高数---第3讲 三重积分的计算
三重积分计算
三重积分计算三重积分是多重积分的一种，用于计算三维空间中的体积、质心、重心、转动惯量等问题。
在高等数学中，三重积分也是非常重要的一部分，本文将详细介绍三重积分的概念、性质、计算方法以及一些应用。
一、三重积分的概念三重积分是对具有三个变量的函数在三维空间中一些区域的积分。
设f(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，其中Ω是三维空间中的一个封闭区域。
则三重积分的定义为：∭Ωf(x,y,z)dV其中，dV 表示一小块Ω中的体积元素，dV = dx dy dz。
可以看出，三重积分实际上是对Ω中个点对应的函数值与体积元素的乘积进行求和。
三重积分对应的结果是一个数值。
二、三重积分的性质1.线性性质：设f(x,y,z)和g(x,y,z)是定义在区域Ω上的函数，a和b是常数，则有：∭Ω (af(x, y, z) + bg(x, y, z)) dV = a∭Ω f(x, y, z) dV +b∭Ω g(x, y, z) dV2.保号性质：如果在Ω上有f(x,y,z)≥0，则有：∭Ωf(x,y,z)dV≥03.次序可交换性：如果函数f(x,y,z)在区域Ω上连续，那么对于Ω中的任意小闭区域D，有：∬D f(x, y, z) dx dy = ∬D f(x, y, z) dy dx这说明在计算三重积分时，可以先对其中两个变量积分，再对剩余的变量积分。
三、三重积分的计算方法计算三重积分的方法有很多种，下面介绍常用的两种方法：直角坐标系下的直接计算和柱面坐标系的变量代换法。
1.直角坐标系下的直接计算：假设要计算Ω上的三重积分∭Ωf(x,y,z)dV，Ω的边界可以分解为有限个可求面积的曲面。
先取一个边界曲面上的点P，以该点为上顶点的立体体积为ΔV，然后作适当的划分，将ΔV划分为若干个小的体积ΔV_i。
然后取这些小体积ΔV_i中其中一点(x_i,y_i,z_i)，并计算f(x_i,y_i,z_i)与ΔV_i的乘积f(x_i,y_i,z_i)ΔV_i。
第三节三重积分的概念与计算-PPT课件
重积分
第三节 三重积分的概念与计算
一、三重积分的概念
问题的提出： 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )， 求立体 V 的质量 M 为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤.
首先把 V 分成 n 个小块
V1 , V2 , . . . , Vn ,
Vi 的体积 记为 V i
例1 设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点
p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质
量M.
2 2 2 1 D xy
2 2 2 M ( x y z ) dxdydz dxdy ( x y z ) d 解 0
3 1 1 y y1 2 2 2 ( x y) dxdy ( x y ) dx 0 0 3 3 3 D xy
过点 ( x ,y ) D 作直线 , o xy
a
z2 S 2
z1
S1
z z ( x ,y ) 1
从 z 穿入，从 z b 1 2穿出．
x
( x, y)
D
y
y y ( x ) 2
y y ( x ) 1
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z ) 只看作 z 的 函数，则
1 2 13 2 ( x ) dx x x 1 0 3 3 3 0
1 2
其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 xy
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最
容易安排
g ( x , y , z ) dV dx ( x , y , z ) dz dy g
第三节三重积分计算法
设M（x,y,z）为空间
z
一点，如果将x，y，z
改用另外三个数r，,z
来表示，则称（r, ,z） O r
为点M的柱面坐标。
x
M (x, y, z)
z
y
P(r, )
在xoy面上 r, 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是
x r cos
y
r
sin
(0 r ,0 2 , z )
且被积函数含有
x2 y2, y x
常用极柱坐标
2.球面坐标
由球面坐标与直角坐标的关系：
x r sin cos 0 r
y
r
sin
sin
z r cos
,
0
0 2
体积元素
三重积分在球面坐标系下的形式：
f (x, y, z)dv F(r,,)r2 sindrdd
其中 F(r,,) f (r sin cos, r sin cos, r cos)
4
所以 zdxdydz rdrd r2 zdz
D
2
2
4
d rdr zdz
0
0
r2
1
2
d
2 r(16 r2 )dr
20
0
1 2
2 [8r 2
r2 6
]02
64 3
例6 计算 I (x2 y2)dv 其中
由锥面x2 y2 z2 , x 0, y 0
和z a a 0所围成第一卦限 z z a
f (x, y, z)dv
球面方程：r a
2
d
d
a F(r,, )r2 sindr
0
0
0
一般地，空间区域 包含原点在其内
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
三重积分计算方法
三重积分计算方法三重积分是多重积分中的一种，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
本文将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们需要了解三重积分的定义。
给定一个定义在三维空间上的函数f(x,y,z)，我们要计算其在一些区域V内的积分。
这个区域V可以用一组不等式给出，比如x的取值范围是a到b，y的取值范围是c到d，z的取值范围是e到f。
则三重积分的定义如下：∭f(x, y, z) dV = ∬∫f(x, y, z) dx dy dz其中，dV 表示体积元素，dx dy dz 分别表示 x、y、z 方向上的微小长度。
积分号的上方是积分的区域 V，下方是被积函数 f(x, y, z)。
下面我们将介绍三重积分的计算方法。
1.直角坐标系下的三重积分计算方法:在直角坐标系中，我们可以利用变量分离的方法计算三重积分。
假设要计算的函数f(x,y,z)可以分离为三个只与一个变量有关的函数，即f(x,y,z)=g(x)h(y)i(z)。
则三重积分可以分解为三个单重积分的乘积：∭f(x, y, z) dV = ∫g(x)dx * ∫h(y)dy * ∫i(z)dz这种方法适用于函数可以分离的情况，但是实际上很少遇到这种情况。
2.柱面坐标系下的三重积分计算方法:在柱面坐标系中，我们用(ρ,φ,z)表示点的坐标，其中ρ表示点到z轴的距离，φ表示点到x轴的夹角，z表示点在z轴上的高度。
在柱面坐标系中，体积元素dV可以表示为：dV = ρ dρ dφ dz因此，柱面坐标系下的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(ρ cos φ, ρ sin φ, z) ρ dρdφ dz这种方法适用于具有柱面对称性的函数，即函数在ρ和φ方向上具有分离变量的特点。
3.球面坐标系下的三重积分计算方法:在球面坐标系中，我们用(r,θ,φ)表示点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点到z轴的夹角，φ表示点到x轴的夹角。
高数 三重积分
根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法 方法1. 投影法【 “先一后二” ;“丝丝吃法”】
d xd y
D
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )d z
方法2. 截面法【“先二后一” ;“片片吃法”】
z z 2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
微元线密度≈
记作
D d xd y z ( x, y )
d z
a
b
DZ
f ( x, y, z )d xd y
两种方法各有特点, 具体计算时应根据 被积函数 及积分域（重积分两要素）的特点灵活选择.
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方法1. 投影法【“先一后二” ;“丝丝吃 法 ”】 z 1) 选 择 恰 当 的 投 影 面 ，
如 闭 区 域 在 xoy 面 上的投影为闭区域 D,
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
x y z 例4 计算 z dv , : 2 2 2 1 a b c
2
2
2
2
例5
2 2 dxdydz , : z x y ,z 1
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分)和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21z z dz )z ,y ,x (f ，再做二重积分⎰⎰σDd )y ,x (F ,就是“投影法”，也即“先一后二"。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D.多D 上一点(x ，y ）“穿线”确定z 的积分限,完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二"这一步.σ=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰d ]dz )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f D z z 21如果先做二重积分⎰⎰σz D d )z ,y ,x (f 再做定积分⎰21c c dz )z (F ，就是“截面法”，也即“先二后一”.步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间,即]c ,c [z 21∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰σzD d )z ,y ,x (f ，完成了“先二”这一步（二重积分)；进而计算定积分⎰21c c dz)z (F ，完成“后一"这一步。
dz ]d )z ,y ,x (f [dv )z ,y ,x (f 21zc c D σ=⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰。
当被积函数f （z)仅为z 的函数(与x,y 无关)，且z D 的面积)z (σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑:将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面）D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)D 是圆域（或其部分）,且被积函数形如)xy(f ),y x (f 22+时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3)Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)z y x (f 222++时，可选择球面坐标系计算.1。
《高等数学教学课件》 第三节 三重积分的计算法精品文档17页
分割的 .令模0, 若和式
,则f称 (x,y,z)在 上 可 积,
i1
称 极 限 f(x,值 y,z)在 为 上 的 三重积分 , 记 为 :f(x,y,z)dv,
n
即 f(x ,y,z)d v l i0 m i 1f(i,
i,
i) vi,其
中f(x , y,
z)称
为
被
积
函 ,
称f (x, y,z)dv为被积表达,式 x, y, z称为积分变量,称dv为体积微元,
(2) .由 zx,x yy1和 z0所 围 成 解(2).
xy
f(x ,y,z)dx dy d d x 0zd f(x y ,y,z)d z
D xy
1 1x xy
0dx 0 d0 yf(x,y,z)d.z
二、柱面坐标、球面坐标坐标系下的三重积分计算
1、柱面坐标系
x r cos , r [0, )
yr zr
yz rcos
zz
0
si n 0 r J r.
01
例 1、计算 zdx,其 dy 是 中 dz 由 x2 曲 y2z面 24和 x2y23z所 围 . 成
解
:
0 2
D :
0 r 3
1 3
r2
z
4 r2
zdxdyrddzrd4r2zdz 2d
3
4r2
rdr zdz
及 z1 ,z2 所 围 成 . 的 圆 台 体
解
: 1z2, "先二后一 "计算方法： (x,y)D (z):x2y2z2,
2
2
zdxdydz dz zdxd y zdz dxdy
1
1
D(z)
高等数学 -三重积分的计算
dv r2 sin drd d
5
23
例3. 设由锥面
和球面
所围成 , 计算
提示:
I (x2 y2 z2 2 xy 2 yz 2 xz) dv
z 2
利用对称性
(x2 y2 z2 ) dv
4
oy
用球坐标
x
2 d
0
4 sin d
0
2r 4 d r 32 2
0
5
2
24
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
o
y
x
(x,
y,0)
13
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d dd z
z d
因此 f (x, y, z)dxdydz
z
d
dz
d d dz
o
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
适用范围:
x
d
d
y
1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;
f (x, y, z) d v f (,, )V
2
二、三重积分的计算 1） 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2. 截面法 (“先二后一”)
最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
3
方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
z D
z2
(x,
y)
z z2 (x, y)
高数讲义第三节三重积分(一)
z 0 所围空间立体.
解 如图， Dxy : 1 x 1
x2 y 1 1
y
y x2
1 Dxy
0
1x
: 1 x 1, x2 y 1,
0 z x2 y2.
1
1
x2 y2
I
dx 1
x2
dy0
f ( x, y, z)dz.
例 2 计算三重积分 xdxdydz，其中 为三个
（5）若 是前后结构 即若用平行于 x 轴的直线穿过 ，与其边界曲面 的交点至多有两个，亦可将 投影到 yoz 面上。
f ( x, y, z)dv
而后者又可进一步化为三次积分。
对于 为左右结构情形同理。
例1 化 I f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分，
其中， 为由曲面z x2 y2, y x2, y 1,
（3）进一步，若 是 X 型区域
z
f ( x, y, z)dv
（3） 若 是 X 型区域
o
a
Dxy {( x, y) |a x b, b y1( x) y y2( x)} x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
n
lim
0
i 1f(i,i源自,i)vi
存在，且与 的分法及点
(i ,i , i ) 的取法无关， 则称此极限为 f ( x , y, z )
在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x, y, z)dv
n
即
f ( x, y, z)dv
lim
0
i 1
f (i ,i , i )vi .
三重积分的计算与应用
三重积分的计算与应用积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算的一种方法，它可以用于计算三维体积、质心位置、质量、物理场的通量等问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的计算方法三重积分在直角坐标系中的计算方法可以分为直角坐标系下的直接计算和变量替换法两种。
1. 直接计算直接计算是指根据积分的定义，将积分区域划分为许多小的体积元，然后对每个小体积元进行积分的方法。
在直角坐标系中，三重积分的计算公式为：∬∬∬_V f(x,y,z) dxdydz其中f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dxdydz表示三维空间中的体积元。
通过将积分区域V划分成小的立方体，求解每个小立方体的体积和函数值的乘积，再将所有小立方体的贡献相加，即可得到三重积分的结果。
2. 变量替换法当被积函数的积分区域V的形状比较复杂时，直接计算的方法可能比较繁琐。
这时可以利用变量替换法来简化计算。
变量替换法是通过引入新的变量替换积分变量，使得积分区域转化为更简单的形式。
常用的变量替换方法包括球坐标系变换、柱坐标系变换和曲线坐标系变换等。
二、三重积分的应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
1. 计算体积三重积分可以用来计算三维空间中各种复杂形体的体积。
通过将被积函数设为1，即可计算出积分区域的体积。
2. 质心位置质心是一个物体的重心位置，对于具有连续分布质量的物体，其质心位置可以通过三重积分来计算。
通过将被积函数分别为x、y、z乘以质量密度，然后对三重积分进行计算，即可得到质心位置的坐标。
3. 质量如果一个物体的质量分布在三维空间中不均匀，可以通过三重积分来计算其质量。
将被积函数设为质量密度，然后对积分区域进行三重积分，即可得到质量的大小。
4. 物理场的通量物理场的通量表示单位时间通过单位面积的物理量。
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
高等数学 第三节 三重积分
解1 0 y 1 , y x y , 0 z 1 y
z yz1
x sin2 ydv 1sin2 ydy
y
xdx
1 y
dz
0
y
0
x
1y
0
解2 由于被积函数关于 x 是奇函数，积分域关于
yOz 平面对称，所以积分等于零。
第十章 第三节
20
奇偶对称性化简三重积分
1 积分区域关于某坐标面具有对称性； 2 被积函数在积分区域上关于相对应的坐标轴 具有奇偶性。
x 0 , y 0}
z R
R
zdxdydz 0 dz zdxdy
Dz
Dz
R
y
R x
R
z(R2
z2 )dz
(1
R2z2
1
z4)
R
R4
40
42
4 0 16
第十章 第三节
17
例6 计算 由 z 1 (x2 y2 ) , z 1 , z 4 围成。
2
解
，其中
利用对称性 轮换
奇偶
1 2
(
Dz
b
a dz f ( x , y , z)dxdy Dz
第十章 第三节
15
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴 (例如 z 轴) 投影，得 投影区间 [a , b]；
(2) 对 z [a , b] 用过 z 轴且平行于 xOy 面的平面
去截 ，得截面 D z ；
z b
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z)dxdy ， z
把 x 看成常数。积分区域 就为圆盘 y2 z2 x2
(1
x4
)dxdydz
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法引言在数学中，积分是一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在多元函数中，我们可以通过三重积分来对三维空间中的函数进行求积分。
三重积分是对三维空间内一个闭区域上的函数进行积分操作，它涉及到对三个变量的积分运算。
本文将介绍三重积分的计算方法。
一重积分回顾在介绍三重积分之前，我们首先回顾一下一重积分的概念和计算方法。
一重积分是对一维空间上的函数进行积分操作。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，我们可以将[a, b]分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
则在每个小区间上，我们可以取一点ξ_i，其中i=1, 2, 3, …, n。
根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞)[Σf(ξ_i)Δx]其中，Σ表示求和符号。
当Δx趋向于0时，Σf(ξ_i)Δx趋向于f(x)在[a, b]上的积分值。
二重积分回顾与一重积分类似，二重积分也是对二维空间上的函数进行积分操作。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，我们可以将D划分为n个小矩形区域，每个小矩形区域的面积为ΔA。
则在每个小矩形区域上，我们可以取一点(ξ_i, η_i)，其中i=1, 2,3, …, n。
根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∬D f(x, y)dA = lim(n→∞)[Σf(ξ_i, η_i)ΔA]当ΔA趋向于0时，Σf(ξ_i, η_i)ΔA趋向于f(x, y)在D上的积分值。
三重积分的引入三重积分是对三维空间内的函数进行积分操作。
设函数f(x, y, z)在闭区域E上连续，我们可以将E划分为n个小立体区域，每个小立体区域的体积为ΔV。
在每个小立体区域上，我们可以取一点(ξ_i, η_i, ζ_i)，其中i=1, 2, 3, …, n。
根据黎曼和的定义，可以得到以下等式：∭E f(x, y, z)dV = lim(n→∞)[Σf(ξ_i, η_i, ζ_i)ΔV]当ΔV趋向于0时，Σf(ξ_i, η_i, ζ_i)ΔV趋向于f(x, y, z)在E上的积分值。
三重积分的计算
第三节 三重积分的计算一、 利用直角坐标系计算三重积分 三重积分的定义：∑⎰⎰⎰=→=ni i i i i V f dV z y x f 1),,(lim),,(∆ςηξλΩ． 三重积分中体积元素可表示为dxdydz dV =，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩΩdxdydz z y x f dV z y x f ),,(),,(．三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分．１、 坐标面投影法（先一后二计算法） 由上次课的引例知，三重积分⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(可看成为体密度为),,(z y x f 且占有空间区域Ω的立体的质量．设区域Ω在xOy 面上的投影区域为D ，以D 的边界为准线作平行于z 轴的柱面，将V 分为上下两个曲面，其方程分别为),(:22y x z z =∑ ),(:11y x z z =∑设它们为D 上的单值连续函数，且),(),(21y x z z y x z ≤≤，用垂直于x轴和y 轴的平面将区域D 分为若干个细长条，对应于小区域σd 高度为dz 的小薄片的质量近似等于dz d z y x f σ),,(，所以细长条的质量用微元法求得为σσd dz z y x f dz d z y x f y x z y x z y x z y x z ]),,([),,(),(),(),(),(2121⎰⎰=再将其在区域D 上求二重积分，得到立体的质量为⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z d dz z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果． 当积分区域Ω可以表示为:Ω⎩⎨⎧∈≤≤xyD y x y x z z y x z ),(),(),(21 其中xy D 为Ω在xOy 面上的投影，此时称Ω为xy －型区域． 则有计算公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=xyD y x z y x z dxdy dz z y x f dV z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω．进一步，如果D 是x －型区域，即Ω可表示为如下不等式组Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),( )()( 2121y x z z y x z x y y x y b x a 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z dxdy dz z y x f dxdydz z y x f ]),,([),,(),(),(21Ω⎰⎰⎰=),(),()()(2121),,(y x z y x z x y x y ba dz z y x f dy dx由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，因此称为先一后二计算法．类似地，积分区域还有yz －型区域，zx －型区域，都有类似公式．例如对于yz －型区域，Ω可表示为⎩⎨⎧∈≤≤),(),(),(21yz D z y z y x x z y x 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰⎰=yzD z y x z y x d dx z y x f dV z y x f σΩ]),,([),,(),(),(21例１ 计算三重积分⎰⎰⎰Vxdxdydz ，其中V 为三个坐标面和平面12=++z y x 所围成的闭区域．解 从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤yx z x y x 210 21010 由上面公式有481)2(41)21(10322101021021010=+-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----dx x x x dyy x x dx xdz dy dx xdxdydz xy x x V例２ 求由抛物面z y x -=+622，平面0=x ，0=y ，1=x ，2=y 及z y 4=所围成的立体的体积．解 从立体图形看出，区域V 可以用不等式组表示为⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≤≤≤≤2264/ 2010y x z y y x 6492264201===⎰⎰⎰⎰⎰⎰--y x y Vdz dy dx dV V ． ２、 坐标投影法（截面法或先二后一法）如果将空间区域Ω向z 轴作投影得一投影区间],[q p ，且Ω能够表示为Ω：⎩⎨⎧≤≤∈qz p D y x z),(．其中z D 是过点),0,0(z 且平行于xOy 面的平面截Ω所得的平面区域，就称Ω为z 型空间区域。
三重积分的几种计算方法
适用范围：适用于积分区 域复杂的情况
步骤：选择适当的坐标系， 进行坐标变换
优点：简化计算过程，提 高计算效率
奇偶性法
定义：利用奇偶函数的性质简化三重积分的计算 适用范围：被积函数或其变量具有奇偶性时 步骤：判断奇偶性，选择合适的坐标系和积分顺序，简化计算 示例：计算三重积分时，利用奇偶性法可以简化计算过程
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三重积分的几何意义：三重积分可以理解为三维空间中一个函数与一个封闭曲面所围成 的区域的体积。
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三重积分的计算方法：三重积分可以通过累次积分的方法计算，即先对一个变量进行积 分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。
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三重积分的物理应用：三重积分在物理学中有广泛的应用，如计算物体的质量、质心、 转动惯量等物理量。
对于每个微元体，我们可以计算其上的函数值与微元体的体积的乘积，即 微元体的质量。
将所有微元体的质量相加，即可得到整个积分区域上的函数值与体积的乘 积，即三重积分的结果。
利用微元法计算三重积分时，需要注意每个微元体的形状和大小，以及函 数值在微元体上的变化情况。
三重积分的计算技 巧
坐标变换法
定义：将三重积分转化为 容易计算的形式
近似计算法
近似计算法：利用泰勒级数展开或数值积分方法，将三重积分转化为数值计算，适用于复 杂函数或高维空间的积分计算。
坐标变换法：通过坐标变换简化积分计算，适用于某些特殊函数或几何形状的积分计算。
分部积分法：将三重积分转化为多个一元或二元积分的和或差，适用于具有易于计算积分 的部分的三重积分计算。
计算三维物体的体积 计算三维物体的表面积 计算三维物体的质心 计算三维物体的转动惯量
在工程中的应用
计算复杂几何体 的质量、质心和 转动惯量
高数讲义第三节三重积分(二)
Dxy : 0 2 , 0 a
x2 y2 z2 z ,
4
o
y
: 0 2 , 0 a, z a, x
Dxy
I ( x2 y2 )dxdydz 02 d 0ad a 2dz
2 0a 3(a )d
a5. 10
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
: 0 2 , 0 2, 2 z 4，
例 5 计算 I zdxdydz，其中 是抛物面
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
Dxy {(x, y) | x2 y2 4}
{(, ) | 0 2 , 0 1}
z1 x2 y2 2, z2 4,
3
z2 2
4 2
d
2
3
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标：设 M ( x, y, z) 为空间内一点， 点 M 到原点的距离记为 r ,
有向线段 OM 与 z 轴正向的夹角记为 ，
点 M 在xoy 面上的投影 为P ( x, y)
自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段 z
OP 的角度记为
则三元有序数组( r, , )
例 5 计算I zdxdydz，其中 是抛物面.
z x2 y2及平面 z = 4 所围的立体. z
解
由
z
x2
y2 ,
z 4
知曲面与平面的交线为
x2
y2
4,
z4
o
y
x
Dxy {(x, y) | x2 y2 4} {(, ) | 0 2 , 0 2}
z1 x2 y2 2, z2 4,
y
sin
,
z z.
o
• P(, )
三重积分-高等数学PPT
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
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第3讲 三重积分的计算
一、直角坐标系下三重积分的计算
１.先一后二法
例1 计算
V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算V
zdV ⎰⎰⎰,
其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分
cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V
是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.
2.先二后一法
例4 计算sin V
z dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222
222x y z a b c
ρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）
例1 计算V
I zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,
锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22
()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空
间区域.
三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）
例1 计算2V I x dV =
⎰⎰⎰,其中V
由曲面z =
和z = 0R >围成. 例2 计算222[()
()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中
2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤
例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222x
y z a ++≤在第一卦限的部分.
例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.
练习：
1、2
V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2
、V I =
，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
6475⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3、()V I x z dV =
+⎰⎰⎰
，:V z =
z =8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4、()V
I x y z dV =++⎰⎰⎰，2222:,0,0,0V x y z R x y z ++≤≥≥≥所围。
4316R π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5、2()V
I x y z dV =++⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面1z =围成的空间区
域. 76π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6、已知()f x 连续，222()[()]V F t z f x y dV =++⎰⎰⎰，其中222:0,V z h x y t ≤≤+≤，求'()F t ，20()lim t F t t +→。