第9章 协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
第9章 方差分析
Dependent List：weight Factor：fodder Contrasts选项: 多项式比较（AD与BC比较和AC与BD比较） Post Hoc选项: 均值多重比较LSD和Tamhane’s T2 ，一致性子集 检验Duncan（各种方法的使用条件－方差齐或不齐） Options选项:Descriptive描述统计量，Homogeneity-ofvariance方差齐次性检验，Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结果 结论：四种饲料对猪体重增加的作用有显著性差异，还可得知 ABCD四种饲料对猪平均体重增加多少（越来越多）。
9.3.2 单因变量多因素方差分析的菜单和选择项
菜单：Analyze->General Linear Model-> Univariate 选项：
选择分析模型Model: 默认全模型Full Factorial：包括所有因素变量的主效应、所有 协变量的主效应、所有因素与因素的交互效应，不包括协变量与 其他因素的交互效应。 自定义模型Custom：主效应（Main effects及其因素变量）、交 互变量（有交互效应维数之分） 选择分解平方和的方法（默认为TYPE III） Include Intercept in model：系统默认截距包括在回归模型中。 选择对照方法Contrasts 选择分布图形Plots 选择多重比较分析Post Hoc 保存运算结果的选择项Save 选择输出项Options
零假设H0：组间均值无显著性差异（即四种饲料对 猪体重增加的平均值无显著性差异）；
9.２.2--9.２.3 单因素方差分析的选择项和例子
使用选择项的单因素方差分析：
第九章 协方差分析
协方差分析
一、协方差分析的意义和功用
二、单向分组资料的协方差分析 三、两向分组资料的协方差分析
一、协方差分析的意义和功用
(riance)是两个变数的互变异数。对于一 个具有N 对(X，Y )的有限总体，其定义为：
1 N cov ( X i X )(Yi Y ) N 1
上式中和的 i=1，2，3，…，k。 其中： SPT xy 1 (T x T y )
kn
1 nk k 1 1 SPt (T xi T yi ) (T x T y ) n 1 nk kn 1 k SPe xy (T xi T yi ) SP SP T t 1 n 1
(4) 如果所得F 为不显著，表明间无显著差异；如
果F 为显著，则必须算出各个，进行多重比较，作
出相应推断。
(四) 相关关系资料的协方差分析
相关关系资料的协方差分析主要讨论两个互有联系
的总体的相关问题。
[例9.16] 为研究小麦品种经济性状的数量遗传，
随机抽取90个品种，在田间每品种皆种成4个小区 (每小区1行)，共90×4=360个小区，完全随机排列。 得到小穗数(x )和百粒重(y )的方差和协方差分析
ˆ e2( y ) 0.0308
ˆ2( y ) (0.9868 - 0.0308)/4 0.2390
由表9.13中MP 和EMP 的关系得：
cove 0.0369
cov (-1.4322 - 0.0369)/4 -0.3673
︿
︿
因此，小穗数和百粒重的环境相关系数 r 为： e ︿
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析
协方差分析
197第十章 协方差分析第一节 协方差分析的意义协方差分析有二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。
一、对试验进行统计控制为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。
例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。
经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。
但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。
这时可利用仔猪的初始重(记为x )与其增重(记为y )的回归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。
由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。
统计控制是试验控制的一种辅助手段。
经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。
若y 的变异主要由x 的不同造成(处理没有显著效应)，则各矫正后的y '间将没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。
若y 的变异除掉x 不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各y '间将有显著差异(但原y 间差异可能是不显著的)。
此外，矫正后的y '和原y 的大小次序也常不一致。
所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。
这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析(analysis of covariance )。
二、估计协方差组分在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式：∑∑∑----=22)()())((y y x x y y x x r若将公式右端的分子分母同除以自由度(n -1)，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=∑∑∑)1()()1()()1/())((22n y y n x x n y y x x r （10-1）其中1)(2--∑n x x 是x 的均方MS x ，它是x 的方差2x σ的无偏估计量；1)(2--∑n y y 是y 的均方MS y ，它是y 的方差2yσ的无偏估计量；1981))((---∑n y y x x 称为x 与y 的平均的离均差的乘积和，简称均积，记为MP xy ，即MP xy =1))((---∑n y y x x =1))((--∑∑∑n ny x xy （10-2）与均积相应的总体参数叫协方差（covariance ），记为COV (x ,y )或xy σ。
第九章_协方差分析
协方差举例
3、纠正后的处理间方差分析
变异来源 处理 误差 总变异 自由度 平方和 均方 F值 2 707.218 353.609 31.07** 227.615 11.381 20 22 934.833
ˉ 4、用回归纠正每处理的平均增重 yi= μi+b(xi-x)
注意的问题
1、统计资料应服从正态分布，否则要做适当 的统计代换。 2、做一般方差分析时处理间差异显著，而做 协方差分析时，处理间差异反而不显著，说明 所谓的差异是由于初始的试验条件造成的，并 非处理间真正的差异。
x 17 16 18 18 21 22 19 18 y 97 90 100 95 103 106 99 94
A1
A2Leabharlann A3x 22 24 20 23 25 27 30 32 y 89 91 83 95 100 102 105 110
协方差举例
1、平方和
2、回归关系的显著性检验
变异来源 回归 误差 自由度 平方和 均方 F值 1 1010.76 1010.76 88.8** 227.615 11.38 20
定义
协方差分析(Analysis of Covariance) 是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种 分析方法。它先将定量的影响因素看作自变量 ，或称为协变量，建立因变量随自变量变化的 回归方程,这样就可以利用回归方程把因变量 的变化中受定量因素的影响扣除掉，从而,能 够较合理地比较因变量的总体均数之间是否有 显著性的差别，增加了分析的准确性。 协方差分析的功用就是用处理前的基数矫 正处理后的结果，提高其精确度。
第九章 协方差分析
一、协方差分析的概念
二、协方差分析模型
三、协方差分析举例
第九章(三)协方差分析(Analysis_of_Covariance)
在方差分析中，协变量离差包含在了随机误差中. 在协方差分析中，单独将其分离出来.
总思路
在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Yij ( adj) Yij ( X ij X ) u ti eij
协变量修正后的 观测值 去除遗传效应
j 1 n
n
组内总 离差平 方和
i 1 k
k
(Yij bw ( X ij X i ) Yi ) 2
j 1
Yi的回 与回归线的残差平方和 归线 回归平 方和
E yy ( adj)
i 1
(Yij Yi ) bw
2 j 1
n
2
i 1
k
( X ij X i ) 2
2
分组变量离差 =总离差 - 协变量离差 - 随机误差
我们回头看协方差分析的模型
Yij ( adj) Yij ( X ij X ) u ti eij
使用该方法进行分析的前提是每组的回归系数相等，且不为零。回 归系数反映的是协变量对观测值的影响。只有这种影响的作用形 式相同，才能用该模型。 当然，如果回归系数为零的话，用协方 差分析也没有意义了。因此我们在做协方差分析前要做两个假设 检验． １．协变量对因变量的影响对与个组来说都是相同的，即各组回归 系数相等： bw1 bw2 ... bwk ２．这些相等的回归系数不为零： bw 0
i 1
(Yij Y ) 2
j 1
Tyy ( adj)可表示为： Tyy ( adj) Tyy bt Txx Tyy Txy
2 2
Txx
协方差分析
协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。
方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。
一般说来，质量因子是可以人为控制的。
回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。
但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。
目录基本定义协方差的性质协方差在农业上的应用编辑本段基本定义方差反应参数的波动情况。
而两个不同参数之间的方差就是协方差。
若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。
定义E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
协方差与方差之间有如下关系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y) 因此，COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
编辑本段协方差的性质（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)；（2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）；（3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。
由协方差定义，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)。
协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。
为此引入如下概念：定义ρXY=COV(X，Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。
定义若ρXY=0，则称X与Y不相关。
即ρXY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。
定理设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有（1）∣ρXY∣≤1；（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）定义设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。
应用统计学(第九章 协方差分析)
从而求得相应的均方； 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积； 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方的关 系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值；
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验，这时误差项目回
归自由度dfeU=1，回归平方和：
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和：
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度：
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769， LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较， 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异，配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验：
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系
协方差分析
协方差协方差分析：（一）协方差分析基本思想通过上述的分析可以看到，不论是单因素方差分析还是多因素方差分析，控制因素都是可控的，其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。
但在许多实际问题中，有些控制因素很难人为控制，但它们的不同水平确实对观测变量产生了较为显著的影响。
协方差分析例如，在研究农作物产量问题时，如果仅考察不同施肥量、品种对农作物产量的影响，不考虑不同地块等因素而进行方差分析，显然是不全面的。
因为事实上有些地块可能有利于农作物的生长，而另一些却不利于农作物的生长。
不考虑这些因素进行分析可能会导致：即使不同的施肥量、不同品种农作物产量没有产生显著影响，但分析的结论却可能相反。
再例如，分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异。
如果单纯分析饲料的作用，而不考虑生猪各自不同的身体条件（如初始体重不同），那么得出的结论很可能是不准确的。
因为体重增重的幅度在一定程度上是包含诸如初始体重等其他因素的影响的。
（二）协方差分析的原理协方差分析将那些人为很难控制的控制因素作为协变量，并在排除协变量对观测变量影响的条件下，分析控制变量（可控）对观测变量的作用，从而更加准确地对控制因素进行评价。
协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析观测变量变差时，考虑了协变量的影响，人为观测变量的变动受四个方面的影响：即控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量的影响。
方差分析中的原假设是：协变量对观测变量的线性影响是不显著的；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。
检验统计量仍采用F统计量，它们是各均方与随机因素引起的均方比。
（三）协方差分析的应用举例为研究三种不同饲料对生猪体重增加的影响，将生猪随机分成三组各喂养不同的饲料，得到体重增加的数据。
由于生猪体重的增加理论上会受到猪自身身体条件的影响，于是收集生猪喂养前体重的数据，作为自身身体条件的测量指标。
第9讲 协方差分析与混合线性模型
2 单因素协方差分析-理论
2 单因素协方差分析-理论
2 单因素协方差分析-理论
2 单因素协方差分析-理论
2 单因素协方差分析-计算
2 单因素协方差分析-计算 data ex; do a=1 to 3;do i=1 to 8;
input x y @ @;output ;end;end;
cards; 47 54 58 66 53 63 46 51 49 56 56 66 54 61 44 50 52 54 53 53 64 67 58 62 59 62 61 63 63 64 66 69 44 52 48 58 46 54 50 61 59 70 57 64 58 69 53 66
3.混合线性模型
请你完成以下问题： （1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定 最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药， 如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。 （2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4 为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确 定最佳治疗终止时间。 (3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价 格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元， 400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗 法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有 什么改变。
36.4271 47.8467 47.8467 47.8467
32.5714
40 0 8 16
3.2189
3.0445 3.0681 3.8918 3.9703
2
2 2 3 4 4 4
10.协方差分析-09 PPT课件
a. R Squared = .671 (Adjusted R Squared = .643)
有关参数估计
Par ameter Esti mates Dependent Variable: 胆固醇 Parameter Intercept YEAR [GROUP=1] [GROUP=2] a. This 95% Confidence Interval B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound 1.656 1.028 1.610 .121 -.471 3.783 9.417E-02 .018 5.162 .000 5.643E-02 .132 -.895 .406 -2.207 .038 -1.735 -5.619E-02 a 0 . . . . . parameter is set to zero because it is redundant.
一、协方差分析概述
1、关于协变量
在实际研究过程中，实验结果常常受一些非 处理因素（即混杂因素）的影响，在统计学上把 这些混杂因素称为协变量。 若忽视协变量（混杂因素）的作用，直接对
资料进行分析，则会因为混杂因素的影响而得出
片面的结论。
一、协方差分析概述
2、基本思想
协方差分析是将直线回归和方差分析结合应用的一种 统计方法，用来消除混杂因素对分析指标的影响。其基本
a y bx
一、协方差分析概述
应用条件要求 1= 2，但由于抽样误差b1与
b2不一定恰恰相等，故取公共斜率（bc）
组内l xy bc 组内l xx
, 则：y1 y 1 bc ( x1 x 1 ) , y2 y 2 bc ( x 2 x 2 )
协方差分析
当作随机因素
• 当我们考虑动物窝别对增重的影响时，一般 我们可把它当作随机因素处理，这一方面是 由于它不容易数量化，另一方面是同一窝一 般有几只动物，可分别接受另一因素不同水 平的处理
• 如果我们考虑试验开始前动物初始体重的影 响，这时一般方法是选初始重量相同的动物 作为一组，分别接受另一因素的不同水平处 理，此时用方差分析也无问题。
a2 = 54.570,
b2 = 2.332,
SS
G e
2
32.431
Syy3 = 566.875, Sxy3 = 245.375, Sxx3 = 115.875,
a3 = 43.131,
b3 = 2.118,
SS
G3 e
47.273
组内剩余平方和：,其自由度=18
3
SSeG SSeGi 179 .577
• 从调整后的数据看来，第二种饲料效果最好， 第一种稍差，而第三种差得较多。但从调整 前的数据看是第二种最好，第三种几乎与第 二种相同，而第一种差得多。这种调整前的 差异是不正确的，因为它包含了初始体重的 影响。第三组初始体重明显偏大，而第一组 偏小，这影响了对两种饲料的正确评价。
对各调整后的平均数据作统计 比较
（8）为比较各饲料好坏，计算 调整平均数 y'i.
y'i. yi. b* ( xi. x..), i 1,2,3
• 代入数据，得：
y'1. 81.750 2.402 (13.750 19.25) 94.961 y'2. 98.000 2.402 (18.625 19.25) 99.501 y'3. 96.875 2.402 (25.375 19.25) 82.163
S
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• 协方差分析是将方差分析与回归分析相结 合的一种统计方法，主要功能是对实验误 差进行统计控制。
• 例如，研究不同饲料对鲢鱼增重的影响， 希望鲢鱼个体初始重都相同，这是很难做 到的，我们就可以利用协方差分析，将初 始体重矫正为相同，消除初始体重对增重 的影响。
根据资料类型不同，协方差分析分为： • 单因素 • 双因素
回归误差项方差分析
P=0，表示不同饲料对日增重的影响差异非常显著， 需要对不同饲料水平下的平均数矫正和作多重比较。
回归协方差分析
（1）三个回归系数b差异显著性检验：p=0.5870， 没有显著差异，可以用共同的回归系数0.0127 （2）三个回归截距a差异显著性检验：p=0.0000， 差异非常显著，需要用三个不同的a。
• 三种饲料存在公共回归 系数0.0127，R=0.9765， 回归效果非常好，此时三 个饲料水平下，初始体重 与日增重之间的回归关系 为：
y1=0.3446+0.0127x
y2=1.4413+0.0127x
y3=1.1707+0.0127x
回归误差项方差分析
P=0，表示初始重x与日增重y之间的回归非常显著， 需要进一步作离回归分析。
协变量：1个，草鱼初始重
DPS法 （1）输入数据与选择数据：
DPS法 （2）菜单：
DPS法 （3）对话框：
DPS法
（4）结果：
• 三种饲料X与草鱼日增重Y 的存在回归关系，可以用方 程y=0.2222+பைடு நூலகம்.0199x表示， R=0.55886，效果不好，这 是因为把所有数据当作一个 样本来处理，由于忽略了三 种饲料的差异。
例9.3 三种刺网在10个水域捕鱼，记录第一天和第三 天的捕鱼数，比较三种刺网捕鱼的差异。
这是单因素（刺网）3水平，第一天捕鱼数为协变量。 DPS解题 （1）输入数据与选择数据：
（2）菜单：
（3）对话框：
结果：
（1）回归系数b： 三种刺网X与第三天捕鱼 量Y之间的回归关系，可以 用方程y=-4.8724+1.0676x 表示， R=0.78097。
• 平均值校正后，消除第1天捕鱼量的影响， 三种刺网的平均值为：刺网1为6.3969尾， 刺网2为5.6043尾，刺网3为9.9988尾。
• 多重比较结果为：刺网1与刺网2之间无显 著差异，刺网1与刺网3之间无显著差异，刺 网2与刺网3之间有显著差异。
P195 习题3
三种日投饵量，测定初始体长（x，cm）与试验结束 时体长（Y，cm），作协方差分析。
三种饲料水平处理后的平均数矫正
配方1处理后，日增重两平均为1.7045 配方2处理后，日增重两平均为2.8012 配方3处理后，日增重两平均为2.5306
矫正平均数的多重比较：
配方1与配方2处理后，日增重的差异非常显著，p=0 配方1与配方3处理后，日增重的差异非常显著，p=0 配方2与配方3处理后，日增重的差异非常显著，p=0
因子间协方差分析
P=0.0479<0.05，表示三种刺网导致第三天捕鱼量的 差异也是显著，需要作平均值矫正和多重比较。
回归协方差分析
（1）三种刺网时建立的三条直线回归方程，三个回 归系数b差异显著性检验：p=0.4453>0.05，没有显 著差异，可以用共同一个回归系数（1.0676） （2）三个回归截距a的也没有显著差异： p=0.0599>0.05，不需要用三个不同的a。
•三种刺网的公共回归系数0.9329，R=0.74636，回归效 果也一般，此时三种刺网水平下，第一天捕鱼量与第三 天捕鱼量之间的回归关系为：
y1=-4.2693+0.9329x y2=-5.0620+0.9329x y3=-0.6674+0.9329x
回归误差项方差分析
P=0.0193<0.05，表示第一天捕鱼量x与第三天捕鱼 量y之间的回归关系是显著的。
请同学们思考，如何输入数据：
（1）输入数据与选择数据： （2）菜单： （3）结果分析：
• 初始体重x与最终体重y之间的回归显著性分析 • 不同日投饵量的差异显著性分析 • 平均值校正 • 平均值多重比较
根据影响试验指标的未能控制的变量（协 变量）的多少，可以分为： • 单协变量 • 多协变量
单向分组资料的协方差分析
例 9.1 研究三种草鱼饲料配方的效果，选择 24尾草鱼，随机分成3组，每组8尾，分别喂 养三种饲料。测得每尾草鱼的初始重X(g)与 日增重Y(g)，试分析。
因素：1个，饲料配方，3个水平