．4．半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A ．2πB．C．3πD．考点：在实际问题中建立三角函数模型；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h用α表示R，h，求出圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出V最小．解答：解：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h 则：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=，V===，而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1﹣tan2α＞0 又因为：tan2α+（1﹣tan2α）=1=定值所以：当tan2α=1﹣tan2α，即tanα=时，V最小==．故选B．点评：本题考查球与圆锥的位置关系，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查空间想象能力计算能力．5．在底面半径为3，高为4+2的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为（）A ．4 B．5 C．6 D．7考点：球的体积和系与距离；球．分析：画出图形，求出小球的半径，小球球心所在圆的半径，然后判断放入小球的个数．解答：解：画出圆锥与大球以及小球相切的轴截面图形（如图左图），设小球的半径为r则依题意（r+3）2=（r﹣3）2+（4+2 ﹣3﹣r）2．解得r=1，则小球的球心在半径为2的圆上，并且小球的直径为2，小球球心所在截面（如图右图）两个小球的球心距离是2，边长为2的正六边形恰好在半径为2上．故能放6个．故选：C．点评：本题考查球与圆柱相切，几何体的截面图形、空间图形的判断，考查空间想象能力以及判断能力，难度比较大．6．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（）A ．4B．6C．12D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球的半径为1，求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．解答：解：由题意，正三棱柱的高是直径为2，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是1，所以正三角的体积为V=×2×3×2=6，故选：B．点评：本题是基础题，考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．7．（2014•海口二模）设球O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为（）A ．B．3 C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，建立方程，求出正方体的棱长，即可求出球O的半径．解答：解：如图，易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足，易知，∴，∴截面圆半径，所以截面圆面积S=πr2=6π，得，a=6，∴球O的半径为．答案C．点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想．8．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为（）A ．B．﹣1 C．D．﹣1考点：球的体积和表面积；棱锥专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积和体积．设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的半径．解答：解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB=2，∴S△ABC=3，DE=1，PE=．S全+3，∵PD=1，∴V=设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r==﹣1故选：D．点评：本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二．填空题（共19小题）9．如图，把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，在这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径是．考点：球的体积和表面积．个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，我们易将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2，接球半径为，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的球体重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．解答：解：由已知中四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，连接四个球半径为若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径为﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为1的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．10．如图，球O是棱长为2的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置一个小球O′，使球O′与正方体的三个面及球O均相切，则球O′的半径为．考点：球的体积和表面积．专题：球．可求球的半径．解答：解：∵正方体的棱长为2，∴正方体的内切球的半径R=1，正方体的体对角线为，设小球球O′的半径为r，作出对应的轴截面图如图：则OE∥C'C，且O'A=，O'O=r+1∴O'A+O'O=OA=，即，（）r=，r=．故答案为：．点评：本题主要考查空间正方体与球的内切问题，根据条件建立球半径之间的11．把半径为r的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为（1+）r．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，此时四个小球的球心为边长为2r的正四面体的四个顶点，大球半径的最小值为正四面体外接球半径加小球半径．解答：解：当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，如图所示：四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体，该正四面体的边长为2r，则正四面体的高为r，则正四面体的外接球半径为r，∴大球半径最小为：（1+）r，（1+）r点评：本题考查的知识点是球的体积与表面积，其中分析出当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，是解答的关键．12．（2014•浙江模拟）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为1．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的图形，判断三棱锥的形状，求出外接球的半径即可．解答：解：由题意考查几何体的图形如图，该几何体是一个底面为直角三角形，棱锥，三棱锥的数据如图，此几何体的外接球半径为1．故答案为：1．点评：本题考查球的半径的求法，考查空间想象能力以及计算能力．13．已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的表面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度即为长方体的外接球的直径，从而解决问题．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，减去②可得a2+b2+c2=50，∴这个长方体的一条对角线长为：5，由于对角线的长度即为长方体的外接球的直径，则该长方体的外接球的半径为．故答案为：．点评：本题考查长方体的结构特征，面积和棱长的关系，考查长方体的外接球的半径的求法，是基础题．14．（2012•许昌一模）已知四面体A﹣BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体A﹣BCD的外接球的半径为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中四面体A﹣BCD中，三组对棱棱长分别相等，且其长分别为2，，，故可将其补充为一个长方体，根据外接球的直径等径．解答：解：∵四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为2，，，的长方体，则其外接球的直径2R==2，则R=故答案为：点评：本题考查的知识点是球的体积，其中利用割补法，补充四面体成正方体，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．15．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为．考点：球内接多面体．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．解答：解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴．在△DMN中，得，故．∴四边形DMON的外接圆的直径．故球O的半径．故答案为：点评：本题考查四面体ABCD的外接球，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球球心位置是关键．16．已知四棱锥P﹣ABCD底面是边长a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，求出外接球的半径即可求圆的半径是，即AO=．则PO===，如图设四棱锥的外接球的球心为E，半径为R，则R2=（）2+（）2，解得R=，∴==．故答案为：．点评：本题考查几何体的外接球的体积的力．17．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为100π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：由于正六棱柱的外接球直径是正六棱柱体对角线的长，求出体对角线的长即得它的外接球的直径，从而求得表面积．解答：解：如图，；正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线FH的长，∵侧棱垂直于底面，∴FG⊥GH；在△FGH中，由勾股定理得：FH2=FG2+GH2=62+（2×4）2=100，∴（2R）2=100，即4πR2=100π；点评：本题考查了多面体的外接球的表面积计算公式，解题的关键是求出球的直径，属于基础题．18．（2014•安徽模拟）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其外接球的表面积是32π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为正三棱柱，根据几何体的特征得外接球的球心为三棱锥上、下底面中心连线的中点，求出底面三角形外接圆的半径，利用勾股定理求得球的半径，代入公式计算．解答：解：由三视图知几何体为根据底面等边三角形边长为2，∴底面三角形的中心到顶点的距离为=2，∴球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×8=32π．故答案是32π．点评：本题考查了由三视图求接体的表面积，解题的关键是根据几何体的特征求得外接球的半径．19．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入到棱柱的外接球的表面积．解答：解：由正三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=，又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=，∴外接球的表面积S=4πR2=．故答案为：．点评：本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．20．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解解答：解：取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF由题意知AE⊥CD，BE⊥CD又∵AE∩BE=E∴CD⊥面ABE又AB=CD=6，其余的棱长均为5∴AD=5，DE=3∴AE=4，同理BE=4∴等腰△ABE底边AB上的高为EF=∴△ABE的面积S=∴三棱锥ABCD的体积V==又设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R∴三棱锥ABCD的体积V==∴故答案为：点评：本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题21．四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的内切球半径为．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四棱锥底面是一个边长是4的正方形，高为2，则斜高为．根据体积法，得到该几何体的内切球半径．解答：解：由题意，四棱锥底面是一个边长是4的正方形，高为2，则斜高为．设该几何体的内切球半径为r，则（16+4××）×r=∴r=．故答案为：．点评：本题考查多面体的内切球的运算，这是一个综合注意体积法的应用．22．正三棱柱内有一内切球，半径为R，则这个正三棱柱的体积是：6R2．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．解答：解：由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，所以正三角形的边长是2R，高是3R正三棱柱的体积V=2R•3R•2R=6R2．故答案为：6R2点评：本题是基础题，考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．23．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）注意折叠前后的量的关系，用面面垂直的判定可得：（Ⅱ）由题意可得三棱锥的棱长，可求得表面积和体积，由等体积的方法可求内切球的半径，把三棱柱D﹣ABC的外接球转化为正方体的外接球可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD，∴平面ADB⊥平面BDC（Ⅱ）由题意=1，AB=BC=AC=故三棱柱D﹣ABC的表面积S=+=三棱柱D﹣ABC的体积V==设内切球的半径为r，外接球的半径为R，由等体积的方法可得V=4×S×r，解得r=三棱柱D﹣ABC的外接球的直径为以BA，DB，DC为棱的正方体的体对角线，故2R=，解得R=点评：本题为折叠问题，注意前后的量的关系是解决问题的关键，转中档题．24．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q 及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为6﹣．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；作图题．分析：由展开图还原回原图形，得到原几何体是有一条侧棱垂直于底面，其余两侧面是直角三角形的四棱锥，且四棱锥底面是边长为6的正方形，利用等积法可求四棱锥的内切球的半径．解答：解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6又在折叠前∠RCB的大小不变，所以四棱锥中∠PAB与∠PCB仍为直角．在直角三角形PDA和直角三角形PDC中，由PD=DA=DC= 6，得PA=PC=，所以，，S ABCD=6×6=3 6．利用等积法，设四棱锥内切球的半径为r，则．即．解得：r=6﹣．故答案为．点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了利用等积法求几何体内切球的半径，解答此题的关键是把展开图还原回原几何体，需要注意的是平面图形折叠前后的变量与不变量，是基础题．25．已知球O是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，现以A为球心，为半径做球A，则两球面交线的长度为π．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两球面交线，与正方体的交点为两个面的中心，球O的交线所对的圆心角为90°，球A的交线所对的圆心角为60°，即可得出结论．解答：解：由题意，两球面交线，与正方体的交点为两个面的中心，球A的交线所对的圆心角为60°．∵球O的球心为正方体的中心，心角为90°，∴两球面交线的长度为+=π．故答案为：π．点评：本题考查球面距离及相关计算，确定球心角是关键．26．（2007•武汉模拟）正四棱锥S﹣ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为R3．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：先设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．。
人教A版高中必修二试题多面体与球组合体问题专题训练.docx
多面体与球组合体问题专题训练1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .2.高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（A ）24 （B ）22(C ) 1 (D) 2 3.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=2r ，则球的体积与三棱锥体积的比值是 . 4π4. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
20π5.正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 43V π=球 6. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259π C .1256π D.1253π 7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 43V π∴=球 8.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a,侧棱长为2a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.9．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB =BC =CD =DA =3，AC = BD =23，则该球的表面积为 15π 。
10.四面体ABCD 中，AB=CD=5，AD=BC=34,AC=BD=41，则四面体ABCD 的外接球体积C DA B S O 1图3A O D 图4为 。
11．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π1812.已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 。
专题：球的组合体
球的组合体1．平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）AB ．3π CD ．2π 2．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,456AB BC CA ===，，，若ABC ∆的外接圆恰好是三棱锥P ABC -外接球O 的一个大圆，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．403,则该球的表面积等于（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π4．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ）A.B.6C.3D.50π 5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π6．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π7．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） A ．BD8．已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的外接球的半径是( )．A ．23 B ．3 C ．2 D ．32 9．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，D A ⊥平面C AB ，D C 5A =A =，3AB =，C 4B =，则该球的表面积为（ ） A ．252π B．50π D ．503π 10．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ） A．．．．11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）ABπ C ．2π D12．已知090=∠ABC ，⊥PA 平面ABC ，若1===BC AB PA ，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ） A ．π BC ．2πD ．3π13．半径为１的球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A．6 B．3 C14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 36πB. 94πC. 9πD. 92π 15．的外接球的表面积是（ ）（A（B ）6π （C） （D ）8π16．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为（ ） A ．4π B ．16π C ．48π D ．64π 17．边长是2的正方体的外接球的表面积为（ ） A 、π12 B 、π34 C 、π6 D 、π418．已知球O 的直径4=PQ ,C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ,则三棱锥ABC P -的体积为 （ ） A ．433 B ．439 C ．233 D ．432719．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．16289πB ．8πC ．π16169 D ．2516π 20．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ） A.1:3 B. 3:1 C.1:33 D. 9:121．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．32πB ．24πC ．20πD ．16π22．已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8，则这个球的表面积是（ ）A.π8B.π12C.π16D.π2023．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且3=AB ， 4=AC ，11=AD ，则球的表面积为A.π36B.π64C.π100D.π14424．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且5AB =， 4=AC，AD =( )A.π36B.π64C. π100D. π14425．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π参考答案1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．A 12．D 13．A 14．C 15．B 16．B 17．A 18．B 19．A 20．C 21．B 22．B 23．A 24．B 25．B。
立体几何中的组合体问题专题(有答案)
立体几何中的组合体问题专题(有答案)例1.正方体与球问题:正方体的棱长为1.求球的半径:⑴若正方体的八个顶点都在球面上,⑵若球内切于正方体;⑶12条棱组成一个正方体,一充气球在正方体内,求球的最大半径.例2.正四面体与球问题:正四面体的棱长为1.求球的半径:⑴若正四面体的四个顶点都在球面上,⑵若球内切于正四面体;⑶6条棱组成一个正四面体,一充气球在正四面体内,求球的最大半径.例3.四球问题:四个球的半径都为1.⑴桌面放两两相切的3个球,这3个球上面放一个球,求这个球的最高点离桌面的距离;⑵求与上述4个球都相切的小球的半径.例4.圆锥、圆柱与球⑴底面半径为1cm高为10cm的圆柱内,可以放几个半径为0.5cm的小球?⑵圆锥底面半径为3,高为4,一个球内切于圆锥,求球的半径;⑶圆锥底面半径为3,高为4,两个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑷圆锥底面半径为3,高为4,三个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑸圆锥底面半径为3,内接于一个半径为4的球,求圆锥的高.例5.圆锥与正四棱柱⑴圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为3,且内接于圆锥,求正四棱柱的底面边长;⑵圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为x,且内接于圆锥,求正四棱柱的体积.练习一、补（补成长方体或正方体）1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A 、3πB 、4πC 、33πD 、6π2. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12 B ．π32 C ．π36 D ．π483. 点P 在直径为6的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 A ．6B ．435C ．2215D ．210554. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π 5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ）A ．π38B ．2πC ．4πD ．π346. 已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为 A ．3 B ．6 C ．36 D ．97. 已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为A ．32B ．36C ．48D ．648. 长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::2:1:3AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为A .263 B . 63C .23D .3 9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱锥P ABCD 的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为A .12B .24C .36D .4810. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD 中，AB =AD =6,AC =4,CD =213，AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为A . π36B . π88C . π92D . π12811. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，一个球与正方体的棱长都相切，则这个球的半径是____________.12. 三棱锥A -BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ΔABC ，ΔACD , ΔADB 的面积分别为,222，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为. ______13. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
球的组合体问题1(球的组合体问题最全分类和解法研究)
球的组合体研究（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）王宪良[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。
2.掌握球的截面的性质；3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。
一、基础知识与概念： 1.有关定义（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）；性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；ca b初图2初图1NOO 1PEFOO 1D 1C 1B 1DCA 1O 2ABM结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。
球的组合体专题训练
立体几何专题:球的组合体一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的棱长为a ，则其外接球和内切球的半径是多少？例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。
二、球与棱柱的组合体问题1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
图3 图4 图 5 图23.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。
（答案为：224R ）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
高考冲刺作业(78)与球有关的组合体
高考冲刺作业（78）2020年3月22日（与球有关的组合体）在空间，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，其中定点是球心，定长是球面的半径；球面及其内部的部分称为球体，简称为球.球面上任意两点的连线称为球的弦，当弦过球心时，弦称为球的为直径.考法1球与球的组合1.（2006·陕西卷·文理科）水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .考法2球与正方体的组合1.正方体的外接球的半径为R，内切球的半径r，则Rr= .2.（2016·全国卷Ⅱ·文科）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（正方体的体对角线为球的直径）A.12πB.323π C.8π D.4π3.（2008则其外接球的表面积 .（补形为正方体）考法3球与长方体的组合1.（2017·全国卷Ⅱ·文科）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 . （长方体的体对角线为球的直径）2.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是A. B. C.50π D.200π3.若三棱锥P ABC-的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且3PA=，4PA=，5PC=，则其外接球的半径为 .（补形为长方体）考法4球与三棱锥的组合1.已知正四面体的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则Rr= . （利用体积割法或定义法）2.（2003·全国卷·理科）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（定义法或补形为正方体）A.π3B.π4C.π33D.π63.（2005·全国卷Ⅱ·理科）将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为A.3+B.23+43+D.34．（2005·江西卷·文理科）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC D -，则四面体ABCD 的外接球的体积为A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π31255.（2006·山东卷·理科）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==,60DAB ∠=o ，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿DE ，CE 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则P ECD -三棱锥的外接球的体积为 A.2734π B.26π C.86π D.246πABCDOMEABCDE6．（2007·宁夏卷·文科）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7.（2007·陕西卷·理科）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是8.（2008·浙江卷·文理科）如图，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ===，则球O 的体积等于 .9.（2018·全国卷Ⅲ·文理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球面上的四点，ABC ∆是等边三角形且其面积为D ABC -的最大值为 A．．．．考法5球与其他几何体的组合1.（2006·四川卷·文科）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是A.4πB.8πC.12πD.16πPABC D ABCD2.（2014·全国大纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π3.（2007·全国卷Ⅰ·文科）正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为 ．4.已知正八面体的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则Rr= .5.（2006·安徽卷·文理科）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A ．23π B ．13π C ．23π D ．22π6．（2006·辽宁卷·文科）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是 ．7.（2010·全国课标卷·理科）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.2a πB.273a π C.2113a π D.25a πABCD EF。
[立体几何] 球的组合体
![[立体几何] 球的组合体](https://img.taocdn.com/s3/m/cc54d54bf5335a8102d220ad.png)
球的组合体一、正方体+球例1、甲球内切于某正方体的各个面，乙球内切于该正方体的条棱,丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比是二、四面体+球例2、球的内接正四面体内有一内球，求这两球的表面积之比练习：过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD，且两两夹角都是60o,若球的半径为R，则∆BCD的面积是（）例题：1、已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱的体积是（）A、3π4B、π C、π2D、π42、（“墙角型”三棱锥外接球）：在球面上有四个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。
解法一、找截面图，找球心解法二、补正方体3、（“鳖臑型”三棱锥外接球）《九章算术》中，将底面是长方形且一条侧棱于底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。
两类三棱锥具有典型性，需重视。
（1）已知四面体P-ABC的四个顶点都在球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC ,且AC=1，PB=AB=2,则球O的表面积为解法一、构造长方体解法二：RT∆PBC和RT∆PAC有公共的斜边PC ，其中点到四个顶点距离相等。
（2）若三棱锥A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=BC=2，BD=4, 三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）提示：外接球的球心是AD的中点4、已知三棱锥S—ABC，所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SBC，SA=AC,SB=BC, 三棱锥S—ABC的体积等于9，则球O的表面积为5、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为。
微专题3---球的组合体问题-学生用卷
，
A.
ൌ ൌ，
，则三棱锥 - 外接球的表面积为
B. 10
C. 1ൌ
D. 1
. 已知三棱锥
的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，
是边长为 4 的等边三角形，
三锥
的体积为1 ，则此三棱锥的外接球的表面积为
A. 1
B.
C.
D.
二、填空题
ꮐ. 已知
是等腰直角三角形，斜边
ൌ，P 是平面 ABC 外的一点，且满足
微专题 3---球的组合体问题
一、选择题
1. 在四面体 PABC 中，
，
，
积是
ൌ
ൌ，则四面体 PABC 外接球的表面
A.
1ꮐ 1ൌ
B.
1 1ൌ
C. 1
D. 1ꮐ
ൌ. 如图所示，四棱锥
中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PDC 为等腰
直角三角形且垂直于底面 ABCD，若
ൌ，
1，则四棱
锥
的外接球的表面积为
，
1ൌ ，则三棱锥
外接球的表面积为______．
8. 已知平行四边形 ABCD 中，
ൌ， 1，
，沿 BD 将
，则空间四边形
的外接球表面积为__________．
折起到
位置，使
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A.
B. C. D. ൌ
.在
中，
，
，
折起使点 A 到达点 P 处，满足平面
，过 B 点作 AC 的垂线，垂足为 D，以 BD 为折痕将
平面 BDC，则三棱锥
的外接球的表面积为
A. ൌ
B. 1
C.
D.
1 ൌ
. 三棱锥
中， 平面 ABC，
专题1.3 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题——新高考数学专项练习题附解析
何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补
形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本
题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．
【举一反三】【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中 2019 届高三“333”高考备考诊断联考数
BC=8，AA1=4，则 V 的最大值是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．4π
9
B．
2
C．6π
32
D．
3
12. 【 2018 河 南 漯 河 中 学 三 模 】 已 知 三 棱 锥 S ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ，
AB 4, SA SB SC 4 ，则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
类型一 四面体的外接球问题 典例 1．【2019·山东师范大学附中高考模拟（文）】已知三棱锥 S ABC 中，SA 平面 ABC ，且 ACB ，
6 AC 2 AB 2 3, SA 1.则该三棱锥的外接球的体积为( )
A． 13 13 8
【答案】D 【解析】
B．13
C． 13 6
D． 13 13 6
C．若 AD=3,则 BD=4;
D.四面体 ABCD 体积的最大值为 4 5 . 3
2．(多选题)【2019·广东高三月考（理）】已知矩形 ABCD ， AB 1， BC 3 ，将 ADC 沿对角线 AC
进行翻折，得到三棱锥 D ABC ，则在翻折的过程中，有下列结论, 其中正确的是（ ） A.三棱锥 D ABC 的体积最大值为 1 ；
球组合体题型
球组合体问题 球与正方体正方体内切于球 正方体棱切球 正方体外接球a R 21= a R 22= a R 23=长方体与球1、 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．π142、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦,,QA QB QC ，则222Q A Q B Q C ++=A A .4 B. 2 C .1 D.不能确定3、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为224+正四面体与球1、设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．27:1:;9:1:;3:1:212121===V V S S r r2、过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．362 3、一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_____π3 棱柱与球1、 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于π202、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．34π3、已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧楞与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是_______318棱锥与球 1、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ C ）A ．433B ．33C ． 43D ．1232、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ A ）ABCD3、已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ D ）Ａ．π Ｂ．2πＣ．3π Ｄ．4π4、已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于______29π 5、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱 锥的侧面积是________．766、正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCDV -=，则球O 的表面积是（ ）π16 7、已知点D C B A P ,,,,是球O 的球面上的点，ABCD PA 平面⊥，四边形ABCD 是边长为32的正方形，若62=PA ，则球心O 到底面ABCD 的距离为__________6旋转体与球1、已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 1:3F。
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球组合体问题专项练习
一、正方体、正四面体外接球与内切球问题
1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体中心;半径r=2a
(a 为正方体的棱长).
(3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长).
外接球 内切球 与各条棱都相切的球
2. 正四面体的外接球与内切球
方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h 为正四面体的高AE). 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h.
(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长).
(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长).
→
方法（1） 方法（2）
二、可补成长方体的几何体的外接球问题（所有顶点为所补长方体的顶点） 其本公式：2222
121c b a l R ++== 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的
直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为
，则该“阳马”的体积为________.
正视图 侧视图
3．将边长为2的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是________.
4．在三棱锥 中，三侧面两两互相垂直，侧面 的面积分别为
，则此三棱锥的外接球的表面积为________.
5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点， 平面ABC ， ， ， ，则球O 的体积等于________.
6.已知四面体ABCD 中，AB=CD=2，BC=AD=3，BD=AC=7，则该四面体外接球的表面积为________.
二、有一条侧棱垂直于底面的锥体或柱体（直棱柱）的外接球问题
其本公式：222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=h r R ，h 为垂直于底面的侧棱长，r 为底面所在截面半径（若底面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2a r A a r A A a r ===== 特别地.
1.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为________.
2.已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为________.
3．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为________.
4.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ， Q 是BC 边上的一个动点，且直线
PQ 与面ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为________.
5.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为________.
三、已知两个面所成的二面角大小的四面体外接球问题 其本公式：22222121d r d r R +=+=，d 为球心到截面距离，r 为该截面半径.
基本图形：有两个直角的四边形21MO OO （或两个相似直角三角形），21MO O ∠为二面角的平
面角,多数题目所给条件中易求出O 1M ，O 2M ，r 1，r 2的值，此时，将四边形补成直角三角形，只需求出d 1或d 2的值，代入公式即可求R.
1. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，
为等边三角形且其面积为，则三棱锥
体积的最大值为________.
2.已知空间四边形ABCD ，∠BAC ＝ ，AB ＝AC ＝2 ，BD ＝CD ＝6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为________.
3.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK=2
3，且圆O 与圆K 所在的平面所成的角为60°，则球O 的表面积等于 .
4.在四面体 BCD 中，AC=6，∠ADC=45°，∠ABC=60°，二面角B-AC-D 为60°，则该四面体外接球的表面积是________.
5.已知等边△ABC 的边长为4，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，将△ABC 沿DE 折成x 度的二面角，根据以下条件，求四棱锥A-BCED 外接球的表面积.
（1） 90=x ； （2） 120=x ； （3）
60=x ；
6．在四面体 中， ，若四面体 的外接球的体积 ，则 ____________．
参考答案：
一、1.29π；2.316；3.π5；4.π14；5.34π；6.π10. 二、1.213；2.π192；3.π34；4.π57；5.62. 三、1.318；2.π60；3.π16；4.()π316100-；5.（1）352π，（2）9244π，（3）9148π；6.22.。