力学中的守恒定律

这时的势能 EpC 0 ，因此，物体在C点的机械能为
即物体从A点自由下落到C点时，重力势能完全转化为动能，机械能的总量 保持不变。 用更严格的方法可以证明： 一个物体如果只受重力和系统内弹力的作用，发生动能和势能的相互转化 时，机械能的总量保持不变。这就是机械能守恒定律。
后面我们将重点研 究重力势能，如果不加 说明，谈到势能时指的 就是重力势能。
图3-4 打桩机
图3-5 拉弓射箭
将一个物体举高，要克服重力做功，同时物体的重 力势能增加；物体从高处下落，重力做功，同时重力势 能减少。可见，重力势能与重力做功有密切联系。 如图3-6所示，质量为m的物体从高度为h1的A点下 落到高度为h2的B点，重力所做的功为 即
图3-8 动能与重力势能的转换
小球从A点向低处摆动时，随着高度的降低，它的重力势能越来越小，但 运动速度却越来越大，表明动能在不断增加；到达平衡位置O点时，小球的重 力势能为零，但运动速度达到最大，动能达到最大。在这个过程中，重力做功， 重力势能转化成了动能。 这以后，由于惯性，小球继续向另一侧摆动，速度越来越小，动能逐渐减 小，但高度不断升高，重力势能越来越大；当速度减小到零，动能为零时，小 球到达最高点C，重力势能变为最大。这个过程是物体克服重力做功，动能转 化成了重力势能。
1 F s mv12 2
解出 的大小并将数值代入，得
mv12 102 2002 F N 5 103 N 2 2s 2 4 10
3 木板对子弹的平均阻力是 5 10 N 。
图3-2 子弹射入木板
1、做功的两个不可缺少的因素是 和 。 2、跳水运动员的质量为m，从高为H的跳台上以大小为v1的速度起跳，落 水时的速度为v2。那么，他在起跳时所做的功为 ，在跳水过程 中克服空气阻力所做的功为 。 3、质量为20 g的一颗子弹，出枪口时的速度为700 m/s，则子弹在枪膛内运 动过程中，合外力对它做的功等于 。 4、一个物体以速度v开始沿水平地面滑行距离s后停止，当物体滑行到s的 中点时其速度为 ，动能为开始时的 倍。 5、在下列几种情况中，汽车的动能怎样变化？ ① 质量不变，速度增大到原来的2倍； ② 速度不变，质量增大到原来的2倍， ③ 质量减半，速度增大到原来的2倍； ④ 速度减半，质量增大到原来的2倍。 在以上四种情况中，哪种情况下变化后的动能最大？哪种情况下变化后的 动能最小？
打桩机的重锤落下时，能把木桩或钢铁构件打进地基里；闹钟里卷紧的弹簧 放松时能使指针克服阻力走动。因此，举高的重锤、形变后的弹簧能够做功，所 以说，它们具有能。与物体（或物体各部分）间的相对位置有关的能，叫做势能。 举高的重锤所具有的势能叫做重力势能，如图3-4所示；物体发生弹性形变后具有 的势能叫做弹性势能，如图3-5所示。势能的单位也是焦耳。
6、下面关于力对物体做功的说法中正确的是（ ） A．力作用到物体上，一定对物体做功 B．只要物体通过一段位移，就一定有力对物体做了功 C．只要物体受到力的作用，而且还通过了一段位移，则此力一定对 物体做了功 D．物体受到力的作用，而且有位移发生，则力可能对物体做功，也 可能对物体不做功 7、一辆汽车以6 m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行3.6 m， 如果改以8 m/s的速度行驶时，同样情况下急刹车后滑行的距离为（ ） A．6.4 m B．5.6 m C．7.2 m D．10.8 m 8、质量为m的物体静止在粗糙水平面上，若物体受到水平力F作用通过 位移为s时，它的动能为E1；若静止物体受水平力2F作用通过相同位移时，则 它的动能E2（ ） A．E2 E1 B．E2 2E1 C．E2 2E1 D． E1 E2 2E1
3 例1 一列货车的质量 m 2 10 t ，受到的拉力 F 2 105 N 。货车在开始运动 后经过多大的位移s，能达到速度 v 10 m/s ?
W Ek 2 Ek1
解 本题有多种解法，可以根据牛顿第二定律先求出加速度a，再根据 2 运动学公式 v 2as 求出s。但是根据动能定理直接求s是最简捷的解法。
物体的动能等于物体质量与物体速度二次方乘积的一半。 动能是标量，它的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳。
如果我们用 Ek1 表示物体的初动能
1 2
1 2 mv1 ，用 Ek2 表示它在经历一个过程后的 2
2 末动能 mv2 ，前面的（1）式就可以写成
（3） 这表明，力对物体做的功等于物体动能的变化，这个结论称为动能定理。这 里所说的力是物体所受的合力，它可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其 他的力。
E Ek Ep mgh
图3-10 动能与势能的转换
vC 2gh
在忽略空气阻力对运动的影响时，物体在重力作用下从A点自由下落到地面 上的C点，根据自由落体的运动规律知道，速度大小为 所以这时的动能
vC 2gh
1 2 EkC mvC mgh 2
EC EkC EpC mgh
2 货车的初动能Ek1 0 ，拉力F对它做功后，末动能 Ek 2 mv ，根据动 2 能定理，有
1
由此解出
1 Fs mv2 2
mv2 2 106 102 s m 500 m 5 2F 2 2 10
经过500 m的位移后速度可达10 m/s。
例2 质量为10 g的子弹，以200 m/s的速度射入一块固定的木板，穿入4 cm深 处后停止，如图3-2所示，求木板对子弹的平均阻力。 解 设木板对子弹的平均阻力为 F 。根据动 能定理可知，子弹克服阻力做的功等于子弹减少 的动能，即
2H g H B． g H C． 2 g 2H D． 3 g
5、质量为103 kg的气球上升到 的高空，它的重力势能增加了多少？ （取 g 9.8 m/s2 ） 6、一个50 kg的同学从山脚走到山顶，重力势能增加9 800 J，请问，这座山 有多高？（取 g 9.8 m/s2 ） 7、举重运动员把一个质量是100 kg的杠铃举高了2 m，他克服杠铃所受的 重力做了多少功？杠铃增加了多少重力势能？ 8、质量为1 t的重锤从20 m高处落到12 m高的桩面上。在这个过程中，重力 做了多少功？重锤的重力势能发生了多大变化？ 9、一个质量是20 g的小球，从高5 m的地方自由落到地面上。落地时的速 度是多大？动能是多少？在这个过程中是什么力做了功？做了多少功？（忽略 空气阻力对运动的影响） 10、质量是100 g的球从1.8 m的高处落到水平木板上，又弹回到1.25 m的高 度。在整个过程中重力对球所做的功是多少？球的重力势能变化了多少？
W 0 ， 物体由高处运动到低处时，重力做功， Ep1 Ep2 ，这表示重力势能 W 0 ， 减少；当物体由低处运动到高处时，外力克服重力做功， Ep1 Ep2 ，这 表示重力势能增加。 对于弹性势能，（3）式也适用。
我们说某物体具有重力势能mgh，总是相对于某个水平面来说的，这个水 平面叫做参考面。参考面是计算高度的起点，可视研究问题的方便而任意选择， 通常选择地面作为参考面。 物体对于不同参考面的重力势能是不一样的。例如，地面上的一块石头， 如果取地面为计算高度的起点，它的重力势能是零，但这块石头对于深井的底 部，却具有相当大的重力势能，如图3-7所示，因此，在讨论重力势能的大小时， 必须指明计算高度的起点，即指明参考面。
图3-7 不同参考面的重力势能
1、重力对物体做正功时，物体的重力势能 ， 等于重力对 物体所做的功，重力对物体做负功时，表示物体 做功，物体的重力势 能 ， 等于物体克服重力所做的功。 2、物体在参考平面处具有的重力势能 ，在参考平面上方重力 势能为 ，而在参考平面下方具有的重力势能为 。 3、关于重力势能的几种理解，正确的是（ ）。 A．重力势能为零的物体，一定不会对别的物体做功 B．相对于不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但这并不 影响研究有关重力做功的问题 C．在同一高度将一物体不论向任何方向抛出，只要抛出时的初速度大 小相等，则落地时减少的重力势能必相等 D．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零 4、一个物体从距地面高度为H的高处自由下落，当它的动能与重力势能相 等时，需要下落的时间为（ ）。 A．
动能和弹性势能之间也可以相互转化，如图3-9（a）图所示，以一定速度 运动的小球能使弹簧压缩，这时小球克服弹力做功，使动能转化成弹簧的弹性 势能；小球静止以后，被压缩的弹簧又能将小球弹回，如图3-9（b）图所示， 这时弹力对小球做功，使弹簧的弹性势能转化成小球的动能。
（a）
（b） 图3-9 动能与弹性势能的转换
W mg h
W mgh1 mgh2
（4）
我们看到，W等于mgh这个量的变化。在物理学中 就用“mgh”这个物理量表示物体的重力势能，用符号 Ep来表示，就是 Ep mgh （5） 图3-6 重力作用与重力势能
有了重力势能的表达式，重力所做的功W和做功前后物体势能 、 的关系 就可以表示为 W Ep1 Ep2 （6）
既然势能可以转化为动能，动能也可以 转化为势能，在势能和动能相互转化时，物 体的机械能总量是否会发生变化呢？ 在前面小球摆动的实验中，因为空气阻 力的原因，小球每次所摆的高度都比上一次 低一些，最后停止下来。可以设想，如果阻 力比较小，每次降低得会少一些，如果完全 没有阻力，小球的摆动高度不会发生变化， 即在重力势能和动能的转化中，机械能的总 量是不变的。这个结果也可以从理论分析中 得出。 如图3-10所示，设质量为m的物体静止在 高度为h的A点时，物体的动能 Ek 0 ，势能 Ep mgh 。这时物体的机械能为
如果一个物体能做功，我们就说它具有能。物体由于运动而具有的能，叫做 动能。行进中的汽车、火车，流动的水、吹来的风（即流动的空气）都具有动能。 从初中物理知道，动能的大小与物体的质量、速度有关。下面我们设法找出 它们之间的定量关系。 假设质量为m的物体，在力F的作用下，在光滑的水平面上滑动，如图3-1所 示。已知物体的初速度为v1，沿着力F的方向发生一段位移后，速度增大为v2。
动能和势能统称机械能。 如果物体的质量为m，所处的高度为h，运 动速度为v，物体具有的机械能E就是动能与势 能之和
1 E Ek Ep mv2 mgh 2
动能和势能是可以转化的，下面我们通过例 子来了解他们之间的转换关系。 如图3-8所示，用细线悬挂一个小球，将小 球拉到一定高度，然后释放，小球会从高处摆动 到低处，再从低处摆动到高处。我们看到，小球 摆动的最高点在同一水平面上。
9、一颗机枪子弹的质量为50 g，射出枪口的速度为800 m/s；一台锻压机 重锤的质量为500 kg，工作时打击工件的速度为6 m/s。子弹和重锤相比，谁的 动能大？ 10、在阴极射线管中，电子受到 3. 2 1021 N 的力，从静止开始前进20 cm， 31 电子得到多大的动能？电子的速度是多大？已知电子的质量为 9.110 kg 。 11、微型汽车的总质量为1 080 kg，最大车速为72 km/h。当它以最高速度 行驶时，它的制动装置要能使它在10 m的距离内停下来。请问，制动过程中受 到的平均制动力至少应为多大？ 12、如图3-3质量为2 g的子弹，以300 m/s射入 厚度是5 cm的木板，射出后的速度为100 m/s，求 子弹射穿木板过程中受到的平均阻力。 13、汽车爬坡时，司机需推拉操纵杆，换成 低档，为什么？ 图3-3 子弹射穿木板
图3-1 物体在光滑水平面滑动
很明显，在这一过程中，力F对物体所做的功 W Fs 。根据牛顿第二定律 2 F ma 和运动学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式 v2 v12 2as ，可得
2 v2 v12 W Fs ma 2a 即 1 2 1 2 W mv2 mv1 （1） 2 2 1 2 从上式可以看到，力F所做的功等于“ mv ”这个物理量的变化，物理 2 1 2 学中就用 mv 表示物体的动能，用Ek表示，即 2 1 Ek mv2 （2） 2